湖南省长沙市2024-2025学年九年级上学期9月月考模拟数学试题（含答案）

学情检测

一、选择题（共10小题，每小题3分）

1.下列曲线中不能表示＞是x的函数的是（）

y

B.>

Ox

2.一次函数了=履+1,夕随X的增大而增大，则一次函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.中国“一十四节气,,已被利入联合国教科文组织人类非物质文化读产代表作名录，下列四

幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

4.如图，将△048绕点。逆时针旋转80。，得到A。。，若4=2/0=100。，则/a的度

数是

A.50°B.60°C.40°D.30°

5.如图,42是。。的弦，CD是。。的直径，CD14B于点E.在下列结论中，不一定成

立的是（)

试卷第1页，共6页

c

A.AE=BEB.ACBD=90°C./COB=2/DD./COB=/C

6.如图，CD是O。的直径，弦若/CDB=28。，则。的度数为（）

A.28°B.56°C.58°D.62°

7.若代数式五有意义，则实数x的取值范围是（）

x-3

A.x*3B.x>0C.x>0且x*3D.x20且x/3

8.肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米

=10"米，那么700纳米用科学记数法可表示为（）

A.7x10-8B.7x10-7C.70x10-8D.0.7xlO-7

9.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（）

10.关于X的一元二次方程办2+云+；=0有一个根是-1,若二次函数歹="2+乐+；的图

象的顶点在第一象限，设=2〃+6,贝I"的取值范围是（）

11

A.—<t<—B.-1<^<—C.--</<—D.

424222

试卷第2页，共6页

二、填空题（共6小题，每小题3分）

11.若一组数据3,4,x,6,7的众数是3,则这组数据的中位数为.

12.将抛物线y=-2（x+3『T向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的

抛物线的解析式是—.

13.在平面直角坐标系中，若点工（。,3）与点8（-1涉）于原点对称，则a+6=.

14.如图，直线弘=必，％=丘+6交于点尸（21），则关于x的不等式丘+的解集

为______

15.如图，N8是的直径，CD为的弦，CDL4B于点、E,已知48=10,CD=8,则

OE=

16.如图，四边形48CD内接于。。，/C、8。为对角线，AD经过圆心。.若

ZDBC=65°,则NBAC的度数为一.

三、解答题（共9小题）

17.计算：（V2-^）°+|l-2>/3|-V12+f1

试卷第3页，共6页

r2-2x+1(4)

18.先化简，再求值：,：+1-三,然后从-3,0,1,3中选一个合适的数作为

x2+3xIx+3J

x的值代入求值.

19.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，A/5。的三个顶点

都在格点上.

(1)以。为原点建立直角坐标系，点B的坐标为(-3,1),则点A的坐标为_；

⑵画出AABO绕点。顺时针旋转90。后的

20.如图，在等边aABC中，点D为aABC内的一点，ZADB=12O°,zADC=90°,WAABD

绕点A逆时针旋转60。得AACE,连接DE

(1)求证：AD=DE；

(2)求NDCE的度数.

21.如图，N8是的直径，弦于点£,点P在。。上，Z1=ZC.

⑴求证：CB//PD；

(2)若3c=3,ZC=30°,求。。的直径.

22.如图，抛物线了=/-云+。交X轴于点/(1,0),交y轴于点8,对称轴是x=2.

试卷第4页，共6页

x=2

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点尸，使的周长最小？若存在，求出

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

23.根据市场调查，某公司计划投资销售N,2两种商品.

信息一：销售N商品x（吨）所获利润”（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表:

X（吨）1234

yA（万元）6121824

2

信息二：销售3商品x（吨）所获利润为（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax+bx,

且销售2吨时获利润20万元，销售4吨时，可获利润32万元.

⑴直接写出”与%之间的关系式为;并求出力与x的函数关系式；

（2）如果企业同时对2两种产品共购进并销售10吨，每吨产品购进成本为4万元，请设

计能获得最大利润的采购方案，并求出最大利润；

（3）假设购买/商品的成本为3万元/吨，购买2商品的成本为5万元/吨，某公司准备投资

44万元购进，，8两种商品并销售完毕，要求/商品的数量不超过8商品数量的2倍，且

销售总利润不低于53万元，直接写出B商品的销售数量x的取值范围是.

24.关于x的方程办2+6=0，如果a、b、c满足/+/=02且c#0,那么我们把这

样的方程称为“勾股方程”.请解决下列问题：

试卷第5页，共6页

(1)请写出一个“勾股方程”：

⑵求证：关于x的“勾股方程”办2+6cx+b=0必有实数根；

(3)如图，已知/5、CD是半径为1的。。的两条平行弦，AB=a,CD=b,且关于x的方程

三x?++g=0是“勾股方程，，，求/A4c的度数.

