2024-2025学年宜春市高二数学上学期开学考试卷（附答案解析）

2024-2025学年宜春市高二数学上学期开学考试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.若复数z满足z+i（2-i）=0,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇

的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm,

且该扇环的圆心角的弧度数为2.5,则该扇环的外弧长为（）

3.已知函数/（X）对任意xeR满足=/（x+2）=-/（x）,且/'（0）=0,则/'（26）等

于（）

A.1B.0C.2D.-1

4.已知向量Z=（T2）,B=（-3,1）,则£在B上的投影向量为（)

(3M而、

D'--icF'lo-

JT

5.已知。、户均为锐角，若p:sina<sin（a+/），4：a+/<—贝！Jp是q的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知函数y=3sin（x+3图象为C,为了得到函数y=3sin12x-1的图象，只要把C上所有点

（）

A.先向右平移玄个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B.先向右平移:兀个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C.先将横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平移g个单位长度

D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

7.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且asinA=0+c）sinB,则巴包的取值

范围是（）

8.已知定义在R上的偶函数/（x）,当xe[0,2?i）时，/（x）=cosx-|cosx|,对任意尤<0,+<»）总有

〃X+2TT)=2/(X).当a,6e［双耳时,/（4）-/（"44恒成立，则“7"的最大值为（）

19K28兀-31兀

A.6兀B.-----C.D.——

3亍3

二、多选题（本大题共3小题）

9.有一组样本数据：1,1,2,4,1,4,1,2,则（）

A.这组数据的众数为4B.这组数据的极差为3

C.这组数据的平均数为1.5D.这组数据的40%分位数为1

10.若a>0”>0,则下列结论正确的有（

149

A.B.若一+：=2,贝!］。+/?2彳

ab2

C.若ab+b2=2,贝！Ja+3〃24D.若a>Z?>0,贝！Jan—>b-\—

ba

11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多

面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示

的半正多面体中，若其棱长为1,则下列结论正确的是（）

A.该半正多面体的表面积为"

4

B.破与平面A5c所成角的正弦值为逅

3

C.该半正多面体外接球的表面积为」11兀

2

D.若点"，N分别在线段。E,BC上，则FM+MN+AN的最小值为M

三、填空题（本大题共3小题）

12.（l+tanl3°）（l+tan32°）=.

13.如图，在A/RC中，BO=WC，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.

AB-mAM>AC=nAN>则—的最小值为.

mn

2

A

14.如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状

挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平

地面上共线的三点A,B,C处测得古树顶点尸的仰角分别为45。，45°,30°,若A5=BC=28米,

则该古树的高度为米.

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知二次函数y=/(x)的图象过点(-1,3),且不等式”x)-7尤＜0的解集为匕,1).

(1)求/(x)的解析式；

⑵设g(x)=/(x)-7",若g(x)在(2,4)上是单调函数，求实数机的取值范围.

16.在如图所示的多面体中.四边形ABCD是边长为0的正方形，其对角线的交点为

Q,DM,平面ABC。，DM//BN,ZW=23N=2.点P是棱DM的中点.

(1)求证：平面⑷VC；

(2)求多面体MNABCD的体积.

17.甲、乙两人组成“九章队’’参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各

猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为彳2，乙每轮猜对的概率为3在每轮比赛中，甲和

乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.

(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；

(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.

18.在VABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，向量玩=1-2COS2^1,COSC,n=(c,2a-b),

3

且玩_L为.

⑴求C;

⑵若a+)=2,C=V3,NC的平分线交A3于点O,求CD的长.

19.设。为坐标原点，定义非零向量两1=(a,b)的“友函数"为/(x)=asinx+》cosx(xeR),向量

OM=(a,b)称为函数〃x)=asinx+bcosx(xeR)的“友向量”.

(1)记碗=。,1)的“友函数”为〃x),求函数的单调递增区间；

(2)设〃(x)=cos[x+。-2cos(X+。)，其中6eR,求/z(x)的“友向量”模长的最大值；

(3)已知点M(a,b)满足6/+5"+匕2<0,向量两的“友函数”在x=%处取得最大值.当点〃

/、cosX。-sinx

运动时，求g%=—n1的取值范围.

sinx0+cosx0

参考答案

1.【答案】c

【分析】计算得到z=-l-2i,再根据定义判断即可.

【详解】由z+i(2-i)=(^Dz=—i(2-i)=i(i-2)=-l-2i,故z在复平面内对应(-I,—2),在第三象

限.

故选：C.

2.【答案】C

【分析】设该扇环的内弧的半径为「cm,根据弧长公式计算可得.

