常量与变量（学生版+解析）-2022-2023学年浙教版八年级数学上册同步讲义

第22课常量和变量

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学习目标

1.通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化.

2.了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在.

3.会在简单的过程中辨别常量和变量.

噩知识精讲

知识点01常量与变量

常量与变量：在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量

能力拓展

考点01常量与变量

【典例1】球的体积是V,球的半径为R,则/=国江氏3,其中变量和常量分别是（）

3

A.变量是匕R；常量是性，itB.变量是R,TT；常量是4

33

C.变量是V,R,TT；常量是2D.变量是匕R3；常量是F

3

【即学即练11某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率T］与时间t之间的关系中，下列说法正

确的是（）

A.数100和T］,f都是变量B.数100和T］都是常量

C.T）和f是变量D.数100和f都是常量

fii分层提分

题组A基础过关练

1.已知圆周率为m在圆的周长C与圆的半径厂之间的函数关系式C=2nr中，变量是（）

A.C,IlB.C,rC.C,Ti,rD.C,2TC

2.一根蜡烛原长。厘米，点燃后燃烧时间为f分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是（）

A.a,t,yB.yC.t,yD.a,y

3.小李驾车以70加/〃的速度行驶时，他所走的路程s（km）与时间t（h）之间可用公式s=70f来表示，

则下列说法正确的是（）

A.数70和s,f都是变量B.s是常量，数70和，是变量

C.数70是常量，s和/是变量D.f是常量，数70和s是变量

4.一本笔记本5元，买尤本共付y元，则5和尤分别是（）

A.常量，变量B.变量，变量C.常量，常量D.变量，常量

5.一本数学错题笔记本的售价为6元，若小青买x本共付y元，则尤和6分别是（）

A.常量，变量B.变量，常量C.常量，常量D,变量，变量

6.把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽层放入b本，则下

列判断错误的是（）

A.20是变量B.。是变量C.6是变量D.20是常量

7.每个同学购买一本课本，课本的单价是4.5元，总金额为y（元），学生数为〃（个），则变量是一，

常量是—.

8.每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中，—是常量，—是

变量.

9.假期即将开始，李伟制定了一张“假期每天时间分配表”，其中课外阅读时间为1.5小时，这里的“1.5

小时”为—（填“常量”或“变量”）.

10.分别指出下列变化过程中的变量与常量：

C1）y--2TLe+4；

（2）s—vot+^-at2（其中vo,a为定值）.

2

11.某工厂有一个容积为280立方米的水池，现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知每台抽水机

每小时抽水15立方米.

（1）抽水两个小时后，池中还有水立方米；

（2）在这一变化过程中哪些是变量？哪些是常量？

12.写出下列各问题中的关系式中的常量与变量:

（1）分针旋转一周内，旋转的角度〃（度）与旋转所需要的时间f（分）之间的关系式"=6f；

（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间/（时）

之间的关系式s=40f.

题组B能力提升练

13.在公式5=-什20中，关于变量和常量，下列说法正确的是（）

A.-1和20是常量，S和f是变量B.20是常量，S和r是变量

C.-1常量，S和f是变量D.S是自变量，f是因变量

14.小凡的手机话费原有余额60元，与姐姐通话，话费余额随时间变化而变化.在这个过程中，因变量是

（）

A.话费余额B.时间C.60D.小凡

15.3x-y=7中，变量是—，常量是—.把它写成用x的式子表示y的形式是—.

16.城市绿道串连起绿地、公园、人行步道和自行车道，改善了城市慢行交通的环境，引导市民绿色出行.截

至2016年底某市城市绿道达2000公里，该市人均绿道长度y（单位：公里）随人口数x的变化而变化,

指出这个问题中的所有变量—.

17.在高速公路上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行一段距离S（单位："Z）,一般有公式5=,其中V（单

位：km/h'）表示刹车前汽车的速度.

