图形与图形的变换-2024年中考数学考试易错题（原卷版）

专题05图形与图形的变换

易错点1:点、线、面、体

易错点2:两个基本事实

点、线、面、角专题

易错点1:点、线、面、体

变式1：已知在“3C中，AB=6,AC=8,ZA=90°,把Rt44BC绕直线/C旋转一周

得到一个圆锥，其表面积为W，把RtzX/BC绕直线旋转一周得到另一个圆锥，其表

面积为邑，则£：邑等于.

N（3,6）,3（l,4）,C（l,0）.

⑴“8C外接圆的圆心P的坐标是；

（2）求该圆圆心尸到弦/C的距离；

（3）以8C所在直线为旋转轴，将“3C旋转一周，求所得几何体的表面积.

易错点2：两个基本事实

例：下列命题：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；

④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与

直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

变式1：如图，在平面内，N8为线段，射线/〃上有一点C到A的距离为7,N是平

面内一点，且始终保持NN=33N,则用V+；CN的最小值为.

变式2：如图，已知/、8、C、。是正方形网格纸上的四个格点，根据要求仅用无刻度

的直尺在网格中画图，并标注相关字母.

⑴画线段48；

⑵画直线。48（点£为格点）；

（3）画出点。，使DO+CO+AO+BO^b；

（4）在线段上画出点尸，使CF最短.

易错点3：线段和与差

例：已知线段48=12cm,点C为直线N8上一点，且AC=4cm,点。为线段8C的中

点，则线段的长为（）

A.8cmB.6cmC.4cm或8cmD.6cm或8cm

变式1：如图，线段48被点C,。依次分成2:4:7三部分，M,N分别是/C,DB的

中点，若Affl-DV=3cm,则48=cm.

IllIII

AMCDNB

变式2：如图所示，线段48=6cm,C点从p点出发以Icm/s的速度沿向左运动，D

点从8点出发以2cm/s的速度沿N8向左运动（C在线段4P上，。在线段2尸上）

IIIIIIIIII

ACPDBACPDB

图①图②

⑴若C,D运动到任意时刻都有PD=2/C,求出尸在上的位置；

⑵在（1）的条件下，。是直线上一点，若AQ_BQ=PQ,求尸。的值；

（3）在（1）的条件下，若C,。运动了一段时间后恰有=2。，这时点C停止运动，

点。继续在线段上运动，分别是CD,尸。的中点，求出的值.

易错点4：角的和与差

例：如图，在正方形N3CD中，边4B、上分别有£、尸两点,AE=DF,BP平分

NCBF交CD于点、P.若NCEB=a,则NCPB的度数为（）

1

A.90°—aB.aC.90O--aD.-a

22

变式1:如图，在四边形N3OC中，已知BE平分N4BD,且BEJ.DE,H

为AB上一点，ZBDK=ZHDK,ZDHB=24°,则/£0K=

CD

变式2:如图/8〃C。，E在上，且CE平分//CD.

(1)如图1,求证：NAEC=NACE.

(2)点M为CE上一点，试判断NE4W,ZAME,/ECD之间的数量关系，并证明.

⑶如图3,在(2)的条件下，延长交于G,在的延长线上取点N,连接CN,

使/Z)CN+Z4CN=180。，MZAMC=2ZAME,求NNNC的度数.

易错点5：角平分线综合

例：如图，"8C的外角N/CD的平分线CP与内角的平分线8P相交于点P,

若4PC=40。，则/C4尸的度数为()

A.40°B.50°C.55°D.60°

变式1:如图，已知AB"CD,点P、0分别是直线NB,C。上两点，点G在两平行

线之间，连接尸G,0G,点£是直线下方一点，连接防，EQ,且G。的延长线平

分NCQE,PE平分NAPG,若2NPEQ+NPGQ=117°,则NCQE的度数是.

变式2：【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴血W的

光线AB和C。经过凹透镜的折射后，折射光线5E,。下的反向延长线交于主光轴

小明提出：NBPD,尸和/CL•尸三个角之间存在着怎样的数量关系？

【分析问题】

己知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究.

【解决问题】

探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由.

探究二：如图②，/尸，ZAMP,ZCNP的数量关系为______；如图③，已知,

/4BC=25°,ZC=60°,AE||CZ>,则=°.（不需要写解答过程）

【拓广提升】

利用探究一得到的结论解决下列问题：

如图④，射线ME,NF分别平分N2MP和/CAP,ME交直线于点£,NF与乙iMP

内部的一条射线“/交字点尸，若4=24,求4™E的度数.

