2025年高考数学 两角和与差的正弦余弦正切公式与二倍角公式 教案

第3讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式

与二倍角公式

-＜教师尊享•命题分析）一

课标要求命题点五年考情命题分析预测

2023新高考卷IT8；本讲每年必考，主要考查两角

1.知道两角差余和、差、倍2021全国卷甲T9；和与差的正弦、余弦、正切公

弦公式的意义.角公式的直2020全国卷IT9；式以及二倍角公式的正用、逆

2.能从两角差的接应用2020全国卷IIIT9；用、变形用，主要体现在三角

余弦公式推导出2019全国卷IIT10函数式的化简和求值中.题型以

两角和与差的正2023新高考卷IIT7；选择题、填空题为主，有时在

弦、余弦、正切和、差、倍2022新高考卷IIT6；解答题中也有应用，难度中等

公式，二倍角的角公式的逆2022北京T13；2021偏易.预计2025年高考命题趋

正弦、余弦、正用与变形用全国卷乙T6；2020全势变化不大，在复习备考时要

切公式，了解它国卷IIIT5掌握公式及其变形，并能灵活

们的内在联系.角的变换问2022浙江T13；2019应用，应用时注意角和函数名

题江苏T13的变换.

0学生用书P077

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

S屹±£）：sin（a±尸）=①sinacosS±cosasin£.

C（a±£）：cos切）=②cosacos夕在sinasin£.

丝士。吗

T）a±«）：tan（a±£）=（§）t（%p,a邛丰kn+XAGZ）.

1+tanatanp2

注意在公式T（a土在）中，a,0,a土我都不等于左兀+]（%£Z）,即保证tana,

tanp,tan（a土夫）都有意义.

2.二倍角公式

S2a：sin2a=④2sinacosa.

C2a：cos2a=⑤cos2a—sin2a=⑥2cos%—l二⑦L2sin2a.

T%：tan2a=（§）fan:,（分也十三且存业+工，左ez）.

1—lan'a224

说明（1）对于两角和的正弦、余弦、正切公式，分别令£=a,可得二倍角的正弦、余

弦、正切公式.

（2）二倍角是相对的，如羡洒2倍，3a是等的2倍.

3.辅助角公式

asina+bcosa=Ja2+b2t

sin(0+9)(^^中。#0,sin(p=—r=?cos(p=~~r=>tan9=

a2+b2a2+b2

u.

规律总结

1.两角和与差的正切公式的变形

tana±tan/?=tan(a±夫)(1不tanatan夕)；tana・taa夕=1一黑一

小口々\[、.9__1cos2a7__1+cos2a.__1.3

2」修曷公式：sinot=---------；cosa=--—；sinotcosa=-sin2a.

3.升幕公式：cos2a=2cos2a—\.cos2a=1—2sin2oc.

4.其他常用变式

2tana1—tan2aasina1—cosa

sin2a=cos2a=tan-=1+sin2a=(sina+cosa)2；1

l+tan2a,1+tan2a21+cosasina

—sin2a=(sina-cosa)2.

（教师尊享•备考教案）

口规律总结

1.积化和差

11

cosa-cos^=-[cos(a+£)+cos(。一尸)]；sina-sinp——-[cos(a+尸)—cos(。一夕)]；

1i

sina-cos^=-[sin(a+4)+sin(。一4)]；cosa-sin^=-[sin(a+4)—sin(仪一夕)].

2.和差化积

.।・c八•a+Ba—B.a~\~B.a~B

sina十sinp=2sin—cos—；sina—sinpn=2cos^—sin-^—；

1-a+6a—B3.a+6.cc-3

cosa十cos/n/=2cos-----cos-----；cosa—cospn=_2sin-----sin-----.

l22l22

注意和差化积和积化和差公式不要求记忆，可借助推导过程找规律，先得到积化和差的

公式，再通过换元得到和差化积的公式.

基础自测+

1.[2023北京海淀区月考]若tan(a--)=工，则tan(«--)的值为(A)

1226

A.3B.-C.-3D.-i

33

tan(a6)

解析因为tan(«——)=tan[(a--)--]=n^=-,所以tan(a--)=3.

12641+tan(a--)26

2.已知sina=£,(-,兀)，贝!]cos(--a)的值为—.