25.二次函数了="2+加+。的图像经过点4(0,8),顶点为P.

(l)c=.

(2)当时，若顶点尸到x轴的距离为10,则6=；

⑶若二次函数图像交x轴于8、C两点，点8坐标为(8,0),且△NBC的面积不小于20,求

a的取值范围.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与丹对于x的每一个确定的值，v都有唯一的

值与其对应，那么就说〉是X的函数，X是自变量.由此逐项判断即可.

【详解】A.当x取一个值时，V有唯一的一个值与x对应，故该选项能表示V是X的函数,

不符合题意；

B.当x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，故该选项能表示y是X的函数，不符合题

思；

C.当X取一个值时，y有唯一的一个值与X对应，故该选项能表示V是X的函数，不符合题

忌；

D.在图象中，在x轴正半轴上取一点，即确定一个x的值，这个x对应图象上两个点，即

一个X的值有两个y值与之对应，故此图象不是y与x的函数图象，符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了函数的概念.对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与

之对应.

2.D

【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据该函数的增减性可得后＞0,从而可判断出

该函数图象经过的象限，进而即可解答.

【详解】解：,•・一次函数＞=履+1,y随尤的增大而增大，

•••左〉0,

.•.该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.

故选：D

3.D

【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一

个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形

绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形.根据轴对称图形和

中心对称图形的定义逐项判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；

B、是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；

C、是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；

D、是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；

答案第1页，共16页

故选：D.

4.A

【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得乙4=NC=100。，

AAOC=80°,再求出/DOC,即可得到/a的度数.

【详解】••・将△048绕点。逆时针旋转80。，乙4=100。

.-.ZA=ZC=100°,ZAOC=80°,

NA=2ND=100°,

ZD=50°,

ZDOC=18O°-ZZ>-ZC=3O°,

.■.Za=ZAOC-ZDOC=80°-30°=50°,

故选：A.

5.D

【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关

键.

根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可.

【详解】解：是。。的直径，CD1AB,

AE=BE,NCBD=90。,NCOB=2ND,NCBO=NC,

故A、B、C不符合题意，D符合题意；

故选：D.

6.B

【分析】根据垂径定理可得前=/，再由圆周角定理，即可求解.

【详解】解：:8是。。的直径，弦A8LC。，

■■BC=AC>

ZAOC=2ZCDB=2x28°=56°.

故选：B

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的

关键.

7.D

【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件“被开方数

答案第2页，共16页

大于或等于0”和分式分母不为零进行计算即可得，解题的关键是掌握二次根式和分式有意

义的条件.

x>0

【详解】解：由题意得,

无一3/0’

解得x20且x43,

故选：C.

8.B

【分析】根据科学记数法的一般形式为axlO",其中1<H<10,〃为整数.确定〃的值

时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值小于1时，〃是负整数.

【详解】解：700纳米=700x10-9米=7x10-米，

故选：B.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

9.C

【分析】根据菱形的判定方法逐一进行判断即可.

【详解】解：A、根据等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为

菱形，不符合题意；

B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为

菱形，不符合题意；

C、根据同旁内角互补，两直线平行，不能得到平行四边形是菱形，符合题意；

D、根据平行四边形的对边平行，两直线平行，内错角相等，以及等角对等边可得平行四边

形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查菱形的判定.熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键.

10.D

12Z-1

【分析】二次函数的图象过点（T,。），则+二=0,而=2a+6,贝必=，,

答案第3页，共16页

6=0岸，二次函数的图象的顶点在第一象限，则-乡>0,>0,即可求解.

62a24a

【详解】•••关于》的一元二次方程⑪2+云+:=。有一个根是-1,

2

.,.二次函数y=，+6x+g的图象过点(-1,0),

a—b—=0,

2

.-.b=a+—,t=2a+b,

„,2/—1j2%+2

则,b=^—

00

•.•二次函数y=ax2+6x+g的图象的顶点在第一象限,

1-^>0

>0,

2a24。

［右2/—172，+2八、、,［、/.

将。=一丁，6=—;—代入上式得:

O0

2才+2

$T>°,解得：

2x------

6

2/+22

1（-7~）1

~方_[>0,解得：f<—<3,

24（号2

故：-

故选D.

【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求20与6的关系,

以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用

11.4

【分析】本题考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而

中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，根据众数的意义求出

x的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可.

【详解】解：••,数据3,4,x,6,7的众数是3,

因此x=3,

将数据3,4,3,6,7排序后处在第3位的数是4,

因此中位数是4.

答案第4页，共16页

故答案为：4.

12.y=-2（x+5）~+3

【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上

加下减即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键.