相交线与平行线专题

易错点1:相交线的规律

例：观察下列图形并阅读图形下方的文字，像这样，20条直线相交，交点的个数最多

为（）

2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，

最多有1个交点；最多有3个交点：最多有6个交点;

A.185B.190C.200D.210

变式1：在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点;

四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至〃变化时，最多可有的

交点数尸与直线条数"之间的关系如下表:

直线条数〃/条2345678

最多交点个数p/个13610

则”与P的关系式为：

变式2：为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手:

（1）一条直线把平面分成2部分；

（2）两条直线最多可把平面分成4部分；

（3）三条直线最多可把平面分成7部分...；

把上述探究的结果进行整理，列表分析：

直线条数把平面分成部分数写成和形式

121+1

241+1+2

371+1+2+3

4111+1+2+3+4

U)当直线条数为5时，把平面最多分成一部分，写成和的形式」

(2)当直线为n条时，把平面最多分成一部分.

易错点2：平行线中的三角板

例：如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果Nl=32。，那么22的

变式1：将一个三角板如图所示摆放，直线与直线GH相交于点P,ZMPH=45°,

现将三角板绕点A以每秒1。的速度顺时针旋转，设时间为/秒，且04f4150,当/=

时，与三角板的边平行.

变式2：如图1,将三角板4BC与三角板4DE摆放在一起；如图2,其中44cs=30。,

ZDAE=45°,NBAC=ND=90°.固定三角板将三角板/DE绕点/按顺时针

方向旋转，记旋转角/C4E=a(0°<«<180°).

固定三角板N8C

旋转三角板

备用图

AD//BC,并在图3中画出相应的图形;

⑵在旋转过程中，试探究ACAD与ZBAE之间的关系；

(3)当VADE旋转速度为5。/秒时.且它的一边与3c平行(不共线)时，直接写出时间

的所有值.

易错点3：平行线的性质与判定

例：如图，ABHCD,N/=ZBC。，点M是边ND上一点，连接打W,延长期、CD

交于点P.点、N是边BC上一点，连接MN，使得ZNMC=ZMCN，作ANMP的平分线MQ

交C尸于点0.若2CMQ=a,则乙加？的度数用含a的式子表示为()

变式1：已知等腰直角AC=BC,ADLAC,CE=EF,延长E尸交仍延长

线于点G,若GF=CD,48=6,AF=26，则GB的长为.

变式2：如图，43是。。的直径，C、。为。。上的点，且3C〃OD,过点〃作。

于点E.

DC

AO

⑴求证：BD平分NABC；

(2)若BC=4,DE=3,求O。的半径长.

易错点4：平行线之间的距离

例：如图，在“3C中，点。、E、尸分别在/B、NC、3C上，连接。£、E7"且DE〃3C,

AT）1

EF//AB,—=-.若四边形瓦历F的面积为16,则V4DE的面积为（）

BD2

变式1：如图，已知六边形ABCD跖是。。的内接正六边形，。。的半径为3cm,连接

CM、OB、BF,则图中阴影部分的面积是.

变式2：如图2,是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴8

到地面的距离=2.5m.乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点/时，测得点/

到8D的距离/C=1.6m,点/到地面的距离/E=1.5m,当他从/处摆动到H处时，

若求H到的距离.

图1图2

图形的轴对称专题

易错点1：轴对称的性质

例：如图所示三角形纸片中，Z5=ZC,将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落

到边上的£点处，折痕为80.再将纸片沿过点£的直线折叠，点A恰好与点。重

合，折痕为若/£=2,则zsJBC的周长为13,则如7长为()

A

B.1.5C.1.4D.1

变式1：如图，梯形。48。中，3CIMO,0(0,0),/(10,0)1(10,4),3C=2,G&0)是底边

。/上的动点.

(1)tanZCMC=；

（2）边关于直线CG的对称线段为TkW,若儿W与A。4c的其中一边平行时，则

变式2：在平面直角坐标系xOy中，。为原点，对于两个图形x,y和直线夕=加，若在

图形x上存在点/,在图形y上存在点8,使得点/和点3关于直线＞=/对称，就称

图形x和y互为加关联图形.

⑴已知点p的坐标为（0,3）,

①点尸与点。互为T关联图形，则点。的坐标为二

②若。。的半径为1,点尸与。。互为机关联图形，则加的值为」

⑵已知点/（3,4）,射线CM与线段/：y=-2（_lVxW2）互为/关联图形，求，的取值范

围.

（3）已知。。的半径为2,直线＞与x轴，了轴分别交于C,D,若OO关于＞=加

对称的图形S与点。互为2机关联图形，直接写出m的值及点。与图形S的位置关系.