1724—34—

2

角星析Vsina=-f。仁(-,兀),.'.cosa=—/1—sina=—/1—(—)=——,

1792''771717

・zii、IT।.ii.A/2Z8xIV2157-\/2

..cos(一—a)=cos-cosa十sin-sina=—x(——)十一x—=——.

44421721734

3.[全国卷H]若sinx=—I，则cos2x=_|_.

解析cos2x=1—2sin2x=1—2x(—|)2=i

l+tanl5°

4.［易错题］V3

1—tanl5°

l+tanl5°tan45°+tanl5°

解析=tan(45°+15°)=tan60°=V3.

1—tanl5°1—tan45°tanl5°

5.若sin%—V^cos%=2sin(%一。),(p>0,则9的最小值为_1.

iVs

解析因为sinx—V5cosx=2(-sinx——cosx)=2(sinxcos9—cosxsin9),所以cos9

=|,sin9=*因为9>0,所以9的最小值为:.

<--------------------------------(教师尊享•备考教案A-

6.[积化和差]函数/(x)=sin(x+-)cosx的最小值为_一三+在_.

324

解析因为/(无)=|[sin(尤+；+x)+sin(x+]—尤)]=jsin(2x+g)+手，所以函数

f(x)的最小值为一升乎.

7.[和差化积]在△A8C中，sinA=cosB+cosC,则△ABC的形状是直角三角形.

A.7J+C.r»1万cB~\~CB-Cc.AB-C

用牛折cos3十cosC=2cos-----cos------=2sin-cos-----.

2222

因为sinA=cosB+cosC,所以2sin7cosg=2sin*cos^y^,

因为sin#),所以cosg=cosy£,易得g与」82cL均小于所吗=」\，即A=I8—

所以A+C=8或A+B=C,即兀一5=3或兀一C=C,即或C=］,所以△ABC是直角

三角形.

r［得皆—)®a»e随舞菊胸.、

d学生用书P078

命题点1和、差、倍角公式的直接应用

例1(1)［2023新高考卷I］已知sin(a—£)=-,cosasinP=-,则cos(2a+2£)=

36

(B)

7II7

A.-B.-C--D.--

9999

sinacos/?—coscrsin/?=工,

i3所以sinacos4=-,所以sin(a+£)=

{cosasin,--,2

sinacos£+cosasin£=1+：=|,所以cos(2a+21)=1—2sin2(a+4)=1—2x(|)2=

故选B.

9

(2)［全国卷UI］已知2tand—tan(6»+-)=7,则tan0=(D)

4

A.-2B.-lC.lD.2

解析由已知得2tane—.tan6+g=7,得tan8=2.

1—tan0

方法技巧

应用和、差、倍角公式化简求值的策略

(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为

“同名相乘，符号反“；

(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；

(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

训练1(1)［全国卷I］己知ad(0,兀)，且3cos2a—8cosa=5,则sina=(A)

A.—B.-C.-D.—

3339

角星析V3cos2a_8cosa=5,3(2cos2a—1)—8cosa=5,6cos2a—8cosa—8=0,

3cos2a—4cosa—4=0,解得COSQ=2(舍去)或cosa=1［.•・•［£(0,兀),sina—

J1-cos?a=字故选A.

(2)[2024广西玉林市联考]已知cos(a+jff)=|,cosctcos/?=|,则cos(2a—2£)

(B)

B•谒

-1-11

解析由cos(a+夕)=cosacos夕一sinasin夕,即-=—-sinasin/，可得sin。8由夕=一，则

326

cos(1一£)=cosacos夕+sinasin^=|+~|,所以cos(2]—2夕)=2cos2(Q一夕)—1

2x(|)2—1=一].故选区

命题点2和、差、倍角公式的逆用与变形用

例2(1)[2023新高考卷II]已知a为锐角,cosa=±且，则sing=(D)

42

AfB.乎C1

1+V5

解析cosa=-=-1-—2SI噎，得向2A（专1）2,又a为锐角，所以

4816

si吟＞。，所以呜=二?£故选D.