【详解】设该扇环的内弧的半径为rem,则外弧的半径为(厂+18)cm,圆心角e=2.5,

所以即+a(r+18)=89,即2.5r+2.5(r+18)=89,解得r=8.8,

所以该扇环的外弧长/=2.5(r+18)=2.5(8.8+18)=67cm.

故选：C

3.【答案】B

【分析】首先分析函数的周期，再利用对称性求值.

【详解】/(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以函数的周期为4,

由〃1—x)=〃l+x),知/⑼=/(2),

则/(26)=/(4x6+2)=/(2)=/(0)=0.

故选：B

4.【答案】A

【分析】根据投影向量的公式求解.

4

【详解】根据题意，Z在B上的投影向量为:

a-bbb

_____—_.5x_._—一1卜-3]_

\b\l5rVio回_2252

故选：A

5.【答案】B

【分析】以PM互为条件，举反例或利用正弦函数的单调性即可判断两者关系.

【详解】先证204不成立：

717rl7C

令a=—、(3=—，则满足〃:sin。=—<l=sin(a+"),但不满足“：。+/?<—,

6322

所以。nq不成立；

再证。<=4成立：

JT7T7T71

因为a+夕<5，XO<tz<—,0<>3<—,所以0<e<a+?<5,

因为y=sinx在1上单调递增，所以sin(z<sin(a+0,故成立；

综上：p是q的必要而不充分条件.

故选：B.

6.【答案】C

【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可.

【详解】先将函数y=3sin[x+]J图象上每点横坐标缩短到原来的3，

纵坐标不变，得到y=3sin12x+3的图象，再将得到的图象向右平移,个单位长度，

得到函数>=3sin(2x-的图象.

故选C.

7.【答案】A

【分析】由osinA=(b+c)sinB,利用正弦定理得到片=g+c)b,再利用余弦定理结合两角和的正

弦公式得到4=23,进而得到0<3<三，然后利用正弦定理和三角恒等变换，由巴士=$1nA一二一

3csmC

【详解】解：因为3inA=(b+c)sinB,由正弦定理得片=。+0皿,

由余弦定理得+(?—2Z?8osA=(b+c)Z?,即C—Z?=2Z?COSA,

由正弦定理得sinC—sinB=2sinBcosA,

又sinC=sin[7i—(A+5)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB+cosAsinB—sinB=2sinBcosA,

所以sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),

5

又Ae(O,兀)，Be(O,7t),则A-34-兀,兀),

所以8=或B+（A—B）=兀，即A=23或A=TI（舍去），

贝1|C=Tt-A-B=7t-3B,

0<2B<7U,7T

所以解得0<3<2则—<cosB<1.

0<7t-3B<7t,2

a-bsinA-sinB_sin2B-sinBsin2B-sinB

以csinCsin(万一33)sin3B

2sinBcosB-sinB2sinBcosB-sinB

sin(23+3)sin2BcosB+cos2BsinB'

sinB(2cosB-l)1<11^

2sinBcos*I2B+(2cos2B-1)sinB2cos5+1(3，2)

即i的取值范围是

c

故选：A.

I0<2B<it

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是得到A=23,从而利用c确定角B的范围，由此

[0<无一3OD8<兀

得解.

8.【答案】C

【分析】先分析xe[O，B、xe邑为、g,2兀）时的函数解析式以及值域，再根据函数的倍增性

2222

和偶函数图象特征作出函数的图象，结合图象确定出符合条件的。力的范围即得九一相的最

大值.

【详解】当xe[0,27i）时,〃x）=cosx-gM，则

71J737r37r

[0,-],/(%)=0;xG[-,—],/(%)=2cosx;xG[―,2TI),/(X)=0.

即当了40,2兀)时，/(x)e[-2,0];

当光42兀,4兀)时，X-2TIG[0,2TI),

由题意，fM=于(x-2兀+2兀)=2/(%—2K)=2[cos(x-2TI)-|COS(X-2兀>]=2(cosx-|cosx|),

57r57r7冗77r

则xe[2冗,5],/(x)=0;xe[万，豆],/(尤)=4cosx;尤e[5,4兀)J(x)=0.

即当xw[2兀,4兀)时,/(x)e[-4,0]；

同理，当了44兀,6兀）时，/（x）e[-8,0].

6

又“X）为定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，故当尤e（T兀,4兀）时，/（x）e[-4,0],如图

所示.

•5尸：3,兀[2兀-兀42n3“4兀$兀

当a,Ac卜时，/（。）-/团<4恒成立，即尤m，/（x）max-<4,

而由图象知，/（x）1Mx=。，则

当〃一根取最大值时，必有w=-〃z,且/O）=/（"）=-4,

由图知应舍去〃=亍.故当”=亍m=—―“时，〃一机取得最大值亍.

