2025年高考数学复习教案：函数的概念及其表示

第二章函数

第1讲函数的概念及其表示

—<教师尊享•命题分析)一

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.了解构成函数求函数的定义域2022北京T11本讲是函数部分的基础，命题

的要素，能求简求函数的解析式热点为分段函数的求值、含参

单函数的定义和解不等式问题，题型以选择

域.2022浙江题、填空题为主，难度中等偏

2.了解简单的分分段函数T14；2021浙易.在2025年高考的备考中，

段函数，并能简江T12要掌握函数的三要素和以分段

单应用.函数为载体的有关应用.

C学生用书P018

1.函数的概念及表示

一般地，设A,8是①非空的实数集，如果对于集合A中的②任意一

函数的个数无，按照某种确定的对应关系力在集合8中都有③唯一确定的数v和

定义它对应，那么就称为从集合A到集合3的一个函数，记作y=/(x),

三要素④定义域，⑤对应关系，⑥值域.

定义域自变量x的取值范围A

值域函数值的集合{7(x)1xeA},是集合2的⑦子集.

相等函数⑧定义域相同,⑨对应关系完全一致.

函数的表

⑩解析法，⑪列表法，⑫图象法.

示法

注意(1)与彳轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；(2)解决函数问题时，优先

考虑定义域.

常用结论

求函数的定义域时常用的结论

(1)分式型冷7要满足了(x)W0；(2)偶次根式型24f(:

r)(〃£N*)要满足/(%)

20；(3)[/(%)]°要满足/(无)W0；(4)对数型log/(x)(〃>0,且〃W1)要满足

f(x)>0；(5)正切型tan/(无)要满足/(x)kGZ.

2.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种

函数称为分段函数.

注意(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；(2)分段函数的定义

域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.

基础自测+

1.下列/(x)与g(尤)表示同一个函数的是(B)

A./(%)=]乂2-1与g(x)=Jx—l-Vx+1B.f(x)=工与8(x)

C.f(x)=%与且(x)=(Vx)D.f(x)与g(x)=Vx^

2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数)=10-的定义域和值域相同的是(D)

A.y=xB.y=lgxC.y=2*口)=2

X2—1,X<1,

3」教材改编]已知函数/(x)=\1则/(/(—2))=(B)

1310

A.8B.-C.--D.--

249

——l,X<1,

解析因为/(%)={1所以/(一2)=(—2)2—1=3,所以

f(/(-2))=/(3)=±=[,故选B.

4.已知函数/(无)=2元一3,UeNI则函数无)的值域为{-1,1,3,

5,7}.

g---------------------------3WW)«»*嬲的画1-------------------------

由学生用书P019

命题点1求函数的定义域

例1(1)[2022北京高考]函数/(x)=^+J1一久的定义域是(一8,0)U(0,1].

解析因为/(x)=§+Jl-x,所以x#0,1—x20,解得xd(—8,0)U(0,1].

(2)若函数/(I—2x)的定义域为[—1,2],则函数/(x)的定义域为[—3,3].

解析因为函数/(I—2x)的定义域为[-1,2],所以一1WXW2,所以一3<1—2xW3.所

以函数/(%)的定义域为[-3,3].

命题拓展

若函数/(x)的定义域为[—1,2],则函数/(I—2x)的定义域为[一,1].

解析由一1W1—2xW2,得一:WxWl,所以函数/(l—2x)的定义域为[—1].

方法技巧

1.求具体函数的定义域的策略

根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式(组)，求解不等式(组)即可；对实际

问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.

2.求抽象函数的定义域的策略

(1)若已知函数/(x)的定义域为[a,b],则复合函数/(g(x))的定义域由不等式

a《g(x)Wb求出；

(2)若已知函数/(g(无))的定义域为[a,b],则/(无)的定义域为g(无)在[a,bl_L

的值域.

注意无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.

训练1(1)[2024浙江省宁波市余姚中学一检]己知函数y=/(x)的定义域是[-2,3],

则函数尸)的定义域是(A)

-1)U(-1,1]

B.E-3,-1)U(-1,7]

C.(-1,7]

D.[—I，-1)

解析因为函数y=/(x)的定义域是[—2,3],所以一2W2x+lW3,且x+lW0,解得

xG[一|,-1)U(-1,1].故选A.

(2)[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数/(x)=.-2+(x—4)°的定义域为—

耳，4)U(4,+8).

解析要使函数/(%)=/3x—2+(x—4)。有意义，则有13%2—0,解得X2；且

N1%—4W0,3

%W4,

所以函数f(%)3x-2+(x—4)°的定义域为匕4)U(4,+8).

