苏科版九年级数学上册压轴题：图形的位似（原卷版+解析）

专题12图形的位似压轴题六种模型全攻略

聚焦考点

考点一位似图形相关概念辨析考点二判断位似中心及求解位似中心

考点三求位似图形的对应坐标考点四求两个位似图形的相似比

考点五在坐标系中画位似图形考点六在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长

比或面积比

典型例题：

............

考点一位似图形相关概念辨析

例题：（2023•河北•九年级专题练习）△ABC和VAFG是位似图形，位似中心是点O,下列说法不正确的是

()

4.AB//ABB.AA//BB'

C.直线CC'经过点。D.直线A4，、88'和CC'相交于一点

【变式训练】

1.（2022・全国•九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2：3,点A,

5的对应点分别为点4,B'.若A5=6,则4s的长为（

B'

D.15

2.（2022•山东滨州,九年级期末）如图，以点。为位似中心，把44BC放大2倍得到VAFC.下列说法错误

的是（）

4.△ABC^AA,B,C,B.AO:AAr=l:2

C.AB//ABD.直线CC'经过点O

考点二判断位似中心及求解位似中心

例题：（2021•北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（

A.点P8•点。

【变式训练】

1.（2022•四川德阳•二模）如图，将的三边分别扩大一倍得到0Alsc1（顶点均在格点上），它们是以尸

点为位似中心的位似图形，则尸点的坐标是.

2.（2021・全国•九年级课时练习）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，AABC与VAB9是关于点。为

位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

（1）画出位似中心点O；

（2）求出AABC与VA8C”的位似比；

（3）以点。为位似中心，在图中画一个使它与AABC的位似比等于3团2.

考点三求位似图形的对应坐标

例题：（2021•湖南・李达中学九年级阶段练习）已知和小。4是以点。为位似中心的位似图形,SSAOB

和AAQBI的周长之比为1：2,点8的坐标为（-1,2）,则点片的坐标为（）

A.（-2,4）B.（—1,4）或（2,-4）C.（2,-4）D.（2,-4）或（—2,4）

【变式训练】

1.（2022•吉林吉林•九年级期末）如图，AABC三个顶点的坐标分别为A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,

以原点。为位似中心，将AABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为

O123456r

2.（2022•河北•泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4,2）,B

（-2,-2）.以坐标原点。为位似中心把她08缩小得到她OS,她1。囱与0A08的位似比为则点A的

对应点Ai的坐标为.

考点四求两个位似图形的相似比

例题：（2022•河北保定师范附属学校九年级期末）如图，四边形ABC。和A'B'C'D'是以点。为位似中心的

位似图形，若0404=2：3,则四边形48。与四边形A'B'C'D的面积比为（）

【变式训练】

1.（2022•重庆南开中学三模）如图,在平面直角坐标系中,SABC与SDEC位似，点C为位似中心,CD=3AC,

若AABC的面积是1,贝必。EC的面积是（）

A.3B.4C.9D.16

2.（2022•重庆•中考真题）如图，AABC与ADEF位似，点。为位似中心，相似比为2:3.若AABC的周长为

4,则ADEF的周长是（）

E

O

A.4B.6C.9D.16

3.（2022・贵州黔西•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△。"与AOCD位似，位似中心是坐标原点O.若

点A（4,0）,点C（2,0）,则AQAB与AOCD周长的比值是.

考点五在坐标系中画位似图形

例题：（2022•四川•渠县崇德实验学校九年级期末）如图，菱形ABC。与菱形A是位似图形，若4。=6,

A'D,^4,则菱形ABCD与菱形ABC。的位似比为.

【变式训练】

1.（2022•全国•九年级专题练习）如图，点A,。在0XOF的边OX上，点3,E在OF边上，射线OZ在胤VOF

AC5

内，且点c,F在OZ上，ACSDF,BCSEF.—=y.

⑴试说明AABC与△。灯是位似图形;

⑵求AA8C与△£）£/的位似比.

