2025年高考数学重难点突破训练：解三角形的最值和范围问题【九大题型】（含答案及解析）

重难点12解三角形的最值和范围问题【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】................................................2

【题型2三角形边长的最值或范围问题】........................................................3

【题型3三角形周长的最值或范围问题】........................................................4

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】....................................5

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】......................................................6

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】......................................................7

【题型7转化为其他函数求最值（范围）】......................................................8

【题型8“坐标法”求最值（范围）】..........................................................9

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】.................................................10

►命题规律

1、解三角形的最值和范围问题

解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或

与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主

要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的

关键是建立起角与边的数量关系.

►方法技巧总结

【知识点1三角形中的最值和范围问题】

1.三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：

（1）利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；

（2）利用基本不等式求最值（范围）；

（3）转化为三角函数求最值（范围）；

（4）转化为其他函数求最值（范围）；

（5）坐标法求最值（范围）.

2.三角形中的最值（范围）问题的解题策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运

用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究

其最值（范围）.

（2）转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略

三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利

用三角函数的范围求出最值或范围.

（3）坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略

“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边

角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结

合三角函数、基本不等式等知识求其最值.

►举一反三

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】

【例1】(2024•河北石家庄•三模)在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9.

2

(1)若sinC=求sin&-sinB的值；

(2)求面积的最大值.

【变式1-1](2024•全国•模拟预测)记锐角三角形ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosA=

V3—acosB,2asinC=V3.

(1)求4

(2)求△48C面积的取值范围.

【变式1-2](2024•辽宁・模拟预测)如图，在平面内，四边形2BCD满足B,。点在47的两侧，AB=1,

BC=2,△力CD为正三角形，设N&8C=a.

D

(1)当a=时，求AC；

(2)当a变化时，求四边形4BCD面积的最大值.

【变式1-3](2024•上海・三模)已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且遮a=2csin力.

(1)求sinC的值；

(2)若c=3,求△ABC面积S的最大值.

【题型2三角形边长的最值或范围问题】

【例2】(2024•四川三模)在△2BC中,内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足2csinBcosA=6

(sin^cosB+cosZsinB).

(1)求力；

(2)若△ABC的面积为16g,。为AC的中点，求BD的最小值.

【变式2-1](2024•江西•模拟预测)在△4BC中，角4B,C所对的边分别记为a,b,c,且tan2=

cosB—sinC

cosC+sinB"

⑴若B=?求C的大小.

(2)若a=2,求6+c的取值范围.

【变式2-2]（2024•广东广州•三模）在锐角△4BC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,S,c=bsin^+a

cosB.

⑴求N;

⑵若。是边BC上一点（不包括端点），且=求累的取值范围.

【变式2-3]（2024•江西鹰潭・二模）△4BC的内角4SC的对边分别为a,b,c,满足上哼=嗯.

cosAcosB

⑴求证：4+28=1；

（2）求守的最小值.

【题型3三角形周长的最值或范围问题】

【例3】（2024•安徽淮北•二模）记△4BC的内角Z,B,C的对边分别为a,瓦c,已知c—b=Zcsir^

（1）试判断△ABC的形状；

（2）若c=L求△ABC周长的最大值.

【变式3-1]（2024•四川绵阳•模拟预测）已知在△ABC中，。为3c边的中点，且ZD=伤.

（1）若△4BC的面积为2,cos乙4DC=g,求B；

(2)^AB2+AC2=18,求△ABC的周长的最大值.

【变式3-21（2024•云南曲靖•二模）在△力8C中,角48,C的对边分别为a,6,c,且acosC+Vscsin/l=b+c.

⑴求角8的取值范围;

（2）已知△ABC内切圆的半径等于孚，求△ABC周长的取值范围.

【变式3-3]（2024•湖南常德•一模）己知△ABC的内角4B,C的对边分别是a力,c,且龈=2b.

⑴判断△力BC的形状；

（2）若△4BC的外接圆半径为VL求△4BC周长的最大值.

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】

【例4】（2024•内蒙古呼和浩特•一模）记△力BC的内角4B,C的对边分别为a,6,c.若a=g力=2,则B+C

的取值范围是（）

A.俘，用B.件,n）

C融）D.6却

1C

【变式4-1]（2024•内蒙古呼和浩特•二模）在△ABC中，角力、B、C的对边分别为a、b、c,若荷+==

b44az

枭，贝UtanA一三的最小值为（）

【变式4-2]（2024•陕西宝鸡•二模）△4BC中，。为8c边的中点，AD=1.

