上海市六校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市六校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷一、填空题1.已知全集为R，集合，则__________.【答案】【解析】因为全集为R，集合，所以.2.集合，则集合_________.【答案】【解析】因为集合，由题意可知.3.若，则的最小值为______．【答案】【解析】因为，则，当且仅当时，等号成立.4.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是___________．【答案】【解析】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．5.已知，，则的取值范围是______.【答案】【解析】因，，所以，，所以的范围是.6.若集合有且仅有一个元素，则实数______．【答案】0或【解析】当时，，符合题意；当时，，即，综上所述，或.7.用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是______________．【答案】且【解析】用反证法证明命题“若，则或”，应假设且.8.一元二次不等式的解集是，则_____________.【答案】0【解析】由题意可知的两个根分别是，且，故，所以.9.关于的不等式的解集有下列结论，其中正确的是______．①可以是；②可以是；③可以是；④可以是．【答案】②④【解析】对于①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故①错误；对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是，故②正确；对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；对于④：假设结论成立，则，解得，此时不等式为，即，解得，符合题意，故④正确．10.已知关于的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数_______.【答案】【解析】因为一元二次方程的两个实根分别为和，所以，解得或，所以，又因为，所以，即，解得或（舍去）.11.若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意可知，不等式对任意的恒成立，由绝对值三角不等式可得，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.12.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则的取值范围是___________.【答案】.【解析】类比图像法解不等式，画出和，若对任意都有，则应为增函数，所以两个函数图像应如下图所示：由图像得，解得其中，所以，当且仅当时等号成立，故的范围为.二、选择题13.“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】因为“”可以推出“”，而“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.14.不等式的解集不可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当a>0时，，则，不等式解集为；当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集；当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为；当时，，则，不等式解集；故不等式解集不可能为.故选：C.15.已知集合，则满足集合S共有（）个.A.3 B.4 C.7 D.8【答案】D【解析】因为，，所以，，所以满足条件的集合为：，，，，，，，，共8个.故选：D.16.设集合，，，，其中，下列说法正确的是（）A.对任意，是的子集，对任意，不是的子集B.对任意，是的子集，存在，使得是的子集C.对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集D.对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集【答案】B【解析】解对于集合，，可得当即可得，即有，可得对任意，是的子集；当时，，，可得是的子集；当时，，，可得不是的子集；综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.故选：B.三、解答题17.求下列不等式解集．（1）（2）解：（1）由，所以，不等式解集为.（2）由，则或，所以或，故不等式解集为.18.已知集合，全集．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，因为，所以，.（2）因为，所以，当时，满足，此时，得，当时，因为，所以，解得，综上，或，即实数a的取值范围为.19.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）当时，可得；当时，可得；所以.（2）若，则，所以当时，万元；若，则，当且仅当，即台时，等号成立，万元；因为，所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.20.已知二次函数.（1）若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值；（2）若对任意都有成立，求实数取值范围；（3）若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围.解：（1）由题意得，即或，因为，所以，解得或4（舍去），所以.（2）由题意得对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，令，则.当且仅当即时等号成立，所以即.（3）当即时，经检验满足题意；当即或时，由得即，经检验不合题意；综上的取值范围为.21.在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为．（1）动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围；（2）动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值；（3）动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标．解：（1）由已知，则根据“曼哈顿距离”定义得，，，当时，成立，解得；当时，，解得；当时，，解得，综上所述点的横坐标的取值范围是.（2）设出动点，则，