2.（2022•全国•九年级专题练习）如图，0ABe与SDOE是位似图形，A（0,3）,2（-2,0）,C（1,0）,E

（6,0）,0ABe与0£）。£的位似中心为

⑴写出。点的坐标;

(2)在图中画出M点，并求M点的坐标.

考点六在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比

例题：(2022•全国•九年级专题练习)如图，回48。三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,0),O(0,

0),以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与回的位似比为

【变式训练】

1.(2022•黑龙江•绥棱县绥中乡学校九年级期末)如图所示的平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分

别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求1S|图：

⑴以坐标原点。为旋转中心，将AABC顺时针旋转90。，得到"gG，请画出"BG;

⑵以坐标原点。为位似中心，在无轴下方，画出AA8C的位似图形△4B?G，使它与AABC的位似比为2：1.

2.(2021•江苏,仪征市古井中学九年级期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中,

⑴画出△ABC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A4C；

⑵以点B为位似中心，将AABC放大为原来的2倍，得到A&BC2，请在网格中画出A&BC2；

⑶直接写出△CGG的面积，及4，4的坐标.

课后训练

一、选择题

1.(2021•陕西•渭南初级中学九年级期中)如图，AAOB与△COD是以点。为位似中心的位似图形，相似

比为1:2,若42,1),则点C的坐标为()

4.(1,2)B.(2,1)C.(2,4)D.(4,2)

2.(2022•全国•九年级课时练习)下列三个关于位似图形的表述：

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似

图形；

其中正确命题的序号是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

3.（2022•山西太原•九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC。与四边形AECD是位似图形.位

似中心是（）

A.（8,0）B.（8,1）C.（10,0）D.（10,1）

4.（2023•浙江•翠苑中学九年级阶段练习）如图四个图中，AABC均与AAB'C相似，且对应点交于一点，则

△ABC与AAEC'成位似图形的有（）

A.1个8.2个C.3个D4个

二、填空题

5.（2020•海南省直辖县级单位•九年级期末）如图所示,△ABC与△AB'C是位似图形，点。是位似中心，若

OA=­OA',S&ABC=2,贝USAA.BV,=

6.（2022•甘肃・平凉市第十中学九年级阶段练习）如图，以点。为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五

边形AB'CITE,已知。4=10cm,04'=20cm,则五边形ABCDE的周长与五边形的周长比是

k

7.（2022・福建・宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图，A是反比例函数（x>0）图像上一点，

x

点、B、。在y轴正半轴上，是△COD关于点。的位似图形，且与△COD的位似比是1：3,

△ABD的面积为1,则该反比例函数的表达式为.

8.（2022•全国•九年级课时练习）如图，在正方形ABCD和正方形OEFG中，点。和点尸的坐标分别为（7,3）,

（-1,-1）,则两个正方形的位似中心的坐标是.

三、解答题

9.（2022•广东・江门市第二中学九年级开学考试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，

与AAB'C'是以点。为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

（1）画出位似中心点O；

（2）直接写出EA8C与△AEC'的位似比；

（3）以位似中心。为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系

10.（2022•安徽亳州•九年级期末）如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给

出了三角形ABC.

（1）作出AABC关于x轴对称的^AB'C；

（2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出△A'3'C'的位似图形△A"g'C"，使^AB'C与AA"B"C"的

位似比为1：2；

（3）若"IBC的面积为3.5平方单位，求出入中岁二的面积.

11.（2022•山东•济南外国语学校九年级阶段练习）如图所示，小华在学习（图形的位似）时，利用几何画

板软件，在平面直角坐标系中画出了AABC的位似图形耳G.

⑴在图中标出AABC与的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；

⑵若以点。为位似中心，△人］与。与△4与C2是位似图形，且△AeG与△A/K?的位似比为2:1,则满足

条件的当点坐标为.

⑶请你帮小华在图中给定的网格内画出△&&&.