A

BDC

⑴若△ZBC的面积为2g，且乙4DC=竽，求sinC的值;

（2）若BC=4,求cosNb4c的取值范围.

【变式4-3］（2024•北京石景山•一模）在锐角△ABC中，角4BC的对边分别为见瓦c,且2芯也4一遮。=0.

⑴求角B的大小;

（2）求cosA+cosC的取值范围.

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】

【例5】（2024・山西太原•三模）已知aABC中，4=120°,。是8c的中点，且4。=1,则△4BC面积

的最大值（）

A.V3B.2V3C.1D.2

【变式5-1］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知△4BC的内角4B,C的对边分别为a,6,c,且a=V^,BC边上中

线4。长为1,则6c最大值为（）

77

A.-B.-C.V3D.2V3

4Z

111

【变式5-2］（2024•安徽合肥・二模）记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,仇c,已知c=2而彳+高山+高石市

=1.则△ABC面积的最大值为（）

A.1+V2B.1+V3C.2V2D.2V3

【变式5-3］（2024・浙江台州•二模）在△4BC中，角4,B,。所对的边分别为a,b,c,若acosC=2ccos

A,则写的最大值为（）

Q

A.V3B.-c.—D.3

【题型6转化为三角函数求最值(范围)】

【例6】(2024•辽宁沈阳•模拟预测)在△A8C中，内角B,C所对的边分别为a,b,c,且

-sin-2-C—-si-nC-s-inB=1.」

cos2B—cos2A

(1)求角”的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，点尸为△ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范围.

【变式6-1](2024•辽宁•模拟预测)已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,(c—V^6)sinC=(a—b)

(sinA+sinB).

⑴求a；

(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6,求△ABC的周长/的取值范围.

【变式6-2](2024•河北衡水•一模)在△ABC中，内角AB,C所对的边分别是a力,c,三角形面积为S,若。为

AC边上一点，满足AB_LBD,BD=2,且a?=-竽S+abcosC.

⑴求角B；

(2)求奈+击的取值范围.

【变式6-3](2024•福建漳州•模拟预测)如图，在四边形4BCD中，Z.DAB=pB=*且△ABC的外接圆

半径为4.

(1)若BC=4鱼，AD=2V2,求△4CD的面积;

(2)若。=拳求BC-4D的最大值.

【题型7转化为其他函数求最值(范围)】

【例7】(2024•四川成都•模拟预测)设锐角△4BC的三个内角4B,C的对边分别为a,6,c,且c=2,B=2C,

则a+b的取值范围为()

A.(2,10)B.(2+2V2,10)C.(2+2近,4+2遍)D.(4+273,10)

【变式7-1](2024•全国•模拟预测)已知△ABC是锐角三角形，内角/,B,C所对应的边分别为a,b,

c.若a?—坟=儿，则高的取值范围是()

A.惇，乎)B.(2-V3,l)C.(2-V3,V2-l)D.(V2+1,V3+2)

【变式7-2](2023•全国•模拟预测)已知△力BC为锐角三角形，其内角/,B,C所对的边分别为a,6,c,

cosB=cos2A

(1)求!的取值范围；

(2)若a=l,求△4BC周长的取值范围.

&2+16

【变式7-3](2024•全国•模拟预测)己知△力BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,SAABC=~^

•tanC.

⑴求a的值;

（2）若。为线段BC上一点且满足BD=LD4平分ABAC,求△4BC的面积的取值范围.

【题型8“坐标法”求最值（范围）】

【例8】（23-24高一下•四川宜宾・期末）如图，在平面四边形4BCD中，ABIBC,^BCD=60°,

N2DC=150。，BE=3EC,CD=野,BE=®若点歹为边4D上的动点，则丽•丽的最小值为（）

【变式8-1]（2023•安徽马鞍山•模拟预测）己知平行四边形4BCD中，AADC=60°,E,F分别为边4B,BC

的中点，若赤•赤=13,则四边形48CD面积的最大值为（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