故选：C.

【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，属于难题.本题以分段函数为媒介，采用

数形结合思想，通过数与形的相互转化能使繁难问题得到简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确

定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.

9.【答案】BD

【分析】利用众数、极差、平均数与百分位数的定义求解即可.

【详解】数据从小到大排列为1,1,1,b2,2,4,4.

对于A,该组数据的众数为1,故A错误；

对于B,极差为4-1=3,故B正确；

对于C,平均数为-4+2：2+4X2=2,故c错误：

O

对于D,因为8x40%=3.2,所以这组数据的40%分位数为第4个数1,故D正确.

故选：BD.

10.【答案】BCD

【解析】对于选项ABC：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D：利用作差法

判断即可.

【详解】对于选项A：若。>0力>0,

由基本不等式得6+〃A2他，

即2（a2+b2）>（a+b）2,

得小2,。+，）>d（a+b）~=a+b,

故”/+方2显,

a+b2

当且仅当时取等号；

所以选项A不正确；

对于选项B：若a>0,b>°,

7

「b4a

5+—+——

ab

当且仅当上1+?4=2且b24Q

abab

3

即〃=5力=3时取等号，

所以选项B正确；

对于选项C：由a>O,b>。，

ab+b2=b^a+b)=2,

BP2b(a+Z?)=4,

由基本不等式有：

Q+3〃=(a+Z?)+2Z?22小2b(a+b)=4,

当且仅当成+/=2且a+b=2b,

即〃=b=l时取等号，

所以选项C正确；

对于选项D：a+——b=a-b-\---=(tz—-->1,

baab\abJ

又〃>/?>€),得a—Z?>0,Id>0,

ab

所以a+—>b-\—,

ba

所以选项D正确；

故选：BCD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)〃一正二定三相等〃〃一正〃就是各项必须为正数；

(2)〃二定〃就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

(3)〃三相等〃是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11.【答案】BCD

【分析】根据给定的多面体，利用正四面体的性质、线面角的定义、球的截面圆的性质，以及

多面体的侧面展开图，结合棱锥的表面积公式、球的表面积公式逐项判断，即可得解.

【详解】解：该半正多面体的表面积为走x-x6x4+3X『X4=7G，选项A错误；

44

选项B中，该半正多面体的所在的正四面体边长为3,可求得高为力=几，

8

BE=2,设点E在平面ABC的射影为尸，如上图，

由比例关系可得31手设匹与平面MC所成角为-

2n_

则.EP=r底,选项B正确;

sina=-----=―-—=——

BE23

选项C中，该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心,

如上图，记球心为。，半径为R,△£>£1厂的中心为。1，

连接。4、NA、OF、00],由等边AD所的边长为1,

可得N4=l,在正四面体"-DE尸中，可得MO]=乎，

所以，0、N=MN—MO[=瓜一/

设ON=h,因为。4=0尸=H,可得N4?+*=a/2+0]炉,

h\,解得人=手,

即l2+/z2=

即cw=中,所以氏2=。笛=|手1+F=：,

11JT

故该半正多面体外接球的表面积为4兀-Q42=」，选项C正确;

2

FE

9

选项D中，该半正多面体的展开图如上图所示，FT=4,

AT=6,AF=\lFT2+AT2=V19»FM+MN+AN》AF=，

选项D正确.

故选：BCD.

12.【答案】2

【分析】利用正切的两角和公式将131145。=1311。3。+32。）展开整理可得.

【详解】因为tan45°=tan(13°+32°)=313°+tan320=

''1-tan13°tan32°

整理得tan130+tan32°+tan13°tan32°=1,

所以(1+tan13°)(1+tan32°)=1+tan320+tan13。+tan32°tan13。=1+1=2.

故答案为：2

13.【答案】3+2、

3

【详解】因为丽=2无，所以―B0►=：22—C►,

所以而=与+前=4+［配=通+（国_砌=旗+,痔

又丽说，AC=nAN

所以前='布7+至丽，

33

因为M,O,N三点共线，所以g+q=l,

由图可知用>0,n>0,

llir11(1m2〃\1m2n\1f_Im2n\3+2A/2

所以—+—=—+—+=3+—+—卜13+2——

mn\m〃八33)3、nm)3(vnmJ3

当且仅当‘=也，即加=3鱼-3时取等号，

nm2

所以'+'的最小值为3+2..

mn3

故答案为：三辿

3

14.【答案】28；

【分析】设古树高度为/?,表示出。4,08,。。，利用cosNO3C=-cos/OBA,结合余弦定理列方程

求解.