12.（2022•山西晋中•九年级期末）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面

直角坐标系中画出了AABC的位似图形△ABCi.

（1）在图中标出AABC与△A^C］的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；

（2）若以点4为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出的位似图形△4鸟。2，且44耳G

与2c2的位似比为2：1.

13.（2022•全国・九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=加+6尤+。与x轴相交于A、B

两点，与y轴相交于点C（0,3）.且点A的坐标为（-1,0）,点8的坐标为（3,0）,点尸是抛物线上第

一象限内的一个点.

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵连P。、PB,如果把回尸。8沿08翻转，所得四边形POP3恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在

点。，使团与SPOB相似？若存在求出点。的坐标；若不存在，说明理由；

⑶若（2）中点Q存在，指出回QA3与SP0B是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标.

专题12图形的位似压轴题六种模型全攻略

聚焦考点

考点一位似图形相关概念辨析考点二判断位似中心及求解位似中

心

考点三求位似图形的对应坐标考点四求两个位似图形的相似比

考点五在坐标系中画位似图形考点六在坐标系中求两个位似图形

的相似比、周长比或面积比

'典型例题

*«■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■*1*

考点一位似图形相关概念辨析

例题：（2023•河北•九年级专题练习）△ABC和VAEC是位似图形，位似中心是点。，下列

说法不正确的是（）

A.AB//ABB.AA'//BB'

C.直线CC'经过点。D.直线A4'、88'和CC'相交于一点

【答案】B

【分析】依据位似变换的性质逐项判断即可.

【详解】回AABC和VABC关于点O位似，

SAOAB-AOA'B',且直线88'和CC相交于一点。，即选项C、。正确；

如图，作出直线班'和CC,三者交于。点，

根据位似变换的性质有：AB//AB，故A答案合理；

根据位似变换的性质有：A4'和B8'交于点。，故8答案不合理;

故选：B.

【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一个

点，也考查了平行线的判定和相似三角形的性质.

【变式训练】

1.（2022•全国•九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似

比为2：3,点A,8的对应点分别为点4,B'.若A8=6,则Ab的长为（）

【答案】B

【分析】根据位似比的概念解答即可.

【详解】解：•.,图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2:3,

.AB_2

"而一针

■.■AB=6,

:.AB'=9,

故选：B.

【点睛】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比.

2.（2022•山东滨州•九年级期末）如图，以点。为位似中心，把AABC放大2倍得到VAF。.下

列说法错误的是（）

A.△ABC^AA,B,C,B.AO:AA'=1:2

c.AB//ABD.直线CC'经过点。

【答案】B

【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可.

【详解】解：回以点。为位似中心，把AABC放大2倍得到V4FC,

AB//AB,，直线CC'经过点。，49:40=1:2,

EIAO:A4'=1:3,

她、C、。选项说法正确，不符合题意；8选项说法错误，符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质.掌握位似三角形的性质是解题的关键.

考点二判断位似中心及求解位似中心

例题：（2021•北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中

C.点M。.点N

【答案】A

【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心.即位似中心一

定在对应点的连线上.

【详解】点P在对应点M和点N所在直线上，

国两个三角形的位似中心是：点P.

故选A.

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

【变式训练】

1.（2022・四川德阳•二模）如图，将的三边分别扩大一倍得到0Alsc1（顶点均在格点

上），它们是以尸点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是.

【答案】（-4,-3）

【分析】根据位似图形的性质，对应点的连线交于一点则可得出答案.

【详解】解：••・0ABC的三边分别扩大一倍得到0Alsc1（顶点均在格点上），它们是以尸点

为位似中心的位似图形，

则连接4A和耳2并延长相交，交点即为P点，

如图所示，尸点的坐标为：（＜-3）,

故答案为：（-4,-3）.

【点睛】本题考查了位似图形的性质，得出位似图形对应点的连线交于一点是解题的关键.