命题点2求函数的解析式

例2(1)[2024河南省内乡高中模拟]已知/(x)是一次函数，且/(/(x))=16x—25,

则/(x)=4%一5或-4%+§.

解析设/(x)=kx+b(k#0),则/(/(x))=k(kx+b)+b=^x+kb+b=16x~

(k2=16,(k=4,k=—4,25

25,.*.].*.]或125•"(%)=4%—5或/(x)=-4x+—.

[kb+b=—25,16=一5b=—,3

(2)已知/(x)满足4(x)+/(i)=3x—1,则/(x)=.

解析已知V(x)+f(i)=3x—1①，

以3弋替①中的x(尤WO),得2f+f(x)=：-1②，

①X2—②，得3/(x)=6无一：一1,故f(x)—2x—^—\

方法技巧

求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法求

解.

(2)换元法：若已知复合函数/(g(x))的解析式求解函数/(x)的解析式，可令

g(x)=t,解出X,然后代入/(g(x))中即可求得/G),从而求得了(X).此时要注意

新元的取值范围.

(3)配凑法：配凑法是将函数/(g(x))的解析式配凑成关于g(x)的形式，进而求出

函数/(X)的解析式.

(4)构造方程组法(消元法)：若已知/(%)与fq)，/(-x)等的表达式，则可通过

赋值(如令X为3—X等)构造出另一个等式，通过解方程组求出了(X).

注意求函数解析式时，若定义域不是R,一定要注明函数定义域.

训练2⑴已知“%2+或)=x4+^,则/(x)的解析式为f知)=d—2,xd[2,

+°°).

解析因为f(国+1)=(解+：)2—2,所以/(x)=，-2,[2,+°°).

(2)[2024安徽淮南模拟]已知/(x)是二次函数，且/(x+1)+f(x-1)=2/—4x+

4,则/(x)=f-2x+l.

解析因为/(%)是二次函数，所以设/(x)=ax2-\-bx-\-c(〃#0),则有。(x+1)2+

b(x+1)+c+〃(x-1)2+Z?(x—1)+c=2x2-4x+4,即2奴2+2"+2〃+2c=2/—4%

2a=2,(a=1,

2b=—4,所以{b=—2,所以/(x)=X2~2X+1.

{2。+2c=4,(c=1,

(3)[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知/(%)满足3/(x)+2/*(1-x)=4x,贝！J

f(x)的解析式为f(x)=4x—：.

解析3/(x)+)(1—x)=4x①，用1一%代替①中的x可得3/(1—%)+2f(x)=

4(1—无)②，由3X①一2X②可得/(无)=4A—1

命题点3分段函数

角度1分段函数的求值(求参)问题

例3(1)[山东高考]设/(%)=[«':<”<L若…)=/(a+l),则=

(2Cx1),%1.

(C)

A.2B.4C.6D.8

解析作出了(X)的图象，如图所示，因为所以要使/(〃)=/(〃+1),则有

yja=2(〃+1—1),0<«<1,所以解得。=工，所以/(工)=f(4)=6.

L

—%2+2,X<1,1

(2)[2022浙江高考]已知函数/(x)=।1则/(/《))=>?7；若当

%+--1,x>1,2

x

工£[〃，加时，1W/(x)W3,则Z?—〃的最大值是3+百.

解析由题意知/0)=—(1)2+2,则/(/(与)=于0=什91=什11=条

作出函数/(X)的大致图象，如图所示，

结合图象，令一，+2=1,解得x=±l;令%+：—1=3,解得x=

2±V3,又x>l,所以工=2+巡.

所以(Z?—4)max-2+V3-(11)=3+V3.

角度2分段函数的解不等式问题

％Y<0

例4[全国卷I]设函数/(x)='-'则满足了(x+1)<f(2x)的X的取值范围

1,%>0,

是(D)

A.(―00,—1]B.(0,+00)

C.(-1,0)D.(―8,0)

解析解法一当％W0时，函数f(x)=2一，是减函数，则/(x)2\/

f(0)=1.作出/(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使q---------

O|X

fx+1<0,,

|fx+1>0

f(x+1)<f(2x),则需《2%<0,或4一'所以xVO,故选

[2x<0,

\2x<x+1

D.

解法二当X=-2时，fG+l)=/'(?=1,/⑵)(-1)=2-<F=2,满足

/(x+1)<f(2x),排除A,B;当x=—1时，/(x+1)=f(0)=2°=1,f(2x)=

f(-2)=22=4,满足/(x+1)<f(2x),排除C.故选D.

