高考数学得分技巧

高考数学得分技巧整理（完整版）

目录

高考数学得分技巧整理（完整版）.....................................1

第1讲选择题的解题方法与技巧..................................2

一、题型特点概述............................................2

二、解题方法例析............................................2

三、知能提升演练...........................................10

第2讲填空题的解题方法与技巧.................................15

一、题型特点概述...........................................15

二、解题方法例析...........................................16

三、知能提升演练...........................................23

第3讲解答题答题模板.........................................28

模板1三角函数的单调性及求值问题..........................28

模板2解析几何中的探索性问题..............................29

模板3由数列的前n项和S”与通项a„的关系求通项an.......................31

模板4函数的单调性、最值、极值问题........................31

第4讲考前急训：答题规范......................................33

一、概念、符号应用要规范....................................34

二'结论表示要规范..........................................34

三、书写格式要规范..........................................36

四、几何作图要规范..........................................37

五、解题步骤要规范..........................................39

第1讲选择题的解题方法与技巧

一、题型特点概述

选择题是高考数学试卷的三大题型之一.选择题的分数一般占全卷的

40%左右，高考数学选择题的基本特点是：

(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，

主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相

对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已

成为具有较好区分度的基本题型之一.

(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和

深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种

以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力.

目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，

由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法.解选

择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提

供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断.

数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果;

二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件.

解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、

特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是

解题的有效手段.

二、解题方法例析

题型一直接对照法

直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、

公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从

而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确

的选择支.这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解

策略是由因导果，直接求解.

例1设定义在R上的函数4x)满足“x)：/(x+2)=13,若火1)=

2,则人99)等于

()

132

A.13B.2C.彳D.记

思维启迪先求人劝的周期.

131313

角军析,.,y(x+2)二人工),•\/(X+4)=HX+2)=13=兀0

而

1313

函数五x)为周期函数，且7=4.；.，(99)=『(4*24+3)=『(3)=行=可.

探究提高直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法时，要注意充分挖掘题

设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，迅速得到所需结论.如本题通过分

析条件得到而0是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键.

变式训练1函数段)对于任意实数x满足条件於+2)=七,

若火1)=—5,则胆5))的值为()

1

A.5B.15C-5D・一5

解析由f(x+2)-=Jv，得/<x+4)=k\=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数，

所以/(5)=广(1)=-5,从而/(/(5))=_f(-5)=/(—1)=/,(_]+2)=7717=—不

例2设双曲线奈=1的一条渐近线与抛物线y=/+l只有

一个公共点，则双曲线的离心率为()

A.1B.5。,坐

D.小

思维启迪

b

求双曲线的一条渐近线的斜率即/的值，尽而求离心率.

解析设双曲线的渐近线方程为y=依，这条直线与抛物线y=f+l相切，联立

y—kx卜

，整理得，一入+1=0,则/=层一4=0,解得左=±2,即?=2,故

y=jc+\a

双曲线的离心率e=^=yj区—l+(-)2=V5.

探究提高关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组.本

题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率.

22

变式训练2已知双曲线C：了x一台V=l(a>0,b>Q),以C的右

焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()

A.aB.bC.yfabD、/霹+方

解析《一3=1的其中一条渐近线方程为：y=~^x,即加;+分=0,而焦点坐

标为(c,0),根据点到直线的距离d=>；/[：2的=。•故选B.

题型二概念辨析法

概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，

直接选择出正确结论的方法.这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念

或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，

同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择.一般说来，这类题目运算

量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”.

例3已知非零向量。=(xi,yi),b=(x2,*),给出下列条

件，①。=助(左©R)；②xiX2+yiy2=0；③(a+36)〃(2a—

b)；@a-b=\a\\b\；(5)x?^+%2y?2xix2yiy2.

其中能够使得的个数是(

)

A.1B.2C.3D.4

解析显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量

垂直的条件；③是正确的，因为由(a+30)〃(2a—b),可得(a+3a)=7(2a—b),当

i丸+31

7W5时，整理得。=不~~b,故a〃。，当4=5时也可得到a〃。；④是正确的，

若设两个向量的夹角为a则由aO=|a||A|cos仇可知cos6=l,从而。=0,所

以a〃b；⑤是正确的，由君次+x为彳W2XIX2W，可得(xi"—X2yi)2W0,从而xi”

-X2yi=0,于是

探究提高平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线

向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的

数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线

向量.

