51数列的概念及函数特性（精测）-2021-2022学年高二数学下学期培优精讲精测（人教B版2019选择性）

5.1数列的概念及函数特性【题组一数列的概念】1.（2021·全国·高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（）①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列；②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列；③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一；④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*.A．①④ B．②③ C．③ D．①②【答案】C【解析】①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{an}表达数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表达数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．故选：C.2.（2021·江苏省震泽中学高二月考）已知数列的通项公式为，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令可得答案.【解析】因为，则.故选：C.3.（2021·四川成都·高二期中）已知数列，3，，，…，，…，则是它的（）A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项【答案】D【解析】根据数列中的项,都改成根式形式为,,,,…,,由前几项可知,根式下的数列是以5为首项,4为公差的等差数列则根式下的数字组成的等差数列通项公式为而所以解得故选:D4.（2021·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7与数集{1，3，5，7}是一样的B．数列1，2，3与数列3，2，1是相同的C．数列是递增数列D．数列是摆动数列【答案】D【分析】利用数列的意义可判断A，B；利用数列的任意相邻两项间的大小变化关系可判断C，D而作答.【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；数列中各项依次变小，它是递减数列，C不正确；数列中的奇数项都比1小，偶数项都比1大，它是摆动数列，D正确.故选：D5.（2021·河南·高二期中）数列，则是这个数列的第（）A．项 B．项 C．项 D．项【答案】A【分析】根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项【解析】数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.故选：A.6.（多选）（2021·浙江·镇海中学高二期中）下面四个结论中正确的是（）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点C．数列的项数是无限的D．数列通项的表达式是唯一的【答案】AB【分析】利用数列的函数特性即可判断选项A，B，由数列的分类可判断选项C，举特例说明并判断选项D作答.【解析】由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集，选项A，B正确；由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确；数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，，1，，…的通项可以是，也可以是，D不正确.故选：AB7.（2021·全国·高二课时练习）323是数列{n(n＋2)}的第________项．【答案】17【分析】根据给定条件列出方程，求出方程的正整数根即可.【解析】依题意，n2+2n=323，即(n+19)(n17)=0，而n为正整数，解得n=17，所以323是数列{n(n＋2)}中的第17项.故答案为：178.（2021·内蒙古·乌拉特前旗第一中学高二月考）已知数列，则0.98是它的第________项.【答案】7【分析】令，解出即可.【解析】令，解得故答案为：【点睛】本题考查的是根据数列的通项公式求项数，较简单.9.（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三期中）数列中，，，则___________【答案】【分析】直接计算得到答案.【解析】，，则，，，.故答案为：.【题组二已知项求通项】1.（2021·安徽·高二月考）数列的一个通项公式是A． B． C． D．【答案】D【分析】观察题目中的数列可知，根号里面的数是以2为首的连续偶数，即可得解.【解析】解：因为，，，，所以根号里面的数是以2为首项的连续偶数，所以，故选：D【点睛】本题考查数列的通项公式的计算，属于基础题.2．（河南省焦作市县级重点中学20212022学年高二上学期期中）数列，，，，…的一个通项公式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】把数列变形为，，，，•••，由此可得它的通项公式．【解析】数列，，，，…，即数列，，，，•••，故它的一个通项公式是，故选：．3．（2021·重庆巴蜀中学高二期中）数列2，，9，，的一个通项公式可以是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项，结合排除法可得．【解析】第一项为正数，BD中求出第一项均为负数，排除，而AC均满足，A中，，排除A，C中满足，，，故选：C．4.（2021·全国）数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】将代入四个选项，可知中D中所以排除C、D.当，代入B可得所以排除B，即A正确，故选：A.【题组三数列的单调性】1.（2021·河南省实验中学高二期中）已知数列满足且数列是单调递增数列，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据递增数列可得关于的不等式组，从而可求其取值范围.【解析】由题意可得解得.故选：A.2.（2021·江苏·高二专题练习）已知下列数列：①2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020；②1，，，…，，…；③1，－，，…，，…；④1，0，－1，…，sin，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．【答案】①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④【分析】利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义逐个分析判断即可【解析】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．故答案为：①⑥，②③④⑤，①⑤，②，⑥，③④3．（2021·全国高二期末）已知数列的通项公式是，那么这个数列是（）A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列【答案】C【解析】因为，所以数列是递增数列，故选：C4．（2021·全国高二专题练习）（多选）已知数列的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的值可能为（）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【解析】由题意对恒成立，即，，因为，所以（时等号成立），即的最大值为0，所以．故选：CD．5.（2021·全国高二单元测试）设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的范围为_______．【答案】【解析】因为数列是递增数列，可得对于任意的恒成立，即，整理可得：，所以对于任意的恒成立，因为单调递减，所以，所以，故答案为：.【题组四数列中最大、小项】1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（）A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项【答案】A【解析】，因为，且，所以数值最大的项为第5项．故选：A．2．（2021·全国高二专题练习）数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是（）A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a44 D．a45，a50【答案】C【解析】，，当时，为负数且递减；当时，为正数，且递减.所以前项中，最大项为，最小项为.故选：C3.（2021·江苏·高二单元测试）已知数列中，，则数列的最小项是（）A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项【答案】D【分析】根据题意，可知数列的通项公式，根据二次函数的性质可知，当或3时，取得最小值，从而得出答案.【解析】解：由题可知，，由于，所以当或3时，取得最小值，所以数列的最小项是第2项、第3项.故选：D.4.（2021·全国·高二单元测试）已知数列的通项公式为.（1）数列的第几项最大，最大项为多少？（2）若，求正整数m的最小值.【答案】（1）第2，3项最大，最大项为38；（2）最小值是9.【分析】（1）将数列的通项公式变形为，根据二次函数的性质可求得数列的最大项.（2）由函数的图象开口向下，且对称轴方程为，可得数列从第3项起单调递减.再计算出，，可求得正整数m的最小值.【解析】解：（1）因为，且，所以当或时，最大.又，故数列的第2，3项最大，最大项为38.（2）因为函数的图象开口向下，且对称轴方程为，所以可知数列从第3项起单调递减.又，，，，所以若，则.所以正整数m的最小值是9.【题组五已知Sn求an】1.（2021·江西·南昌市外国语学校高一月考）数列的前n项的和，________．【分析】利用时，求，同时注意．【解析】解析：由题可知，当