高考数学复习：解三角形 学案（含解析）

高考数学复习讲义

课题解三角形（含答案解析）

ninAsinB»inC

正弦

定理

?-26cc<»A

-2COCOMB

'--2abm»C

。知三边求三角）

’已知两边和它们的夹'

角，求第三边和其他角］

三角形中的几何计算）（求三角形的面积问题］

知识点一：三角形中的边与角之间的关系

约定：AABC的三个内角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c.

1.边的关系：

（1）两边之和大于第三边：a+b>c,a+c>b,c+b>a；

两边之差小于第三边：a-b<c,a-c<b,c-b<a；

（2）勾股定理：AABC中，/+从=。20c=9o。.

2.角的关系：

MBC中，A+B+C=7T,-+-+

2222

(1)互补关系：

sin(A+B)=sin(»-C)=sinC

cos(A+B)=cos("-C)=-cosC

tan(A+B)=tan(»-C)=-tanC

(2)互余关系：

.A+_B.7iCC

sin-------=sin(--------)=cos——

2222

A+57iC.C

cos-------=cos(--------)=sin——

2222

A+57iCC

tan-------=tan(--------)=cot——

2222

3.直角三角形中的边与角之间的关系

放AABC中，。=90。(如图)，有：

sinA=—,sinB=—,sinC=l=—,

ccc

ba

cosA=—,cosB=—,cosC=0.

cc

知识点二：正弦定理、余弦定理

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即:

a=2RsinA

a_bc=2H(H为AABC的外接圆半径)^\b=2RsmB

sinAsinBsinC

c=27?sinC

2.余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即:

,b2+c2-a2

cosA=--------------

a~=b2+c2-2bccosA2bc

a2+c2-b1

Z?2=a2+c2-2accosB>n<DcosB=--------------

lac

c2=a2+b2-labcosC

a-vb2-c2

cosC二-----------

lab

注：

(1)正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.

(2)利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；

②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边.

(3)利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；

②已知三角形的三条边，求其三个角.

(4)利用余弦定理判断三角形形状：

①勾股定理是余弦定理的特殊情况，片+/=。=90°=cosC=0.

7,22_2

②在A4BC中，c?+/〉/=cosA=^-------〉0=A<90°,所以A为锐角;

2bc

若/+。2>/,/+尸〉。？，同理可得角8、c为锐角.

当l+c?〉/,a2+b~>c2,c2+廿>/都成立时，AABC为锐角三角形.

7,22_2

③在MBC中，若</ocosA=^-------<00A〉90°,

2bc

所以A为钝角，则AABC是钝角三角形.

同理：若/+02<。2,则AABC是钝角三角形且6为钝角；

若/+/<02,则AABC是钝角三角形且C为钝角.

知识点三：解斜三角形的类型

1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.

2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在AABC中，已知和角A时,

解的情况如下：

a<bsinA无角星

a=bsinA一解（直角）

⑴若A为锐角时：

bsinA<a<b二解（一锐，一钝）

a>b一解（锐角）

如图:

a<b无解

（2）若A为直角或钝角时：《

a>b一解（锐角）

3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.

4.己知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.

注：

1.在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时,

有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出

正确取舍.

2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边

关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉,

要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能.

知识点四：三角形面积公式

1.S=^a-ha（均表示a边上的高）；

2.S=-absinC=­acsmB=—Z?csinA；

222

知识点五：实际问题中的常用角

1.仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视

线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：

铅|/视线

仙角

垂心一水平线

2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.方位角的取值范围为0°-360°.

如图，点3的方位角是a=135°。

3.坡角和坡度

坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字

母i表示。坡比是坡角的正切值。

【典型例题】

类型一、正弦、余弦定理在解三角形中的应用

例1.在△/比■中，AB=2,AC=3,ABBC=1,则8c=()

A.V3B.yjC.2V2D.V23

【思路点拨】画出示意图，注意向量数量积的夹角是打一5.

【答案】A

【解析】-：ABBC=1,:.2-\BC\-cos（7r-B）=l,

.,.忸■cosB=——,

由余弦定理有32=2?+忸一2x2忸C|cosB,

|^C|"=3,仄而BC=6.

【总结升华】

本题主要考查余弦定理以及三角形中有关的向量和三角函数的应用.

举一反三：

【变式1】在△ABC中，a=l,b=2,COsC=—,则c=；sinA=

4--------

【答案】：在AABC中，a=l,b=2,cosC=-,

4

:.由余弦定理得：c2=a2+b2—2abcosC=l+4—1=4,即c=2；

VcosC=-,C为三角形内角，

4

/.sinC=71-cos2C=叵

,V15

lx-----

a.asinC

由正弦定理」■——得：smAA=--------___4_

sinCsinA2

故答案为：2；

8

【变式2】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c。若偿―及=/ibc,sinC=2^sinB,则

A=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【解析】sinC=26sinBnc=2四,

a2-b2-y/3bc=>a2-b2-c2-6bc—c1=>b2+c2-a2—c2-6bc,

.,b-+c--a22-j3bcc28c62框出6

..cosA---------------=-----------=------------=----------=-------------=—

2bc2bc2bc22b2222

.,.在AABC中，ZA=30°.