变式训练3关于平面向量a,b,c,有下列三个命题：

①若则。=c.

②若a=(l,%,0=(—2,6),a//b,则左=—3.

③非零向量。和6满足|。|=|例=|。一例，则a与。+人的夹角为

60°.

则假命题为

()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

B

解析@a-b=a-c^>a-(b—c)=0,。与可以垂直，而不一定有6=c,故①为

假命题.

②"：a〃b,.•.1X6=-2左..•.左=—3.故②为真命题.

③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60。，a+6为其对角线上的向量，a

与a+6夹角为30。，故③为假命题.

题型三数形结合法

“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基

石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定

条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点

的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根

据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、

性质，综合图象的特征，得出结论.

例4(2009•海南)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最

小值.设火x)=min{2x,x+2,10—x}(xN0),则五x)的最大

值为

()

A.4B.5C.6D.7

C

思维启迪

画出函数人x)的图象，观察最高点，求出纵坐标即可.本题运用图象来求值，

直观、易懂.

解析由题意知函数“X)是三个函数州=2丫，yi=x+2,*=10—x中的较小者，

作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为火》)的图象)可知

A(4,6)为函数人为图象的最高点.

变式训练4(2010.湖北)设集合A=，(x,>)1+布=1；，

B={^x,y)\y=3x},则AA3的子集的个数是()

A.4B.3C.2D.1

A

72

解析集合A中的元素是椭圆〃+髭=1上的点，集合5中的元素是函数丁=3%

的图象上的点.由数形结合，可知AA3中有2个元素，因此AA3的子集的个

数为4.

例5函数火x)=l—|2x—1],则方程五。2*=1的实根的个数是()

A.0B.1C.2D.3

C

思维启迪

若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可转化为»=而函数y=»

和y=g)x的图象又都可以画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图

象交点的个数确定相应方程的根的个数

解析方程次。2*=1可化为五x)=g),在同一坐标系下分别画出函数y=/(x)和

y=g)的图象，如图所示.可以发现其图象有两个交点，因此方程次x)=g;有

两个实数根.

探究提高一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题，要多考

虑利用数形结合法.方程火x)=0的根就是函数y=/(x)图象与x轴的交点横坐标，

方程兀c)=g(x)的根就是函数y=/(x)和y=g(x)图象的交点横坐标.利用数形结合

法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如

果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的

变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解.

变式训练5函数y=|logLx|的定义域为出，可，值域为［0,2］,

2

则区间［跖口的长度6—。的最小值是()

3

A.2B，2C.3

D-4

D

解析作出函数y=|log^x|的图象，如图所示，由y=0解得％=1；由y=2,解

2

题型四特例检验法

特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条

件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、

特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例检验是解答选择题的最佳方法

之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断

形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下

也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略.

例6已知A、B、C、。是抛物线V=8x上的点，R是抛物线

—>—>—>—>—>—>—>

的焦点，且砥+用+b。+㈤=0,则照1+1期I+ECI+

I局的值为

（）

A.2B.4C.8D.16

D

解析取特殊位置，AB,CD为抛物线的通径，

—>—>—>—>

显然刚+EB+RC+ED=O,

\FA\+\FB\+\FC\+\FD\=4p=16,故选D.

探究提高本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便易行.利用特殊检验法

的关键是所选特例要符合条件.

变式训练6已知尸、Q是椭圆3f+5/=1上满足NPOQ=90。的两个动点，则

涛+由等于（）

834

A.34B.8C•记^225

B

解析取两特殊点尸（坐，0）、2（0,乎）即两个端点，则转+虚=3+5=8.故

选B.

