河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.已知的三个顶点分别为，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】由可得，，因，故，解得.故选：D.3.若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，是空间的一个基底，A选项，由于，所以共面，A选项错误.B选项，由于不存在实数，使得，所以不共面，所以B选项正确.C选项，由于，所以共面，C选项错误.D选项，由于，所以共面，D选项错误.故选：B.4.已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】A【解析】由题得.故选：A.5.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（）A.93 B.92 C. D.【答案】D【解析】8名学生的成绩从低到高依次为，且，故上四分位数为.故选：D.6.在中，角的对边分别为，若，则（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】因为，所以，而，在中，，所以，故，由余弦定理得，代入得，，故，故，故B正确.故选：B.7.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设第次拨号拨对号码.拨号不超过两次就拨对号码可表示，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为.故选：B.8.已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点，分别记为，连接，如图所示，根据正方体的性质易知六边形为正六边形，此时的中点为该正六边形的中心，且平面，当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大.设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以，所以，圆锥的底面积，圆锥的高，所以圆锥的体积.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题为真命题的有（）A.若，则B.若，则C.若，则或D.若，相交，则【答案】BC【解析】对于A，若，，则直线可能相交或平行或异面，故A错误.对于B，若，则，故B正确.对于C，若，则或，故C正确.对于D，若相交，则或与相交，故D错误.故选：BC.10.已知事件两两互斥，若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，因为事件两两互斥，所以，故A错误.对于B，由，得，故B正确.对于D，由，得，故D正确.对于C，因为，所以C正确.故选：BCD.11.已知厚度不计的容器是由半径为，圆心角为的扇形以一条最外边的半径为轴旋转得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（）A.棱长为的正方体B.底面半径和高均为的圆锥C.棱长均为的四面体D.半径为的球【答案】AC【解析】设扇形所在圆的半径为，对于A，设正方体的棱长为，如图，则可容纳的最长对角线，解得，故A正确.对于C，如图，取三段圆弧的中点，则四面体的棱长均为2m，所以可以容纳，故C正确.对于B，如图，同选项C的分析，的外接圆半径为，所以不可以容纳，故B错误.对于D，如图，设球的半径为，按正中间剖开所得的轴截面，如图，可知圆与圆内切，，解得，所以不可以容纳，故D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭体积为13，则该方亭的高是______.【答案】3【解析】设正四棱台的高为.因为，所以方亭的体积，解得.13.在空间直角坐标系中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】【解析】依题意可得，则，故异面直线与所成角的余弦值为.14.在中，点在边上，，则的外接圆的半径为______.【答案】【解析】设，则，由，得，即，又，所以，即，又，所以，所以，则，所以，所以，则外接圆的半径为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在内的学生有10人.（1）求频率分布直方图中和的值；（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.解：（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为，则，由各组频率之和为1，可知，解得.（2）前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以样本数据的中位数在第4组，设为，所以，解得，估计样本数据的中位数是72分钟；估计平均数分钟.16.在中，角的对边分别是，已知.（1）证明：.（2）若的面积为1，求.解：（1）由可得，故，,即,由正弦定理可得，故.（2）由可得，故,结合得,故，又,故，故，由余弦定理可得.17.如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）连接，因为平面，平面，所以，，，由勾股定理得，，因为，所以.又四边形是菱形，，所以是正三角形，所以.由，得是正三角形，.所以，即.由平面，平面，可得.因为，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为，所以，则，，设是平面的一个法向量，由得取，可得.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.在正四棱柱中，已知，点分别在棱上，且四点共面，.（1）若，记平面与底面的交线为，证明：.（2）若，记四边形的面积为，求的最小值.解：（1）连接，因为，所以，则.在正四棱柱中，易知，所以四边形是平行四边形，从而.又平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）由正四棱柱对面平行，根据面面平行的性质可得，即四边形为平行四边形.以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.，则，，，化简可得.因为，所以，整理得.由，可得.，易知在上单调递减，所以当时，，当且仅当时，取得最小值.19.给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点.（1）已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点；（2）若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围；（3）若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值.解：（1）点不是关于的一组稳定向量基点