方法技巧

1.解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解,

当出现了(/(。))形式时，一般由内向外逐层求值.

2.解分段函数的解不等式问题的思路：(1)若图象易画，可画出函数图象，数形结合求

解；(2)根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.

注意解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.

2x+a,x<1,

训练3(1)[2024河南郑州外国语模拟]已知实数。<0,函数/⑴=

一x—2a,x>1,

若/(1—a)=f(l+a),则a的值为(A)

解析因为a<0,所以1—a>1,l+a<l.因为f(1—a)—f(1+a),所以一(1—a)—

2a=2(1+a)~\-a,解得a=—1.故选A.

pX—i丫v2

(2)［2024四川达州外国语模拟］已知函数/(x)=则7(7)=8.

2/(x-2),x>2,

解析由题意得/'(7)=2f(5)=2X2f(3)=4X4(1)=8e1-1=8.

(3)［2023江苏南通模拟］已知函数/(无)=max{l—x,2*},其中max{a,6}表示a,万中

的较大者.则不等式/(%)>4的解集为(一8,—3)U(2,+8).

解析作出/(x)的大致图象如图所示，结合图象可知/(无)=

1—%,%<0,

当尤W0时，由1一尤>4,得x<—3.当x>0时，由2工〉

2X,x>0.

4,得x>2,所以/(x)>4的解集为(一8,-3)U(2,+°°).

(教师尊享•备课题组)

1.［命题点14023黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学模拟］函数/(x)=~^+

卜

J—log3(1—2x)的定义域是(A)

A.［0,-)B.(—8,1)

22

C.(—°°,|］D.(—0°,1)

1-x>0,

—log3(1—2%)>0,解得OWxV］,所以函数/(x)的定义域是［0,

{1—2%>0,

-),故选A.

2

2.［命题点2］定义在(-1,1)上的函数/(九)满足4(不)一/(一元)=lg(x+1),则

f(x)=觊(x+1)+［旭(l—x),丁£(-1,1).

解析当元金(—1,1)时，有2f(x)—f(—x)=lg(x+1)①.

以一工代替x得，If(—X)—f(x)=lg(―x+1)②.

由①②消去/(―x)得，f(x)=|lg(x+1)+|lg(1—x),(—1,1).

2~x,x<1,

3.[命题点3角度1]设函数/(x)=久一则满足"(a))=/(<?)的。的取

X>1,

值范围是(D)

A.(―8,0]B.[0,2]

C.[2,+8)D.(—8,o]U[2,+8)

解析作出了(无)的图象(图略)，可得了(无)的最小值为点令t=f(a),则考

虑了⑺=[的解，作出>=/(力与y=]在巳+°°)上的图象，如图1中实线所示，由图

可知，当闫时，f(/)=三,故f2l.

下面考虑了(。)21的解集，作出y=/(a)与y=l的图象如图2所示，由图可得aWO或

a22.故选D.

图1图2

4.[命题点3角度22023山东济南模拟]已知函数/⑴=「7+2皿一xW/n,若

1%—m,x>m9

f(a2-4)>/(3a),则实数o的取值范围是(B)

A.(-1,4)B.(—8,-1)U(4,+8)

C.(-4,1)D.(—8,-4)U(1,+8)

2

解析由题意知/(无)=—(%-m)'X-m，易知函数了(无)在(m,+8),

x-m,x>m,

(―°°,徵]上单调递增，且加一加=一(m—m)2,所以函数/(x)在R上单调递增.则由

f(«2—4)>/(3〃),得〃2—4>3〃，解得〃>4或〃V—1,所以实数〃的取值范围是

(―0°,—1)U(4,+°°),故选B.

(------------------------------，练习帮;，练透好题精准分层-----------------------------

a学生用书•练习帮P264

C基础练知识通关

1.函数/(X)=」3x-l+[n的定义域为(C)

A.[i,1)U(1,+8)B,[i,2)

33

C.[i,1)U(1,2)D.(0,2)

3

I-----俏久—INO,(x>l，

解析要使函数/(无)=j3x—l+1n:一二有意义，贝“2—万>0,解得《久<2,故函数

(2W1,1％W1,

的定义域为W，I)U(1,2).故选C.

