专题44三角函数的图象与性质2022年高考数学一轮复习（新高考浙江）（讲）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第四章三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图象与性质（讲）【考试要求】理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.【高考预测】（1）“五点法”作图；（2）三角函数的性质；（3）与不等式相结合考查三角函数定义域的求法．（4）与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)．（5）借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质．（6）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.【知识与素养】知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值，也无最小值周期性奇偶性,奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.【典例1】（2021·浙江温州市·瑞安中学高三其他模拟）已知函数．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】(1)1;(2)最小正周期是,单调递增区间为.【解析】(1)由辅助角公式和二倍角公式可得，进而可求出.(2)由解析式可求出最小正周期，令即可求出增区间.【详解】解：(1)，则(2)最小正周期，令，解得，即增区间为.知识点2．“五点法”做函数的图象“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个SKIPIF1<0的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.【典例2】（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知函数.（1）用“五点法”作出在上的简图.（2）由图象写出在上的单调区间.【答案】（1）答案见解析；（2）单调增区间：，，单调减区间：.【解析】（1）利用“五点法”作图法：列表、描点、连线即可.（2）由图象即可写出单调区间.【详解】解：（1）列表：0111描点､连线如图所示：（2）由函数图象可知：单调增区间：，，单调减区间：.【重点难点突破】考点一三角函数的定义域和值域【典例3】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）要使函数有意义，必须使.由正弦的定义知，就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.∴角的终边应在轴或其上方区域，∴.∴函数的定义域为.（2）要使函数有意义，必须使有意义，且.∴∴.∴函数的定义域为.【典例4】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）化简解析式，由此求得函数的最小正周期.（2）利用三角函数值域的求法，求得的值域.【详解】（1），所以的最小正周期为.（2），所以.【规律方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用sinx和cosx的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；(3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．【变式探究】1.（2020·上海高三专题练习）函数的最大值为2，最小值为，则_________，_________.【答案】【解析】由已知得，解得.故答案为：；.2.（2021·上海高一单元测试）写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心．【答案】定义域，周期，在递增，无递减区间，对称中心.【解析】由，可求得其定义域，利用整体思想结合正切函数的周期性、单调性及对称性可求得其最小正周期、单调区间、对称中心；【详解】解：由，得：，．所以，其定义域为；由得：其最小正周期；由，得：，．所以，函数的单调递增区间为，．无递减区间；由得：，．所以的对称中心为.【总结提升】在使用开平方关系sinα＝±eq\r(1－cos2α)和cosα＝±eq\r(1－sin2α)时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．考点二三角函数的单调性常见考题类型：1．求三角函数的单调区间；2.已知函数的单调性求参数值或范围；3.比较大小；4.解三角不等式.【典例5】（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【典例6】（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.【典例7】（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））函数在区间内单调递减，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得出的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，即可求得的最大值.【详解】，则，因为函数在区间内单调递减，则，所以，，解得，由，可得，因为且，则，.因此，正数的最大值为.故选：B.【典例8】（2021·河南高一期中（文））在上，满足的的取值范围是______．【答案】【解析】作出正弦函数的图像，由图像写出不等式的解集.【详解】如图示：且，．故答案为：【规律方法】1.求形如或(其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与()，()的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2.当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.【变式探究】1.（2021·河南高一三模）已知函数，则（）A． B．在上单调递增C．在上的最小值为 D．在上的最大值为【答案】C【解析】A.直接求解判断；B.由，得到，利用正弦函数的性质判断；CD.利用正弦函数的性质求解判断.【详解】A.，故错误；B.因为，所以，不单调，故错误；C.当，即时，取得最小值，且最小值为，在上无最大值，故正确，D错误.故选：C2.2021·河南信阳市·信阳高中高一月考）设，记，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据的取值范围可得到的取值范围.即可判断与的大小关系，即选出答案.【详解】因为，所以，即，，则.故选：D.3.（2021·陕西高三其他模拟（理））已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由对称轴距离求得，由函数值求得，写出函数解析式，，解出解集即可.【详解】由题知，函数的周期，则，又，，则，函数解析式为则由正弦函数性质知，，解得故选：C4.（2020·浙江柯城�衢州二中高三其他）已知函数，则的最大值为________，若在区间上是增函数，则的取值范围是________.【答案】2【解析】因为函数，所以，所以的最大值为2，因为在区间上是增函数，所以，所以，解得.故答案为：(1).2(2).【总结提升】1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2kπ，(k∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同．2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1．(2)函数y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D来决定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为y＝AsinZ的形式求最值．3.正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，(eq\f(π,2)，eq\f(3,2)π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))∪(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))∪…上是增函数．考点三三角函数的周期性【典例9】（2018年全国卷Ⅲ文）函数f(x)=tanx1+tanA.π4B.π2C.π【答案】C【解析】由已知得ff(x)的故选C.【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如的周期都是,但的周期为，而，的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的形式；正弦余弦函数的最小正周期是SKIPIF1<0，正切函数的最小正周期公式是SKIPIF1<0；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.【变式探究】（2021·全国高三月考（理））函数的最小正周期是_______________________.【答案】【解析】利用余弦型函数的周期公式可求得结果.【详解】函数的最小正周期是.故答案为：.【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对ωx而言．.考点四三角函数的奇偶性