【变式8-2]（2023•全国•模拟预测）在等腰△ABC中，角/,B,C所对应的边为a,b,c,B=C4,

a=2V3,P是△ABC外接圆上一点，则同•丽+丽•丽+丽•丽的取值范围是（）

A.[-3,23]B.[-1,33]C.[-2,30]D.[-4,20]

【变式8-3]（2024•江西南昌•三模）如图，在扇形。/8中，半径。2=4,乙40B=90。，C在半径08上，D

在半径0/上，£是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形2CDE的周长的取值范围是（）

A.(8,12]B.(8V2,12]

C.(8,8V2]D.(4,8近]

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】

【例9】（2023•河南开封•三模）已知瓦、诙为单位向量，同-可=g，非零向量为满足同-2可=1,贝力方-可

的最小值为（）

A.V7B.V7-1C.V3D.V3-1

【变式9-1]（23-24高三上•北京通州•期末）在菱形4BC。中，4B=2/82。=60。乃是8C的中点，尸是CD上

一点（不与C,D重合）,DE与AF交于G,则尼•丽的取值范围是（）

A.（0,|）B.（0,?C.（0,2）D.（0,3）

【变式9-2]（2024•福建泉州•模拟预测）已知平行四边形/BCD中，AB=2,BC=4,B=与，若以C为

圆心的圆与对角线8。相切，尸是圆C上的一点，则丽•（市-瓦）的最小值是（）

A.8-2V3B.4+2V3C.12-4V3D.6+2V3

【变式9-3]（2023・福建厦门•二模）在△力OB中，已知|福|=VL|万|=1,〃。8=45。，若加=友？+〃

OB,且2+2〃=2,/z6[0,1],则万?在而上的投影向量为m3（N为与而同向的单位向量），则加的取值范

围是（）

A.[一争1]B.惇,1]C.（一¥，1]D.（¥，“

►过关测试

一、单选题

1.（2024•江苏连云港•模拟预测）在△ABC中，角力,B,C的对边分别为Q,b,c,若Q=l,bcosA=1+

cosB,则边b的取值范围为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

2.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知△ABC角4、B、C的对边分别为a、b、c满足卫=呵”手，则角B的

a—cSino

最大值为（）

7171Tl2n

A.%B.工C.ED.—

3.（2024•广东东莞•模拟预测）已知在同一平面内的三个点4B,C满足|2B|=2,2-2>1,贝川尼+丽|

|C4|\CB\

的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]

4.（2024•河南•三模）在aaBC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c.若焉+号=与，贝肚am4+

COSDCOSC

tanC的最小值是（）

48/—

A.-B.-C.2V3D.4

5.（2024•河南•模拟预测）在锐角△ABC中，角B,C所对的边分别为a,b,c,满足梦=。2.若

b+c

a=2V3,则炉+02的取值范围为（）

A.（12,24]B.（20,24]C.[12,24]D.[20,24]

6.（2024・江西•二模）在△4BC中，若sinA=2cosBcosC,则cos2B+cos2c的取值范围为（）

7.（2024・全国•二模）在八42。中，内角B,C所对的边分别为a,b,c,2acos4=bcosC+ccosB,且

a=4sin4则A48C周长的最大值为（）

A.4V2B.6V2C.4V3D.6V3

8.（2024・陕西咸阳•三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府

在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”。PQ中，准备修一条三角形健身步道。力B,已

知扇形的半径0P=3,圆心角NPOQ=?4是扇形弧上的动点，B是半径0Q上的动点，AB//OP,贝U△04B

面积的最大值为（）

Q

二、多选题

1

9.（2024•江苏南京•二模）已知△ABC内角4B,C的对边分别为a,b,c,。为△ABC的重心，cosA=g,

4。=2,贝I（）

A.AO=+14CB.AB-AC<3

C.△ABC的面积的最大值为D.a的最小值为

10.（2024•湖南•二模）在△A8C中，角ABC所对的边分别为a,b,c,且c=b（2cos4+1）,则下列结论正确

的有（）

A.A=2B

B.若a=遮b,则△4BC为直角三角形

C.若△4BC为锐角三角形，高-高的最小值为1

€dll£?€dll/i

D.若△ABC为锐角三角形，贝哈的取值范围为（3,竽）

11.（2024•河北邯郸•三模）已知△2BC的三个内角B,C的对边分别是a,b,c,面积为哼

4

（a2+c2-则下列说法正确的是（）

A.cosdcosC的取值范围是

B.若。为边”的中点，且BD=L则△ABC的面积的最大值为手

C.若△ABC是锐角三角形，贝咛的取值范围是Q,2）

D.若角B的平分线BE与边力C相交于点E,且BE=g,贝Ua+4c的最小值为10

三、填空题

12.（2024•北京•三模）在△2BC中，a,6,c分别是角4B,C的对边，且a+c=2b,则角B的取值范围为.

