2024-2025学年高二年级上册期中模拟考试数学试题（新高考地区专用空间向量与立体几何、直线与圆、椭圆）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。

5.难度系数:0.62。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.己知｛。,6,。｝为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）

A.a+b，c+b，a-cB.a+2b，b，a-c

iiiiii

C.2a+b,2c+b，a+b+cD.a+b>a+b+c'c

【答案】B

11,LIs11,L1<111

【详解】对于A,设。+6=x(c+b)+y(a-c),^a+b=x\c+b^+y\a-c^=ya+xb+^x-y')c，解得x=y=1,

所以a+b,c+b，a-展共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；

对于B,设a+26=xb+y（a-c）,x,y无解，

所以；+2）不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；

11/11■fx=-l

对于C,设2a+6=x（2c+b）+y（a+6+c）,解得j,

所以2a+i,2c+i,a+i+c共面，不能构成空间的一个基底，故C错误;

对于D,设a+6=x（a+6+c）+yc,解得|；_:，

所以a+b,a+6+c,c共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.

故选：B.

2.直线由：尤-1=0与直线/2：x—Qy+2=0的夹角为（）

【答案】B

TT

【详解】设两直线的倾斜角分别为。，方，由4：x-l=0,则a=1,

由6：%—6丁+2=0,贝!Jtan/?=t，即〃=6，

则两直线夹角为/?|=g-B=

263

故选：B.

3.设定点耳（0,-2）,Zs（O,2）,动点尸满足条件归周+归闾=根+刍（租＞0）,则点尸的轨迹是（）

m

A.椭圆B.线段C.射线D.椭圆或线段

【答案】D

【详解】因为m＞0,所以m+±22'n^=4,

m\m

当且仅当〃?=2时等号成立，

当机=2时，归耳|+归用=4,而⑶闾=4,此时点尸的轨迹是线段久居；

当机＞2时，|尸国+|尸闾＞4=|耳阊,

此时点尸的轨迹是以耳、歹2为焦点的椭圆.

综上所述，点P的轨迹是以尸I、尸2为焦点的椭圆或线段月用.

故选：D.

4.如图所示，在棱长为2的正方体488-4瓦£2中，E为2C的中点，CF=^CC1,则异面直线族与BQ

所成角的余弦值为（）

【答案】C

【详解】如图，以。为原点，分别以OADC,。口所在直线为了,y,z轴，建立空间直角坐标系,

因为正方体的棱长为2,则M（0,0,2）,5,（2,2,2）,E（1,2,0）,p（0,2,1].

所以R4=（2,2,0）,又研=1-1,0,1|

,广。闯_|-2+0+0|

233726

所以cos(EF,Z)i4)=

附巴为应；26•

2xjl+2A/2T而

3

5.已知直线/："比+>+3=0和直线〃：Wx+（m-2）y+l=0,则“机=一1”是"/〃，”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】当〃/“时，解得〃7=0或〃Z=-1,

当〃2=。时，两直线分别为y=-3,y=g,符合题意,

当机=-1时，两直线分别为f+y+3=0,3x-3y+l=0符合题意,

所以=-1”是“/〃"”的充分不必要条件

故选:B

22

6.已知椭圆M:=+提=1（。>6>0）的左、右焦点分别为用工，点尸在M上，。为尸工的中点，且

ab

F.Q±PF2,\FlQ\=b,则M的离心率为（）

A,如

C.-D

32-f

【答案】C

【详解】如下图所示:

根据题意可知|尸制=|耳闻=2c,由椭圆定义俨团+归国=2“可得1Pq=2a-2c,

又。为P&的中点，可得|尸0=。一。,

因为忸。|=6，由勾股定理可得国。「+|尸0「=归周2,即〃+g_c）2=（2c）2；

结合从+02=4整理可得2c2+m-/=0，即2e?+e-1=0,

解得e=；或e=-l（舍）.

故选：C

7.已知两个不同的圆G，a均过定点A（a,b）,且圆G，c,均与无轴、y轴相切，则圆G与圆G的半径之

积为（）

A.\ab\B.2\ab\C.a2+b2D.“,

【答案】C

【详解】当点A在第一象限时，圆G，G的方程为"-"）2+。-疔=/（厂＞0）的形式，

222

代入点4。,6）的坐标，可得关于r的方程r-2（a+b）r+a+b=0,

圆G，G的半径片，4是该方程的两个不同实根，

所以4々=/+匕2,同理，当点A在第二、三、四象限时也可得可弓=/+廿.