(2)[2021全国卷乙]cos2,—cos2,=(D)

V2

B

A三T12DT

~TT511

1+cos—1+cos—(

解析解法一原式=T-~T>V3

2222

解法二因为cos^=sinq—工）=si啥所以cos2：—cos2q=cos21一疝2'

cos⑵？=cos乐冬故选D.

（3）[2022新高考卷H]若sin（a+夕）+cos（a+夕）=2&cos（。+：）sin"则

(C)

A.tan（仪一夕）=1B.tan(Q+4)=1

C.tan(a一4)=—1D.tan=—1

解析sin(a+.)+cos(a+夕)=V2sin(1+4+：)=2V2sinyffcos(a+：),所以

sin(a+E)cos^+sin^cos(ot+^)=2sin夕cos(a+^),整理得sin(a+^)cosP~

sin^cos(a+-)=0,即sin(oc+--=0,所以。一夕+2=e，％£Z,所以tan(。一夕)

444

=tan(Z：7i­-)=-1.

4

方法技巧

1.运用两角和与差的三角函数公式时，要熟悉公式的正用、逆用及变形用，如tana+

tan£=tan(a+6)•(l—tanatan.)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形

用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

2.对〃sinx+Z?cosx化简时，辅助角夕的值如何求要清楚.

训练2(1)在△ABC中，C=120°,tanA+tanB=W，贝(jtanAtan8的值为(B)

A.—B.—C.—D.—

4323

解析解法一由题意得tan(A+8)=—tanC=—tan120°=V3,所以tan(A+B)=

tan4+tanB=b,即——号——=百，解得tanAtan8=工，故选B.

1—tanAtanB1—tanAtanB3

解法二由已知，可取A=B=30°,则tanAtan故选B.

⑵[2022北京高考]若函数/⑴=Asinx一百cosx的一个零点为或则2=1；

/(-)=-V2.

J12----------

解析依题意得/(；)=Axy—V3x|=0,解得A=l,所以/(x)=sinx—V3cosx=

2sin(尤一型，所以/脸)=2sin=一五.

命题点3角的变换问题

例3(1)[2024山东省部分学校联考]已知sin(x+-)贝!Jcos(―-2x)=

1246

(C)

7I7I

A.-B.-C--D.--

8888

解析因为sin(x+—)所以cos(——2x)=cos(71—--2x)=—cos(-+2x)=

124666

-[l-2sin2(x+—)]=-[l-2x(-i)==—Z.故选c.

L124J8

(2)右tan(a+2万)=2,tan^=—3,贝!Jtan(a+£)——1,tana=-.

解析因为tan(a+2在)=2,tan4=一3,所以tan(a+夕)=tan(a+2夕一夕)

tan(a+20)—tanB2—(—3)/inn\—1一(—3)1

--------------=---------=—11,tanot=tan=------——-——

l+tan(a+20)tan/?l+2x(-3)rr1+(—1)x(—3)2

方法技巧

角的变换问题的解题思路

1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和差倍半的形式.

2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和差倍半的关系，注意换元思

想的应用.

3.常见的配角技巧：2a=(a+£)+(a—.)；a—(a+£)—£=(a—/?)+£；a—[)=

(a-y)+(丫一£)；15°=45°—30°；(^-a)等.

训练3(1)[2024江苏省南通市学情检测]已知sin(ct+-)=—,则sin(--2a)=

636

(C)

解析设Q+£=£,则a=L也sint=-^,sin(^―2a)=sin[^—2(Z—]=sin(，一

2

2Z)=cos2/=l-2sin/=l-2x(争2T故选C.

(2)[2024辽宁省辽东南协作体联考]已知文，0<^<-,cos(--«)sin(―+

44/4454

B)=白则sin(a+优的值为1.

1303

解析U<a<乎，0<^<p亨〈午+£<兀，；.sin(/a)=

—Jl—cos2(^―a)=—,cos(乎+4)=—Jl—sin2sin(a+

B)=—cosg+(a+£)]=—cos[(于+夕)—(^―a)]=—cos(}+£)cos(^―a)—

./3TTIC、.zTC\1235/4、56

sin(——+£)sin(—«)=—x—x(—)=—.

