山东省青岛市平度市某中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（含答案解析）

山东省青岛市平度市杭州路中学2024-2025学年上学期九年级

10月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列是一元二次方程的是（）

A.2x+1=0B.x2+y=lC.x2+2x+1=0D.x2+—=1

x

2.在四边形4BC。中，AD//BC,AB=CD.下列说法能使四边形/BCD为矩形的是（）

A.AB//CDB.AD=BCC.NA=/BD.ZA=ZD

3.用配方法解方程/-4x7=0时，配方后正确的是（）

A.（尤+2）2=3B.（x+2）2=17C.-2）2=5D.（x-2）2=17

4.如图，在平行四边形48co中，AB=4,BC=6,将线段48水平向右平移a个单位长

度得到线段环，若四边形ECD厂为菱形时，则a的值为（）

5.在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，

随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳

定于0.5,由此可估计袋中红球的个数为（）

A.12个B.10个C.8个D.6个

6.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程/-10x+机=0的两个实数根,

且其面积为11,则该菱形的边长为（）

A.y/3B.2A/3C.V14D.2ym

7.一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的3个红球和1个绿球；随机从中摸出一球,

不再放回，充分搅均后再随机摸出一球.则两次都摸到红球的概率是（）

试卷第1页，共4页

8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,3),以为边

作矩形CM3C.动点E,歹分别从点O,2同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿048c

向终点N,C移动.当移动时间为4秒时，/CEF的值为()

二、填空题

9.方程N=4X的解

10.如图，正方形/BCD的对角线/C,BD交于点、O,P为边8C上一点，且3尸=03,则

ZCOP的度数为.

11.关于x的一元二次方程("-2)f+4x+2=0有两个实数根,则m的取值范围是.

12.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次

降价的百分率为

13.如图，矩形48C。的对角线/C、8。相交于点O,过点。作交/。于点£

14.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知N/8C=60。，则阴影部分的面积

是.

试卷第2页，共4页

A,

B;V

15.为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、

丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为.

16.在一个不透明盒子中放入四张卡片，四张卡片上分别写有数字-2,-1,0,1,每张卡片除

数字不同外其他都相同从中随机抽取两张卡片，其数字之和为非负数的概率是.

三、解答题

17.解方程：

⑴x(x+2)=2+x；

(2)3X2-6X-1=0.

18.如图，在平行四边形4BCD中，E为线段CD的中点，连接ZC,AE,延长BC交

于点尸，连接。尸，ZACF=90°.

⑴求证：四边形ZCED是矩形；

(2)若CD=13,CF=5,求四边形/3CE的面积.

19.已知关于x的一元二次方程/-(加+2)x+〃?-l=0.

(1)求证：无论皿取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两个实数根为%,且-网迎=9,求加的值.

20.九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的

小球，把它们分别标号为1,2,3.随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从中随机摸

出一个小球记下标号.规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率，请用画树状

图或列表法的方法求中奖的概率.

试卷第3页，共4页

21.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈

利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销

售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.

(1)若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

22.如图，平行四边形N8CO中，AE、CF分别是N8N。、N3C。的平分线，且E、歹分别

在边BC、4D上，AE=AF.

(1)求证：四边形/ECF是菱形；

⑵若N4BC=60。，的面积等于4月，求平行线4&与DC间的距离.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678

答案CCCBBCCA

1.C

【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元

二次方程，据此逐项判断即可.

【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意；

B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；

C中方程是一元二次方程，符合题意；

D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键.

2.C

【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可.

【详解】A：VAB//CD,AD//BC,AB=CD

/8C。为平行四边形而非矩形

故A不符合题意

B：AD=BC,AD//BC,AB=CD

•••/BCD为平行四边形而非矩形

故B不符合题意

C：VAD//BC

:.ZA+ZB=180°

NA=ZB

ZA=ZB=90°

vAB=CD

：.AB//CD

，四边形N5C。为矩形

故C符合题意

D：AD//BC

答案第1页，共14页

:.ZA+ZB=180°

NA=ND

:.ND+NB=180P

/BCD不是平行四边形也不是矩形

故D不符合题意

故选：C.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练

掌握以上知识并灵活运用是解题的关键.

3.C

【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4,即可求解.

【详解】解：x2-4x-1=0

移项得，x2-4x=1

两边同时加上4,即f-4x+4=5

A(X-2)2=5,

故选：C.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键.

4.B

【分析】首先根据平行四边形的性质得到CZ)=/B=4,然后根据菱形的性质得到

EC=CD=4,然后求解即可.

【详解】：四边形"CD是平行四边形，

CD=AB=4,

•.•四边形ECDP为菱形，

EC=CD=4,

'：BC=6,

：.BE=BC-CE=2,

a—2.

故选：B.

