江苏省南京市联合体2024-2025学年上学期九年级数学月考试卷（含答案）

九年级学情素养限时作业

数学（学科）

总分：120分时间：120分钟

一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）

1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）

3

A.2x2+xy=3B.x2=1C.x"5=0D.ax2+bx+c=Q

x

2.用配方法解方程V-4x-4=0时，原方程应变形为（）

A.（x-2）2=0B.（x-2）2=8C.（x+2）2=0D.（x+2）2=8

3.的半径为5,圆心。的坐标为（0,0）,点尸的坐标为（4,2）,则点尸与。。的位置关系

是（）

A.点尸在。。内B.点尸在上

C.点尸在外D.点尸在上或外

4.如图，N8是。。直径，4OC=130。，则/。的度数是（）

A.15°B.25°C.35°D.65°

5.如图，是。。的直径，0r•垂直于弦/C于点。，。。的延长线交。。于点E.若

AC=4也,DE=4,则8C的长是（）

C.2D.4

试卷第1页，共6页

6.如图，是半圆。的直径，点D在半圆。上，AB=2屈,AD=W,C是弧AD上

的一个动点，连接NC,过。点作。，_LNC于〃，连接在点C移动的过程中，BH

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）

7.一元二次方程x2=2的根是.

8.若关于X的一元二次方程依2—6x+1=0有两个不相等的实数根，则左的取值范围

是.

9.某菜鸟驿站第一天揽件100件，第三天揽件169件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为

x,根据题意所列方程为.

10.如图，是半圆。的直径，点C,。在半圆。上.若448c=54。，则/BDC的度数

为.

11.直角三角形的两直角边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于.

12.若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是.

13.若三角形的两边长分别是2和4,第三边的长是方程一一6x+8=0的一个根，则这个三

角形的周长为.

14.平面上一点/与。。上点的最短距离为2,最长距离为10,则。。半径为.

15.已知a,6是关于x的方程/+3m-2010=0的两根，则/-a-4b的值是.

16.如图，在半圆。中，C是半圆上的一个点，将就沿弦/C折叠交直径于点。，点E

是石的中点，连接。£,若OE的最小值为亚-1，则.

试卷第2页，共6页

三、解答题(本大题共11小题，共88分)

17.解方程：

(l)x2-2x-3=0

(2)(x-3)2=2x-6

18.如图，在。。中，点C是筋的中点，D、£分别是半径。4和08的中点，求证:

CD=CE.

19.已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0.

(1)求证：无论〃取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程两实数根分别为肛、X2,且满足X/+M2=3X/X2,求实数0的值.

20.如图这是一个残缺的圆形部件，己知4瓦。是该部件圆弧上的三点.

(1)利用尺规作图作出该部件的圆心；(保留作图痕迹)

(2)若△/BC是等腰三角形，底边BC=16cm,腰48=10cm,求该部件的半径R.

21.如图，48为。。的直径，。是弦/C延长线上一点，AC=CD,的延长线交。。于

点、E,连接CE.

试卷第3页，共6页

⑴求证//=ZD；

(2)若薪的度数为108°,求ZE的度数.

22.某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时

间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元,

平均每周多售出1辆.

(1)当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润.

(2)若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售

价.

23.如图，四边形内接于。。，连接/C、8。相交于点E.

图1图2

(1)如图1,若AC=BD,求证：AE=DE；

(2)如图2,若AC，BD,连接。C,求证：ZOCD=ZACB.

24.已知，在。。中，设部所对的圆周角为N8/C.求证：ZBAC=^ZBOC

证明；圆心O可能在28/C的一边上，内部和外部(如图①、②和③).

如图①，当圆心。在/A4c的一边上时.

•••OA=OC,

ZA=/C,

■.■ZBOC=ZA+ZC,

ZBOC=2ZA,BPZBAC=-ZBOC

2

试卷第4页，共6页

请你完成图②、图③的证明.

A

25.如图，N8是。。的直径，弦CD1/3,垂足为E,K为弧/C上一动点，AK,DC的

延长线相交于点尸，连接CK,KD.

⑴求证：AAKD=ZCKF；

(2)已知AB=8,CD=46，求NCKF的大小.

26.解方程/一5/+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是:

设/=＞，那么，=廿，于是原方程可变为廿-5y+4=0①,

解得%=1,%=4.