例7数列｛m｝成等比数列的充要条件是（）

A.Cln+l=Clnq（q为常类0B.Cln+1~Cln'（ln+2-^0

C.a〃=aMT（q为常数）D.a„+i—\la„-a„+2

B

解析考查特殊数列0,0,…，0,…，

不是等比数列，但此数列显然适合A,C,D项.

故选B.

探究提高判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看二是

Cln

否为常数，但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立.

变式训练7已知等差数列｛a“｝的前〃项和为S”若等=

Cln

手一7,则胎的值为（

2n-lon

）

A.2B.3C.4D.8

解析方法一（特殊值检验法）

1徨丝—3•里+。2

取n=

Ql

.曰w1HLS2nSiQl+〃2,

于是，当〃=l时，=丁=4.

方法二（特殊式检验法）

、、群丁心2〃4n~I2-2n~I_

=

注思到白一7~i丁，取-1,

cin2n—12-n—1

1+(4〃-1)

co-2n

32九_____________乙________

Sn1+(2〃-1)

―2一刃

方法三(直接求解法)

L产.4〃-1^ain—an2n

由募=2〃一1an=2n~l

ndIn.d(2n~1)

Qcn-2Cn—1，•,一，0，

41+42〃

S2n2之"Q]+〃2九

于是,—=------------=2----------

Sna\~\~ana\~\~an

n-n

C

题型五筛选法

数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符

合题意的正确结论.筛选法（又叫排除法）就是通过观察分析或推理运算各项提

供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.

例8方程tzx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是（）

A.0<QW1B.a<\

C.D.0<QW1或。<0

解析当a=0时，x=—1,故排除A、D.

当a=l时，x=-1,排除B.

故选C.

探究提高选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键.对“至少有

一个负根”的充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行.不但缩短时间，

同时提高解题效率.

变式训练8已知函数y（x）=g;2+（m—3）x+l的图象与x轴的交点至少有一个在

原点右侧，则实数机的取值范围是（）

A.(0,1)B.(0,1]

C.(—8,1)D.(—8,1]

解析令m=0,由«t)=0得x=g适合，排除A、B.

令m=1,由«t)=0得：x=l适合，排除C.

题型六估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过

程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值

特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，

这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了

思维的层次.

pvWO

例9若A为不等式组表示的平面区域，则当。从一2连续变化到1

时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为

()

37

A，4B.1C，4D.2

解析如图知区域的面积是△043去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1

大，比SK4B=gx2X2=2小，故选C项.

答案C

探究提高“估算法”的关键是应该确定结果所在的大致范围，否则“估算”就

没有意义.本题的关键在所求值应该比△A03的面积小且大于其面积的一半.

变式训练9已知过球面上43、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,

且A3=3C=C4=2,则球面面积是()

A.-nB."nC.4nD.-n

yoy

解析•.•球的半径R不小于△ABC的外接圆半径—芈，则S球=4位?2巳4兀/

=竽兀＞5兀，故选D.

规律方法总结

1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法.但

大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点

灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文

章，切忌盲目地采用直接法.

2.由半选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误

入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大

胆跳跃.

3.作为平时训练,解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，

并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.

三、知能提升演练

1.已知集合人={1,3,5,7,9},5={0,3,6,9,12),则An&B)等于

A.{1,5,7}B.{3,5,7}

C.{1,3,9}D.{1,2,3)

解析由于3G[NB,所以3GAC([NB)二排除B、C、D,故选A.

2.已知向量a,6不共线，c=hz+。(左©R),d=a—6.如果那么

_()

A.左=1且c与d同向B.k=1且c与d反向

C.左=—1且c与d同向D.左=—1且c与d反向

解析当k=1时，c=a+b,不存在实数九使得a=仍所以c与d不共线，与

c〃d矛盾.排除A、B；当k=-1时，c=-a+0=—(a—b)=—d,所以c〃d,

且c与d反向.故应选D.

3.已知函数尸tanox在(甘，等内是减函数，则()

A.0<(wWlB.—lWcw<0

C.。三1D.a)W—1

B

解析可用排除法，•.•当。>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连

续区间内为增函数，・••排除A、C,又当|0|>1时正切函数的最小正周期长度小于

兀，・,.尸tan5在(甘，期内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D,

故选B.

