中考数学专项复习：二次函数的图象与性质应用

专题10二次函数的图象性质、应用

考点1:二次函数的图象性质

1.(2023•徐州•中考真题)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+l>+3的图象向右平移2个单位

长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为()

A.y=(x+3)2+2B.y=(x—1)~+2C.y=(x—1)"+4D.y—(x+3)~+4

【答案】B

【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解.

【详解】解：由二次函数y=(x+l)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，

所得抛物线对应的函数表达式为>1）2+2；

故选B.

2.（2023•南通・中考真题）若实数x,了，加满足x+1+"7=6,3x-y+m=4,贝lj代数式一2中+1的

值可以是（）

3

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】D

5-m

X=-------

【分析】联立方程组，解得，设W=-2中+1,然后根据二次函数的性质，即可求解.

7-m

U2

[x+y+m=6

【详解】解：依题意，。“，

\3x-y+m=4

5-m

x=-------

7

解得：r

t-m

y=

[2

设iv=—2xy+1

._5-m7-m1m233

•・w—2xx+1-------1-6m

2222

V--<0

2

4XHX"?]-363

•••w有最大值，最大值为、—=y

4xl-d

故选：D.

3.（2023•扬州•中考真题）已知二次函数>-2x+g（a为常数，且。>0）,下列结论：

①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当x<0时，了随x的

增大而减小；④当x>0时，y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

【答案】B

【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可.

【详解】解：•••抛物线对称轴为-3=-二=工>0,。=《>0，

2a2aa2

・•・二次函数图象必经过第一、二象限，

又•:A=Z72-4ac=4-2a,

a>0,

**.4—2Q<4,

当4-2a<0时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，

当0<4-2a<4时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，

故①错误；②正确；

•.•抛物线对称轴为-==-3=±>0,a>0,

2a2aa

抛物线开口向上，

.•.当时，y随x的增大而减小，故③正确；

a

...当时，夕随X的增大而增大，故④错误，

a

故选：B.

4.（2022•泰州•中考真题）已知点（-1,%）,（1,乃）在下列某一函数图像上，且为<%<为那么

这个函数是（）

33

A.>=3xB.>=3%2C.y=-D.y=——

XX

【答案】D

【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出以、"、歹3的值，比较大小即可得出答案.

【详解】解：A.把点(-3,%),(-1,歹2),(1,%)代入厂3%,解得刃=9,'2=3,冷=3,所以v勺2勺3，这

与已知条件外不符，故选项错误，不符合题意；

B.把点(-3,%),(-1/2),(1,%)代入产3/,解得刃=27,竺=3,n=3,所以"＞丁2=心，这与已知条件

乃＜弘＜%不符，故选项错误，不符合题意；

3

C.把点(-3,必),(-1/2),(1,%)代入丁=一，解得刃=1,,2=3,"=3,所以以勺1勺3，这与已知条件

X

乃＜%＜%不符，故选项错误，不符合题意；

3

D.把点(-3,%),(-1,%),(1,%)代入严一，解得〃=1,竺=3,g=3,所以％＜乂＜外，这与已知条

X

件力＜乂＜%相符，故选项正确，符合题意；

故选：D.

5.(2021•苏州•中考真题)已知抛物线了=/+履一公的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平

移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则左的值是()

A.一5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.

22

【详解】解：函数y=x2+b-/向右平移3个单位，得：y=(x-^+k(x-3)-k;

再向上平移1个单位，得：j=(x-3)2+k{x-3)-k2+\,

•••得到的抛物线正好经过坐标原点

0=(0—3)~+左(0—3)—左2+1即左2+3左一10=0

解得：4=-5或左=2

,/抛物线y^x+kx-k1的对称轴在〉轴右侧

.k八

,,x=—＞0

2

：.k＜0

：.k=-5

故选：B.

6.（2022・无锡・中考真题）把二次函数尸2+4X+〃？的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单

位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么机应满足条件：.

【答案】m>3

【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（2,加4）,再求得平移后的顶点坐标为（1,m3）,根据题意

得到不等式〃?3>0,据此即可求解.

【详解】M：''y=x2+4x+m=（x+2）2+m4,

此时抛物线的顶点坐标为（2,加4）,

函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（2+3,比4+1）,即（1,

m3）,

•••平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，

解得：m>3,

故答案为：加>3.

7.（2022・常州•中考真题）已知二次函数xa/+加+3的自变量x的部分取值和对应函数值了如下表:

X-i0123

y430-5-12

⑴求二次函数y=ax2+6x+3的表达式；

（2）将二次函数y=ax?++3的图像向右平移左（左>0）个单位，得到二次函数y=%/+“X+«的图像,

使得当-!<x<3时，歹随x增大而增大；当4<x<5时，>随x增大而减小，请写出一个符合条件的

二次函数>=加/+nx+q的表达式了=,实数上的取值范围是；

（3）A、B、。是二次函数y=a/+6x+3的图像上互不重合的三点.已知点A、B的横坐标分别是加、

机+1,点。与点A关于该函数图像的对称轴对称，求N/C3的度数.