例2.在AABC中，试确定满足下列条件的三角形的形状。

,、abc

(1)-----=-----=------；

cosAcosBcosC

(2)acosA=bcosB；

(3)(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sin6cosC.

【思路点拨】(1)考虑用正弦定理将边化为角；(2)正弦、余弦定理都可以选用；(3)由

(a+Z?+c)S+c-a)=3bc可以先化简，再考虑用余弦定理.

、上。b27?sinA27?sinB

【解析】(1)由-----=------得--------=--------

cosAcosBcosAcosB

整理得：sinAcosB-cosAsinB

即sin(A—6)=0,A=5

同理可得3=C,

所以AABC为等边三角形.

(2)方法一：化边为角

ah

由正弦定理得：---=2R

sinAsinB

即Q=2AsinA,b=2RsinB

VacosA=bcosB,

:.27?sinAcosA=27?sinBcosB

即sin2A=sin25

*/A>BG(0,")

7C

・・・2A=25或2A+25=»,即A=5或A+5=—

2

故AABC为等腰三角形或直角三角形。

方法二：化角为边

722_2=6/+—一方

由余弦定理得分一。

2bc2ac

整理得：(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,

即cr-b2=Q^a2+b2=c2

故AABC为等腰三角形或直角三角形。

(3)(<7+/?+c)(b+c—ci)=3bc(b+c)—ci~—3bc即bc~~ci—be

VcosA=b+c~a=-,AA=60°

2bc2

又sinA=2sinBcosC

sin(B+C)=2sinBcosC,即sin(B-C)=0

5=C即JB=C=A=60

故AA5C是正三角形.

【总结升华】依据正、余弦定理定理的结构特点，若在式子中出现的为与边相关的一次式，则一般多用正

弦定理，如果利用余弦定理，将角的关系转化为边的关系，则需要有较高的恒等变形能力（比如第2小题）；

若在式子中出现的为与边相关的二次式，则一般多用余弦定理.

举一反三：

【变式1］已知AABC中,bsinB=csinC,且sin?A=sin2B+sin2C,试判断三角形的形状.

【答案】AABC为等腰直角三角形

【解析】•；bsinB=csinC,由正弦定理得sin2B=sin2C,sinB=sinCB=C

由sin2A=sin2B+sin2C得a~=b2+c~

•••三角形为等腰直角三角形.

tanA2

【变式2】在AABC中，若如上=彳，则4ABC的形状是（）

tan5b2

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.不能确定D.等腰三角形

【答案】B

sinAcosBsin2AcosBsinA.„

【解析】---------------=——T-，-------=-------,sinA4cosA=sin«cosB

cosAsinBsinBcosAsinB

sin2A=sin2B,2A=25或2A+IB=n

类型二、有关解三角形的综合应用

cosA-2cosC2c-a

例3.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

cosBb

（1）求吧c的值;

sinA

(2)若cosB=L,b=2,求aABC的面积S.

4

【思路点拨】(1)利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后求得sinC与sinA的关系式，

则史上的值可得；(2)先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用(1)中的结论和正弦定理求得

sinA

a和c的另一个关系式，最后联立求得a和c,利用三角形面积公式即可得面积S.

ahc

【解析】(1)由正弦定理，设二一-=--=k,

sinAsinBsinC

„,2c-a2ksinC-ksinA2sinC-sinA

贝ij-----=--------：--------=------：-------,

bksinBsinB

〜…cosA-2cosC2sinC-sinA

所以--------------=------：-------.

cosBsinB

即(cosA-2cosC)sin5=(2sinC-sinA)-cosB,

化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).

又A+B+C=兀，所以sinC=2sinA.

l.,,sinC〜

因此I---二2.

sinA

,、,sinC-

(2)由—...=2得c=2a.

sinA

由余弦定理bJa'c?—2accosB及COS5=',b=2,

4

得4=/+4/—4/x，,解得a=l,从而c=2.

4

又因为cos5=工，且OVBV兀，所以sinB=，^m.

44

因止匕S--acsmB=2义1义2义」^=.

2244

【总结升华】处理三角形中的三角函数求值时，要注意角的范围与三角函数符号之间的联系与影响.本题主

要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用，考查学生的基本分析能力及计算能力.

举一反三：

【变式1】在AA6C中，NA、ZB、NC所对的边长分别为a、b、c,设a、氏c满足条件

+。2一匕。=。之和£=工+6,求NA和tanB的值.

b2

T2.221

【解析】由余弦定理cosA=^~°一,因此，NA=60°

2bc2

在AABC中，ZC=180°-ZA-ZB=120°-ZB.