【详解】解：将抛物线了=-2@+3）2-1向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度,

得到的抛物线的解析式是V=-2（x+3+2『-1+4=-2（x+5）2+3,即y=-2（龙+5『+3,

故答案为：y=-2（x+5『+3.

13.-2

【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，关于原点对称的点的横纵

坐标均互为相反数，据此作答即可.

【详解】•••点”（a,3）与点3（-1力）于原点对称，

：.a=l,b=—39

**•6z+Z?=1—3=-2,

故答案为：-2.

14.x<2

【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关

键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小.

结合函数图象，写出直线必在直线％下方所对应的自变量的范围即可.

【详解】解：•.,直线%=履+6交于点P（2,l）,

二当x<2时，kx+b>mx,

即关于x的不等式Ax+b>加x的解集为x<2.

故答案为：x<2.

15.3

【分析】连接，根据垂径定理可得CE=OE=4,在Rt^OCE中，利用勾股定理即可求

解.

【详解】解：连接OC,如图所示：

答案第5页，共16页

c

B

OC^-AB^S,

2

,:CD1AB,

,・.CE=DE=LCD=4,

2

在RtZkOCE中，乙CEO=90。,OC=5,CE=4,

••OE=d（）C2—。炉=加2—42=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理的应用是解题的关

键.

16.25°##25度

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由是。。的直径得N8CD=90。,

进而可得/BDC=25。，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键.

【详解】解：•••2。是。。的直径，

ZBCD=90°,

vNDBC=65。，

.•.28DC=90°-65°=25°,

ABAC=ABDC=25°,

故答案为：25°.

17.2

【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数暴、绝对值、算术平方根、负整数指数基的运

算法则分别计算即可.熟练掌握运算法则是解题的关键.

［详解］解：（后_句°+卜_26卜疵+

=1+273-1-273+2

=2.

答案第6页，共16页

x—12

18.；x=3,原式="

x3

【分析】利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再

将其代入化简结果计算即可.

【详解】解：原式二与二明一叶二

x(x+3)x+3

二(I)2：xT

x(x+3)x+3

_(x-1)2x+3

x(x+3)x-\

_x—1

X

：x(x+3)wO,x-1/0,

xw0,x*-3,xw1,

x=3,

.•.原式3=-下1=：2.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.

19.(1)(-2,3)；(2)见详解

【分析】(1)利用B点坐标作出直角坐标系，从而得到A点坐标；

(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、Bi即可.

【详解】解：(1)根据B点坐标可得出原点位置为O点，

建立如图所示的直角坐标系，点A的坐标为(-2,3)；

故答案为(-2,3)；

(2)如图，△OAjBi为所作.

答案第7页，共16页

【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，

对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应

点，顺次连接得出旋转后的图形.

20.(1)证明见详解；(2)90°

【分析】(1)由旋转可得△ARD四△NCE,由三角形全等可得4D=/E、NBAD=/CAE,

再利用等式的性质可得=从而可得△/£)£是等边三角形，最后再根据等边三

角形的性质可到结论；

(2)由(1)可得4ME=60。、ZAEC=120°,再结合已知条件/4DC=90。根据四边形的

内角和即可求得答案.

【详解】解：(1)•••将△4BD绕点A逆时针旋转60。得

△ABD"AACE

：.AD=AE,ABAD=ZCAE

：.ABAD+ADAC=NCAE+ZDAC即ABAC=NDAE

•・•△4BC是等边三角形

ABAC=60°

ZDAE=60°

.•・△/DE是等边三角形

*，•AD=DE.

(2)•.・由(1)可知，△/£>£是等边三角形，AABD义AACE

ZDAE=60°,ZAEC=ZADB=120°

•••NADC=90°

•••在四边形/DCE中，ZDCE=360°-ZADC-ZDAE-ZAEC=90°.

答案第8页，共16页

【点睛】本题考查了旋转得性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、四

边形的内角和等，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

21.（1）证明见解析

（2）6

【分析】本题考查圆周角定理（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），垂径定理（垂

直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧）以及解直角三角形，

（1）先由圆周角定理得到/。=/尸，结合已知得到/1=/尸，即可证明〃尸

（2）连接NC,由“直径所对的圆周角是直角”可得44c8=90。，由垂径定理可得

BC^BD,得到N/=N尸，sin=sinZP,解直角三角形得到8c=3,即可得到

AB=6.

【详解】（1）证明：「/C与一尸是砺所对的圆周角,

ZC=ZP.

又•；N1=NC,

•­•Z1=ZP,

CB//PD-,

(2)解:连接/C,

•••48为。。的直径,

NACB=90°.

又•：CD1AB,

■■BC=BD，

■■NA=NP,

:.sinAA=sin/P.