2.（2021•全国•九年级课时练习）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，AABC与VA9C

是关于点。为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

（1）画出位似中心点O；

（2）求出AABC与VAEC八的位似比；

（3）以点。为位似中心，在图中画一个△4B2G，使它与AABC的位似比等于3团2.

【答案】（1）见解析；（2）（3）见解析

【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线44'、28'的交点

就是位似中心O；

（2）0A8C与0Abe的位似比等于AB与45的比，也等于AB与Ab在水平线上的投影比，

即位似比为3：6=1：2；

（3）要画0A2B2C2,先确定点上的位置,再过点上画A2B2I3AB交09于&,过点A2画A2c2HAe

交OC于C2.

【详解】解：（1）如图所示，点。即为所求；

（2）AABC与VAF。的位似比为：筹=上=1；

（3）如图所示，即为所求.

【点睛】本题考查位似图形的意义及作图能力.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中

心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作

的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

考点三求位似图形的对应坐标

例题：(2021・湖南・李达中学九年级阶段练习)已知她OB和是以点。为位似中心的位

似图形，且朋08和的周长之比为1:2,点8的坐标为(-1,2),则点片的坐标为()

A.(-2,4)B.(—1,4)或(2,-4)C.(2,-4)D.(2,-4)或(—2,4)

【答案】。

【分析】过2作BQBy轴于C,过修作8。盥轴于。，依据0AO8和0A1O耳相似，且周长

BO1

之比为1：2,即可得至437二不，再根据勖0cH34。。，可得OD=2OC=4,B、D=2BC=2,

DyUZ

进而得出点S的坐标为(2,-4)或(-2,4).

【详解】解：如图，过B作BCSy轴于C,过用作用。回y轴于Q,

回点2的坐标为(-1,2),

0BC=1,OC=2,

西4OB和团A。耳相似,且周长之比为1：2,

BO1

[?]---=—.

BtO2

回西。0=回用。。=90°,回30。=回B]0D,

^BOCS^B^D,

0OD=2OC=4,B]D=2BC=2,

回点用的坐标为(2,-4),

同理点(-2,4)也符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的

两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022•吉林吉林•九年级期末)如图，AABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),

C(6,4),以原点O为位似中心，将AABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点尸变换后

【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原

点为位似中心，相似比为匕那么位似图形对应点的坐标的比等于人或比根据此题是线段AC

的中点尸变换后在第一象限对应点的坐标进而得出答案.

【详解】解：三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6,4),

0AC的中点是(4,3),

团将442。缩小为原来的一半，

回线段AC的中点产变换后在第一象限对应点的坐标为：.

故答案为：(2,|)

【点睛】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律，利用图形得出AC的中点坐标

是解题关键.

2.(2022,河北•泊头市教师发展中心九年级期中)如图所示，在平面直角坐标系中，已知点

A(-4,2),B(-2,-2).以坐标原点O为位似中心把0AOB缩小得到与0AOB

的位似比为3,则点A的对应点Ai的坐标为.

【答案】(-2,1)或(2,-1)

【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为上那么

位似图形对应点的坐标的比等于左或小计算，得到答案.

【详解】解胴以坐标原点0为位似中心把a4。2缩小得到耳，AA。耳与她08的位似比

为《，

团点A的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为;或二,

0A(-4,2),

回4的坐标为(一4xg,2xg)或一4d,2x"),即(-2,1)或(2,-1),

故答案为即2,1)或(2,-1).

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中

心的位似图形，如果相似比为女,那么位似图形对应点的坐标的比等于笈或-%是解题的关键.

考点四求两个位似图形的相似比

例题：(2022•河北保定师范附属学校九年级期末)如图，四边形ABC。和AB'C'D'是以点。

为位似中心的位似图形，若。4：04=2：3,则四边形ABC。与四边形AB'CD'的面积比

【答案】A

【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答.

