湘豫联考2024-2025学年新高考适应性调研考试数学试题解析

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湘豫名校联考

2024—2025学年新高考适应性调研考试

数学

注意事项：

1.本试卷共6页.时问120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填

写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条

形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对

应的答题区域内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知x，yeR，i为虚数单位，则“x=Ty=2”是“x+M=（2+i）i”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，结合复数乘法及复数相等求出苍y,再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由x+=（2+i）i=2i+i?=-l+2i,x,yeR,得x=-l,y=2,

所以“尤=T,y=2”是“x+yi=（2+i）i”的充要条件.

故选：C

22

2.已知双曲线C：^匕=1的离心率为出，则m的值为（）

9m

A.18B.3A/2C.27D.2布

【答案】A

【解析】

【分析】借助双曲线离心率定义计算即可得.

【详解】由题可得实半轴长。=3,所以半焦距c=Qx3=3jG，

所以机=@代')—32=18.

故选：A.

3.数据7,3,6,5,10,14,9,8,12的第60百分位数为()

A.14B.9.5C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】由百分位数的概念求解即可.

【详解】数据从小到大依次排列为：3,5,6,7,8,9,10,12,14,共9个数据.

由于9x60%=5.4,所以第60百分位数第6个数据，即为9.

故选：D.

4已知函数/小、曰lo…g,x,七x＞＜0。

g(x)=/(-%)+1,则g(x)的图象大致是()

【答案】C

【解析】

【分析】计算出尤＞0时，g(x)=(x—1『+1,可排除A、B、D.

【详解】令x>0,则—x<0,所以/(—x)=(—x+l)2,

g(x)=+1=(无-1)-+1,故可排除A、B、D.

故选：c.

5.在等比数列｛4｝中，记其前〃项和为s“，已知。3=—g+2%,则，的值为（）

A.2B.17C.2或8D.2或17

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列通项公式求得4=1或q=-2,再利用等比数的求和公式求解即可.

【详解】解：由等比数列的通项公式可得为/=一/q+2%,

整理得『+”2=0,

解得4=1或4=-2.

当4=1时，寸=蝠=2;

a\(■-1)

当q=—2时，^-==^-^=^4+1=17.

s，矶4-1)q-1

9一1

所以当

的值为2或17.

故选：D.

6.在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个.现从中不放回地依

次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为（）

7725

A.—B.-C.—D.一

10936

【答案】B

【解析】

【分析】由条件概率的计算公式，先求出条件事件的概率，由公式即可得出答案.

【详解】设第一次摸出白球为事件A,第二次摸出黑球为事件3,则第一次摸出黑球为事件彳.

_73323

P(B)=P(AB)+P(AB)=—x—+——x—=

109109To

73

一x—

11097

・・"(A上篇39

io

故选:B.

7.已知关于%的不等式(x-2a)[f—(2a+l)x+l]»0对任意xe(O,+s)恒成立，则实数。的取值范围

是()

【答案】C

【解析】

【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法、根与系数关系等知识确定正确答案.

【详解】对于函数y=*—(2a+l)x+l,A=(2a+l)2—4.

3i

①令A=(2a+1)2—4<0,即——<a<-,满足y=d—(2〃+1)%+120恒成立,

3

因此，只需2a<0,即〃《0,所以——<a<0.

2

13

②令A=(2a+1)2—4〉0,即a〉5或a<—万.

设方程f一(2。+1卜+1=0的两根分别为和々，则占+々=2。+1,%々=1.

当时，方程(2a+l)x+l=0有两个正根，

存在xe(O,y),使得(x—2a)[x2—(2a+l)尤+1]<0,不符合题意，舍去；

3

当——时，方程(2a+l)x+l=0有两个负根，

3

因此，只需2a<0,即〃<0,所以—,

2

综上所述，。的取值范围为(—8,0].

故选：C

8.在平面直角坐标系中，点P的坐标为10,g],圆C：(x—5『+[y—g]=1,点T«,0)为了轴上一动

点.现由点尸向点T发射一道粗细不计的光线，光线经无轴反射后与圆C有交点，则f的取值范围为

)

15107107271527

A.T,TB.了54，-8-D.

【答案】A

【解析】

【分析】作点P关于x轴的对称点g),方法一、利用直线与圆的关系计算圆心到反射光线的距离

即可；方法二、利用反射光线与圆相切作临近值，借助两点距离公式、正切的和差角公式计算反射光线的斜

率范围，再利用截距的意义计算即可.