【答案】（l）y=-x?-2x+3

（2）y=-（x-3）2+4（答案不唯一），44后W5

⑶乙4c8=45°或135°

【分析】（1）利用待定系数法求解即可;

（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线x=左-1,然后根据二次函数的增减性求出4W后45,

即可得到答案;

（3）先分别求出/、B、C三点的坐标，然后求出乙-%=2加+3,yB-yc=-2m-3,然后分四种

情况讨论求解即可得到答案.

a-b+c=4

【详解】（1）解：由题意得：a+b+c=O,

c=3

a=-1

解得

6=-2'

二次函数解析式为y=---2x+3；

（2）解：,原二次函数解析式为了=-x?-2x+3=-（尤+1）+4

由题意得平移后的二次函数解析式为了=-（x+l-笈y+4,

平移后的二次函数对称轴为直线x=左-1,

•.•二次函数>=加/+力+4的图像，使得当-1〈尤<3时，y随X增大而增大；当4<x<5时，了随X

增大而减小，且二次函数、=〃吠2+公:+0的开口向下,

二3V左一1V4,

：.4<k<5,

符合题意的二次函数解析式可以为y=-（x+l-4『+4=-@-3『+4；

故答案为：J^=-（X-3）2+4（答案不唯一），4<k<5；

（3）解：•.•二次函数解析式为y=-2X+3=-（X+1『+4,

.••二次函数y=---2x+3的对称轴为直线x=-l,

：/、C关于对称轴对称，点/的横坐标为

.•.C的横坐标为-2-加，

点/的坐标为G",——2机+3),点C的坐标为(-2-m,—m2—2m+3)>

■:点B的横坐标为m+1,

・••点B的坐标为（冽+1,-m2-4m），

=

xB-xc=2m+3,yB~yc-2m~3,

如图1所示，当/、8同时在对称轴左侧时，过点8作轴于£,交/C于D,连接8C,

：/、C关于对称轴对称，

/C〃x轴，

J.BELAC,

=

*.*xB-xc=2m+3,yB~yc-2m-3,

：.CD=-2m-3=BD,

...△3OC是等腰直角三角形，

ZACB=45°,

同理当48同时在对称轴右侧时，也可求得//。2=45。，

如图2所示，当/在对称轴左侧，8在对称轴右侧时，

过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D,

同理可证为等腰直角三角形，

?./BCD=45°,

：.ZACB=135°,

同理当/在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得//。2=135。,

综上所述，N/CB=45。或135°

8.（2021•苏州•中考真题）如图，线段48=10,点。、。在上，AC=BD=l.己知点P从点C出

发，以每秒1个单位长度的速度沿着N5向点。移动，到达点。后停止移动，在点尸移动过程中作

如下操作：先以点P为圆心，PA、尸3的长为半径分别作两个圆心角均为60。的扇形，再将两个扇形

分别围成两个圆锥的侧面.设点尸的移动时间为（秒）.两个圆锥的底面面积之和为S.则S关于f的

函数图像大致是（）

【答案】D

【分析】由题意，先求出尸/=t+l,PB=9-t,然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出

函数表达式，然后进行判断即可.

【详解】解：根据题意，

：48=10,4C=BD=1,且已知点尸从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着48向点。移动,

到达点。后停止移动，则0V/V8,

：.PA=t+\,

：.PS=10-（Z+l）=9-Z,

由尸/的长为半径的扇形的弧长为：

.••用P/的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为"

・,•其底面的面积为"（'+1）2

36

由尸B的长为半径的扇形的弧长为：”『2=若。

，用总的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为多

6

.♦•其底面的面积为土匚

36

两者的面积和S=""+1)2+万(9—)、_L%仔一8+41)

363618’)

.♦•图像为开后向上的抛物线，且当好4时有最小值；

故选：D.

9.(2021・连云港・中考真题)关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一

个特征.

甲：函数图像经过点(-L1)；

乙：函数图像经过第四象限；

丙：当x>0时，夕随x的增大而增大.

则这个函数表达式可能是()

A.y=-xB.y=-C.y=X2D.y=~—

xx

【答案】D

【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可.