当点A在y轴上时，a=0,

此时圆G，G的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在A点处相切，

且］=芍=网，满足=/?2=/+匕2.

同理，当点A在X轴上时，b=o,同样满足楂="=/+〃.

故选：C.

8.如图所示，四面体ABCD的体积为V,点M为棱5c的中点，点及厂分别为线段。M的三等分点，点N

为线段AF的中点，过点N的平面a与棱A昆AC,分别交于。尸,。，设四面体AOPQ的体积为则孑

的最小值为（）

【答案】C

【详解】连接AM,

A

由题意知:AN=-AF=-（AD+DF]=-\AD+-DM

22、>3

=-AD+-x-（AB+AC）=-AD+—AB+—AC；

362、'31212

[AO

=X

ABX

AP

令・=y则＜AC=-,:.AN=—AO+—AP+—AQ,

ACy12x12y3z

AQ

=zA-

AD.Z

（当且仅当片片为时取等号）‘

N,O,P,。四点共面,

xyz2—；

16

Ap

设点C到平面BAD的距离为d,则点P到平面BAD的距离为--d=yd,

AC

又sBAD=gAB.A。sin/BAD,SAOQ=^AO-AQsmABAD,

v^s.Ao-ydAOAQ、1

QV'1

—=-；--------=--------y=孙z之—,即三的最小值为J.

V1./ABAD16V16

3,BAD,a

故选：c.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）

A.两条不重合直线乙，4的方向向量分别是4=（2,3,-1）,6=（-2,-3,1）,则

B.两个不同的平面a,尸的法向量分别是“=（2,2,-1）,v=（—3,4,2）,则

C.直线/的方向向量。=（1,T,2）,平面a的法向量是〃=（6,4,-1）,贝!!/_La

D.直线/的方向向量。=（0,3,0）,平面a的法向量是无=（0,-5,0）,贝ij///a

【答案】AB

【详解】两条不重合直线4，4的方向向量分别是。=（2,3,-1）,&=（-2,-3,1）,则6=-°，所以〃4,A正

确；

两个不同的平面a,4的法向量分别是"=（2,2,-1）,v=（-3,4,2）,则ai=2x（-3）+2x4-1x2=0,所以

aV（3,B正确；

直线/的方向向量力=（1,-1,2）,平面a的法向量是日=（6,4,-1）,贝储•"=lx6-lx4+2x（—l）=0,所以///a

或/ua,C错误；

直线/的方向向量a=（0,3,0）,平面a的法向量是a=（0,—5,0）,则&=-.，所以Ua,D错误.

故选：AB

10.已知直线/：履-y+左=0,圆Cf+VYx+SnO,Pa，%）为圆c上任意一点，则下列说法正确的是（）

A.+的最大值为5

B.&的最大值为坟

%5

C.直线/与圆C相切时，k=±—

3

D.圆心C到直线/的距离最大为4

【答案】BC

【详解】圆C的方程可化为（x-3y+V=22,所以圆C的圆心为C（3,0）,半径「=2.

|6>Cj=3,P（xo，y（））是圆上的点，

所以呼+*的最大值为（3+2）2=25,人选项错误.

如图所示，当直线。尸的斜率大于零且与圆相切时，耳最大,

%

此时Qq=3,|pq=2,|OP|=6，旦左B选项正确.

直线/：质->+左=0,即丁=左（％+1）,过定点（TO）,

若直线/与圆C相切，则圆心C（3,0）到直线/的距离为2,

\3k+k\G

即1/T=2,解得A=±组，所以C选项正确.

yjl+k23

圆心C（3,0）到直线/的距离d=4制=~^=

当上=0时，d=0,

484

d=।।<4

当左wo时，ji+rrr,所以D选项错误.

^VF

故选：BC

x—

11.已知直线/：〉=履伏#0）交椭圆靛十9=1于A,B两点，K，尸2为椭圆的左、右焦点，M,N为椭圆

的左、右顶点，在椭圆上与尸2关于直线/的对称点为。，则（）

A.若左=1,则椭圆的离心率为也

2

B.若女小=二,则椭圆的离心率为且

33

C.IMFQ

D.若直线8。平行于无轴，贝|左=±6

【答案】ACD

【详解】如图，直线/与。右交于G,

对于A,若左=1,则。（0,c）,所以6=c,

c_c_1_A/2

所以e，=故A正确;

a4b2+c2-72?-V2-2

则3（一毛，一%），且与+4=1即$=/（/一片）,

对于B,设4（沏加，

ab/

b2[a2-%o)

所以々k二%--=♦=/=〃-1，

加…厂一需_〃2一4_〃2-^2-3

所以与=——=1-J=1—/=!=>€=,故B错误;

aa22a23c3C

对于C,由题意可知OG是中位线，故〃/片Q,故C正确;

对于D,设点3（x。,%）,则直线/：＞=儿彳，

%

因为直线5。平行于X轴，所以点Q（-%,%）,耳Q的中点G

‘%_%。一-

2~x2

所以由点G在直线/上且心夕号=-1得°,

%.比=一1

-^o-cxo

解得x（）=gc，y；=4-即%=±*c,

±——C

因此笈=&=一_=±«,故D正确.