在中,sinZ-A=---,

答案第9页，共16页

•・,sin/P=sinZC=sin30°=—,

2

.BC\

sinZ7_AA==—

AB2

又,:BC=3,

AB=6.

即OO的直径为6.

22.(l)y=x2—4x+3

(2)存在，(2,1)

【分析】⑴根据抛物线经过点/(LO),对称轴是直线x=2列出方程组，解方程组求出6、。

的值即可；

(2)因为点A与点。关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接5。与直线x=2交于点尸，则

点尸即为所求，求出直线与直线x=2的交点即可.

1-6+c=0

【详解】(1)由题意得，6c,

[2

解得b=4,c=3,

二抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；

(2)♦.,点A与点C关于直线x=2对称，

二连接5c与直线x=2交于点P,则点尸即为所求，

根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3,0),

了=尤2-4%+3与歹轴的交点为8(0,3),

设直线的解析式为：y=kx+b,

j3k+b=0

1=3'

解得，k=-\,b=3,

直线BC的解析式为：y=-x+3,

则直线2C与直线x=2的交点坐标为：尸(2,1)

答案第10页，共16页

点尸的坐标为：(2,1).

【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求

解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键.

2

23.(1)”=6无，yB=-x+12x

⑵购进A商品7吨，购进B商品3吨，最大利润69万元

(3)4<x<7

【分析】本题考查了二次函数在销售利润问题中的应用；

(1)由信息一得，每销售1吨/商品可获利6万元，由信息二得：当x=2时，y=20,当x=4

时，y=32,代入解析式，即可求解；

(2)设购进B商品机吨，总利润为w万元，w=A商品的利润+B商品的利润，化成二次

函数的顶点式，即可求解；

(3)由A商品和5商品数量关系列出不等式求出x的取值范围，吗=人商品的利润+8商

品的利润，求出吸253时x的取值范围，即可求解；

找出等量关系式，理解二次函数与对应不等式之间的关系及y、X的实际意义是解题的关

键.

【详解】(1)解：由信息一得：每销售1吨/商品可获利6万元；

由信息二得：当无=2时，y=2Q,

当x=4时，>=32,

yA=6x,

答案第11页，共16页

故答案：yA=6x；

由信息二得

当％=2时，歹=20,

当％=4时，y=32,

j4a+2b=20

.116a+4b=32‘

a=-1

解得:

6=12

二%与X的函数关系式为为=-/+I2x；

故答案：B=6X；

(2)解：设购进B商品m吨，总利润为卬万元，则有

w=6(10-m)—m2+12加

=-m'+6m+60

=-(m-3)2+69

v-1<0,

,当机=3时，

%大=69，

.'.10-w=7(吨),

故购进A商品7吨，购进B商品3吨，最大利润69万元;

(3)解：由题意得

44

x<——

I5

44

解得：4<X<y,

44—5x2।i0

叱=6x——------x+12x

——+2x+889

当—Y+2x+88=53时，

答案第12页，共16页

解得：玉=-5,x2=7,

•・・销售总利润不低于53万元，

—X2+2x+88253,

v-1<0,

/.-5<x<7,

*/x>0,

:.4<x<7；

故答案：4<x<7.

24.⑴3/+5缶+4=0(答案不唯一)

(2)见解析

(3)Z3AC=45°

【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“勾股方程”；

2

（2）由ox2+0cx+6=O是“勾股方程”，得到。=。2且CHO,awO时，A=2c-4ab

=2（a-b）2>0,方程有两个实数根，。=0时，方程、汇cx+b=O，c^O,方程有实数根，

得“勾股方程”必有实数根；

（3）作0EJ.48于£,延长EO交。于尸，连接。AOC,根据垂径定理得

AE=^,CF4根据勾股定理得［11+0£2=12,根据，，勾股方程，，得

得到OE=CF,推出RtA80£gRtA0C*HL）,推出NCO8=90。，根据圆周角定理得

ZBAC=45°.

【详解】⑴解：根据题意，写出一个“勾股方程”为：3/+5岳+4=0（答案不唯一）;

故答案为：3/+5缶+4=0（答案不唯一）

（2）证明：・•・关于x的方程办2+0^+6=0是“勾股方程”，

・•・+/=/且。W0,

当〃w0时，

△=（缶）2-4h

=2c2-4ab

答案第13页，共16页

=2（a2+b2）-4ab

=2（a。+b2-2ab）

=2(a-b)2>0,

方程有两个实数根，

当。=0时，

方程\flcx+6=0，cw0,

该方程有实数根；

综上所述，“勾股方程”必有实数根；

(3)解：ABAC=45°,理由如下：

作于E,延长交C£)于R连接02,OC,

■■■DC//AB,.-.EF1CD,

；.AE=BE=LAB=JCF=DF=LCD=),