易错点2：轴对称的线段问题

例：如图，在RtZ\48C中，44cB=90。，/C=3,8C=4,是/A4c的平分线,

若P，。分别是/。和ZC上的动点，则PC+尸。的最小值是（）

A.2.4B.3C.4.8D.5

变式1：如图，乙4OB=22。，点、M,N分别是边。4,05上的定点，点P,。分别是

边。4,上的动点，记/回。尸=&,2QPN=0,当MQ+。尸+/W最小时，则a与万

的数量关系为.

变式2：已知点”（占,珀,以孙力），则AB之间的距离为一x?y+-%.

⑴若已知点4-M）,3（1,0）,求线段的长.

⑵在（1）的条件下，若存在点请判断“8C的形状，并说明理由.

（3）若尸正-2x+5+&一6尤+45，求当x为何值时，y取最小值.

易错点3：轴对称的面积问题

例：如图，在“3C中，是8C边上的高，点E,歹是/。上的两点，AB=AC,BC=4,

AD=3,则图中阴影部分的面积是（）

D.4

变式1：如图，在正方形48c£＞中，4D=3,BE=\,P,。分别是线段2C,线段CD上

的动点，当四边形/£尸。的周长最小时，四边形的面积为.

变式2：如图，在Rt448C中，48=8,乙4cB=90。，N/=60。，点?从点A出发，

以每秒2个单位长度的速度沿48向终点3运动，当点P不与点A、B重合时，作

/BPD=120。，边尸。交折线ZC-CB于点D,作点A关于直线尸。的对称点为E,连

接瓦）、EP得到APDE,设点尸的运动时间为f（秒）.

C

D/~——

APB

⑴直接写出线段PD的长(用含f的代数式表示)；

(2)当点E落在边3C上时，求，的值；

⑶设与“3C重合部分图形的面积为S,求S与f的函数关系式；

⑷设M为的中点，N为的中点，连接儿W,当时，直接写出/的值.

易错点4：轴对称的角度问题

例：如图，在“3C中，AB=AC,44=90。，点、D,£是边45上的两个定点，点

N分别是边NC,BC上的两个动点.当四边形DEAW的周长最小时，ZDNM+ZEMN

的大小是().

D.135°

变式1：如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,于点。，/BCD=50°,点B

关于CD对称的点是点E,则NACE+ABAC的度数大小为.

变式2：如图①，在△N8D中；NN=60。，AD=2AB=4cm,将绕8。中点。旋

转180。得到△CD2,点E是的中点，点尸从点/出发，沿折线/一3—C以lcm/s

的速度向终点C运动，连接尸E,设运动时间为1(s).

(1)5C=_;

(2)用含有t的代数式表示PB的长；

(3)当PE将四边形/BCD的周长分成2:3两部分时，求1的值；

(4)如图②.在点P运动过程中，作点/关于直线尸E的对称点4,连接HE.当HE所

在直线与四边形/BCD的边垂直时，请直接写出/NE尸的度数.

图形的旋转专题

易错点1：中心对称图形的性质

例：如图，抛物线/1"=江+4”0,/0）交工轴于点48（点A在点3右侧），交了轴

于点C.将抛物线绕点A旋转180。，得到抛物线4,它与x轴的另一个交点为点。，顶

点为点E.若四边形8CDE为矩形，则服。应满足的关系式为（）.

变式1:如图，这是小聪设计的正方形花边图案，该图案由正方形和三角形拼接组成（不

重叠，无缝隙），它既是轴对称图形，又是中心对称图形.若图中阴影面积的和为36,

则图中线段EF的长为.

变式2：图1、图2、图3均是2x2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点ZO

均在格点上，点2在格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画

图，保留作图痕迹.

(2)在图2中，作出线段48关于点。的成中心对称线段DE.

(3)在图3中，已知点厂是线段48上的任意一点，作出一条线段0G,使得OG=。尸.

易错点2：旋转的线段问题

例：如图，在中，ZC=90°,AC=BC,乙48c的平分线交/C于点。，点尸、Q

分别是BC、8。上的动点，若CQ+尸。的最小值为3,则N3的长是()

A.3B.273C.3亚D.6

变式1:如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标为(。，8),点8为x轴上一动点，以AB

为边在直线的右侧作等边三角形/8C.若点P为。/的中点，连接尸C,则PC的长

的最小值为.

变式2：如图，矩形/BCD中，AB=12,4D=9,E为BC上一点、,BE=4,动点尸从点

/出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动.连DF,DE,EF,过E作。尸的平行

线交射线于点〃，设点厂的运动时间为:(不考虑。，E,尸在同一直线的情况).

(1)当=时，试求出2H的长.

(2)当/在线段N3上时，设9£尸面积为周长为W.

①求S与/的函数关系式；

②当/为何值时，少有最小值.

⑶当ABEF与ABEH相似时，求t的值.