由已知条件，应用正弦定理工+6=把£=sm(120°—3)

2bsinBsinB

sin120°cosB-cos120°sin5„1〜曰八。八1

=-----------------------------------=——cotB+-,解得cotB=2,从而tanB=—.

sinB222

冗

【变式2】AA5C中，A=—,BC=3,则AA5C的周长为()

3

A.4A/3sin(B+-)+3B.sin(B+-)+3

7t7t

C.6sin(Bd——)+3D.6sin(BH——)+3

66

【答案】D

【解析】/=a+〃+c=3+Z?+c=3+2H(sin5+sinC)

3

=3+------[sinB+sin(l200-B)]

.71

sin—

3

=3+-^(sinB+^-cosB+^sinB)

JI

=3+6sin(B+—).

———1

例4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知3ABe=2,cosB=—,b=3,求:

3

(1拈和。的值；(II)cos(B—C)的值.

23

【答案】(I)a=3,c=2,(II)—.

27

【思路点拨】(1)由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；(2)画出简易图，将已

知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角C的正弦值.

ff1

【解析】(I)VBABC=2,cosB=一,

3

c*acosB=2,即ac=6①，

・「b=3,

・•・由余弦定理得：b2=a2+c2—2accosB,即9=a2+c2—4,

a2+c2=13(2),

联立①②得：a=3,c=2；

(II)在aABC中，sinB=A/1-COS2B=

4V2

由正弦定理一--二--—得：sinC=—sinB=2义2口

sinBsinCb33~9~

：a=b>c,；.C为锐角,

7

9

,17,2V24V223

贝cos(B—C)=cosBcosC+sinBsinC=—X—+----x-----=——.

393927

【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质

把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.

举一反三：

【变式】在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2«sinA=（2）+c）sinB+（2c+b）sinC

（I）求A的大小；

（II）求sin8+sinC1的最大值.

…2万

【答案】（I）—,（II）1

3

例5.如图，A,B是海面上位于东西方向相距5（3+班）海里的两个观测点.现以、

北彩/^北

位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B步-----

点南偏西60。且与B点相距20』海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速乙

度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多少时间？°

【思路点拨】在4DAB中，由正弦定理得———=———,由此可求得。B；然后在4DAB中，由

sinZDABsinZADB

余弦定理可求得CD；最后根据时间=路程'速度，即可求得该救援船到达D点需要的时间.准确找出题目中

的方向角是解题的关键之处.

【解析】由题意知A3=5（3+百）（海里），

ZDBA=90°-60°=30°,ZDAB=90°-45°=45°,

.•.ZADB=180°-（45°+30°）=105°,

在4DAB中，由正弦定理得———=———,

sinZDABsinZADB

…ABsinZDAB5(3+6)•sin45°_5(3+0)•sin45。

：.DB=------------------

sinZADBsin105°sin45°cos600+cos450+sin60°

56(6+1)

=10A/3(海里).

6+1

2

又/DBC=/DBA+/ABC=30°+（90°-60°）=60°,BC=20石海里，

在△DBC中，由余弦定理得

CD"=BD2+BC2-2BD-BCcos/DBC=300+1200-2x1073x2。旧x-=900,

2

30

/.CD=30（海里），则需要的时间/=——=1（小时）.

30

【总结升华】对图形进行有效的分析，便于使用正弦、余弦定理.

举一反三：

【变式】如图，甲船以每小时30后海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于

4处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向用处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达4处时,

乙船航行到甲船的北偏西120。方向的层处,此时两船相距10日海里，问乙船每小时航行多少海里？

【解析】如图，连结

北

120*

1

VA.B,=10A/2,AA=—X30A/2=10A/2,ZB,=60°

~60

"人耳是等边三角形，ZBlAiB2=105。—60。=45。，

在儿4,44中，由余弦定理得：

病川；+4星-244~2345。=2。2+（1。回-2><2。><1。瓜¥=2。。，

**•B[B?=10A/2.

因此乙船的速度的大小为应lx60=30V2

20

答：乙船每小时航行30后海里.

【复习训练】

一、选择题

1.在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若（/+，—/川口j?=43ac,则角B的值为（）

,71八7Cc兀—&57rc7T_p,27r

A.—B.—C.一或一D.一或——

636633

2.在△ABC中，若。=7,b=8,cosC=瓦，则最大角的余弦是（）

3.在誉中，■・・则三角形为（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

4.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是工、—.则此人将（）

13115

A.不能作出满足要求的三角形B.作出一个锐角三角形

C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形

5.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20nl的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯

角为45°,那么塔AB的高度是（）

A.20（1+号）mB.20（1+芋）mC.20（l+73）mD.30m

6.AABC中，lga-lgc=lgsin_B=-；lg2,B为锐角，则△八!3（2是（）

A、等腰三角形B、直角三角形

C、等腰或直角三角形D、等腰直角三角形

3

7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,如果2b=a+c,ZB=30°,ZkABC的面积为一，那么b等

2

于（）

A.B.1+73C.D.2+73

22

二、填空题

TTJI

8.若AABC中，已知AB-AC=tanA,当人=一时，ZkABC的面积为.