当了=1时，x2=1,/.x=±l；

当＞=4时，=4,:.x=±2；

；,原方程有四个根：玉=1,x2=—1,x3=2.,x4=—2.

⑴解方程+X）2-4（X2+X）-12=0.

⑵解方程--3忖=18

27.问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4

题很感兴趣.教材原题：如图1,BD、CE是△4BC的高，M是2c的中点.点2、C、D、

E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？

小军在完成此题解答后提出：如图2,若50、CE的交点为点O,则点/、D、。、E四点

也在同一个圆上.

试卷第5页，共6页

AAAA

M

图1

（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答.（选择一个解答即可）

直接应用：当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个

结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决.

（2）如图3,△NBC的两条高3。、CE相交于点0,连接并延长交5c于点E

求证：4尸为△48C的边8c上的高.

拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：

（3）在（2）的条件下连接EF、FD（如图4）,设乙DEF=a,则//Q8的度数为

.（用含a的式子表示）

试卷第6页，共6页

1.B

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；

B、是一元二次方程，故本选项符合题意；

C、分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；

D、当。=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注

意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方

程.

2.B

【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左右同时加上一次项系数一半的平方，即可

得到答案.

【详解】原式=x，-4x=4

X2—4x+4=4+4

（x-2）2=8

故答案选B.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，能够熟练掌握配方法是解题的关键.

3.A

【分析】求得线段PO的长后与圆的半径比较即可得到答案.

【详解】解：•.•圆心的坐标为（0,0）,点P的坐标为（4,2）,

.-.PO=V22+42=275

•■-OO的半径为5,

•••2V5<5,

.•.点P在圆O内.

故选：A.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形的性质，解题的关键是熟悉半径与两点

之间的线段长及点与圆的位置关系的关系.

4.B

答案第1页，共18页

【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为90度，同弧所对

的圆周角是圆心角的一半.

连接得出NAD/=90。，ZADC=-ZAOC=65°,即可解答.

2

【详解】解：连接

是。。直径，

ZBDA=90°,

■■ZAOC=130°,

ZADC=-ZAOC=65°,

2

:.NBDC=ABDA-ZADC=90°-65°=25°,

【分析】根据垂径定理求出。。的长，再根据中位线求出3c=20。即可.

【详解】设OD=x,贝UOE=CM=£>E-OD=4-x.

•・•/8是。。的直径，垂直于弦/C于点，AC=442

.-.AD=DC=-AC=2y[2

2

是△/8C的中位线

：.BC=2OD

•••OA2=OD2+AD2

(4—x)2=x2+(2>/2)2,解得x=l

；.BC=2OD=2x=2

故选：C

【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出。。的长是解

题的关键.

6.D

【分析】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，如图，取的中点

答案第2页，共18页

M,连接AD,HM,BM.由题意点”在以M为圆心，MD为半径的。M上，推出当M、

H、B共线时，的值最小；

【详解】解：如图，取的中点/，连接AD,HM,BM.

.,.点”在以〃■为圆心，MD为半径的。M上，

.・.当M、H、B共线时，3”的值最小，

•••是直径，

:.ZADB=9Q°,

BD=7(2V61)2-102=12,

BM=y/BD2+DM2=V122+52=13，

，皿的最小值为3"-2=13-5=8.

故选：D.

7.x—±V2

【分析】根据直接开平方法解方程即可.

【详解】r2=2,

两边开平方得：x=±五,

•'-xi=V2>X2=-V2-

故答案为XI=&,X2=-V2.

【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，把所含未知数的项移到等号的左边,

把常数项移项等号的右边，化成x2=a(aNO)的形式，利用数的开方直接求解.

8.k<9,且左片0

【分析】根据关于x的一元二次方程依2—6工+1=0有两个不相等的实数根，得到

△=从-4加=36-4上>0且左片0,解不等式即可求解

【详解】解：••・关于x的一元二次方程依2—6x+1=0有两个不相等的实数根，

A=/>2-4ac=36-4^>0,k丰0,

••k<9且左w0.

答案第3页，共18页

故答案为：k<9,且左片0

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，当一元二次方程有两个不相等的实

数根时，A>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，A=0；当一元二次方程无实数根

时，A<0,注意本题为一元二次方程，故要注意后片0这一隐含条件，这是易错点.

