高三数学一轮复习：立体几何初步练习

第六章立体几何初步

一、选择题

1.若棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为（）

A.26B.28C.30D.32

2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，△ABC是边长为1的正三角

形，SC为球。的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（）

A*B.且C.巫D.叵

6632

3.已知两条不同的直线机，〃和平面a,且〃ua,则“机//“”是“加〃口”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，

下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3

丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，

圆周率约为3,估算出这个圆台体积约有（）

A.4‘立方尺B.527」立方尺C.427^立方尺D.1055士立方尺

4949

5.如图1,球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半径记为民垂直于

截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为H,则球冠的曲面面积S=2兀7阳.球。是棱

长为1的正方体ABCD-A'3'C力'的棱切球，则球。在正方体ABCD-A'3'C'。'外面部

分曲面的面积为（）

A.2(A/2-1)7IB.4(0—1)兀C.6(72-1)71D.3(V2-l)7i

6.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3兀、1271,高为6,则该圆台的体积为

A.36兀B.40兀C.42兀D.45兀

7.用斜二测画法得到一个水平放置的四边形Q4BC的直观图为如图所示的直角梯形

O'A'B'C,已知O'AUC'B',O'A±A'B',O'A=3C'B'，四边形OABC的面积为3®,则

A.lB.叵C.正D.1

232

8.已知两条不同的直线a,6及两个不同的平面a,p,则下列说法正确的是（）

A.若M//7,aua,bu（3,则a〃0

B.若M/尸，aua,bu/3,则a与6是异面直线

C.若all0,aua,bu8,则a与6平行或异面

D.若尸=匕，aua,则。与/?一定相交

二、多项选择题

9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD为菱形，ZDAB=6Q°,侧面以。为正

三角形，且平面R4D，平面A3CD,则下列说法正确的有（）

A.在线段AD上存在一点使平面

B.异面直线AD与PB所成的角为90。

C.二面角P—5C—A的大小为45。

平面PAC

10.下列说法中不正确的是（）

A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C.所有几何体的表面都能展开成平面图形D.棱柱的各条棱都相等

11.在正方体4用GA的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则这4个顶点可

能构成()

A.矩形

B.每个面都是等边三角形的四面体

C.每个面都是直角三角形的四面体

D.有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体

三、填空题

12.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为..

13.已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A8CO,已知

A'B'=3,EC=之,则四边形ABCD的面积为________.

2

14.水平放置的A4BC的直观图如图所示，已知AC'=3,B'C=2，则AB边上的中线的

实际长度为.

四,解答题

15.如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面BCD,AB=AD,。为3。的中点.

(1)证明：Q41CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角

E-3C-。的大小为45。，求三棱锥A-BCD的体积.

16.正四棱台AG的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台侧棱的长

和斜高.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是平行四边

形,NABC=120。，45=1,30=4,24=厉,MN分别为3cpe的中

点、,PDLDC,PMLMD.

(1)证明:ABLPM；

(2)求直线A7V与平面所成角的正弦值.

18.如图，已知平面a、B，且。。用=/，设梯形A3CD中，AD//BC,且

ABcza>CDu0,求证：AB,CD,/共点.

19.如图，在正三棱柱ABC-A用G中，AB=2,相=2,由顶点3沿棱柱侧面经过

棱A4到顶点G的最短路线与棱M的交点记为M,求：

(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(2)该最短路线的长及4丝的值；

AM

(3)平面与平面A5C所成二面角(锐角)的大小.

参考答案

1.答案：B

解析：所求棱台的体积为V=gx(4+16+^^M)x3=28

故选：B.

2.答案：A

解析：在Rt^ASC中，AC=1,ZSAC=90°,SC=2,所以SA=6T=&；同

理，SB=^3,过A点作SC的垂线交SC于。点，连接。3,因为△SAC四△SBC,

故301.SC,故SC1_平面A3D,且为等腰三角形.因为NASC=30。，故

ADSA,则△AB。的面积为:xlx小02一\回=乎

=^=4,则三棱锥的体积为

'正x2=也

346

3.答案：D

解析：如图,取平面A5CO为平面a,直线CD为",

不妨取直线AB为，冤,显然有机//〃,此时mua，即帆//“推不出血/a,

不妨取直线BJCJ为直线"%显然有mHa，此时机_1_〃,即mlla推不出机//”,

故选：D.

4.答案：D

解析：如图所示,

设圆台上底半径为彳，下底半径为马，则2兀々=30,2叫=20,

解得：々=5,

即：下底半径为5尺，上底半径为W尺，

3

设S，S2分别为上下底面面积，

所以圆台的体积为：,(S1+S2+邓瓦)丸=工—7i+25K+J—X25TI2义20=1055』立

33、9丫9,9

方尺.

故选：D.

5.答案：D

解析：如图1,正方体与正方体的棱切球形成六个球冠，且“=叵。，尺=工,所以所求曲

22

面的面积为：S=6x2x7TX—x^^-=3(0—1)71,故选D,

22

6.答案：C

解析：该圆台的体积为V=gx(37r+127r+，37rxl27r)x6=42x.

7.答案：D

解析：如图所示，根据斜二测画法的规则,得到原四边形

Q4BC,设O'A=x，则O'B'=岳厕OB=2O'B'=242x，

3C=BC=f,OA=O0=x，且08为原图形中梯形的高，

3

故S.ABC=L(X+2]X2岳=30，解得％=故C'U=2=L,

213J232

故选：D.