13.（2024・陕西安康•模拟预测）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,hc,若b=2,焉=总+嘉,

则2a+c的最大值为.

14.（2024•江苏盐城•一模）在△48C中，已知AB=2,8C=3,点P在△ABC内，且满足CP=2,

N4PC+乙4BC=TT,则四边形4BCP面积的最大值为.

四、解答题

15.（2024•山东荷泽・模拟预测）在△4BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c.己知布•乐-瓦？・丽=启才

（1）若2=1,判断△4BC的形状；

（2）^2-求tan（B-4）的最大值.

16.（2024・江苏盐城•模拟预测）在△ABC中，已知角4B,C所对的边分别为a,b,c,asin2|+/?sin2^=

3ab

2(a+b+c)

⑴求角C的大小;

(2)若△力BC为锐角三角形，求《的取值范围.

17.(2024•重庆渝中•模拟预测)已知△ABC的内角的对边分别为a,b,c,且满足叵—sinB=tanA•cos

a

B.

(1)求角A的大小；

⑵若△4BC为锐角三角形且a=2V6,求△ABC面积的取值范围.

•四川南充•模拟预测)在△中，

18.(2024ABCsin/t+sino=:si黑no+sinc

⑴求4;

(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.

19.(2024•陕西商洛•模拟预测)在锐角△4BC中.内角4B,C所对的边分别是a,b,c,已知a-2ccos

B=c.

(1)求证：B=2C；

(2)求sinB+2«cos2c的取值范围.

重难点12解三角形的最值和范围问题【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】................................................2

【题型2三角形边长的最值或范围问题】........................................................5

【题型3三角形周长的最值或范围问题】........................................................8

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】...................................12

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】.....................................................15

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】.....................................................17

【题型7转化为其他函数求最值（范围）】.....................................................21

【题型8“坐标法”求最值（范围）】.........................................................25

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】.................................................29

►命题规律

1、解三角形的最值和范围问题

解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或

与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主

要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的

关键是建立起角与边的数量关系.

►方法技巧总结

【知识点1三角形中的最值和范围问题】

1.三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：

（1）利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；

（2）利用基本不等式求最值（范围）；

（3）转化为三角函数求最值（范围）；

（4）转化为其他函数求最值（范围）；

（5）坐标法求最值（范围）.

2.三角形中的最值（范围）问题的解题策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运

用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究

其最值（范围）.

（2）转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略

三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利

用三角函数的范围求出最值或范围.

（3）坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略

“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边

角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结

合三角函数、基本不等式等知识求其最值.

►举一反三

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】

【例1】(2024•河北石家庄•三模)在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9.

2

(1)若sinC=求sin&-sinB的值；

(2)求△NBC面积的最大值.

【解题思路】⑴根据正弦定理可得sinA=*sinB=，，从而可求sinA-sinB的值；

(2)利用基本不等式可得a2+b222a6=18,再根据余弦定理可得cosC的范围，从而可得sinC的范围，结

合三角形面积公式，即可得△48C面积的最大值.

【解答过程】(1)由正弦定理扁=号=急=6,可得siiL4=[,sinB=4

oiiic.Sin£>oiii/ioo

ab91

•••sinA•sinB=—•—=—=-

66364

(2)vab=9,a2+b2>2ab=18,

由余弦定理可得cosC=笔以>叫至=

1on

-<cosC<1,•1•0<1—(cosC)2<—,

•••0<sinC<,,,S=|absinC=|sinC<2V5,

当且仅当a=6=3时，等号成立，此时△ABC面积取得最大值2遍.

【变式1-1](2024•全国•模拟预测)记锐角三角形4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosA=

V3—acosB,2asinC=V3.

(1)求4

(2)求△2BC面积的取值范围.

【解题思路】(1)方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.