【详解】方法一：作点P关于％轴的对称点g),则直线P'T与圆C有交点.

又T«,0),所以直线PT的方程为y=上x—上，即y—9=0.

由题知圆C的圆心为c[5,g],半径为1,

直线P'T与圆C有交点，即圆心C到直线P'T的距离小于等于1,

方法二：作点尸关于％轴的对称点P(0,-则直线P'T与圆C有交点，

临界情况为直线P7与圆C相切.

设切点为。，令&=tan/QPC,易得|「为|=J(0_5)2+1_|_g]=5直,

所以左=

因为直线PC的斜率为左1=1,

所以直线尸。的斜率左e卜一+.

1+k1左21—左左12_|1_43_

易得直线PQ的方程为y=依一彳.所以/£—x~.

24232o3

故选：A

【点睛】思路点睛：对于光线的反射问题一般作对称点由入射光线得出反射光线所在直线，再利用直线与圆

的位置关系计算即可，法二、计算反射光线与圆相切时的斜率从而得出反射光线的斜率范围，再结合直线的

截距意义计算，计算略显复杂，但也是一种很好的方向.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知”>2,且〃eN*，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有()

A.若乂~3(%!)，则E(2X+l)=g〃+l

14

B.若X〜则。(2X+1)=§”

C.若X则尸(X=l)=尸(X=〃-1)

D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算

判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.

112

【详解】对于A,由X〜得E(X)=§〃，则E(2X+1)=§〃+1,A正确；

11222

对于B,由％~5(〃,§),得。(X)=§x§〃=§〃，则。(2X+1)=4D(X)=§〃，B错误；

11221

对于C,由X~B(n,~),得P(x=1)=C；,X-X(-)"-1,P(X=n-l)=C：-1x-x(-)«-1,故

P(X=1)WP(X=〃—1),C错误；

对于D,当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确.

故选：BC

10.一块正方体形木料如图所示，其棱长为3,点尸在线段4G上，且A£=GPG，过点尸将木料锯

A.PCLBD

B.截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台

C.截面的面积为6月

3兀

D.以点A为球心，A3长为半径的球面与截面的交线长为一

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A：通过证明3。1平面ACGA得PCLBD；对B：作出截面5cMN,截得的两个几何体

分别是三棱柱和四棱柱；对C：求出矩形3CW各边长得面积；对D：过A作AOLBN于点。，球面与

截面的交线为以点。为圆心，80长为半径的半圆弧，求其弧长即可.

【详解】对于A,如图，连接AC,由CG，平面ABCD,8£>U平面得CCJBD.

又AC_LBD,ACryCCx=C,ACu平面ACC^jCQu平面ACC^,

又PCu平面ACGA，所以PCLBD，正确.

对于B,过点尸作直线平行于40,分别交A用,GQ于两点，连接BN,CM,

显然MN〃BCi//BC,所以四边形为过点P及直线5c的正方体的截面,

截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，错误.

对于C，由选项B，得黑■=??=%，则。阳=&CM=J(后+32=2技

因此截面矩形BCAW的面积S=3CCM=6jL正确.

对于D,过A作49J_5N于点。，

由BC，平面ABB^,AOu平面ABBXA,,得AO，5C.

又BNcBC=B,BNu平^面BCMN,BCu平^面BCMN,所以49,平面5QW,

所以点。为以点A为球心，A3长为半径球面被平面3cMz所截小圆圆心，

球面与截面的交线为以点。为圆心，BO长为半径的半圆弧，

显然/540=/用珈=30。,8。=—48=—,因此交线长为三，D正确.

222

故选：ACD.

11.已知。为全集，集合A,3,C,D满足：A8,C为U的非空子集，且

A<JB<JC=U；^D=C,(AuB)(AnB)=D.对所有满足上述条件的情形，下列说法一定错误的有

()

A.CcZ)w0B.BuC=U

C.(AoB)nC=0D.e(AuB)不包含于C

【答案】AD

【解析】

【分析】由集合交、并、补的运算，逐项判断即可.

【详解】由gD=C,知CcO=0,A错误；

当5=0,有时，£>=砥⑷(AC3)=BA^C=^D=B(7BA)=A,满足条件，且

B2c=U,所以B不一定错误；

当口时，又所以此时,所以不

43=0D=^B)[AOB)=A<JB,CcO=0,(AD5)CC=0C

一定错误；

因为qAuB)(Ac6)=£>,所以£>£(AD5),所以瘠(ADB)1声=。,D错误.