【详解】解：・四边形ABC。和ABC。是以点。为位似中心的位似图形，Q4:OT=2:3,

:.DA:DA=OA:OA=2:3,

四边形ABC。与四边形A8C。的面积比为：（|）2=|,

故选：A.

【点睛】本题考查的是位似变换的性质，解题的关键是掌握位似图形与相似图形的关系、相

似多边形的性质.

【变式训练】

1.（2022•重庆南开中学三模）如图，在平面直角坐标系中，与SDEC位似，点C为位

似中心，CD=3AC,若AABC的面积是1,则的面积是（）

A.3B.4C.9D.16

【答案】C

【分析】结合题意，根据位似的性质计算，即可得到答案.

【详解】回a48c与BDEC位似，点C为位似中心，CD=3AC,

CDI=9

AC

EI448C的面积是1,

团ADEC的面积是9

故选：C.

【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解.

2.（2022•重庆•中考真题）如图，AABC与.DEF位似^点。为位似中心，相似比为2:3.若

△ABC的周长为4,贝!!歹的周长是（）

A.4B.6C.9D.16

【答案】B

【分析】根据周长之比等于位似比计算即可.

【详解】设ADE尸的周长是x,

EAABC与&DER位似，相似比为2:3,AABC的周长为4,

04：x=2：3,

解得：x=6,

故选：B.

【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键.

3.（2022•贵州黔西・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，z/MB与AOCD位似，位似中

心是坐标原点O.若点4（4,0）,点C（2,0）,贝必OAB与AOCD周长的比值是.

【答案】2

【分析】根据位似的定义，即可得出位似比=04：OC,而AQ"与AOCD周长的比值等于位

似比，即可得出答案.

【详解】回AOAB与AOCD位似，位似中心是坐标原点。，点A（4,0）,点C（2,0）

回。4=4,0C=2

回与AOCD的位似比为：4：2=2：1

IBAQW与AOCD周长的比值为：2：1

故答案为：2.

【点睛】本题考查了求位似图形的周长之比，求出位似比是本题的关键.

考点五在坐标系中画位似图形

例题：（2022・四川•渠县崇德实验学校九年级期末）如图，菱形ABC。与菱形ABCD是位似

图形，若AO=6,A/D'=4,则菱形A5CD与菱形A8CD的位似比为.

2

【答案】2：3##§

【分析】根据位似图形的位似比等于对应边的比，即可得出结论.

【详解】解：・菱形ABCD与菱形A5CO是位似图形

4'£）'42

.•.菱形A5C7T与菱形ABCD的位似比=筌===；

AD63

故答案为：2：3.

【点睛】本题考查了位似比的定义，掌握位似图形的相关概念是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022■全国•九年级专题练习）如图，点A,D在回XOF的边OX上，点、B,E在0y边上,

A（J5

射线oz在Eixoy内，且点c,尸在oz上，AC^DF,BC^EF.—=-.

DF7

X

D

0

⑴试说明A48C与2DEF是位似图形;

(2)求AABC与ADEF的位似比.

【答案】⑴证明见详解

(2)7

【分析】(1)根据两直线平行同位角相等得到NDFO=NAC。，NOFE=/OCB,再根据两

条直线被一组平行线(不少于3条)所截，截得的对应线段的长度成比例，最终得到

△ACBsADFE；

(2)根据三角形的相似比等于相应边长的比即可得到答案.

(1)

'：AC//DF,BC//EF,

OA_OC_ACOC_BC

ZDFO=ZACOZOFE=ZOCB

9f而一而一BF'赤一诉

ACBC

・・・NDFE=ZACB,

・・・AACB^ADFE,

因为两个相似三角形的对应点所在直线交于点0,且对应边平行，

・・・AABC与XDEF是位似图形；

(2)

•••△ABC与ADE尸是位似图形，万*=：，

.,.△ABC与△£)斯的位似比为：

【点睛】本题考查平行线和相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方

法及性质.