【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握

以上知识点.

答案第2页，共14页

5.B

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以

从比例关系入手，列出方程求解.

【详解】解：设盒子中有红球x个，

由题意可得：^=0.5,

解得：x=10,

故选：B.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是利用了用大量试验得到的频率

可以估计事件的概率，根据红球的频率得到相应的等量关系.

6.C

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到。+6=10,根据菱形的面积得到仍=22,

利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案.

【详解】解：设方程/-10x+根=0的两根分别为a,b,

,・。+6=10,

・・・。，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11,

—ab=11,BPab=22,

2

・・•菱形对角线垂直且互相平分，

•••该菱形的边长为=3d小+方=g个(a+b)2-2ab

=-A/102-2X22=V14,故C正确.

2

故选：C.

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系

得出“+6=10是解题的关键.

7.C

【详解】解：列表得：

答案第3页，共14页

（红,绿）（红,绿）（红，绿）

（红，红）（红，红）（绿，红）

（红,红）（红,红）（绿，红）

（红，红）（红，红）（绿，红）

..，一共有12种情况，两次都摸到红球的6种，...两次都摸到红球的概率是9=0.5.故选C.

12

点睛：本题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意

此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

8.A

【分析】根据题意，得出£（4,0）,尸（5,3）,勾股定理求得£/=而，AC=3y/lQ，即可求

解.

本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得瓦尸的坐标是解题

的关键.

【详解】解：连接NC、EF,

>

X

:点N的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,以O4OC为边作矩形CM3C.

OA=BC=9,OC=AB=3,

••・8（9,3）,/C=奴+乡?=3标，

依题意，OE=4xl=4,族=4x1=4,

/.AE=9-4=5,则£（4,0）,

:.CF=BC-BF=9—4=5,

,尸（5,3）,

EF=J（5-4）2+（3-0）2=屈,

答案第4页，共14页

AC-EF=3710x710=30.

故选：A.

9.x=0或x=4

【分析】先移项，使方程右边为0,再提公因式x,然后根据“两式相乘值为0,这两式中至

少有一式值为0.”进行求解.

【详解】解：原方程变为

x2-4x=0

x(x-4)=0

解得x/=0,x?=4,

故答案为：x=0或x=4.

【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.

10.22.50/22.5度

【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形/BCD是正方形，可得/3OC=90。，

ZOBC=45°,再根据AP=OB,即可求出/COP的度数.

【详解】解：••・四边形是正方形，

NBOC=90°,ZOBC=45°,

•••BP=OB,

ZBOP=ABPO,

ZBOP=ZBPO=(18CP-45°>2=67.5°,

ZCOP=909-67.5°=22.5°.

故答案为：22.5°.

11.W4且加R2

【分析】本题考查了一元二次方程*2+瓜+°=0(awO,a,b,c为常数)的定义以及根

的判别式A=〃-4“c,理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当A>0时，方

程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程没有实

数根.

根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可.

【详解】解：二•关于x的一元二次方程(加-2)f+4x+2=0有实数根

/.A=/,2-4ac=42-4x(m-2)x2>0J=Lm-2^0,

答案第5页，共14页

解得"z44且机H2,

故答案为：

12.25%

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为无，根据原价每盒48

元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可.

【详解】解：设每次降价的百分率为x,

由题意,得：48(1-x)2=27,

17

解得：须=7=25%,x=-(舍去)；

424

故答案为：25%.

13.T

【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、

熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.连接CE,由矩形的性质可得/CDE=90。，

AD=BC=8,AB=DC=6,AO=OC,由OE_L/C,AO=OC,可知垂直平分/C,

则可得/E=CE；设DE=x,则/E=CE=8-x,在中，由勾股定理得关于x的

方程，求解即可.

【详解】解：连接CE,如图：

在矩形/5CZ）中，AB=6,BC=8,

\fiCDE=90°,AD=BC—8,AB=DC=6,AO=OC,

■：OELAC,

AE=CE,

设Z）E=X,则4E=CE=8-x,

在Rt^CDE中，由勾股定理得：DE1+DC1=CE~,

x2+62=（8-x）2,

解得：

4

答案第6页，共14页

故答案为：--.

4

14.673

【分析】首先过点3作BE，ND于点£,BFLCD于点、F,由题意可得四边形4BC。是平

行四边形，继而求得/6=8C的长，判定四边形N3CD是菱形，则可求得答案.

【详解】过点B作BE工AD于点E,BFLCD于点F,

根据题意得：AD//BC,AB//CD,BE=BF=3,

...四边形ABCD是平行四边形，

•?ZABC=ZADC=60°,

ZABE=ZCBF=30°,

:.AB=2AE,BC=2CF,

AB2=AE2+BE2>BE=3,

,AB=2日

同理：BC=2C,

：.AB=BC,

四边形是菱形，

AD=2也,

S菱%BC3=4DxBE=64i.

