高考数学专项复习：集合、复数、逻辑语言专题（原卷版）

专题14集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）

一、单选题

1.（2022•高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（KraieMer,1823-1891）

说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z满足2=产2°（1+万），则Z的共轨复数是

()

A.2+zB.2-zC.l-2zD.l+2z

2.（2022秋•浙江温州・高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVTO-19核酸检测，并将数

据整理如图所示，其中集合S表示（）

3.（2021秋・湖北十堰•高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若〃，则牙’为真命题，贝广由〃可以

推出/’，即一旦。成立，q就成立，p是q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么？一定不成立，

q对〃成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于

险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（）

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2022秋・云南曲靖.高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如

有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有

神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.（2020•陕西榆林・统考一模）在复平面内，复数z=a+灰（。，beR）对应向量无（。为坐标原点），

设|应卜厂，以射线3为始边，OZ为终边旋转的角为6,贝ljz=r（cose+，sine）,法国数学家棣莫弗发现了

棣莫弗定理：Zi=/；(cos6>+zsin6"),z2=(cosft+z'sin6^),则々z?=皿［cos(4+“)+isin(a+幻］,由棣

莫弗定理可以导出复数乘方公式：［r（cos6）+isinO）J'=/'（cos“0+isin,7。），已知z=（百+0,则口=（）

A.273B.4C.8A/3D.16

6.（2021春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之

一，它说的是：任何一元〃次复系数多项式f（x）在复数集中有〃个复数根（重根按重数计）那么/（力=丁-1

在复平面内使，（力=。除了1和-g+这两个根外，还有一个复数根为（）

7.（2021春・安徽宣城•高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式=cosx+isinx3为虚数单位），

它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重

要的地位.根据欧拉公式可知，e苧表示的复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（2022・全国•高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔（ReaeDescMes）创制

的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数z,|z|=l且z.（l+i）＞0

（其中，是虚数单位），则复数z=（）

A.72-V2iB.V2+72i

「正近.V2V2.

C.--------1nD.----1----1

2222

9.（2022・全国•高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独

立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程d+1=0,它的

两个虚数根分别为（）

A1±后R-1±V3i

22

C±1+后D±1-后

'-2-'-2-

10.（2022・全国•高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到

分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2=-l，17世

纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用“+历（。、6eR）表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”.若

复数z满足方程Z2+2Z+5=0,则2=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

11.（2022・高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数•三三数之,

剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二响：物几何？现有如下表示：已知A=kk=3"+2,"eN*},

B=\x\x=5n+3,n&N*],C={耳元=7〃+2,”eN*},若xeAcBcC,则下列选项中符合题意的整数x为

A.8B.127C.37D.23

12.（2022秋・浙江温州•高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑

洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，

就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定

义：若一个"位正整数的所有数位上数字的〃次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一

位正整数的自恋数组成集合4集合3={x|-3<x<4,xeZ},则AcB的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

13.（2019•江西•高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表

示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为由和《（a，》，c，deN.）,则@W

aca+c

是犬的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e=2.71828…，若令2松7<e<《14，则第一次用“调日法”

412741

后得段是e的更为精确的过剩近似值，即木<e<]，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可

得e的近似分数为

■109「68〃19-87

A.B.—C.—D.—

4025732

14.（2022・上海•高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，

它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质

量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的

祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的祛码放入右盘，将另一黄金放于左盘使

之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

15.（2022.高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如

图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（）

A.如果a>6,6>c,那么a>c

B.如果a>b>Q,那么°2>匕2

C.如果。>6,c>0,那么ac>6c

D.对任意实数a和b,有/+6222成>,当且仅当a=匕时，等号成立

16.（2022秋・北京丰台•高一统考期末）《几何原本》卷II的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的

重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，

点尸在半圆。上，点C在直径AB上，MOFLAB,设AC=a,BC=b,可以直接通过比较线段与线段

CT的长度完成的无字证明为（）

A.a2+b2>2ab(cz>0,b>0)B."+>y[ab(〃>0,。〉0)

2

cD.-2^a—b<y[ab(a>0,b>0)

『尸…"a+b

17.（2022・全国•高三专题练习）18世纪末,挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使

复数及其运算具有了几何意义，例如|z|=|OZ|,也即复数Z的模的几何意义为Z对应的点Z到原点的距离.已

知复数z满足目=2,则|z-3-4i|的最大值为（）

A.3B.5C.7D.9

18.（2022•全国•高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式

b=cos尤+isinx,（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数，xeR）,这个公式在复变论中有非常重要的

地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（）

（吏J2V022

A.e111—1=0B.2cosx=eLl+eL'C.2sinx=e1Y—euD.------1-----i=-1

22

19.（2020•天津•南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国

数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是

指将有理数集Q划分为两个非空的子集/与N,且满足MuN=Q,McN=0,M中的每一个元素都

小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割下列选项中一

定不成立的是（）

A.没有最大元素，N有一个最小元素

B.又没有最大元素，N也没有最小元素

C.A/有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M有一个最大元素，N没有最小元素

20.（2021春.安徽.高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰

富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图.请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知

x2O2O+y2^2y,（xeZ,yeZ）则该方程的整数解有（）组.