2.下列各组函数表示相同函数的是(C)

A./(x)和g(x)=(Vx)2

B.f(x)=1和g(x)=x°

C.f(x)=I%I和g(x)=fX，%之°,

1—%,%<0

D.f(x)=•%和g(x)=lgl(r

解析对于选项A,f(x)=Vx^=IxI的定义域为R,g(x)=(Vx)2=x的定义域为

[0,+8),两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项B,/(%)=1的定义域

为R,g(x)=x°=l的定义域为[xIxWO},两个函数的定义域不相同，不是相同函数；

xx>0

'—'函数/(x),g(x)的定义域都是R,且对应

{—X,x<0,

法则相同，是相同函数；对于选项D,f(x)=*"的定义域为(0,+8),g(%)=

1g10%的定义域为R,两个函数的定义域不相同，不是相同函数.故选C.

3.[2023重庆模拟]已知函数/(«+1)=%+2«,则/(%)的解析式为(C)

A/(x)=J?—\

B./(x)=/—1,(1,+°0)

C.f(x)=一—1,[1,+°°)

D/(x)=，-1,[0,+°0)

解析解法一(配凑法)f(Vx+1)=x+2yjx=(Vx+1)2—1,令/=«+1

,则/(/)=及一1,/£[1,+°°),所以/(x)=f—1,[1,+°°),故选

C.

解法二(换元法)令/=«+1621),则«=/—1(/21),/(/)=(/—1)2+2(t

—1)1,[1,+°°),所以/(%)1,x£[l,+°°),故选C.

In%,%>1,

{0,0<x<1,若/(2a—1)—IWO,则实数。的取值范围是

x,%<0,

(D)

A.[等，+8)B.(―8,-|]U[0,等

c.[o,e+1

2

解析因为/(2〃一1)-1^0,所以/(2a—1)W1.作出函数(x)

及y=l的图象，如图所示，设两函数图象交于点尸，则由图可知，2a~

1W无p=e,所以等，即a的取值范围是(一8,等],故选D.

(x—1)

5.[2024广东名校联考]已知函数/(x)的定义域是[0,4],则函数的定义域是.

(2,5]

解析由题意知久—14*解得2<xW5,即y=f'=P的定义域为(2,5].

I%-2>0,Jx-2

0%为v0

'_'则—白))=i

logx,x>0,16

{49

ox丫Vf)

'-所以/(—)=log4—=—2,f(—2)=3一2=:所以

(logx,%>0,16169

4

7.[2024惠州市一调]已知函数/(x)满足/(尤+1)=/(%)+2,则/(无)的解析式可以

是f(x)=2x(答案不唯一).(写出满足条件的一个解析式即可)

解析由/(x+1)=于(x)+2知，函数/(x)的图象上移2个单位长度后得到的图象，

与左移1个单位长度后得到的图象重合，f(x)=2无+左(其中左可取任意实数)满足要求.

本题为开放题，答案可为/Or)=2x,f(x)=2尤+1等.

/1X

(-),%□(—oo,1)

8.[2024浙江名校联考]已知函数/(x)=2'则/(x)>1的解集为—

Jog4%，XU(1,+00),

—°0,0)U(4,+°0)

解析由题意可得，f(0)=(|)°=1,结合指数函数y=(夕X在定义域内单调递减可

知，当x<l时，/(x)>1的解集为(一8,o)；f(4)=log44=l,结合对数函数y=

10gM在定义域内单调递增可知，当x>l时，/(x)>1的解集为(4,+8).所以不等式

f(x)>1的解集为(-8,o)U(4,+8).

能力练重难通关

9.[2023福建漳州联考]已知函数/(尤)若实数a满足/3(a))

%<0,

=1,则实数a的所有取值的和为(C)

A.lB.--V5

16

C.---V5D.-2

16

解析作出y=/(x)及y=l的部分图象，如图所示，易得y=/(x)与y=l的图象有三

个交点，设这三个交点分别为A,B,C,则易得冽=-4,XB=0,XC=2.

令/(Q)=—4,则由图可得log2〃=—4,解得。=2-4=三；

令/(〃)=0,则由图可得/+4〃+1=0或log2“=0,解得〃=一2一遍或〃=-2+遍或a

=1;

令/(Q)=2,则由图可得次+4〃+1=2(aWO)或log2〃=2,解得〃=—2一而或a=2?=

4.

所以实数〃的所有取值的和为三十(-2-V3)+(-2+V3)+1+(-2-V5)+4=

16

—竺—斯

故选C.

10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数/(x)若/(a)=

Wein%,%>1,

f(e。)，则f(5)=Ve

解析根据题意作出函数/(%)的图象，如图所示.由/(X)的定义片