4.已知函数2(4-/n)x+l,g(x)=mx,若对于任一实数x,与g(x)

的值至少有一个为正数，则实数机的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-°0,0)

解析当机=1时，兀劝=2%2—6x+l,g(x)=x,由«x)与g(x)的图象知，机=1满

足题设条件，故排除C、D.当m=2时，y(x)=4x2-4x+l,

g(x)=2x,由其图象知，麻2满足题设条件，故排除A.因此，选项B正确.

—>—>—>

5.已知向量。3=(2,0),向量。。=(2,2),向量C4=

(&cosa,爽sina),则向量04与向量的夹角的

取值范围是

兀

A.[0,4]

c•弓，得]

解析■.'|CA|=.,.A的轨迹是。C,半径为V2.

由图可知NC05/设向量OA与向量。3的夹角为仇则上狂痣铺，故选

6.设函数y=/(x)在(一8,十8)内有定义，对于给定的正数

优x),为x)WK,

K,定义函数加x)=《°取函数H》)=2w,

[K,找x)>K.

当"为寸，函数"x)的单调递增区间为()

A.(一8,0)B.(0,+00)

C.(—8,-1)D.(1,+8)

解析函数/(1)=2-用=(1/，作图<x)WK=T=x©(—8,—1]U[1,+8),故在(一

8,—1)上是单调递增的，选C项.

7.设x,yGR,用2y是1+x和1—x的等比中项，则动点(x,y)的轨迹为除去

x轴上点的()

A.一条直线B.一个圆

C.双曲线的一支D.一个椭圆

解析(2y)2=(l—力(1+尤)。。0)得f+4/=l(yW0).

8.设A、3是非空数集，定义A*JB={x|x©AUJB且xGAAB},已知集合4={4丫

=2x—f},B={j|y=2\%>0},则A*B等于

()

A.[0,1]U(2,+°°)B.[0,1)U(2,+00)

C.(—8,1]D.[0,2]

解析A=R,B=(l,+°°),故力*8=(—8,1],故选C.

%2

9.(2010.福建)若点。和点网一2,0)分别为双曲线”一产=1(4>0)的中心和左焦点，

点P为双曲线右支上的任意一点，则。P/P的取值范围为()

A.[3—2小，+8)B.[3+24，+8)

77

C.[一不+°°)D.[不+8)

B

解析由c=2得/+1=4,；.a2=3,

2

...双曲线方程为主r一>2=1.设尸(%,y)(x三小),

OPFP=(x,y>(x+2,y)

r24r-

=x2+2x+y2=x2+2x+y—1=^%2+2%—l(x三小).

令g{x}+2x—1(^A/3),则g(x)在[福，+8)上单调递增.g(x)血n=g(m)=3+

o

―>―>

2斓.・・・。・£曲取值范围为[3+2斓，+8).

10.已知等差数列{〃〃}满足Ql+〃2+…+。101=0,则有()

A.QI+〃IOI>OB.a2~\~aw2<0

C.Q3+Q99=0D.6Z51=51

解析取满足题意的特殊数列斯=0,则〃3+。99=0,故选C.

11.在等差数列｛〃“｝中，若。2+。4+。6+。8+。10=80,则。7—的值为

A.4B.6C.8D.10

解析令等差数列｛aj为常数列a〃=16.显然a?一■|a8=16—8=8.故选C.

12.若则下列不等式：①®\a\>\b\；

③a<b；④齐2中，正确的不等式是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

解析取。=—1,b=-2,则②、③不正确，所以A、B、D错误，故选C.

13.（2010.全国）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为

Po（巾,一6），角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间/的函数图象大致

CD

解析观察并联想P运动轨迹与d的关系，

当/=0时，d=^2,排除A、D；当开始运动时d递减，排除B.

C

V2

14.若函数4%）=百7一。+4a的最小值等于3,则实数。的值等于

A.1B.1C.(或1D.不存在这样的a

解析方法一直接对照法

V2

令百7=/，则。£[0,1).