8.答案：C

解析：若M/尸，aua,bu/3，则直线a,b没有交点，故。与人平行或异面，故

A,B错误，C正确；若尸=b,aua,当。〃。时，a与/?平行，故D错误.故选

C.

9.答案：ABC

解析：对于A选项，如图，取AD的中点连接PM,BM,

设AC与3。交于点。「侧面以。为正三角形，.•.9,4).又底面A3CD是菱形，

ZZMB=60°,是等边三角形，BM±ADXPMC\BM=M,平

面尸MB,二仞，平面故A正确.

对于B选项，•.♦ADL平面尸MB,Pfiu平面PMB,:.AD±PB,即异面直线AD与

P3所成的角为90。，故B正确.

对于C选项，'：BC//AD,.•.3。_1_平面尸加8.：/＞5,3河＜=平面尸闻8,:.BC±PB,

3。，3河.又：平面尸8。口平面438=3。，.•.NPBM是二面角P—BC—A的平面角.

设AB=1,则且，PM=@.在RtZiP而中，tanNPBM=^=l,即

22BM

NPBM=45。,故二面角P-3C-A的大小为45。，故C正确.

对于D选项，易得.•.应＞与B4不垂直，；.50与平面必C不垂直，故D错

误.故选ABC.

10.答案：ACD

解析：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；不是所有

几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C不正确；棱柱的各条棱并不是都相

等，应该为棱柱的侧棱都相等，D不正确.故选ACD.

11.答案：ABCD

解析：对于A,如图四边形A3G2为矩形，所以A正确，

Dyc

小

人——

D

A

B

对于B,四面体A4c2的每个面都是等边三角形，所以B正确,

对于C,如图四面体A43D的每个面都是直角三角形，所以C正确,

对于D,如图四面体的三个面是直角三角形、一个面是等边三角形，所以D正

确,

故选：ABCD.

12.答案：28

21

解析：方法一：由于一=一，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以原正四棱锥的体积为:x(4x4)x6=32,截去的正四棱锥的体积为

1x(2x2)x3=4,所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：由方法一可知，棱台的体积为；*3*(16+4+"瓦耳)=28.故答案为28.

13.答案：9夜

解析：

14.答案：-

2

解析：根据斜二测画法的原则，由直观图知，原平面图形为直角三角形，

且AC=AC=3,BC=2B'C=4,AC±BC,

所以闻?2=4。2+8。2=9+16=25,

所以AB=5,

故A3边上中线长为坦=».

22

故答案为：2.

2

15、

(1)答案：证明见解析

解析：因为AB=AD,。为3。的中点，

所以。4,6£),

又平面ABDL平面BCD,且平面48£>。平面88=3£>,。4<=平面43。，所以

。4_1_平面BCD,

又CDu平面BCD,所以。4LCD.

(2)答案：昱

6

解析：因为△OCD是边长为1的正三角形，且。为3。的中点，

所以OC=Q5=OD=1,

所以△58是直角三角形，且48=9。。，BC<，所以

如图，过点E作瓦7/Q4,交BD于F,过点R作FG_LBC,垂足为G,连接EG.

因为OAJL平面BCD,

所以平面BCD.

又BCu平面BCD,所以EFL5C.

又FG上BC,且跖。八7=/，M,bGu平面ERG,

所以平面EFG,

则NEG尸为二面角E-3C—£)的平面角，

所以NEGF=45。，则GE=£F.

因为DE=2E4,所以E户=*。4,DF=2OF,所以々=2.

3FD

因为/G_LBC,CD±BC,所以GF//CD,

则包=2,所以G/=2

CD33

所以所=GP=—,所以Q4=l,

3

所以匕A><XL

A—£)CAD7=-c^ZAA£»CZJ-0=-C—C=—/•

B3BCT326

16.答案：棱台的侧棱长为19cm，斜高为5而cm

解析：如图所示，设棱台的两底面的中心分别是。1和0,4G和3C的中点分别是耳和E,

连接0。,EXE,OiB「OB,0昌,0E,则四边形OBBR和OEEQ］都是直角梯形.

4月=4cm,AB=16cm,

E[=2cm,OE=8cm,QB,=2拒cm,OB=8后cm-

:.BB=O。+3-0禺丫=361,

石E=o02+(oE_q耳J=325.

B&=19cm,E[E=5713cm.

即棱台的侧棱长为19cm,斜高为5而加.

17.答案：证明见解析；

(2)姮

6

解析：(1)由题意知。以=2,CD=l,NDCN=60。,

易得CD工DM.

又PDLOC,且。。口。〃=。,尸。,。河＜=平面PDM,

所以CD，平面PDM.

因为AB//CD，所以AB，平面PDM.

又PMu平面PDM所以

（2）由（1）知AB，平面PDM所以NB4N为直线AN与平面所成角的余角.

连接AM,因为对/,PM，DC,

所以尸M，平面ABCD,^以？M，AM.

因为ZABC=120o,AB=l,5A/=2,

所以由余弦定理得AM=a,

又如=后,所以9=2四，

所以PB=PC=26,

连接3N,结合余弦定理得BN=Jii.

连接AC,则由余弦定理得AC=721,

在APAC中，结合余弦定理得PA2+AC2=2AN-+2PN2，所以AN=岳.

AB?+W_BM1+15-11而

所以在AABN中,cos/BAN

2AB-AN-2715~~6~

设直线AN与平面PDM所成的角为0,

、后

则sin6=cos/BAN=--.

18.答案：证明见解析

解析：证明如图，•.•在梯形ABCD中，AD//BC,

与