9.在锐角^ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若@=6cosC,则包或+晒©的值是

abtanAtanB

10.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b—c=—a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.

4

11.在AABC中，D为边BC上一点，BD=-DC,ZADB=120°,AD=2。若△ADC的面积为3-6，则/

2

BAC=________

三、解答题

12.在AABC中，已知4=2百，c=V6+V2,8=60°,求b及A

13.在AABC中，角A、B、C所过的边分别为a、b、c且cosA=」。

3

(1)求sir?'+0+2cos2A的值;

2

(2)若a=6，求be的最大值.

4

14.设AABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cos3=—,b=2。

5

(1)当a=2时，求角A的度数；

3

(2)求AABC面积的最大值。

15.(2014重庆高考)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.

(1)若2=2,b=—,求cosC的值；

2

B99

(II)若sinAcos?2+sinBcos22=2sinC,且AABC的面积S=gsinC,求a和b的值.

【答案与解析】

1.【答案】D

【解析】由（片+02——2）tanB=V§flc得3+1—卜）=《I您g即355=^3cosB

2ac2sinB2sinB

.•.sin3=且，又B为AABC的内角，所以B为2或二

233

2.【答案】C

【解析】/=储+〃-2abcosC=9,c=3,B为最大角，cosB=--

7

3.【答案】C

【解析】由余弦定理可将原等式化为

4.【答案】D

【解析】设三角形三边长为a,b,c,

根据三角形面积相等得5=！。・'=！c•工=工6°,

21325211

/.a=26S,c=10S,b=22So

由大角对大边得26S对应的角最大，

(10S)2+(22S)2-(26S)2

cosA=金＜0。

2•IOS・22S110

又卜e（0,兀），「.NA为钝角，「.D正确.

5.【答案】A

【解析】如图所示，由已知得四边形CBMD为正方形，而CB=20m,

ABM=20m

又在RtZXAMD中，DM=20m,ZADM=30°,

，AM=DMtan30°=—J3m,

3

AB=AM=y73+20=20(1+-T)m

6.【答案】D

【解析】由Igsin3=-；lg2,解出sin5=

,得B=45。，A=135°-C,

2

又由lga-lgc=—，ig2,解出@=

2c2

由正弦定理得空4=受

sinC2

sinA=—sinC,即sin(1350—C)=』

-sinC

22

展开整理得cosC=0,C=90°.

7.【答案】B

［解析］,**2b=a+c,平方得a2+c2=4b2—2ac,

3

又SMM=—且NB=30°,

S=^acsmB=^acsin30°-~~=3

MBC一，

2

得ac=6,a2+c2=4b2—12,

a2+C1—b1b2—4V3

由余弦定理得cosB=巴二~~-=

2ac4一3

又b>0,解得b=1+A/3O

8.【答案】—

12

nh1

【解析】由正弦定理得——=——，解得sinA=—,由a<b得A<B,所以A=—,则

sinAsinB26

7

C=7i-A-B--7i

12

9.【答案】4

【解析】利用正、余弦定理将角化为边来运算，：2+«=6COSC,由余弦定理得

ab

ab2ab2

—tanCtanCsinC(cosA+cosBsinCsinC

而-----+-----

tanAtanBcosCIsinAsinBcosCsinAsinB

c22c22c2)

八/+/一02322'

ab--------c-c

2ab2

10.【答案】一4

4

【解析】在AABC中，

Vb—c=—a①，2sinB=3sinC,

4

・，.2b=3c②，

由①②可得a=2c,b=—.

2

922A2

j2,2_2-c+c—4qi

再由余弦定理可得cosA=——二1=4------------=——

2bc3c-c4

故答案为：.

11.【答案】60°

【解析】由A作垂线AHLBC于H。

1.,SAADC=-DADCsin60°=-x2xDC—=3-73,

222

:.DC=2#-V),XVAHXBC,ZADH=60°,/.DH=ADcos60°=1,

HC=2(0-1)-£>H=26-3。A

又BD，CD,：.BD=y/3-l,：.BH=BD+DH=也。//\\

2/购。1\

BDHC

又AH=ADsin60°=73,

.,.在RtZXABH中AH=BH,；.ZBAH=45°。

又在RTZXAHC中tan/HAC=O^=2q二3=2-6,.-.ZHAC=15°。