A.1B.2C.3D.4

21.（2022秋•四川成都•高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提

出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了

勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,则这个直角三角形周长的最大值等于（）.

Ll25

A.10A/2B.10C.5+50D.—

22.（2017・湖北•校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和

周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中情保命题的个数是

A:对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；

P2:如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；

Pj:圆（%-l）2+（y-l）2=4的一个太极函数为/（x）=/一3一+3x；

心：圆的太极函数均是中心对称图形；

心：奇函数都是太极函数；

《：偶函数不可能是太极函数.

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

23.（2021春・广东梅州•高二统考期末）欧拉公式*=cos尤+isinx（其中i为虚数单位，龙eR）是由瑞士

著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在

复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A.复数3对应的点位于第一象限B./为纯虚数

C.复数*-的模长等于;D.启的共朝复数为L-Yli

V3+i2e22

24.（2022春・广东梅州•高一统考期末）欧拉公式e&=cosx+isinx（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单

位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常

重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）

A.e加+1=0

B.复数e"在复平面内对应的点位于第二象限

C.复数守的共轨复数为正一Li

e22

D.复数e@（JeR）在复平面内对应的点的轨迹是圆

25.（2022・高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对

抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念

则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，即对所有

的a、bQG,有a-t>WG,如果G的运算还满足：①V。、b、ceG,有-c=a-（〃c）；②mewG,使得

VaeG,有e-a=a-e=a,③X/aeG,Bb&G,Ua-b=b-a=e,则称G关于“•"构成一个群.则下列说法正确

的有（）

A.G={-1,0,1}关于数的乘法构成群

B.G={X|X=Y,左GZ,k^0}^J[x\x=m,相9}关于数的乘法构成群

k

C.实数集关于数的加法构成群

D.G={〃z+犯〃eZ}关于数的加法构成群

26.（2020秋•江苏盐城•高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股

十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题

的一般解法：如图1,用对角线将长和宽分别为6和4的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成

一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩

形，该矩形长为。+》，宽为内接正方形的边长/由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设。

为斜边的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE,过点A作AF人5c于点F,则下列推理

正确的是（）

②由AENAF可得之竺

V22

22

la+b>2

③由ADNAE可得1——"T^T;

ab

④由AD2AF可得/+/22".

A.①B.②C.③D.@

27.（2022秋.黑龙江佳木斯・高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷II的几何代数法（以几何方法研

究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过

图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点。在半圆。上，点C在直径A3上，且设

AC=a,CB=b,CE1OD,垂足为E,则该图形可以完成的无字证明为（）

22

A,而辿Ba+b<a+b

a+b，一厂

C.”D.a2+b2>2y[ab

28.（2022秋.辽宁大连.高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度

与肚脐至足底的长度之比是叵［（避二1。0,618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.

22

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是好二1.若某人满足上述两个黄金分割比

2

例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.168cmB.172cmC.176cmD.180cm

29.（2021秋•全国•高一期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和

中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定

义与今天大致相同.而今我们称三为正数的算术平均数，点为正数的几何平均数，并把这两者

结合的不等式，石4学（〃>0力>0）叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）

A.若ab=4,则

B.若a>0,b>0,则（a+2b）］：+［最小值为4&

C.若a,6e（0,+co）,2a+b=1,——\-->A

D.若实数a/满足a>0,b>0,a+6=4,则上+工的最小值是《

a+1b+13

30.（2022秋•辽宁大连•高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”

作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“〉”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深

远.若a,b,ceR,则下列命题正确的是（）

A.若"工0且a<b,则B.若a>b,0<c<l,则c"<J

ab

C.若a>b>l,c>l,则log°c<log/D.若a<b<-l,c>0,则仕］>佟］

三、填空题

31.（2022・全国•高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两

个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数a=5+3i,6=4+3i（i为虚数单位），贝1］/一从=

32.（2022.全国•高三专题练习在《清平乐•六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行

程二万”，假设诗句的前一句为真命题，贝『‘到长城”是“好汉”的条件（填“充分不必要”“必要不充

分”“充要”“既不充分也不必要”）

33.（2022.高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四

日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可

表示为,此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为.

34.（2022秋.江苏扬州•高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是指以几何方法研究代数问题，这

种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现

证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段上的点，S.AC=a,BC=b,。为48的中点，

以A3为直径作半圆.过点C作A8的垂线交半圆于O,连接OD,AD,BD,过点C作。D的垂线，垂足

为E,过点。作0。的垂线0G,使得OG=OC.该图形完成〈/石〈巴史＜J工±C的无字证明.图

a+b2\2

中线段的长度表示。，6的调和平均数当，线段______________的长度表示。，〃的平方平均

a+b

数户a

35.（2022秋・浙江温州•高三温州中学校联考期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个

问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，

其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有

人,每个人分得两银子”.

36.（2023•全国•高三专题练习）著名数学家棣莫佛（Oe根山vre,1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论

和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：卜（cos。+isin。）］"=rn（cosnd+isinnO'）,

--|4

其中厂＞0,.已知r（cos—+isin—）=-16,根据这个公式可知尸=.

44

37.（2022秋.辽宁沈阳.高一沈阳市第八十三中学校考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”

b

是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数X的