4L413513565

(教师尊享-备课题组】

1.[命题点1/2024河北石家庄模拟]已知tan(a+夕)，tan(a—优是方程/+以-3=0的两

个实数根，则笔=(D)

cos20

A.-2B.-lC.—D.2

3

解析因为tan(a+/)，tan(a—£)是方程/+4x—3=0的两个实数根,

所以tan(a+4)+tan(。一夕)=-4,tan(a+4)-tan(。一夕)=—3,所以

sin[(a+6)+(a—0)]sin(a+6)cos(a—0)+cos(a+0)sin(a—6)tan(a+6)+tan(a—/?)

cos[(a+/?)—(a—/?)]cos(a+0)cos(a—0)+sin(a+0)sin(a—/?)1+tan(a+0)-tan(a—0)

$=2.

2.［命题点1/2023河北沧州部分学校联考］1796年，年仅19岁的高斯

发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作图作出正十七边形就要

将圆十七等分，如图所示.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心

角为a,贝!jcos(兀—a)cos2acos4acos8a的值为—.

---16--

An+r-/\/csin2asin4asin8asinl6asinl6a,2TC

用牛祈cosyTt-a)cos21cos41cos8a=——一：---：-----：-----：--=————：—,勿a矢口4=——

2sma2sm2a2sin4a2sm8a16sina17

.32K

sinsi•n(/c2n—2—IT、)sin>—2ITi

所以cos(7i—a)-cos2acos4acos8a=-----%”.2TT”.2ir-77*

16sin—16sm—16sm—16

3.[命题点2]已知sin2a=|,则cos2(a+?=(A)

C-1Dt

解析解法一cos2(«+-)|[l+cos⑵+与)片(1-sinId)=-

46

V22

解法二cos(a+-)一cosa一日sina,所以cos(a+-)=-(cossina)2

4242

-(1—2sinacosa)=-(1—sin2a)=-

226

-i

4.[命题点3]已知角a,0G(0,71),COS«=­ysin(a+4)贝!Jtan£=_

T3

解析因为a,0G(0,兀)，cosa=—・sin(a+.)=],所以。£兀)，a+££

(p兀),可得sina=日，cos(a+4)=一卓，所以tana=—鱼，tanQa+位

^.tanyff=tan[(a+4)-a]=tan(a+0)—tana「票2—\6a-3辰

1+tan(a+6)tana13

5.［命题点3/2023乌鲁木齐质监］已知瓜ina+cosa=?,则cosq-2a)=(B)

A17

A.—B-?

18

角星析V3sina+cosot=2sin(a+-)=—,设a=。+二贝Isina=立，设。2=空一

63663

2a,则。2=兀一24，所以COS82=COS(兀一24)=—cos20i=2sin20i—1=—故选B.

(------------------------------等习此练透好题精准分层-----------------------------、

©学生用书•练习帮P293

公基础练知识通关

1.已知cos_r=—工，尤为第二象限角，则sin2x=(C)

4

A-V15V15八V15n代

A.4B.——4C.-8D.8

解析因为cosx=一工，%为第二象限角，所以sinx=^,所以sin2x=2sinxcosx=

44

2x虎x(-i)=一逐,故选C.

448

2.[2024重庆渝北中学模拟]sin47%in103。+$指43。3$77。=(B)

B与D.1

解析sin47°sin103°+sin43°cos77°=cos43°sin77°+sin430-cos77°=sin(77°+43°)=

sin120。="

2

3J2024河北石家庄模拟]若tanO=S,贝Ucos20=(B)

22

B--D-

A.33

cos20—sin20l-tan20_l—5

解析cos2d—cos2^—sin20=|.故选B.

cos20+sin20l+tan201+5

4.已知sin2a=|,则cos?(a+：)=(A)

A.-B.-C.-D.-

6323

解析解法一cos2(«+?=-[l+cos(2ot+-)]=-(1—sin2a)

2226

解法二cos(a+》=­cos—sina,所以cos?(«+-)=-(cosa—sina)2

2242

-(1-2sinacosa)=-(1—sin2a)=-.

226

5.[2024厦门大学附属科技中学模拟]已知sin(«+-)—cosa=^,则sin(2«+-)=

656

(A)

角星析由已知sin(a+-)—cosa=sinacos-+cossin--cosa=—sintx--cosa=sin(a—

66622

-)则sin(2ot+-)=cos(2a—-)=1—2sin2(ot--)=1—2x(-)2=——,故选A.