故选:AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

3x

12.设正实数尤,V满足孙=10,lgx」gy=-—,则1g—=_________.

.........4y

【答案】及

【解析】

【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解.

【详解】由孙=10,得lgx+lgy=lg孙=1.

所以1g2=Igx_Igy=±J(Igx+-41gx•lg\=±2.

y

故答案为：±2

13.如图，函数/(x)=J^sin(0x+o)(0>O,O<o<7i)的部分图象如图所示，已知点A。为/(九)的

图象与x轴的交点，点氏C分别为/(%)图象的最高点和最低点，l.ABDC=-1|AB|2,则函数

5兀

【答案】—

6

【解析】

【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得0,再由函数零点即可得0.

【详解】由题图可得又7=生,

71

又69>0,所以。

2

JT1JT

所以一x—十0二航(左wZ),解得夕二----GZ).

236

5兀

因为0<0<兀，所以。二一

6

5兀

故答案为:

~6

14.已知方程1(加£R)有四个不同的实数根a,Z?,c,d,满足a</?<O<c<d,且在区间(a,。)

和(c,d)上各存在唯一整数，则实数加的取值范围为

ln2+l

【答案】

4

【解析】

【分析】方法一:l(x^O,meR)可以化为历国+1—如:？=0(x^0).令

/z(x)=ln|%|+l-z7a2,x^O,易得八(久)为偶函数，所以只需考虑%>0时，入⑴=lnx+l-加？有两个

]nY-I-1InY-4-1

零点、C,d,且在区间(c,d)上存在唯一的整数.若〃(％)=0,则——=m.令g(x)=——,x^0,

XX

根据导数得到g(x)的单调性，根据在区间(C,d)上存在唯一的整数，列出不等式组即可.

得出间+1

方法二:由L21=1(%w°，加£R)，=mx^x丰0)令

X

/z(x)=nvc,xw0,g(x)=I”国+1,%/0,易得〃(x),g(x)均为奇函数，所以只需考虑%>0时，

g(x)=ln%—与/i(%)=的图象有两个交点(Gg(c))，(d，g(d))且在区间(c,d)上存在唯一的整数,

通过求导得到g(x)的单调性，根据直线/z(x)=g过特殊点时加的值即可得到加的取值范围.

1x1

2

方法三：i=l(x0,meR)<»ln|x|=mx0).令

e

/z(x)=ln国,xwO,0(尤)=小2_],%。0,作图象，利用数形结合可得加的取值范围.

||

【详解】方法一：:xI=1(%工0,加£R)<»ln|x|+l-/nx2=0(%w0).

令网%)=如国+1-痛2,%工0,则%(一%)=所以以%)为偶函数.

所以只需考虑x>0时，/z(£)=hix+l一有两个零点c,d,且在区间(c,d)上存在唯一的整数即可.

当x>0时，令h(x)=O,得购：1=加.

x

人/、lnx+1m，/、21nx+1

令匹犬)=大厂，贝U/(x)=一一

当xw0,”时，g'(x)>0,所以g(x)在0,”上单调递增;

\7\7

<_1\(二A

当%we5,+”时,gr(x)<0,所以g(x)在e2,+8上单调递减.

I7

因为在区间(c,d)上存在唯一的整数,

1。I[

所以g(2)Wm<g(l),即笠/<加<1.

In2+1)

所以加的取值范围为4，)

_M_ln|x|+l

方法二:1(%w0,mG)=w0).

/nr2—1Ro

Cx

令g(x)=lnN+l,xwO,贝[|g(-x)=—g(x),所以g(x)为奇函数.

因为/z(x)=/nx也是奇函数，

所以只需考虑x>0时，g(x)=生匚也与人(%)=〃式的图象有两个交点(c,g(c)),(d,g(d)),且在区间

X

(G")上存在唯一的整数.

易知g'(x)=¥，当xe(0,1)时，g'(£)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增；

X

当X6(1,+8)时，g'(%)<0,所以g(x)在(1,+8)上单调递减.

当直线人(%)=〃四过点(1,1)时，7"=1;

当直线A(x)=mx过点［2，nj+1时，噜庶担

4

因为g(x)与无(X)的图象有两个交点，且在区间(c,d)上存在唯一的整数,

oln|x|=mx2-1.

令/z(x)=lnN，xwO,0(x)=7"2-l,xwO,两函数均为偶函数,

所以只需考虑x>0时，八(均与奴幻的图象有两个交点(cM(c)),(d,〃(d)),

且在区间(G〃)上存在唯一整数.