%1。

2

故选：ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知点尸在圆5-5）2+"-5）2=16上，点4（4,0）,3（0,2）,当NPBA最小时，\PB\=.

【答案】372

【详解】设圆（》-5）2+（k5）2=16的圆心为“（5,5）,半径为4,

如图所示：当NP8A最小时，PB与圆M相切，连接

则PM_LPB,|BM|=7（0-5）2+（2-5）2=734,而1必＞4,

由勾股定理得|PB|=7lBAf|2-|MP|2=372，

所以当NPBA最小时，|尸8|=30\

故答案为：3vL

13.下列关于直线方程的说法正确的是.①直线x-ysin6+2=0的倾斜角可以是”②直线/过点（-2,3）,

并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为无+＞-1=0；③过点尸（毛,%）的直线Ax+By+C=O的直线方程

还可以写成A（x-x0）+3（y-%）=0；④经过AQ,yJ,网和力）两点的直线方程可以表示为

y—%二％一/

%-%国一马•

【答案】①③

【详解】对于①，当sin8=0时，直线方程为：无=-2,此时直线倾斜角为会①正确；

3

对于②，当直线过坐标原点时，l:y=--xf此时其在两坐标轴上的截距相等；

当直线不过坐标原点时，设/：x+y=。，则〃=-2+3=1,.,./：%+y-l=O；

□

综上所述：过点（-2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：，=-1尤或犬+>-1=0,②错误;

对于③，尸（七,%）在直线Ax+By+C=。上，Ato+3yo+C=。，

则—+B%+C=Ax+2y+C,A（x-xo）+B（y-yo）=O,③正确；

对于④，若占=%或%=%，则过A（X，X）,3（9,%）两点的直线无法表示为上二出=忙二，④错误.

%一%X1~X2

故答案为：①③.

14.正方体A5CQ—的棱长为3,尸是侧面AD24（包括边界）上一动点，E是棱上一点，若

ZAPB=ZDPE,且ZVIPB的面积是，。庄面积的9倍，则三棱锥尸一AB石体积的最大值是.

【答案】巫

8

【详解】由已知AB_L平面ADRA，APu平面

所以ABJ_AP,

因为DE_L平面ADRA，DPu平面AD。A，

所以DE_LDP,

所以N3Ap=NEDP=90,又ZAPB=ZDPE,

AP

所以一APBS_DPE,又△APB的面积是aDPE面积的9倍，所以f=3,

以点。为原点，DADCDB为无,y,z轴建立空间直角坐标系，则A（3,0,0）,£>（0,0,0）,

设点尸的坐标为（x,0,z）,则0W》£3,0<Z<3,由已知|明=3|尸。|,

所以J(x-31+z2=3j/+z2,所以无2+Z2+?X-£=。，其中04X43,0<Z<3,

v48

9

所以点P的轨迹为以点为圆心,三为半径的圆在侧面ADA4内的一段圆弧,

O

过点尸作「。//。2，因为。2,平面ABCD,所以平面ABCD,即尸平面钻石,

133

所以PQ为三棱锥P—ABE的高，所以三棱锥P—ABE的体积/一秒后=]5.石尸。=5尸。=5闫，

39/3Q

因为f+z2H—x—=0,0«zK3,所以z=J—工2—x-\—,0«冗＜3,

48V48

所以当x=0时，z取最大值，最大值为逆，所以当x=0时，三棱锥尸一ABE体积取最大值，最大值为

15.（13分）已知直线/的方程为：（2根+1）%+（根+l）y-7根一4=0.

（1）求证：不论用为何值，直线必过定点M；

（2）过点M引直线4交坐标轴正半轴于A、5两点，当.AQB面积最小时，求AO5的周长.