若aNl,则7(x)=|t—a|+4a=5。一/不存在最小值；

3

若OWa<l,则y(x)=|/—a|+4a,当/=a时取得最小值4a,于是4a=3,得

符合题意；

若a<0,1Ax)=|/—a|+4a=/+3a,当/=0时取得最小值3a,于是3a=3,得a=

1不符合题意.

3

综上可知，。=不

方法二试验法

%2

若a=l,则兀0=工+4>4,显然函数的最小值不是3,故排除选项B、

3x?3[-23

C；若a=4,«x)=/+]—,+3,这时只要令三口一W=°，即x=±\^，函数

可取得最小值3,因此A项正确，D项错误.

A

4-2m兀rt6一〜

15.已矢口sin。=加+5,COS0=^+F(2<0<3T)-贝ha巧等于

()

m—3m—31

A.------B.|------1C.7

9~m9—m3

D.5

D

解析由于受条件sin2e+cos2e=l的制约，故机为一确定的值，于是sin。，cos

0的值应与m的值无关，进而tan3的值与m无关，又紧。<兀，与呆与，tan^>l,

故选D项.

16.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=fix),y=g(x)图

象可能是()

ABCD

解析从导函数的图象可知两个函数在xo处斜率相同，可以排除B项，再者导

函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出y=/(x)的导函数是减函

数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C两项，最后只有D项，可以

验证y=g(x)导函数是增函数，增加越来越快.

答案D

第2讲填空题的解题方法与技巧

一、题型特点概述

填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题.它只要

求写出结果而不需要写出解答过程.在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中

等.不同省份的试卷所占分值的比重有所不同.

1.填空题的类型

填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具

有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要

写出结论等特点.从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填

写.

2.填空题的特征

填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”.填空

题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不

受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个

正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，

留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活.

从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准

确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快

速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想

“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合

理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.

3.解填空题的基本原则

解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”.解填空题的

常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理

法等.

二、解题方法例析

题型一直接法

直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，

通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，

自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法.

例1在等差数列｛酸｝中,m=—3,Ua5=5a8—13,则数列｛如｝的前几项和S,的最

小值为.

思维启迪

计算出基本量d,找到转折项即可.

解析设公差为d,则11(—3+4<7)=5(—3+7J)—13,

.,5

••ci=9，

,数列｛斯｝为递增数列.

532

令>'•—3+(〃-

■GN*.

29

前6项均为负值，.，.S〃的最小值为56=一3.

答案一2年9

探究提高本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符

号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值.

变式训练1设的是等差数列｛羸｝的前〃项和，已知42=3,<26=11,则Sl=

49

7(。1+。7)

解析方法一Si=

2

7(®+®)7X(3+11)

—2—=49.

故填49.

t/2=ai+d=3,<71=1»

方法二可得<

G6~G1+5d—11、d=2,

.•.07=1+6X2=13.

.07((71+(77)7X(1+13)

=49.

••07—22

故填49.

题型二特殊值法

特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点

是简便易行.当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、

特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为

特殊形式.当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效.

例2已知AABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足

(sinA-sinQ(tz+c).,.„

-------------------------=sinA-sinB,贝UC=.

思维启迪题目中给出了△ABC的边和角满足的一个关系式，由此关系式来确

定角C的大小，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式，如：等边三角

形、直角三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小.

解析容易发现当△ABC是一个等边三角形时，满足.in-―si；O(a+c)=sm.

-sinB,而此时C=60。,故角C的大小为60。.

答案60°

探究提高特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，

我们就可以利用填空题不需要过程只需栗结果这一“弱点”，“以偏概全”来求

值.在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意，选

择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题.此题还可用直接法求解如

下：

(sinA-sin+c)..

由--------%-----------=sinA—smB可付

(Q—C)(〃+c)

=a-b,整理得，a2—c2=ab—b2,即居一.由余弦定理,

b4+

4+/—/1

得，所以

cosC=-----2-a-b------=72'C=60°.