【典例10】（2021·宁波中学高三其他模拟）函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，由此排除BC选项，当=0此时方程的解为当时，所以A选项错误，故D选项正确.故选：D.【规律方法】1.一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求SKIPIF1<0；最后比较SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系，如果有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则函数是偶函数，如果有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2.如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.【变式探究】（2021·全国高三其他模拟）函数在上的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用奇函数的定义证得是奇函数，即可排除BC，利用当时，，排除D，从而得出结果.【详解】因为，所以是奇函数，所以的图象关于点对称，故排除B、C；当时，，，所以当时，，排除D．故选：A．【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．考点五三角函数的对称性

【典例11】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在处取到最大值，则（）A．奇函数 B．偶函数C．关于点中心对称 D．关于轴对称【答案】B【解析】由已知结合辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的最值取得条件及余弦函数的性质可判断．【详解】解：因为在处取到最大值，即，其中，则，所以，，所以，则为偶函数．故选：B．【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心,关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．【变式探究】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，①；②点是的一个对称中心；③直线是函数的一条对称轴；④函数的单调递增区间是.其中正确的（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】由题得，所以，所以①正确；函数没有对称中心，对称轴方程为，故②不正确，③正确；令，得的单调递增区间是，故④正确.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故②不正确，③正确；令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.故选：D.【特别提醒】1.求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．2.正切函数图象的对称中心是(eq\f(kπ,2)，0)而非(kπ，0)(k∈Z)．考点六三角函数的零点【典例12】（2021·江苏南通市·高三其他模拟）函数在上的零点个数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在时，解方程，即可得解.【详解】当时，由.若，可得、、；若，可得、、、.综上所述，函数在上的零点个数为.故选：C.【典例13】（2021·全国高三其他模拟（理））函数在上的所有零点之和为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过令，得到，分别画出两个函数图象，找交点即可．【详解】令，得．分别画出函数的图象，由图可知，的对称轴为，的对称轴为．所以所有零点之和为．故选：B．【总结提升】重点考查三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，关键点在于利用数形结合的思想将函数零点转化为两个函数图象交点问题．【变式探究】1.（2021·河南商丘市·高一月考）函数的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】先用诱导公式得化简，再画出图象，利用数形结合即可．【详解】由三角函数的诱导公式得，函数的零点个数，即方程的根的个数，即曲线（）与的公共点个数．在同一坐标系中分别作出图象，观察可知两条曲线的交点个数为3，故函数的零点个数为3．故选：B.2.（2021·河南高三其他模拟（理））已知函数，则（）A．不是周期函数 B．的值域为C．没有零点 D．在上为减函数【答案】C【解析】利用周期函数的定义判断A，利用函数的最值判断B，利用三角函数的界限性判断出C，利用复合函数的单调性判断出D.【详解】因为，所以是周期函数，A错误；令，得，，此时无解，B错误；由，得，，而，所以方程无解，没有零点，C正确；在上为减函数，在上为增函数，D错误.故选：C.考点七三角函数中有关ω问题

常见考题类型：1.三角函数的周期T与ω的关系；2.三角函数的单调性与ω的关系；3.三角函数的对称性、最值与ω的关系【典例14】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，所以所包含的两个零点为，则当时，，求解可得的范围.【详解】解：因为，且ω>0，所以，又f(x)在上恰有两个零点，所以且，解之得.故选：A.【典例15】（2021·辽宁铁岭市·高三二模）函数在内有且仅有一个极大值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法1：将问题等价转化为函数在内有且仅有一个极大值点的问题；解法2：考虑函数在的最大值后再解不等式.【详解】解法1：因为，所以函数在内有且仅有一个极大值点等价于函数在内有且仅有一个极大值点.若在上有且仅有一个极大值点，则，解得.选项A正确.故选：A.解法2：令，可得极大值点，其中.由，可得，由题设这个范围的整数有且仅有一个，因此，于是正数的取值范围为，选项A正确.故选：A.【