(2)利用正弦定理得b=誓=儡i£+c)=君+*结合△4BC为锐角三角形，求得三<。<去进而求

smcsine2tanC43z

得|<b<2,即可求解.

【解答过程】(1)方法一：由余弦定理，得bx炉;*。？=「X”2,解得

Zbc2ac

又2asinC=遍，所以由正弦定理，得sin/=竺产

又为锐角三角形，所以/=/

方法二：由题意知，bcosA=2asinC-acosB.

由正弦定理得sinBcos/=2sinAsinC-sinAcosB,

所以sinBcos/+cosBsin/=2sinXsinC,

所以sin(B+4)=2sin/sinC,即sinC=2sin4sinC；

又因为sinCKO,所以sin4=：,又因为Ze(0,。所以A=，.

(2)由正弦定理得b二csinB=岳in(Z+C)-V^sirL4cosc+gcos/sinC二四十」

sinCsinCsinC2tanC2'

f0<C<5

因为△ABC为锐角三角形，所以to<B=^-C<=

解得gvCv],所以tanC>遮，所以|<b<2.

因为c=V^,所以SMBC=/csin4=学)，所以^VV当

44t$Z

故△狗:面积的取值范围为(竽，等

【变式1-2](2024•辽宁•模拟预测)如图，在平面内，四边形48CD满足B,。点在4C的两侧，4B=1,

BC=2,△ACD为正三角形，设N4BC=a.

(1)当a=三时，求4C；

(2)当a变化时，求四边形A8CD面积的最大值.

【解题思路】(1)在△4BC中，由余弦定理可得4c的值；

(2)由余弦定理可得AC?的表达式，进而求出正三角形4CD的面积的表达式，进而求出四边形2BCD的面积

的表达式，由辅助角公式及a的范围，可得四边形面积的范围.

【解答过程】(1)因为2B=1,BC=2,B=^,

由余弦定理可得：AC=y/AB24-BC2-2AB-BCcosB=Jl+4-2xlx2x|=V3.

(2)由余弦定理可得=4B2+BC2-2AB-BCcosa=1+4-2x1x2cosa=5-4cosa,

因为△力CD为正二角形，所以S&4CD=--AC2=V^cosa,

S/^ABC=-BCsina=|x1x2sina=sina，

所以S四边形4BC。—^AABC+^AACD=sina—V5cosa+=2sin(a—

因为a€(0用)，所以一久(-点,)，

所以sin(a.)«—多1],

所以S四边形4BCDe件,2+竽]，

故当a=?时，四边形4BCD面积的最大值为2+乎.

64

【变式1-3](2024•上海•三模)已知△A8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且旧a=2csin4.

(1)求sinC的值;

(2)若c=3,求△ABC面积S的最大值.

【解题思路】⑴由正弦定理即可得sinC=孚；

(2)由余弦定理结合重要不等式可得ab取值范围，再由三角形的面积公式SoBC=，bsinC可求出面积的最

大值.

【解答过程】(1)由题意可知，机a=2csin4

由正弦定理得VJsinA=2sinCsin2,

因为4,CG(O,TT),所以sinAHO,

即sinC=当

(2)由(1)可知sinC=容

所以C=5或。=与.

在△4BC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACxBCcosC,

当C=5时，c=3,

22

9=炉+a^—2ab-^=b+a-ab>2ab-ab=ab9

当且仅当a=b=3时取等号，即

故△48c的面积S△力BC=-ctbsinC=fabW

当。=争寸，c=3,

9=h2+a2+2ab•|=Z)2+a2+ab>2ab+ab=3ab,

当且仅当Q=b=g时取等号，即ab<3,

故△的面积S4/BC=-absinC=ab<

z吟44

综上所述，△4BC的面积最大值为竽.

【题型2三角形边长的最值或范围问题】

【例2】(2024・四川•三模)在△ABC中,内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足2csinBcos4=b

(siiL4cos8+cosAsinB).

⑴求4;

⑵若△ABC的面积为16遮，。为"的中点，求的最小值.

【解题思路】(1)根据正弦定理进行边化角得COSA=9,则得到4的大小；

(2)利用三角形面积公式得加=64,再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.

【解答过程】(1)因为2csinBcosA=&(sia4cosB+cosAsinB),

由正弦定理可得2sinCsinBcosZ=sinBsin(A+B)=sinBsinC,

又CE(OJT),BE,故sinCwO,sinBHO,

所以cos/=I，又A6(0,7i),故4=.