如图，作/z(x),0(x)的部分图象，根据图象易得l<dW2,

ln2<4/w-l,l+ln2,

所以《解得-------<m<l,

m-l<0,4

l+ln2]

所以加的取值范围为

4，'

l+ln2

故答案为:

4，

【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数的常用方法

(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关

于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,

将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

(3)将函数y=/(%)-g(x)的化为/(x)=g(x)的形式，将函数的零点个数转化为y=f(久)与y=g(x)

图象交点的个数问题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在VABC中，角C所对的边分别为。，仇。，己知c=2,/+02一〃=1|；-2cosajbc.

(1)求6的值；

(2)设/B4C的平分线交6C于点。，若VA3C的面积为3百，求线段的长.

【答案】(1)6(2)AD=上叵或4。=』

22

【解析】

【分析】(1)由余弦定理化简即可得解；

(2)由角平分线的性质及三角形面积求出。到边A5和边AC的距离，再由正弦定理得解.

【小问1详解】

在VABC中，由余弦定理得2历cosA=^+c2—片，

代入已知条件，得/+c?—/=|匕。—仅2+02—/).

整理，得2c2=2人。，所以》=3。=6.

3

【小问2详解】

由于=-bcsmZBAC.所以sin/BAC=型3=3•

“2be2

又NH4Ce(O,7i),所以NR4C=1或段.

所以sin^NBACn!或且，

222

由点。在ZBAC的平分线上，知点D到边AB和边AC的距离相等.

设这个距离为d,则5钻0=L0+。)1,所以〃=空&=々a叵=之叵.

A2、)b+c2+64

AD=—1-----3月3

所以2或一,

sm-ZBAC22

2

16.如图，己知三棱柱A5C—ABIG的所有棱长均为1，且A3I=AC]=1.

(1)求直线AA|与平面ABC所成角的正弦值;

(2)求点A到平面54cle的距离.

【答案】(1)显

3

⑵克

2

【解析】

【分析】(I)由题意得到四面体A-A4C是正四面体，从而过A作平面44cl的垂线AH,利用正四面体

的性质易得NHAA为所求线面角.

(2)所求距离可看成四棱锥A-8qGC的高，利用等体积法，将四棱锥A-B4GC的体积转化为三棱柱

ABC-A.B.Q的体积减去三棱锥A—431cl的体积，根据四棱锥A-的体积和底面积54cle从

而求出距离.

【小问1详解】

由题意，得四面体A-A旦G是正四面体.

如图，过点A作平面44cl的垂线AH,交平面44G于点〃，

连接AH,B[H,CIH.

由对称性知，点”为正三角形44G的中心.

易得=120°，48=4”,

所以A^H=gA4cosW=

因为A”，平面A3iG，A"u平面4耳£,所以

所以直线M与平面4与£所成的角为/码A.

因为sin/9A=迫='"一4"、逅,

4A41A43

又平面ABC〃平面4耳£,

所以直线A&与平面ABC所成角的正弦值为限.

因为A”，平面4用C，与Cu平面4耳£,

所以A”,耳£.

又44_L5c1，且AHcA//="，

所以31G，平面A41H.

又A&u平面A4",所以用C]，A&.

又A4〃53]〃cq,所以31cl±cq.

所以四边形为矩形.

所以S矩形B4GC=lx1=1

因为V=V_V=昱昱员工=显

一V四棱锥A-网GC_V三棱柱ABC-A4GV三棱锥A-440—43433~69

所以点A到平面3片GC的距离为3?棱—"Ge="

3矩形BMGC2

17.已知函数/(x)=e*,g(x)=Ax+Z?(k,/2eR).

(1)令人(%)=/(x)—g(x),讨论函数拉⑺的单调性；

⑵若左>0,且“X)2g(力在R上恒成立，求g(2)的最大值.

【答案】(1)答案见解析

2

(2)e

【解析】

【分析】(1)求导，对左的正负讨论求解得力(力的单调性；

(2)根据题意得人<8"-0n左，所以可得g(2)=2左+AW2左+6.一如左=3左一曲很，令

p(k)=3k-ldnk,k>0,利用导数求出p(左)的最大值，得解.

【小问1详解】

因为/z(x)=/(x)_g(x)=eX_Ax_6,

所以〃(x)=e"-左.

当左W0时,〃'⑺>0恒成立，在R上单调递增.

