专题15导数与函数的极值最值（原卷版）

2023高考一轮复习讲与练专题15导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值极值的概念求函数的极值极值的判断含参的极值问题含参的最值问题求函数的最值求参数的值求参数的范围参数引起的讨论求参数的值求参数的范围参数引起的讨论练高考明方向1.（2022·全国甲（文T8）(理T6)）.当时，函数取得最大值，则（）A. B. C. D.12.（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函数，则（）A.有两个极值点 B.有三个零点C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线3.（2022·全国乙（理）T16）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．4．(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________．5．(2021年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则(） AB．C．D．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．7.(2019·全国卷Ⅲ文科·T20)已知函数f(x)=2x3ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求Mm的取值范围.8.(2019·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函数f(x)=14x3x2+(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程.(2)当x∈[2,4]时,求证:x6≤f(x)≤x.(3)设F(x)=|f(x)(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.9．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：．10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数．(1)若，证明：当时，，当时，；(2)若是的极大值点，求．11．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分12分)(I)讨论函数的单调性，并证明当时，；(II)证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．12．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若是函数的极值点，则的极小值为 ()A． B． C． D．113．(2014高考数学课标2理科)已知函数=．(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)设，当时，,求的最大值；(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)14．(2012高考数学新课标理科)已知函数满足满足．(1)求的解析式及单调区间；(2)若，求的最大值．15．(2013高考数学新课标2理科)已知函数，下列结论中错误的是() A．B．函数的图象是中心对称图形C．若是的极小值点，则在区间上单调递减D．若是的极值点，则16．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数,则的最小值是．17．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．18．(2013高考数学新课标1理科)若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．讲典例备高考类型一、函数极值的判断基础知识：(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。基本题型：1、已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有()A．两个极大值，一个极小值B．两个极大值，无极小值C．一个极大值，一个极小值D．一个极大值，两个极小值2．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)，则f(x)()A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值3．已知函数（）可变形为，它可看作是由函数和复合而成的，则函数（）（）A．无极小值 B．有极小值1 C．无极大值 D．有极大值基本方法：1、极值的判断：可导函数在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．同时要注意导数为零的点不一定是极值点．2．知图判断函数极值的情况。先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号。3、导函数图象的应用策略(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，进而研究函数的极值、最值．类型二、求函数的极值基本题型：1．已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是()A．4e－2 B．4e2C．e－2 D．e22．函数f(x)＝eq\f(3,2)x2－lnx的极值点为()A．0,1，－1 B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)3、已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．基本方法：1．函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．注意：(1)导数为零的点不一定是极值点．(2)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．类型三、含参的极值问题基本题型：1．（求参数的值）设函数f(x)＝lnx＋ax2－eq\f(3,2)x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为()A．ln2－2 B．ln2－1C．ln3－2 D．ln3－12．（求参数的范围）若函数在区间内有极小值，则的取值范围为________．3．（求参数的值）已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝()A．4 B．11C．4或11 D．3或94、（参数引起的讨论）已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(k,x)－1，k∈R.判断函数f(x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．基本方法：1．已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。2、对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．3、已知函数极值点或极值求参数的策略列式：根据极值点处导数为0或极值列方程(组)，利用待定系数法求解验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证注意：若函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在极值点，则函数y＝f′(x)在区间(a，b)内存在变号零点。类型三、求函数的最值基础知识：函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。基本题型：1．（多选）下列说法正确的是（）A．的最小值为1B．的最小值为1C．的最小值为1D．的最小值为12．已知函数，，若，，则的最大值为______________3．设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．基本方法：求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．注意：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．类型五、含参的最值问题基本题型：1．（求参数的范围）若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－eq\f(2,3)在区间(a，a＋3)内既存在最大值也存在最小值，则a的取值范围是()A．(－3，－2) B．(－3，－1)C．(－2，－1) D．(－2,0)2．（参数引起的分类讨论）设函数.（1）若，求函数的递减区间；（2）当时，记函数，求函数在区间上的最小值．3．（求参数的值）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的最小值为，求参数a的值．类型五、函数极值与最值得交汇问题基本题型：1．（多选）已知函数，下列结论中正确的是（）A．函数在时，取得极小值B．对于，恒成立C．若，则D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为12．已知函数有极小值－6.（1）求的单调区间；（2）求的值；（3）求在[－3，4]上的最大值和最小值.3．已知函数f(x)＝eq\f(ax2＋bx＋c,ex)(a＞0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．新预测破高考1．函数在上的最小值为（）A． B． C．0 D．2．函数在内存在极值点，则（）A． B．C．或 D．或3、已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是()A．4e－2 B．4e2C．e－2 D．e24．函数在上的最大值是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，5．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则()A．f(x)的极大值为f(eq\r(3))，极小值为f(－eq\r(3))B．f(x)的极大值为f(－eq\r(3))，极小值为f(eq\r(3))C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)6．如图是函数的大致图象，则（）A． B． C． D．7．已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（）A． B． C． D．8．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．（多选）材料：函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合所产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数（），我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即（）为初等函数．根据以上材料，对于初等函数（）的说法正确的是（）A．无极小值 B．有极小值1 C．无极大值 D．有极大值10．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数有极小值也有最小值B．函数存在两个不同的零点C．当时，恰有三个不相等的实根D．当时，的最大值为，则的最小值为11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.12．已知函数f(x)＝lnx－eq\f(m,x)(m<0