9.100(l+x)2=169

【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键.根据题意,

第三天的揽件数量=第一天的揽件数量X(l+X『，列方程即可.

【详解】解:由题意得：100(l+x『=169,

故答案为：100(1+x)2=169.

10.144°##144度

【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质.根据直径所对的圆周角是直角，可

得N/C8=90。，从而求出/C48,再根据圆内接四边形对角互补，即可解答.

【详解】解：「/台是半圆。的直径，

NACB=90°,

NABC=54°,

ZCAB=90°-ZABC=36°,

••・四边形ABDC是。。的内接四边形，

■.ZA+ZBDC=1^0°,

Z5Z>C=180°-Z^=144°.

故答案为：144°.

11.5

【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角

形的斜边等于其外接圆的直径可得这个三角形的外接圆的半径.

【详解】解：•••直角三角形的两条直角边长分别为6和8,

•••直角三角形的斜边=病诏=10,

所以这个三角形的外接圆的半径=gxlO=5,

故答案为：5.

12.30°或150°

答案第4页，共18页

【分析】本题考查了圆周角定理的运用，根据圆的一条弦长等于它的半径知：这条弦和两条

半径组成了等边三角形，所以这条弦所对的圆心角是60。，再根据弦所对的圆周角有两种情

况讨论求解，解决本题的关键是得到这条弦所对的圆心角的度数.

【详解】解：根据题意，弦所对的圆心角是60。，

①当圆周角的顶点在优弧上时，则圆周角=；x6(r=30。，

②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互

补,等于150。,

故答案为：30。或150。.

13.10

【分析】本题主要考查三角形的三边关系以及解一元二次方程，因式分解法求出x的值，再

根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，求出周长即可.

【详解】解：；X2-6X+8=0

A(x-2)(x-4)=0

解得x=2或x=4

当x=2时，2+2=4,不能构成三角形.舍去；

当x=4时，2+4>4,4-2<4,可以构成三角形，故三角形的周长为2+4+4=10.

故答案为：10.

14.6或4

【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,

反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.解题的关键是分点N

在圆内或圆外进行讨论.

分点/在圆内或圆外进行讨论，分别计算即可.

【详解】解：当点/在圆内时，。。的直径长为10+2=12,半径为6；

当点/在圆外时，的直径长为10-2=8,半径为4；

即。。的半径长为6或4.

故答案为：6或4.

15.2022

【分析】先根据一元二次方程的解得到/+3"2010=0,则/+30=2010,所以原式可化

简为2010-4(a+6),然后利用根与系数的关系求解.

答案第5页，共18页

【详解】解：*是关于X的方程/+3》-2010=0的根，

Q?+3Q—2010=0,

••・。2+3。=2010,即/=2010-3q,

Q?—ci—4b=2010—3a—a—4Z?—2010-4(。+b),

'-a与b是关于x的方程Y+3x—2010=0的两根，

•*cib——3,

・•・原式二2010-4x(-3)=2022.

故答案为：2022.

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若%，马是一元二次方程办2+为+，=0(。*0)的两根

时，X,+X=--,为F=£.也考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数

2aa

的关系是解题关键.

16.2

【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关

键.连接C£,OC,由三角形任意两边之差小于第三边得，当。、C、K共线时OE最小,

设的弧度为x°,求出1的弧度为90。，再设半径为r,列方程求解即可.

【详解】解：补全弧所在的圆及圆心，连接CEOC,O'E,O'C,

由三角形任意两边之差小于第三边得，当。、C、£共线时OE最小，即OE=收-1,

设就的弧度为X。，

前的弧度为:(180-x)。,

ZCAD=ZCAB,

答案第6页，共18页

二.也的弧度为：（180-x）。，

由折叠得，彷的弧度为x°,

二弱的弧度为：x°-（180-x）°=（2x-180）°,

・・•点E为弧40中点，

旗的弧度为：|（2x-180）°=（x-90）°,

.总的弧度为：（180-力。+（尤-90）。=90。,

即无所对圆心角NCO'E=90°,

设半圆。的半径为人则由对折可得：O'C=O'E=r,

■■■OE=42-1,

：.CE=r+42-l,

r2+r2=（r+夜-，

解得：5=1，&=2/-3（不符合题意，舍去）

/.AB=2,

故答案为：2.