【详解】（1）证明：由（2根+l）x+（加+l）y—7相—4=0可得：m（2x+}/-7）+x+3；-4=0,

f2x+y-7=0fx=3―/、

令1》+；_4=0=y=l'所以直线/过定点“。/）...........5分

（2）由（1）知，直线“亘过定点加（3,1）,

由题意可设直线4的方程为k1=人（尤-3）（左＜0）,设直线1与x轴，V轴正半轴交点为A,2,

令x=0,得力=1-3%；令＞=。，得匕=3-q,...........7分

4卜—十小，

当且仅当-"=二，即左=-：时，VAO3面积最小，..........11分

-K3

此时A（6,0）,3（0,2）,卜招+22=2丽,

VAOB的周长为6+2+2师=8+29.

所以当VAO3面积最小时，VAO3的周长为8+2J证..........13分

16.（15分）如图，在三棱柱ABC-AqG中，BC,AB=BC=2.

（1）求证：平面J■平面ABC；

（2）设点尸为AC的中点，求平面与平面3cp夹角的余弦值.

【详解】（1）证明•.44,，平面A8C,8Cu平面ABC,，A41LBC.

又•.AB±BC,A4,nAB=A,且招,ABu平面ABB】A,二BC,平面4820.

AB】u平面BC_LAB1.又1AB,VA.C^Ci^BC=C,且AC,8Cu平面48C,

ABt_L平面AXBC.ABtu平面AB©,

•••平面ABJCJ1平面AXBC......................6分

（2）由（1）知所以四边形AB4A为正方形，即AA=AB=2,且有AC=28.

以点A为原点，以AC,例所在直线分别为％z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系

,3（血，&,0）,g（0,&,2）,尸（0,四,1）,

所以=卜&,0,1）,AP=（0,0,1）,C3=（鱼，一血,0）,设平面4?尸的一个法向量元=（X,y,z）,

Ml」

所以必仇同=蜀』J2+2+451+1+2

2x2近一2

所以平面ABP与平面3c尸夹角的余弦值为1.....................15分

2

17.（15分）已知椭圆C：]+彘=1（稣匕＞0）的焦距为2夜，离心率为冬

（1）求C的标准方程;

⑵若A，/。)，直线&尤="+[('>°)交椭圆C于E，E两点，且△AEF的面积为半，求，的值.

【详解】(1)由题意得，2c=2四，c=应，又e=£="，则。=2,则〃=/-2=2,

a2

22

所以C的标准方程为—+^=1...........5分

42

设直线/与X轴的交点为又A(-|,O；则|AD|=](_£|=4,

AoJ16/+14

故SJ1「回-%|=2x屈

AEF7+2~2~

结合。0,解得...........15分

18.（17分）

如图，在四棱锥尸—ABCO中，平面R4D_L平面ABCD,PA±PD,AB±AD,PA=PD,AB=1,AD=2,

AC=CD=5

(1)求证：PD_L平面B4B.

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

(3)在棱以上是否存在点M,使得〃平面PCD?若存在，求出吟的值；若不存在，请说明理由.

AP

【详解】(1)•.•平面上4D_L平面ABCD,且平面RWc平面ABCD=M),

且AB_LAD,ABu平面ABCZ),AB_L平面PAD,：PDu平面PAD,•*.ABLPD,

又PD_Ld,且PAAB=A,尸A,A3u平面PAS,.•.「£>_L平面BW；5分

(2)取A£>中点为。，连接CO,PO,

XVPA=PD,：.POLAD.贝ljAO=PO=l,

,CD=AC=\[5，••CO-LAD，则CO=VAC2—QA2=，5-1=2，

以。为坐标原点，分别以OC,OA,OP所在直线为X，MZ轴建立如图所示的空间直角坐标系。-孙Z,

则尸(0,0,1),8(1,1,0),0(0,-1,0),C(2,0,0),

贝4尸8=(1,1,—1),PD=(O,-1,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0),

设〃=(x,y,z)为平面PCD的一个法向量,

n•PD=0—y—z=0

则由＜令z=l,贝!]〃=

n-PC=02x—z=0

设PB与平面PCD的夹角为e,

则sin。=,,PB^=A^|=/E——=g；...........11分

(3)假设在棱PA上存在点M点，使得〃平面PCD.

设AM=XAP，/te[0,l],

uu

由(2)知,A(0,l,0),3(1,1,0),尸(0,0,1),则AP=(0,—l,l),BA=(-1,0,0),

BM=BA+AM=BA+AAP=(-1,0,0)+(0,-A,2)=(-l,-A,2),

由(2)知平面PCD的一个法向量w=[g,T,lj.

BMHiF®PCD,贝!|BM.〃=」+；l+/l=2"Lo,