（1）当v分别为50加//?,6Qkm/h,100切加时，相应的滑行距离s是多少？

（2）在上述公式中，哪些量是变量，哪些量是常量？

18.从南京到上海的路程约为300切1,一辆汽车从南京开往上海，每小时行驶50加1,行驶的时间为，"），

离南京的路程为s（km）,回答下面的问题：

（1）填写下表：

t（/i）123456

s（km）

（2）用含f的式子表示，并指出其中的常量和变量.

题组C培优拔尖练

19.水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为广，圆周长为C,圆周率（圆周长与半径之比）为TT.则

这个问题的变量是()

D.r,C

20.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)之间有下面的关系:

x/kg012345

ylem1010.51111.51212.5

下列说法正确的是.

①x与y都是变量；

②弹簧不挂重物时的长度为0cm；

③物体质量每增加1kg,弹簧长度增加0.5cm；

④所挂物体质量为1kg时，弹簧长度为13.5c,".

21.如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNP。的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上，

开始时A点与Af点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合.试写出重叠部分的面积与

的长度xc机之间的关系式，并指出其中的常量与变量.

BKQ,--------------------1P

CMAN

第22课常量和变量

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学习目标

1.通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化.

2.了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在.

3.会在简单的过程中辨别常量和变量.

搅知识精讲

知识点01常量与变量

常量与变量：在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量

能力拓展

考点01~~常量与变量

【典例1】球的体积是V,球的半径为R,则其中变量和常量分别是（）

3

A.变量是V,R；常量是邑，nB.变量是R,m常量是国

33

C.变量是V,R,it；常量是4D.变量是V,R3；常量是IT

3

【思路点拨】根据常量和变量的概念解答即可.

【解析】解：球的体积是匕球的半径为R,则

4

其中变量是匕R；常量是2,TT

3

故选：A.

【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键.

【即学即练1】某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率口与时间/之间的关系

中，下列说法正确的是（）

A.数100和1f都是变量B.数100和1］都是常量

C.1］和r是变量D.数100和r都是常量

【思路点拨】常量是在某个过程中不变的量，变量就是在某个过程中可以取到不同的数

值，变化的量.根据定义即可判断.

【解析】解：某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率n与时间t之间的关

系中：n和/是变量，零件的个数10。是常量.

故选：c.

【点睛】本题考查了常量与变量的概念，是一个基础题.

M分层提分

题组A基础过关练

1.已知圆周率为m在圆的周长。与圆的半径厂之间的函数关系式。=2馆中，变量是（）

A.C,nB.C,rC.C,n,rD.C,2n

【思路点拨】根据变量、常量的定义进行判断即可.

【解析】解：圆的周长C=2w,其中C、r是变量，2TT是常量，

故选：B.

【点睛】本题考查常量与变量，理解常量与变量的定义是正确判断的前提.

2.一根蜡烛原长。厘米，点燃后燃烧时间为f分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变

量的是（）

A.a,t,yB.yC.t,yD.a,y

【思路点拨】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变

量；数值始终不变的量称为常量解答即可.

【解析】解：一根蜡烛原长。厘米，点燃后燃烧时间为f分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米,

其中是变量的是3y；

故选：C.

【点睛】此题考查的是常量与变量，掌握其定义是解决此题的关键.

3.小李驾车以70切7//1的速度行驶时，他所走的路程s（km）与时间f（/z）之间可用公式s

=70/来表示，则下列说法正确的是（）

A.数70和s,/■都是变量B.s是常量，数70和f是变量

C.数70是常量，s和/是变量D.f是常量，数70和s是变量

【思路点拨】根据常量与变量的定义判断.

【解析】解：由题意得：70是常数，其值恒定不变，是常量，行驶过程中时间不断增加，

f的值不断变化，是变量，路程随时间r的不合而变化，S也是变量，

.,.A,B,£＞均不合题意，C合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查常量与变量，理解题意，搞清变与不变是求解本题的关键.

4.一本笔记本5元，买尤本共付y元，则5和x分另U是（）

A.常量，变量B.变量，变量C.常量，常量D.变量，常量

【思路点拨】根据常量、变量的意义进行判断即可.

【解析】解：一本笔记本的单价是5元不变的，因此5是常量，

而购买的本数x,是变化的量，因此x是变量，

故选：A.

