广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，则集合A的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】由题意，，则子集个数为.故选：D.2.设，则“”是“”的（）A充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】由题知，则同号，当时，有，当时，有，故能推出，当成立时，又，对不等式两边同时乘以可得，故“”是“”的充分必要条件.故选：C.3.下列各组中的两个函数是同一函数的是（）①，；②，；③，；④，．A.①② B.②③ C.③ D.③④【答案】C【解析】对于①中，函数与，则两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于②中，函数，与的对应关系不同，所以不是同一函数；对于③中，函数，与，可得两函数的的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于④中，函数，与，可得两函数的的定义域不同，所以不是同一函数．综上，是同一函数的只有③．故选：C．4.学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（）人．A.3 B.9 C.19 D.14【答案】C【解析】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得：，解得，所以只参加一项比赛的有人.故选：C．5.下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若,，则【答案】D【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，满足，但，故B错误；对于C，因，，由，可得，故C错误；对于D，由，得，因，则，故D正确．故选：D．6.已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（）A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]【答案】D【解析】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得，解得.故选：D.7.已知关于x的方程，下列结论错误的是（）A.方程无实数根必要条件是B.方程有一正一负根的充要条件是C.方程有两正实数根的充要条件是D.方程有实数根的充要条件是或【答案】D【解析】A选项，方程无实数根的充要条件是，解得，，故必要条件是，故A正确；B选项，方程有一正一负根的充要条件是，解得，B正确；C选项，方程有两正实数根的充要条件是，解得，C正确；D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误.故选：D．8.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】由两个正实数满足，得，则，当且仅当，即时取等号，又由不等式有解，可得，解得或，所以实数的取值范围为或.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知均为实数，则下列命题正确的是（）A.若则B若则C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】若，则，又，则，A选项正确；若，满足，但，不成立，B选项错误；若，，满足，但，不成立，C选项错误；，则，又，∴，即，D选项正确.故选：AD.10.下列说法正确的是（）A.命题“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一个元素，则C.关于的不等式的解集，则不等式的解集为D.“”是“”的充分不必要条件【答案】CD【解析】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设a=-1，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.故选：CD.11.设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点P，如图，则下列说法正确的是（）A.矩形的面积有最大值 B.的周长为定值C.的面积有最大值 D.线段有最小值【答案】BCD【解析】对于选项A：设，则，因为，所以．矩形的面积，因为，所以无最大值．故A错；对于选项B：根据图形折叠可知与全等，所以周长为．故B正确；对于选项C：设，则，有，即，得，，当时，取最大值．故C正确；对于选项D：因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为______.【答案】【解析】由题意得，解得且，所以函数的定义域为.13.若，则=____________【答案】【解析】由题设，根据集合元素的互异性，所以=.14.若函数y=fx在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围______________________．【答案】【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，若，则，由，即函数在有两个不等的实数根；设，所以，解得．若，则，由，两式相减可得，所以，从而，即，同理可得，设，所以，解得．综上可得，实数的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合.（1）求（2）；（3）若，求实数a的取值范围.解：（1）因为，所以，.（2）由（1）知，所以，由，得，所以.（3）由，可得，又，所以，解得，所以实数的取值范围为．16.已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.（1）求集合；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，即，解得，故集合.（2）由是的必要不充分条件，可知，当时，既，解得，此时满足，当时，如图所示，故且等号不同时成立，解得，综上所述，的取值范围是.17.某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.（1）若矩形草坪长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.解：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以，又，所以，解得，所以宽的最大值为10米.（2）记整个绿化面积为S平方米，由题意得，，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米.18.函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.（1）求的值；（2）用定义证明在上是减函数；（3）当时，求函数的解析式.解：（1）因为时，函数的式为，所以，因为为上的奇函数，所以.（2）证明：设，则，所以，因为时，，则，所以，所以在上是减函数.（3）当时，，则，所以.19.若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”．（1）函数①；②；③，其中函数是在上的“美好函数”；（填序号）（2）已知函数．①函数是在上的“美好函数”，求的值；②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；（3）已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．解：（1）对于①，当时，，当时，，∴，符合题意；对于②，当时，，当时，，∴，不符合题意；对于③，当时，，当时，，∴，不符合题意.故答案为：①.（2）①二次函数对称轴为直线，当时，，当时，，当时，则当时，随的增大而增大，，，当时，