10

【详解】设古树高度为/?,则。尸=OA=OB=/7,OC=J§/7,

由ZOBC+AOBA=兀得cosZOBC=~cosZOBA,

由余弦定理得/+285+川+282-(网=0,

2x28%2x28%

解得力=28,即OP为28米.

故答案为：28.

15.【答案】(1)“力=4/+2彳+1(2)(518]U[34,+«)

【分析】(1)设〃切-7》=。、-j(x-l)(a>0),代入点的坐标求出。的值，即可求出函数解

析式；

TY1TY1

(2)首先表示出g(x),从而确定其对称轴，依题意得到2-—彳<2或-二2/—N4,解得即可.

88

【详解】(1)因为不等式/⑺-7x<。的解集为

所以;和1为关于x的方程-7尤=0的两根，且二次函数y=/(x)的开口向上，

则可设“X)-7x=a[x-j(x-l),(a>0),

即/(尤)=a[x_；J(x_l)+7x,

由的图象过点(—1,3),可得|(-1-l)+7x(-1)=3,解得”4,

所以/(x)=4(x-；](x-l)+7x,即/(X)=4X2+2X+1.

(2)因为=/(x)-mx=4x2+2x+l-mx=4j;2+(2-m)x+l,对称轴x=--—,

8

2—m2—m

因为g(x)在(2,4)上是单调函数，所以――卢42或-―-^>4,解得〃ZV18或m234,

即实数优的取值范围(—>,18]U[34,y).

16.【答案】(1)证明见解析(2)2

【分析】(1)根据线面垂直的性质证明四边形PDBN为矩形，求出尸Q=NQ,结合勾股定理和

线面垂直的判定定理即可证明；

(2)证出AC_L平面3DMN,由V=匕-BDMV+匕■-BDMV，利用锥体的体积公式即可求解.

【详解】(1)连接PMQN.因为DM,平面ABCZXADQCDBu平面ABCD,

所以DM_LDB,PD_LAD,PD_LDC,

因为DM=23N=2,尸是DM中点，所以四边形PD3N为矩形，

贝ljPN=BD=2,PD=NB=1.

因为。是正方形A3CD的对角线交点，所以Q为ACO3中点，PQ=NQ=42,

11

所以PQ2+NQ2=PN2,PQ，QN.

因为四边形ABC。是正方形，所以8DLAC,

又DMcBD=D,DMu平面BDu平面皿M,

所以AC_L平面,而PQu平面因加，所以PQ_LAC.

又ACcNQ=Q,AC,NQu平面ANC,所以P。，平面ANC.

（2）因为四边形ABCD是正方形，所以ACL3D,

因为。根，平面45。，所以。MLAC.

因为DMu平面BDMN,&）u平面3DMN,且DMcBD=D,

所以AC_L平面BDMN.

因为DM=23N=2,所以BN=1,DM=2.

因为四边形ABCD是边长为0的正方形，所以47=30=2,则4Q=CQ=1.

1+2x2

故多面体MNABCD的体积V=匕-+匕-=!x"2）x2xl+lx（）xl=2.

3232

Q5

17.【答案】（1）^2）］

【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；

（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.

【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件尸，

2448

—I—=—

999

(2)设事A="甲第一轮猜对"，2="乙第一轮猜对"，C="甲第二轮猜对"，。="乙第二轮猜对”,

E="“九章队”猜对三个数学名词”，

所以P(A)=P(C)=g,P(8)=P(0=%P(A)=P(C)=1,P(B)=P(D)=i

则E=ABCDuABCDoABCDuABCD,

由事件的独立性与互斥性，得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

13232123231323215

=—x—x—x—+—X—X—X--F—X—X—X--F—X—X—X—=—,

343434343434343412

故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为三.

12

18.【答案】(1)。=/(2)。=立

36

12

【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示结合二倍角公式可得(24-A)cosC=ccos3,再根据正弦

定理进行边角互化可得解；

(2)由余弦定理可得而，再利用等面积法可得角分线CO的长度.

【详解】(1)由用J_万，

贝m-n=c(l-2cos2：)+(2a-6)cosC=0,

即(2a-b)cosC=ccosB,

再由正弦定理可知(2sinA—sinB)cosC=sinCeosB,

即2sinAcosC=sin5cosc+sinCeos5,则2sinAcosC=sin(B+C)=sinA,

又人£(0,兀)，则sinAwO,所以2cosc=1,cosC=；,

又Ce(O,7i),所以。=三；

(2)由a+Z?=2,c=,

即

2ablab2lab

解得

TT

又CO为—C的平分线，则/ACr>=/BCD=2,