65636525

6.[2024安徽六校联考]已知cos（。+夕）=5tanoHan4=5则cos（0一夕）D)

解析因为tanatan/=,=：；；；黑,所以cosacos£=3sinasin夕，又cos(a+4)=：=

11

cos(zcos夕一sinasin所以sinasinP=~,cosacos尸=5,所以cos(1一夕)=cosacos4+

sinasin4=白.故选D.

7.已知a,夕为锐角，且tana=}cos(a+.)=学，则cos2尸=(C)

A.三B?C.iD%

53510

解析由已知。为锐角，且tana=/得至ijsina=^^,cosa=q^.由cos(a+尸)=?且

a,夕为锐角，得到sin(a+夕)=?,所以cos/?=cos[(a+4)—a]=cos(a+4)cosa+

sin(a+£)sina=——x——+—x-=----,所以cos2£=2cos2£—l=2x——1=一.

产5105ioio产产105

8J2023高三名校联考]已知ZaWir,ng粤,sin2ct=-,cos(a+£),贝U4一a=

42510

(C)

A.2或郊B=C.—D.-

44444

解析解法一因为FgaS兀，所以与2延2兀，又sin2a==>0,所以22七兀，可得上任“，所

425242

以cos2a——Jl—sin22a=­|.

2

因为兀史，«<—,—<a+/3<27i9所以sin(a+夕)=—/l—cos(a+j?)=

2244Y

_7V2

10'

所以sin(£—a)=sin[(a+£)—2a]=sin(a+4)cos2a—cos(a+£)sin2a=~~~x

(--)-(--)乃=丝,所以仅一a=邺，故选C.

51052l4

解法二由题意，易得2a£(-,71),a+夕£(―,2兀)，/一(0,—),(提示：

244

由sin2a，，色好兀，知aG弓=））

得用一a=（a+£）-2ae（%亨），所以夕一狂《，乎），结合选项可知选C.

9.[2023东北三省三校联考]若sin(2a+-)+cos2a=V3,贝!Jtana=(C)

6

A.yB.lC.2-V3D.2+V3

解析由sin(2a+-)+cos2a=V3,可得sinZacos^+cos2asinE+cos2。=8，所以百

666

(|sin2a+^cos2a)=V3,即sin(2a+；)=1,解得2a+g=1+2E,正Z,即a=^|+

kit,kGZ,贝ijtana=tan(­+^7i)=tan—=tan=ta%:\=立1=2一遍.故选

''121234l+tan--tan-1+V3

34

c.

1能力练重难通关

10.[2024山东泰安模拟]锐角a,夕满足tana='^,贝U(B)

1—sin/?

A.2a+夕=]B.2Q一尸=]

C.2a+Q=*D.2a—£=—1

角工桁—cose_COS2^*46—sin21_(cosf-siny)(cosy+sin_cos^+sin|_1+tan_

@1—sin0cos2^+sin2y—2sin^-cos(cosy—sin2cossin91—tany

n।g

a"l:"'=tanU+且)，XVa,/是锐角，而y=tanx在(0,-)单调

1-tan--tan42’产‘4422'，2

42

递增，故(/=：+§,因此2a—£=].故选B.

11.[2024陕西咸阳模拟]已知a=2sin±fe=3sin-,c=4sin-,则(B)

346

A.a<c,a-\-c>2bB.a<c,〃+c<2/?

C.a>c,a-\-c>2bD.〃>c,a~\-c<2b

解析.*.0<cos-<l,.*.2sin-=2sin(2x^)=4sin-cos-<4sin-,.*.tz<c;

62’636666

V0<—.,.0<cos—<1,sin-<sini,艮I7sin--sin-<0,•\a+c=2sin-+4sin-=

1263212636336

3sin-+3sin-+(sin--sin-)<3sin-+3sin-=3sin(-+—)+3sin)=6sin-cos—<

366336412412412

6sini=2Z?,,・・a+cV2"故选B.

4

12.点Po0，|)为锐角a的终边与单位圆的交点，OPo(。为坐标原点)逆时针旋转三得

4-3V3

OP1，则点P1的横坐标为.

10

解析根据三角函数的定义可得sina=|,