易错点3：旋转的面积问题

例：如图，在RtZ\4BC中，ZABC=90°,ZBAC=30°,AC=2.RtZi4BC可以绕

点/旋转，旋转的角度为60。，分别得到Rt△9G和则图中阴影部分的面

积为（）

变式1：如图，AB=8,以45为直径的半圆绕A点逆时针旋转60。，此时点B到了点e,

则图中阴影部分的面积是.

变式2：某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形,

如图1,在四边形48co中，AB=AD,NB+ND=180。,我们把这种四边形称为“等补

四边形”.如何求“等补四边形”的面积呢？

探究一：

⑴如图2,已知“等补四边形若4=90。，将“等补四边形”/BCD绕点N顺时

针旋转90。，可以形成一个直角梯形（如图3）.若8c=4cm,CO=2cm,则“等补四边

形”的面积为_cm。

探究二：

⑵如图4,已知“等补四边形”4BCD,若44=120。，将“等补四边形”绕点/顺时针旋

转120。，再将得到的四边形按上述方式旋转120。,可以形成一个等边三角形（如图5）.若

BC=6cm,CD=4cm，则“等补四边形”4BCD的面积为一cm，.

由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC,CD的长度，就可以

求它的面积.那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？

探究三：

⑶如图6,已知“等补四边形"4BCD,连接/C,将A/CD以点/为旋转中心顺时针旋

转一定角度，使4D与重合，得到△48。，点C的对应点为点C'.

①由旋转得：NO=N_，因为/4BC+/D=180P,所以/48C+/48C'=180。，即点C',

B,C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即△NCC.

②如图7,在△4CC'中，作8c于点〃若4H=m,CH=n,试求出“等补四边

形的面积（用含加，〃的代数式表示），并说明理由.

易错点4：旋转的角度问题

例：如图，在平面直角坐标系中，四边形/BCD是菱形，点/的坐标为（0,行），AB=2,

过。作于P,若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45。，则第986s时，点歹

的坐标为（）

变式1：如图，在“3C中，44c3=90。，ZABC=30°,Z3=6,点P是在“BC内

一点，连接AP,BP,CP,将A4PB绕点/逆时针旋转60°得到△4P的.若点C,P,

P',2'恰好在同一直线上，则P/+P5+PC=.

变式2：【综合实践】

中，4B=AC,P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于NA4C,

把AABP逆时针旋转，画出旋转后的图形.

图1

【操作体验】

（1）若点尸的对应点为点P,画出旋转后的图形；

【深入探究】

（2）如图2,/BC中，AB=AC,ZBAC=90°,尸是8C边上一点（不与BC重合）,

猜想8尸，CP,NP三条线段之间的数量关系，并给予证明；

AA

【拓展应用】

(3)如图3,“3C中，ZABC=30°,AB=4,BC=5,P是AASC内部的任意一点,

连接尸4PB,PC,求P/+P8+尸。的最小值.

图形的平移专题

易错点1：平移的性质

例：如图，将“8c沿方向平移得到连接若44'=3cm,BC=\\cm,

则的长为()

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

变式1：如图，48co是一块长方形场地，48=42米，4D=25米，从48两处入口的

小路都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为

米2.

DC

变式2：如图，在由每个都是小正方形组成的网格纸中，点尸是N/O8的边03上的一

点（点。、/、B、C、P均为格点）.请用无刻度的直尺完成下列作图，并标注必要的

字母，并描粗相关的格点.

（1）将线段。尸向右平移，使点O与点/重合.

①画出线段0P平移后的线段工尸；

②AP'与OP的位置关系是_，数量关系是二

（2）在线段03上找一点£,且/BCE=NB0C.

易错点2：平移中的线段问题

例：如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标为（0,3）,△0/8沿x轴向右平移后

得到△。才9，点/的对应点H在直线y=x上，则点3与其对应点9间的距离为（）

A.9B.3C.4D.5

变式1:如图，在△/2C中，AB=6,将△/2C平移4个单位长度得到△出—。，M是

N8的中点，则MA1的最小值为

变式2：在平面直角坐标系中，点/（小，〃）满足〃=J"?-4-j4-7"+

（1）直接写出点N的坐标；

（2）如图1,将线段。/沿y轴向下平移。个单位后得到线段3C（点。与点8对应），过

点C作CCy轴于点。，若4OD=3BD,求a的值；

⑶如图2,点£（0,5）在y轴上，连接NE,将线段。/沿y轴向上平移3个单位后得到线

段FG（点。与点/对应），FG交NE于点尸，夕轴上是否存在点°,使工"°=6,若

存在，请求0点的坐标；若不存在，请说明理由.

易错点3：平移中的面积问题

例：原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着3c方向平移4个单位长

度，就得到如图所示的图形，下列结论：①/C〃。歹②HE=5③C尸=