(2)SAABC=^cbsinA=16V3,又/=，.bc=64,

在△84。中，由余弦定理BO2=B42+/D2-2・B4・AD-COS4=C2+Q)2-2C•1•COS^,

=c2+-^cb>2Ic2•——cb=[cb=32,

42J422

当且仅当c=•1=4四时取等号，

.•.8D的最小值为4金.

B

【变式2-1］（2024•江西•模拟预测）在△ABC中，角4B,C所对的边分别记为a,b,c,且tanA=

cosB—sinC

cosC+sinB,

⑴若8=也求C的大小.

（2）若a=2,求b+c的取值范围.

【解题思路】（1）由tan4=c°s/s：n；,得sinAcosC+sinZsinB=cos4cos8-cos4sinC,再利用两角和差的

cosC+sin£>

正余弦公式化简，进而可求得4B的关系，即可得解；

（2）利用正弦定理求出瓦c,再根据4B的关系结合三角函数的性质即可得解.

cosB—sinC耳二八jsin/_cosB—sinC

【解答过程】(1)因为tanA=cosC+sinB,cosZcosC+sinB'

BRsinTlcosC4-sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sin4cosc+cosXsinC=cosAcosB—sinAsinB,

所以sin(4+C)=cos(i4+B),即sinB=cos^A+B),

而4B€(0m),所以B+Z+B=5或8-(/+B)=热

所以4+28=］或4=苫（舍去），

又因为8=也所以/=也

所以c=与;

(2)由⑴得4+23=宏

因为sin4-sinB-sinC'

2sinB_/也8_2sinB

所以°=鬻sinAsin(]—23)cos28‘

asinC_2sinC_2sin(^+S)_2cosB

sin?lsin/sin(-—cos2B9

2(sinB+cosB)2(sin5+cosB)_2V2

则

b+Ccos2Bcos2B—sin2BcosB-sinBcos(B+J

'0<B<TV

又由l0</2BVn,得0<8<a

0<-+^<ii

I2

所以所以0<COS(8+D〈冬

所以b+c€(2,+8).

【变式2-2](2024•广东广州•三模)在锐角aaBC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且c=6sin?+a

cosF.

⑴求4

(2)若。是边BC上一点(不包括端点),且=求哈的取值范围.

【解题思路】(1)根据题意，利用正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到si《=cos4进而求得si《=

即可求解.

(2)设乙4BD=NBAD=X(0<X<9,在△4CD中，利用正弦定理，化简得到黑=-1+萼一，根据题

V3/人〃V3+tanx

意，结合正切函数的性质，即可求解.

AA

【解答过程】(1)c=bsin-+acosB,・•・sinf=sinBsin-+sinAcosB,

又/+B+C=ii,可得sinC=sin(/+B)=sirL4cosB+cosAsinB,

・・・sinAcosB+cos^sinB=sinBsin-+sinXcosB,

4TC

•••sinBcosA=sinBsin-,又0<B<5，sinBH0,

可得cos4=si6，所以l-2sin2?=sing,解得sing=1或sin^=—1,

V0<<^,所以sin3=g,即4=5

(2)设4aBD=N8AD=x(0<x<q,则ND4C==亨一x,

,:Z.ABD=Z-BAD,AD=BD,

在△北〃中，由正弦定理得需=累=嚼3=等七照=铲”=—1+婷口，

BDADsin^——xjv3cosx+smxv3+tanxv3+tanx

因为△ABC为锐角三角形，所以0<%<与且0<£x<3贝脸<尤<3

所以tairre停,旬，可得遮+tanxC(竽,2闻，所以一1+房三e(o,)所以卷40,。

A

【变式2-3](2024・江西鹰潭•二模)△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,满足与警=黑.

COS/1COSD

⑴求证：4+28=5；

(2)求管的最小值.

【解题思路】(1)根据题意，化简得到sinQ4+8)=cos8=sin9—8),即可得证；

(2)由(1)知2B且C=5+B,利用正弦定理得到等=4COS28+扁-5,结合基本不等式，即可

求解.

【解答过程】(1)证明：由if=型|,可得4片1且sinAcosB+cosAsinB=cosB,

COS丁HCOS2y/

所以sin(/+8)=cosB=sing—8),

因为为三角形的内角，可得4+8=与-8,即4+28=安得证.