2.(2022•全国•九年级专题练习)如图，0ABe与是位似图形，A(0,3),8(-2,0),

C(1,0),E(6,0),0ABe与回。。£的位似中心为Af.

⑴写出。点的坐标；

⑵在图中画出M点，并求M点的坐标.

⑵画图见解析，(T,0)

【分析】(1)首先过点。作D"LOE于点H，由AABC与ADOE是位似图形，A(0,3),8(-2,0),

C(l,0),£(6,0),可得3c=3,OE=6,^AOB^ADHO,即可求得位似比，继而求得答案；

(2)首先连接ZM并延长，交无轴于点则点M即为AABC与ADOE的位似中心；然后

根据位似图形的性质，可得MO:M/=1:2,继而求得答案.

(1)

解：过点。作于点

•.•AABC与ADOE是位似图形，A(0,3),8(-2,0),C(l,0),E(6,0),

:.BC=3,OE=6,AACffisADHO,

；・位似比为:3:6=1:2,

:.OH=2OB=4,DH=2OA=6,

・•・。点的坐标为：(4,6)；

(2)

连接D4并延长，交x轴于点则点M即为AABC与ADOE的位似中心；

贝=

设MO=x,贝i]MH=x+4,

.'.x:(x+4')=l:2,

解得：x=4,

.•.”点的坐标为(-1,0).

【点睛】此题考查了位似图形的定义与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意

位似图形是特殊的相似图形.

考点六在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比

例题：(2022•全国•九年级专题练习)如图，回A3。三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B

(-4,0),O(0,0),以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与团48。的位似比为

【答案】见详解

【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角

坐标系描点连接即可

【详解】解：由位似比为《求得：4(-2,4),3(-4,0)对应点坐标分别为4(-1,2),8'(-2,0),

或者A〃(l,-2),*(2,0),

。点是位似中心，所以位置不变，

所以，下图△A'3'O或△A〃8"O都为满足题意的位似图形.

【点睛】本题考查了位似的概念.位似比为对应点到位似中心的距离比.解题关键是根据位

似比找到对应点的坐标.

【变式训练】

1.(2022•黑龙江•绥棱县绥中乡学校九年级期末)如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的

三个顶点坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图：

⑴以坐标原点O为旋转中心，将AABC顺时针旋转90。，得到△44G,请画出△A4G；

⑵以坐标原点。为位似中心，在x轴下方，画出AABC的位似图形△A与G，使它与AABC

的位似比为2：1.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】(1)直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；

(2)直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可.

(1)

解：如图，△A4G即为所求.

y

(2)

解：如图，即为所求.

【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键.

2.(2021•江苏•仪征市古井中学九年级期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格

中，

⑴画出AABC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A4G;

⑵以点B为位似中心，将AABC放大为原来的2倍，得到A&BC2,请在网格中画出

⑶直接写出△CCG的面积，及4，4的坐标.

【答案】⑴画图见解析

(2)画图见解析

(3)9,A(7,9)、A(3,5)

【分析】(1)利用点平移的坐标变换规律写出4、瓦、G的坐标，然后描点即可；

(2)延长8A到4使BA^2BA,延长BC到G使BC?=2BC,从而得到AABC2；

(3)利用三角形面积公式△CC02的面积，然后利用(1)、(2)中所画图形写出片、A的

坐标.

(1)

解：如图所示，即为所求；

(2)

解：如图所示，A48G即为所求；

&

(3)

解：由题意得：S“ccc=gx3x6=9,4(7,9)、4(3,5)

【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别

连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形

的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.也考查了平移变换.

课后训练

一、选择题

1.(2021•陕西•渭南初级中学九年级期中)如图，“103与△COD是以点。为位似中心的位

似图形，相似比为1:2,若42,1),则点C的坐标为()

A.(1,2)B.(2,1)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】D

【分析】根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且都在同一侧的两个位似图形，其坐

标比等于相似比，相似比为1:2,则对应的坐标比也为1:2,即可解得点C的坐标.