17.（1）修=3,X2=~l

（2）x?=3,%2=5

【分析】（1）把常数项移到右边后，用配方法解一元二次方程即可;

（2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】（1）解：x2—2x—3=0

移项，得：x2—2x=3,

配方，得：x2—2x+1=3+1,

即（X-1）2=4.

两边同时开方，得：、一1=±2,

•'•X]=3,X2=1.

（2）解：（％-3）2=2x-6

v（x-3）2=2（x-3）,

答案第7页，共18页

(x-3)2-2(x-3)=0,

则(x-3)(x-5)=0,

•••X-3=0或x-5=0,

解得：肛=3,X2=5.

【点睛】此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方

法和步骤是解题的关键.

18.见解析

【分析】连接OC,构建全等三角形△COD和ACOE,即可求证.

【详解】证明：连接OC,如图所示：

■■-OA=OB,且。、E分别是半径04和05的中点，

.，.OD=OE,

是荔的中点，

二就=前，

ZCOD=ZCOE,

.•.在△COD和ACOE中，

OC=OC

<ZCOD=ZCOE,

OD=OE

.-.△COD=ACOE(SAS),

CD=CE.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形全等的判定等，掌握数形结合思想是解

题关键.

19.(1)详见解析；(2)p=±l.

【分析】(1)先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△〉()，即可得到总有两个

不相等的实数根；(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把

答案第8页，共18页

x；+x；=3x^2变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于P的一元二次方程，解

方程即可求解.

【详解】证明：(1)(x-3)(x-2)-p2=0,

x2-5x+6-p2=0,

△=(-5)2-4xlx(6-p2)=25-24+例2=]+402,

・•・无论p取何值时，总有4p2>Q,

••・无论〃取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)X1+X2=5,X1X2=6-p2,

vx；+x；=3XfX2,

(X/+X2)2-2x/X2=3xpQ,

.■-52=5(6-p2),

；W=±1.

20.⑴见解析

25

(2)圆片的半径R为？~cm

【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂径定理及勾股定理，熟记相关结论是解题关

键.

(1)弦和/C的垂直平分线交点。即为所求的圆心，据此即可完成作图；

(2)连接根据垂径定理可得m=8cm,再结合勾股定理可得设圆片的

半径为在RtABO。中利用勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：如图所示：分别作弦N8和4C的垂直平分线交点。即为所求的圆心；

(2)解：连接4O,O3,2C,8C交。/于。.

答案第9页，共18页

16cm,

/.BD-8cm,

・「AB=10cm,

AD=-JAB2-BD2=6cm，

设圆片的半径为五,

在RtABOD中,。。=（火-6）cm,

7?2=82+（7?-6）2

25

解得：~cm,

二圆片的半径A为g25em.

21.（1）见解析

⑵27°

【分析】（1）连接8C,首先证明=即可求解;

（2）根据弱的度数为108。，可得到/EA4,根据/E氏4=//+/。，且44=/。，即可求

解.

【详解】（1）如图：连接8c

•••48是。。的直径

ZACB=90°,BPAD1BC

又；AC=CD

AB=BD

NA=/D.

答案第1。页，共18页

（2）•.•窟的度数为108。

NEBA=54°

XvZEBA=ZA+ZD,且4=/。

NA==NEBA=27。

2

NE=NA=27°.

【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决

问题.

22.（1）98（万元）；（2）20万元

【分析】（1）根据售价计算销售量，即可求出利润；

（2）设每辆汽车降价x万元，根据已知条件列出方程解答即可.

【详解】（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：号25-萨22xl+8=

14,

则此时，平均每周的销售利润是：（22-15），14=98（万元）；

（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：

（25-%-15）（8+2x）=90,

解得々=1,刈=5,

当x=l时，销售数量为8+2x1=10（辆）；

当x=5时，销售数量为8+2x5=18（辆），

为了尽快减少库存，则x=5,此时每辆汽车的售价为25-5=20（万元），

答：每辆汽车的售价为20万元.

【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解销售数量与销售价之间的关系是解题

的关键.