(2)解：由(1)知4=万一2B,=TC-A—B=—+F,

百斤pta2+b2_sin2(+sin2B_cos22B+sin2B_(2COS2B—1)2+1—COS2B

c2sin2ccos2Bcos2B

所以修=48528+熹一524立一5,当且仅当cos2B=日时，等号成立，

所以营的最小值为4鱼-5.

【题型3三角形周长的最值或范围问题】

【例3】(2024•安徽淮北•二模)记△ABC的内角ASC的对边分别为a,b,c,已知c—b=ZcsiM^

⑴试判断△ABC的形状；

(2)若c=l,求△ABC周长的最大值.

【解题思路】(1)根据题意，求得cos4=*利用余弦定理列出方程，得到。2+炉=02,即可求解；

(2)由(1)和c=l,得到a=sin/,b=cos/,则△/BC周长为1+sin4+cos4结合三角函数的性质,

即可求解.

【解答过程】⑴解：由c-b=2csin23可得sin2^=F，所以=与3

222c一22c

即；婴=2，所以cos4=2,

又由余弦定理得“蓝：一"2=2,可得Q2+b2=c2,所以c=*

2bccn

所以△ABC是直角三角形

(2)解：由(1)知，△力BC是直角三角形，且c=l,可得a=sinA,b=cosA,

所以△力BC周长为1+sinA+COSTI=1+V7sin(a+：)，

因为4e(o,1,可得苧)，

所以，当4=今时，即△力BC为等腰直角三角形，周长有最大值为迎+1.

【变式3-1](2024•四川绵阳•模拟预测)已知在△ABC中，。为8C边的中点，且4。=遮.

(1)若△4BC的面积为2,coszXOC=求B；

(2)^AB2+AC2=18,求△2BC的周长的最大值.

【解题思路】(1)根据题意，利用三角形的面积公式，求得8。=1,由余弦定理，求得43=2鱼，再由正

弦定理求得sinB=¥，进而求得B的值；

(2)设。0=8。=久，分别在△4BD和△4CD中，利用余弦定理，列出方程求得％=2,结合(48+4£)242

(4炉+4。2),即可求解.

【解答过程】(1)解：因为△力BC的面积为2,且。为BC的中点，

可得S/\4BD=\BD\sinz.ADB—1,

又因为sinNaDB=sinNADC=半，可得8。=1,所以8c=2

在△力BD中，由余弦定理得AB?=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB

=(V5)2+12-2xV5x1x^=8,所以AB=2鱼，

由正弦定理怎=编，可得"nB=日，

因为N4DC+LADB=TT且cos乙4DC=浮

可得COSZJWB=cos(it-Z/1£)C)=—cosZ-ADC=<0,

即N2DB为钝角，所以B为锐角，所以

(2)解：设CD=BD=x,分别在△4BD和△4CD中，

由余弦定理AB?=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB,

SPAS2=x2+5—2x-V5coszX£)B,同理可得AC2—x2+5+2x-V5coszXDB,

所以4B2+4C2=2(%2+5)=18,可得久=2,

又因为Q4B+aC)2w2(aB2+ac2)=36,当且仅当4B=4C时，等号成立，

所以4B+4CW6,所以△ABC周长的最大值为10.

【变式3-2](2024•云南曲靖•二模)在△48C中，角4,B,C的对边分别为a,6,c,且acosC+遮csinN=b+c.

(1)求角B的取值范围；

(2)已知△力BC内切圆的半径等于g，求△ABC周长的取值范围.

【解题思路】(1)由正弦定理可得sinZcosC+V^sinCsinA=sinB+sinC,利用三角恒等变换可得sin(Z-3=

可求角B的取值范围；

(2)由三角形的面积可求得。=—b—c+bc,结合余弦定理可得(bc)2—2bc(6+c)+(6+c)2=(6+c)2

-3/Jc,计算可得b+c<2或b+c26,进而可求得

△ABC的周长L=Q+b+c=〃2+c2_2bccosZ+b+c,设△ABC与圆内切于点。，瓦F,

b+c=AC+AB>AD^AF=3,进而分析可得△ZBC的周长的取值范围.

【解答过程】(1),•,acosC+V^csinA=b+