变式训练2在△A5C中，角A、B、。所对的边分别为〃、b、c,如果〃、b、c

八左左斗田,।cosA+cosC

*1

成等差数歹(J,贝~A

1+cosAcosC

4

5

i,4cosA+cosC

斛析万法一取特殊值a=3,Z?=4,c=5,则COSA=5，COS。=°，］+COSACOSC

4

5-

7TIcosA+cosC4

方法二取特殊角A=B=C=ycosA=cosC=2»

1+cosAcosC51

A

N

K

B

O

M

例3如图所示，在△ABC中,A。是3c边上的中线，K为A。上一点，且。4=

2AK,过点K的直线分别交直线A3、AC于不同的两点M、N,若43=版4”,AC

—>

=nAN,贝Um+n=.

思维启迪

题目中过点7T的直线是任意的，因此力和〃的值是变化的，但从题意看勿+〃的

值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解.

解析当过点K的直线与平行时,MN就是△ABC的一条中位线（•.•Q4=2AK,

—>—>—>—>

.♦.K是A。的中点）.这时由于有AB=mAM,AC=nAN,因此m="=2,故加+〃

=4.

答案4

探究提高本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意，但加+〃的值却是定值”

这一信息，通过取直线的一个特殊位置得到了问题的解，显得非常简单，在求解这

类填空题时，就要善于捕捉这样的有效信息，帮助我们解决问题.

变式训练3设。是△ABC内部一点，且。A+OC=—2。3,则△AOB与4人。。

的面积之比为.

解析采用特殊位置，可令△ABC为正三角形，则根据。4+0C=—2。3可知，

。是△ABC的中心，则。4=03=。。，所以

即△A03与△AOC的面积之比为1.

题型三图象分析法（数形结合法）

依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，

称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显.由于填空题不要求

写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性

质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确

的答案.事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既

浅显易懂，又能节省时间.利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌

握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容

例4已知方程，—2x+m）（f—2x+〃）=0的四个根组成一个首项为（的等差数

列，则|〃L〃|的值等于.

思维启迪

1

2

考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y=x2—2x-\-m与y=x2—2x-\-n和x轴四

个交点的横坐标，所以可以利用图象进行求解.

解析如图所示，易知抛，物线y=x2—2x+机与y=x2—2x+〃有相同的对称轴x

=1,它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.

因为X4=W，则初=不

35

又|AB|=|3C|=|CD|,所以期=不比=不

探究提高本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方

法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信

息，寻求最简捷的解法.

变式训练4已知定义在R上的奇函数人x)满足火x—4)=—而0且在区间［0,2］上是

增函数，若方程加0=根(冽>0),在区间［—8,8］上有四个不同的根XI,X2,X3,X4,

则Xl+x2+x?+x4=.

-8

解析因为定义在R上的奇函数，满足1%—4)=-所以五4-x)=/(x).因

此，函数图象关于直线x=2对称且汽0)=0,由/(x—4)=—/(x)知火x—8)=«x),

所以函数是以8为周期的周期函数.又因为五劝在区间［0,2］上是增函数，所以/(X)

在区间［—2,0］上也是增函数，如图所示，那么方程兀0=加(加>0)在区间［—8,8］上

有四个不同的根XI,X2,X3,X4,不妨设龙1<X2<X3<X4.由对称性知Xl+%2=-12,X3

+%4=4,所以X1+&+尤3+%4=—12+4=-8.

例5函数y=/(x)的图象如图所示，其定义域为［—4,4］,那么不等式瞿W0的解

olllA

集为.

71

[—4,—71）U（—71,0）U71）

解析瞿W06f»^0,JIX%）N0,

lsinx>0,W.八在给出的坐标系中，再作出y=sinx

bill人、smx<0,

在

［—4,4］上的图象，如图所示，观察图象即可得到所求的解集为［—4,—兀）U（—兀,

探究提高与函数有关的填空题，依据题目条件，灵活地应用函数图象解答问题,

往往可使抽象复杂的代数问题变得形象直观，使问题快速获解.

兀

变式训练5不等式（叶2）•sinx<0,xG［-71,271］的解集

为.

JTJI

（―兀）U（。,）U（兀,2兀）

71

2

解析在同一坐标系中分别作出y=|x|-与丫=5111》的图象:

根据图象可得