【详解】解：；AAOB与△COD是以点。为位似中心的位似图形，相似比为1:2,点A的

坐标为(2,1),

...点C的坐标为(2x2,1x2),即(4,2),

故选：D.

【点睛】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键.

2.(2022•全国•九年级课时练习)下列三个关于位似图形的表述：

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这

两个图形是位似图形；

其中正确命题的序号是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】B

【分析】根据位似图形与相似图形之间的联系和区别去判断即可.

【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；

位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确；

如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行

或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；

位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误；

正确答案为：②③

故选：B.

【点睛】本题考查了位似图形与相似图形之间的联系和区别，如果两个图形是相似图形，且

每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么，这两个图形是位似

图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与

位似中心的距离之比等于位似比.

3.(2022・山西太原•九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'BC'。

是位似图形.位似中心是()

A.(8,0)B.(8,1)C.(10,0)D.(10,1)

【答案】C

【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心.

【详解】解：如图，点E即为位似中心，E(10,0),

故选：C.

【点睛】此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记

定义是解题的关键.

4.(2023・浙江•翠苑中学九年级阶段练习)如图四个图中，AABC均与AAB'C相似，且对应

点交于一点，则AABC与AAB'C成位似图形的有()

A.1个8.2个C.3个O.4个

【答案】C

【分析】直接利用位似图形的性质分析判断得出答案.

【详解】解：图1中，AABC与AAB'C成位似图形；

图2中，I3A3与A8不平行，AC与不平行，回AABC与AA3'C不成位似图形;

图3中，AABC与△AaC’成位似图形；

图4中，AABC与^AB'C成位似图形；

综上，AABC与AAB'C'成位似图形的有图1、图3、图4,共有3个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对

应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对

应点所在直线的交点是位似中心.

二、填空题

5.（2020•海南省直辖县级单位•九年级期末）如图所示，AABC与AAB'C是位似图形，点。

是位似中心，若OA=gOA,=2,则—

【答案】18

【分析】由位似图形的性质可得=（筹11从而可得答案.

△A'B'C\OA79

【详解】解：回AABC与AAB'C是位似图形，

SAABC^AA'B'C',

团点。是位似中心，OA=—OAr

回^^A,B'C=18.

故答案为：18.

【点睛】本题考查的是位似图形的性质，掌握"相似三角形的面积之比是相似比的平方"是解

本题的关键.

6.（2022・甘肃・平凉市第十中学九年级阶段练习）如图，以点。为位似中心，将五边形ABCDE

放大后得到五边形A'B'CD'E,己知。l=10cm,04'=20cm,则五边形ABCDE的周长与

五边形A'3'CD'E'的周长比是.

A'

【答案】1：2

【分析】根据已知可得五边形A2COE的周长与五边形AY'CCTE的位似比，然后由相似多

边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形的周长比.

【详解】,•,以点。为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A®。。？，OA=10cm,

OA'=20cm,

五边形ABCDE的周长与五边形A'B'C'D'E'的位似比为：10：20=1：2,

五边形ABCDE的周长与五边形A'B'C'D'E'的周长比是：1：2.

故答案为1:2.

【点睛】此题考查了位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键.

7.（2022,福建,宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图，A是反比例函数产"（%>0）

X

图像上一点，点8、。在>轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD

与△COD的位似比是1：3,△45。的面积为1,则该反比例函数的表达式为.

Q

【答案】y=?

X

【分析】设点A的坐标为(a,根据位似比即可得出8。的长度，根据△ABD的面积

a

为1,即可求出左的值.

【详解】解：设点A的横坐标为。，

国点A在反比例函数y=-图像上，

X

kk

回点A的纵坐标为反比例函数一，即A(m

aa

kk

(0,则OB=一，AB=a,

aa

回△ABD与△COD的位似比是1：3,

BD1

0=一,

OD3

1八八1kk

^1BD=—OB=—=—,

44a4Q

回△ABD的面积为1,

11k

团一•AB»BD=1,贝!J：——=1,解得：k=S.