【点睛】本题考查常量、变量，理解在某一变化过程中“常量”“变量”的意义是正确

判断的前提.

5.一本数学错题笔记本的售价为6元，若小青买x本共付y元，则x和6分别是（）

A.常量，变量B.变量，常量C.常量，常量D.变量，变量

【思路点拨】根据变量、常量的定义，结合具体的问题情况进行判断即可.

【解析】解：小青购买错题本的本数x是变化的，因此尤是变量，而单价为每本6元，

是不变的量，因此6是常量，

故选：B.

【点睛】本题考查变量与常量，理解变量与常量的定义是正确判断的前提.

6.把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入°本，第二个抽层放

入b本，则下列判断错误的是（）

A.20是变量B.。是变量C.6是变量D.20是常量

【思路点拨】一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为

常量，据此判断即可.

【解析】解：把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入。本，

第二个抽屉放入匕本.则。和b分别是变量，20是常量.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了常量与变量问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：常

量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面:

一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.

7.每个同学购买一本课本，课本的单价是4.5元，总金额为y（元），学生数为〃（个），

则变量是y，n，常量是4.5.

【思路点拨】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的

量称为常量，即可答题.

【解析】解：.••单价固定，

常量是4.5,

•••总金额为y（元）随着学生数为〃（个）的变化而变化，

...»"是变量，

故答案为y,«；4.5.

【点睛】主要考查了函数的定义.函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x,y,

对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是尤的函数，x叫自变量.

8.每张电影票的售价为10元，某日共售出尤张票，票房收入为y元，在这一问题中，电

影票的售价是常量,电影票的张数，票房收入是变量.

【思路点拨】根据常量，变量的定义进行填空即可.

【解析】解：常量是电影票的售价，变量是电影票的张数，票房收入，

故答案为电影票的售价，电影票的张数，票房收入.

【点睛】本题考查了常量和变量，掌握常量和变量的定义是解题的关键.

9.假期即将开始，李伟制定了一张“假期每天时间分配表”，其中课外阅读时间为1.5小

时，这里的“L5小时”为常量(填“常量”或“变量”).

【思路点拨】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的

量称为常量进行解答即可.

【解析】解：假期即将开始，李伟制定了一张“假期每天时间分配表”，其中课外阅读

时间为1.5小时，这里的“1.5小时”为常量，

故答案为：常量.

【点睛】此题主要考查了常量，关键是掌握常量定义.

10.分别指出下列变化过程中的变量与常量：

(1)y—-2itx+4；

(2)s=vot+^ar(其中vo,a为定值).

2

【思路点拨】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变

量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案.

【解析】解：(1)变量是：尤和y,常量是：2n和4；

(2)变量是：v和f,常量是：vo和」■<?.

2

【点睛】本题考查了常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可

以取到不同数值的量.

11.某工厂有一个容积为280立方米的水池，现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已

知每台抽水机每小时抽水15立方米.

(1)抽水两个小时后，池中还有水190立方米;

(2)在这一变化过程中哪些是变量？哪些是常量？

【思路点拨】(1)根据蓄水量减去抽出的水量可求解；

(2)由变化的量为变量，始终不变的量为常量可求解.

【解析】解：（1）280-3X15X2=190（立方米），

即抽水1小时后，池中还有水190立方米，

故答案为190；

（2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水的体积是

常量；抽水时间、水池中的水的体积是变量.

【点睛】本题主要考查了常量与变量，掌握相关概念是解题的关键.

12.写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：

（1）分针旋转一周内，旋转的角度〃（度）与旋转所需要的时间f（分）之间的关系式”

=6t；

（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与

行驶时间时）之间的关系式s=40f.

【思路点拨】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的

量称为常量，即可答题.

【解析】解：（1）常量：6；变量：n,t.

（2）常量：40；变量：s,t.

【点睛】本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在程序的运行过程中随

时可以发生变化的量.

题组B能力提升练

13.在公式S=-f+20中，关于变量和常量，下列说法正确的是（）

A.-1和20是常量，S和f是变量B.20是常量，S和f是变量

C.-1常量，S和/是变量D.S是自变量，，是因变量

【思路点拨】根据常量和变量的定义判断即可.