当左>0时,令〃(%)=0,则尤=ln左，

当x<In左时，“(X)<0,/z(x)在(一8,InZ)上单调递减；

当尤>In%时，〃(x)>0,人(%)在(1成,+。)上单调递增.

综上所述，当左W0时，/?(X)在R上单调递增；

当左>0时，力(尤)在(—8,1*)上单调递减，在(Ink,+“)上单调递增.

【小问2详解】

结合(1)与题意可得〃(1U"O,即e1^—神次—武0,即8<建—0n人.

所以g(2)=2k+b<2k+e^nk-ldnk=3k-ldnk.

令p(k)=3k-ldnk,k>U,则/(左)=2—Ink,

今p")=0,则左=e?.

当左e(0,e2)时，/(左)>0,p(左)在(Od)上单调递增；

当左6卜2,+00)时,0，(左)<0,p(左)在旧+动上单调递减.

所以P(4)max=P(e2)=e?.

所以2左+』Ve2,即g(2)的最大值为e2.

221

18.已知椭圆G：=r+二=1(。〉人〉0)与抛物线。2：丁=4%有一个公共焦点，且G的离心率为；，设

a"b2

G与C2交于A3两点.

(i)求椭圆G的标准方程及线段AB的长；

(2)设P为G上一点(不与A3重合)，满足直线尸/4,尸3均不与c?相切，设直线PA,尸5与C2的另一

个交点分别为M,N,证明：直线过定点.

【答案】(1)—+^=1；巫

433

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用抛物线的定义先确定焦点，再利用椭圆的性质计算可得椭圆方程，联立椭圆与抛物线方程

计算可得线段A3的长；

(2)分别设直线尸4尸5的斜率为勺&，并利用参数先表示A仅2,27),3年,—2。，利用点斜式表示直线

PA,PB,与抛物线联立得出M,N坐标，分类讨论当匕+左2=0时，得出P点坐标及",从而确定M,N

横坐标，再讨论匕+42/0时，根据点斜式得出直线肱V的方程并用占，左2表示其横截距，联立直线A4与

直线PB的方程，得出尸点坐标，结合P在椭圆上得出定值即可.

【小问1详解】

设椭圆的半焦距为C,易得抛物线。2：/=4x的焦点为F(l,0),

所以c=l.

又G的离心率为上，所以e=£=^=L.

2aa2

所以〃=2,所以。2=〃2_/=3.

22

所以椭圆G的标准方程为土+匕=1.

43

22

2

y=4x,X~3,x-1

联立解得《或<

2762屈

y=—y=-------

33

所以线段AB的长为生色.

3

【小问2详解】

由(1)不妨设A3的坐标分别为

〔33J〔33J

记半=2/,则：=/,A(t\2t\B(t\-2t).

易知直线R4,尸3斜率存在且不为0,

2

设直线PA的斜率为左,则直线PA的方程为y=kxx-kxt+2t,

与抛物线方程联立,得：(/x—A1t2+2/)=4x,△=166厂一32Aq/+16>0.

、2

…2(2

解得石=，，％2=t----

I%"

\2/

2

所以点Af的坐标为，一丁,一2t——

7

2

同理，设直线PB的方程为y=k2x-k2t-2t,A=16k“2+32k2t+16>0.

贝山的坐标为人邦2/-

2

k2.〃

若左+左2=0,则点P的坐标为(-2,0)或(2,0),

所以匕=手,一手或…半,&=旦(均满足△>()).

2

所以点M,N的横坐标均为6,

此时直线肱V的方程为x=6,过点(6,0).

f/、

,+△+212

2C\2

kkJ2

若左+左2/0,则直线的方程为丁=，——H

\2x—t-

(2[)

t——

z、2

2—]I2]

t——

\2<“1’<“1’

(27

今y=o,解得％=

+-7、

%])21/+2〕+2t—二2

%2?卜1>

\2

(2)2)(2)2

J-2+t——/+——t——t+——:一』xKL」

左2)<卜kkk

ki>1,kJ、2)3k[k?3x2

4/_2《匕+攵2)

联立直线B4与直线PB的方程，解得%>=*

k1—k，2k[—k，2

(24(Yr2t(k1+k2)

由点尸椭圆G上，知]-]——k,-k2

4+3

..e新E/Hk、—k,2^6416

化简，整理得二~Lx^^+——=——

2

勺左3kxk23

从而对直线MN,y=。时，x=6.

故直线MN过定点（6,0）.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步

（1）设直线方程，设交点坐标为（七,%）,（%，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或V）的一元二次方程，注意△的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或