23.（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用4c=8。得到就=55,则荔=也，然后根据圆周角定理得到

ZADB=ZCAD,从而得到结论；

（2）作直径CF,连接。尸，如图2,先利用垂直定义得到/4DE+/C4D=90。，再利用圆

答案第11页，共18页

周角定理得到=NF=NCAD,NCDF=90。，然后根据等角的余角相等得到

结论.

【详解】(1)-：AC=BD,

二就=丽，

即AB+BC=BC+CD，

-AB=CD，

/ADB=ACAD,

AE=DE；

(2)作直径CF,连接。尸，如图2,

•：ACLBD,

；./AED=90。,

:./ADE+/CAD=9。。,

♦;/ACB=/ADE,ZF=ACAD,

:.ZACB+ZF=90°f

・••c/为直径，

/.ZCDF=90°,

/./F+/FCD=9。。,

/.AACB=ZFCD,

即ZOCD=ZACB.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦

是直径.

24.证明见解析

【分析】图②证明：如图②所示，连接力。并延长交圆O于。，根据04=05=。。，得到

答案第12页，共18页

NOAB=/OBA,NOAC=NOCA,利用三角形外角的性质得到

/BOD=2/OAB,NCOD=2/OAC,由此证明即可；

图③证明：如图③所示，延长5。交圆。于此由同弧所对的圆周角相等得到

/E=/BAC,再由图①的证明等量代换即可证明图③.

【详解】解：图②证明：如图②所示，连接Z。并延长交圆。于。，

-OA=OB=OC,

:・NOAB=/OBA,ZOAC=ZOCA,

vZBOD=AOBA+AOAB,ZCOD=ZOCA+AOAC,

・•./BOD=2ZOAB,/COD=2ZOAC,

・•・ZBOD+ZCOD=2AOAB+2NO4C,

ABOC=2ABAC,gpZBAC=-ZBOC；

2

图②

图③证明：如图③所示，延长8。交圆。于E,

:.NE=ABAC,

由图①的证明可知NE=；NBOC,

.-.ZA^-ZBAC.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定

理，同弧所对的圆周角相等等等，熟知相关知识是解题的关键.

25.⑴见解析

答案第13页，共18页

(2)60°

【分析】(1)连接NC.根据“圆内接四边形对角互补”以及同角的补角相等，推知

ZCKF=ZADC；然后由垂径定理以及等弧所对的圆周角相等证得=最后根

据等量代换证得结论；

(2)连接利用垂径定理知DE=CE=ga)=26,然后在Rtz\ODE中根据勾股定理

求得OE=2,最后在Rt小〃E中利用三角函数的定义求得tanZ4DE=VL由等量代换知

2CKF=60°.

【详解】(1)证明：连接AC,

ZCKF是圆内接四边形ADCK的外角，

ZCKF+NAKC=180。，NAKC+ZADC=180°

ZCKF=ZADC,

•••4B为。。的直径，弦CO，48,

•••=就，

ZADC=ZAKD,

；.NAKD=ZCKF；

(2)解：连接。。，

•••4B为。。的直径，AB=8,

OD=04=4,

答案第14页，共18页

•••弦CD_L48,CD=46,

■,DE=CE=-CD=2.43,

2

在RtZkODE中，OE=dOD?-DE。=2,

/.AE=OA+OE=6,

在Rt/k/DE中，t^nZ-ADE=——=-r==yfi,

DE2j3

・•・/ADE=60°,

•：/CKF=/ADC=/ADE=60°.

【点睛】此题考查了等弧所对的圆周角相等、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以

及解直角三角形等知识，熟练运用有关知识是解题的关键.

26.(1)石=-3,x2=2；

(2)匹=-6,x2=6.

【分析】本题考查了绝对值的意义，换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有

倍数关系时，可考虑用换元法降次求解，掌握相关知识是解题的关键.

(1)设一+"h则原方程可化为/-句/-12=0,求出方程的解，再求出工即可；

(2)原方程可化为讨-3国-18=0,设国=九原方程可化为「一3y-18=0,求出方程的

解，再求出x即可.

【详解】(1)解：设/+»,原方程可化为歹-4y-12=0,

解得：必=6,%=-2.

由/+x=6,得占=-3,x2=2.

由x?+x=-2,得方程X2+X+2=0,

ft2-4ac=