224。

Q

回该反比例函数的表达式为：y=-,

x

Q

故答案为：y--

X

【点睛】本题主要考查了三角形的位似以及反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关内容,

通过位似比和三角形的面积求出％的值是解题的关键.

8.(2022・全国•九年级课时练习)如图，在正方形ABCD和正方形OEFG中，点。和点尸的

坐标分别为(7,3),(-1,-1),则两个正方形的位似中心的坐标是.

【答案】。,0)或，m

【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对

应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和£是对应顶点，C和G是对应顶点.

【详解】回正方形ABCD和正方形。跳6中，点。和点尸的坐标分别为(7,3),(-1,-1)

团E(-l,0),G(0,-l),A(4,3),B(4,0),C(7,0)

(1)当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点.

设AG所在的直线的解析式为、=辰+6

4左+Z?=3k=l

解得

b7=-lb=—l

HAG所在的直线的解析式为y=x-l

当y=0时、x=l,所以EC与AG的交点为(1,0)

(2)A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点

设AE所在的直线的解析式为1=区+方

k=»

4左+。=35

—。解得

b=)

5

33

她E所在的直线的解析式为>=]]+：

设CG所在的直线的解析式为>=区+方

74+〃=0,k=-

,1解得7

b=-l

b=-\

财G所在的直线的解析式为y=1x-l

337

y=—x+—x=-

552

联立解得V

；3

广广1

、二一2

73

妫E与CG的交点为(-/,-/)

综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是(1,0)或1g,-

故答案为(1,0)或

【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况

讨论是解题的关键.

三、解答题

9.(2022・广东・江门市第二中学九年级开学考试)如图所示，图中的小方格都是边长为1的

正方形，0ABe与AAB'C'是以点。为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶

点上.

(1)画出位似中心点。；

(2)直接写出0ABe与AA'3'C'的位似比；

(3)以位似中心。为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系

【答案】(1)见解析；(2)2:1；(3)见解析

【分析】(1)各对应点连线所在直线的交点即为位似中心；

(2)任意一对对应边的比即为两三角形的位似比；

(3)以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系即可.

【详解】(1)如图，各对应点连线所在直线的交点即为位似中心。；

(2)-.-OA^A'=12:6=2:1

■-0ABC与AAB'C'的位似比为2:1；

(3)如图，以位似中线为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.

【点睛】本题考查了位似图形位似比与位似中心的确定，注意位似比为所给两三角形对应边

的比，位置不能颠倒，掌握位似图形的性质是解题的关键.

10.（2022・安徽亳州•九年级期末）如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个

单位长度，给出了三角形42c.

（1）作出^ABC关于无轴对称的^AB'C；

（2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出AA'3'C'的位似图形使AAB'C'

与NWEC"的位似比为1：2；

（3）若AABC的面积为3.5平方单位，求出入中岁二的面积.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14平方单位.

【分析】（1）根据轴对称性质即可画出"BC关于x轴对称的AAB'C'；

（2）根据位似图形的性质即可画出AAB'C以点。为位似中心的位似图形,

AAB'C'与△AEC"的位似比为1：2;（3）利用相似三角形的性质计算即可.

【详解】解：（1）如图，AA'B'C',即为所求作；

(2)如图，AA"B"C",即为所求作；

(3)0AA'B'C与△A»B"C"的位似比为1：2,

A'E1

团回△A〃5〃C〃，-^=-,

qA%1

团=W="

EAABC的面积为3.5平方单位，即AAB'C'的面积为3.5平方单位,

回八4"8"（7’的面积为：2S-A”=4x3.5=14平方单位.

【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

H.（2022•山东•济南外国语学校九年级阶段练习）如图所示，小华在学习（图形的位似）时,

利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了AABC的位似图形与G.

⑴在图中标出AABC与4A5G的位似中心M点的位置，并写出