故答案为：6A/3.

【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含30。角的

直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线.

1

15.一

6

【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有

2种，再根据概率公式计算，即可求解.

【详解】解：根据题意，画出树状图，如下：

答案第7页，共14页

开始

一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，

21

所以恰好选中甲和丙的概率为R=Z.

126

故答案为：~~

6

【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键.

16-i

【分析】根据题意,列出树状图表示出所有可能，再求出两张卡片上数字之和为非负数的结果

数即可解题.

【详解】解：画树状图如解图：

开始

______-

第一次-2-10I

/Tx/Tx/Tx/Tx

第二次_]01-201-2-11-2-10

和-3-2-1-3-10-2-11-101

由树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数字之和为非负数的结果有

4种,

41

:.P（两数之和为非负数）

123

故答案是：—.

【点睛】本题考查了用列树状图的方法求概率，属于简单题，正确画出树状图是解题关键，主要

失分原因：①画树状图或列表发生错误；②对非负数的概念理解有误.

—

17.(1)再=2,x2—1

(2)X]=1+-^―,x2=1—

【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方

法，配方法，公式法，因式分解法等.

答案第8页，共14页

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可;

(2)利用公式法解一元二次方程即可.

【详解】(1)x(x+2)=2+x

x(x+2)-(x+2)=0

(x+2)(x-l)=0

x+2=0或x-1=0

・,X]=-2,%2=1；

(2)3X2-6X-1=0

a=3,b=—6,c——1

A=Z>2-4ac=(-6)2-4x3x(-l)=48>0

._6土匹_6±46_3±2或

,,x---------------------------------

2x363

,12百2^/3

••X.—1H-------,—11--------•

1323

18.(1)证明，见解析

(2)45

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得4D〃8C,根据平行线的性质，得皿F=NAFC,

ZADC=ZDCF；再根据£为线段。的中点，全等三角形的判定，则=,根

据矩形的判定，即可；

（2）过点£作£6，/<:于点6,根据勾股定理，求出。尸的长，再根据四边形N3CE的面

积等于S.ABCSAAEC，即可.

【详解】（1）,••四边形/BC。是平行四边形，

AD//BC,

：.ZDAF=ZAFC,N4DC=ZDCF,

为线段C。的中点，

DE=CE,

AADE=AFCE,

AE=EF,

答案第9页，共14页

，四边形ACFD是平行四边形，

•?ZACF=90°,

平行四边形ZCED是矩形.

(2)过点E作EGL/C于点G,

V四边形ABCD是平行四边形，

AD=BC,

..•四边形/。即是矩形，

/.AD=CF,

：.AD=BC=CF=5,

•：CD=13,

DF=V132-52=12，

，四边形ABCE的面积等于S.ABC+S.AEC，

•••S"c=gxNCx8C=gxl2x5=30,S”=gx/CxGE,

:点E是对角线的中心，

GE=—AD=—,

22

S,=-xyiCxG£,=-xl2x-=15,

aACrEF222

，四边形43CE的面积为：30+15=45.

【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质,

平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.

19.(1)证明见解析;

(2)叼=1或加2=-2.

答案第10页，共14页

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌

握一元二次方程根的判别式是解题的关键.

(1)根据根的判别式证明A>0恒成立即可；

(2)由题意可得，xl+x2=m+2,Xj-x2=m-\,进行变形后代入即可求解.

【详解】(1)证明：A=[-(m+2)]2-4xlxm2+S,

:无论加取何值，加2+8>o,恒成立，

...无论加取何值，方程都有两个不相等的实数根.

(2)解：丫和巧是方程*加+2h+加-1=0的两个实数根,

xt+x2=7M+2,xi-x1-m—\,

-2

x；+xf-X[X2=+x2)-3X[X2=(m+2)-3(m-l)=9,

解得：/=1或吗=-2.

1

20.

3

【分析】】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小

球标号相同时的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】解：画树状图得：

开始

123123123

则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种，

所以中奖的概率=1=；.

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

21.(1)平均每天销售数量为32件

(2)当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元

【分析】(1)根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每

天可多售出2件“，列出平均每天销售的数量即可，

答案第11页，共14页

（2）设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低

1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于尤的一元二次方程，解之，

根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可.

【详解】（1）解：根据题意得：

若降价6元，则多售出12件，

平均每天销售数量为：12+20=32（件），

答：平均每天销售数量为32件；

（2）解：设每件商品降价x元，

根据题意得：

（40-x）（20+2x）=1200,

解得：士=10,x2=20,

40-10=30>25,（符合题意），

40-20=20<25,（舍去），

答：当每件商品降价10元时，该商店每