【解析】解:在公式S--1+2.0中，-1和20是常量，S和r是变量，且S是因变量，r

是自变量，

故选：A.

【点睛】本题考查了常量和变量的定义，熟练掌握常量和变量的定义是解题的关键.

14.小凡的手机话费原有余额60元，与姐姐通话，话费余额随时间变化而变化.在这个过

程中，因变量是（）

A.话费余额B.时间C.60D.小凡

【思路点拨】根据自变量与因变量的定义，由话费余额随通话时间变化而变化，得因变

量是话费余额.

【解析】解：；在话费余额减少的过程中，话费余额随通话时间变化而变化，

.••通话时间是自变量，话费余额是因变量.

故选：A.

【点睛】本题主要考查自变量与因变量的定义，理解自变量与因变量的定义是解决本题

的关键.

15.3尤-y=7中，变量是v和y,常量是3和-7.把它写成用x的式子表示y的形

式是y=3x-7.

【思路点拨】要把二元一次方程3x-y=7中的y用含尤的式子表示，首先要移项，把y

放在左边，并使其系数为1.

【解析】解：3x-y=7中，变量是x和y,常量是3和-7.把它写成用尤的式子表示y

的形式是y=3尤-7.

故答案是：x和y；3和-7；y—3x-7.

【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、系数化为1等，表示谁就该把谁放

到等号的一边，其他的项移到另一边，系数化1就可用含x的式子表示y的形式.

16.城市绿道串连起绿地、公园、人行步道和自行车道，改善了城市慢行交通的环境，引导

市民绿色出行.截至2016年底某市城市绿道达2000公里，该市人均绿道长度y（单位：

公里）随人口数x的变化而变化，指出这个问题中的所有变量x,H.

【思路点拨】根据常量与变量的定义进行填空即可.

【解析】解：这个问题中的所有变量是该市人均绿道长度y与人口数x,

故答案为x,y.

【点睛】本题考查了常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键.

17.在高速公路上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行一段距离s（单位：能），一般有公式

s=,其中v（单位：km/h'）表示刹车前汽车的速度.

（1）当v分别为505z//z,60kmJh,100h"//z时，相应的滑行距离s是多少？

（2）在上述公式中，哪些量是变量，哪些量是常量？

【思路点拨】刹车前汽车的速度可以取不同的数值，刹车后的滑行距离也随之发生变化，

根据它们的对应关系进行计算求值，也易于分辨关系式的变量与常量.

【解析】解：（1）当v=50fo«//i时，代入$=,得$=名■优.

3

同理，当时，s=12m；

当v=1Q0km/h时，s—.

3

（2）从（1）中可知，s,v是变量，_是常量.

300

【点睛】此题考查的是变量与常量的概念，掌握其概念是解决此题关键.

18.从南京到上海的路程约为300初3一辆汽车从南京开往上海，每小时行驶50的7,行驶

的时间为f⑺，离南京的路程为s（km）,回答下面的问题:

（1）填写下表：

t（力）123456

s(km)250200150100500

（2）用含f的式子表示，并指出其中的常量和变量.

【思路点拨】利用已知得出离乙地的路程为S（加2）,再根据常量和变量的定义，即可

找出题中的常量与变量即可.

【解析】解：一辆汽车从南京开往上海，每小时行驶50加，行驶的时间为/（/?）,离南

京的路程为s（km）,

t（小时）123456

S（千米）250200150100500

S=50t,其中50是常量，S,1是变量.

故答案为：50r；50；S,t.

【点睛】本题主要考查了函数关系式和常量和变量，在解题时要根据常量和变量的定义

进行解答是本题的关键.

题组C培优拔尖练

19.水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r,圆周长为C,圆周率（圆周长与半

径之比）为TT.则这个问题的变量是（）

A.HB.rC.CD.r,C

【思路点拨】根据函数的定义：函数中的每个值X,变量y按照一定的法则有一个确定的

值y与之对应来解答.

【