【详解】解：4对于歹=T,当x=l时，y=l,故函数图像经过点(T1)；函数图象经过二、四象限;

当x>0时，了随x的增大而减小.故选项/不符合题意；

8.对于y=L当x=l时，y=l,故函数图像不经过点(TJ)；函数图象分布在一、三象限；当x>0时,

X

y随x的增大而减小.故选项3不符合题意；

C对于>=/,当产1时，7=1,故函数图像经过点(TD；函数图象分布在一、二象限；当尤>0时,

y随x的增大而增大.故选项C不符合题意；

。对于了=-』，当时，y=l,故函数图像经过点(TD；函数图象经过二、四象限；当x>0时，

y随x的增大而增大.故选项。符合题意；

故选：D

10.(2021・镇江・中考真题)设圆锥的底面圆半径为心圆锥的母线长为/,满足2什/=6,这样的圆锥

的侧面积()

9999

A.有最大值二兀B.有最小值二兀C.有最大值X兀D.有最小值一兀

4422

【答案】C

【分析】由2*7=6,得出/=6-2升，代入圆锥的侧面积公式：S嫁=兀〃，利用配方法整理得出，SK

3Q

=-2?r(r--)2+j7t,再根据二次函数的性质即可求解.

【详解】解：：2什/=6,

.,.1—6-2r,

、，3939

/.圆锥的侧面积S屈=兀"=仃(6-2r)=-2兀(r2-3r)=-2兀一一1]=一2兀(”—)2+-?t,

39

.•.当r=]时，S前最大值彳万.

故选：C.

11.(2021•宿迁・中考真题)已知二次函数y=“/+6x+c的图像如图所示，有下列结论：①40；

@b2-4ac>0；@4a+b—0；④不等式ax?+(6-1)x+c<0的解集为Igx<3,正确的结论个数是

()

【答案】A

【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函

数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④.

【详解】解：•.•抛物线的开口向上，

：.a>0,故①正确；

•.•抛物线与x轴没有交点

/.b2-4ac<0,故②错误

•.•由抛物线可知图象过(1,1),且过点(3,3)

[a+b+c=1

[9a+3b+c=3

8a+2b=2

A4a+b=\,故③错误；

由抛物线可知顶点坐标为(1,1),且过点(3,3)

则抛物线与直线y=x交于这两点

:・苏+(/?-l)x+c<0可化为+bx+c<xJ

根据图象，解得：l〈xV3

故④错误.

故选4

12.(2023・无锡•中考真题)二次函数y=a(x-D(x-5)，>gj的图像与x轴交于点A、B,与了轴交

于点C,过点初(3，1)的直线将“BC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，贝匹的

值为.

【答案】名或*且或

1052

【分析】先求得/4,0),8(5,0),C(0,5a),直线破解析式为>=-：X+:，直线的解析式为

>1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如

图1,直线过中点，②如图2,直线过NC中点，直线解析式为〉=-；苫+|",/C中

点坐标为(Uh待入直线求得③如图3,直线CM过中点，N8中点坐标为(3,0),

直线MB与了轴平行，必不成立；2)当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与“BC一边平行，

所以必有“N”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:8.④如图4,直线瓦根据相似

4E1

三角形的性质，即可求解；⑤如图5,直线ME//ZC,⑥如图6,直线上化//BC,同理可得不=7，

ABV2

进而根据1211，〃£’可=1211/。8。，即可求解.

【详解】解：由y=a(x-l)(x-5),令X=O,解得：y=5a,令y=0,解得：X1=l,x2=5,

/Q,0),5(5,0),C(0,5a),

设直线8A/解析式为P=+b,

.15左+b=0

••13左+6=1

k=--

解得：

b=-

[2

直线解析式为〉=-；x+|"，当尤=0时，y=-|,则直线四与了轴交于卜g|,

•••a>、一1,

2

5。>一,

2

・••点M必在内部.

1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点,平分面积，必为中线

设直线AM的解析式为y=mx+n

.肚+6=0

…[3k+b=1

,1

m=—

解得：2]

12

则直线的解析式为了=

①如图1,直线过3c中点，，

8C中点坐标为佶,£],代入直线求得a=H

不成立；

[22J102

AyAy

B/pl铲

图1图2图3

=4x+i中点坐标为《待入直

②如图2,直线曲/过/C中点，直线觊f解析式为〉

0

线求得。=历

③如图3,直线CM过中点，48中点坐标为（3,0）,

.1直线MB与了轴平行，必不成立;

2）、当分成三角形和梯形时,过点M的直线必与-3C一边平行，所以必有型相似，因为平分

面积，所以相似比为1:逝.

④如图4,直线//AB,

ACENSACOA

CE_CN_1

co-c7-72?

5a-\_1

5aV2'

BE1

；•力='又/2=4,

•*.BE=2VI,

BN=5-3=2<2叵,

...不成立;

4E1

⑥如图6,直线腔〃BC,同理可得益

AE=2V2，NE=2垃-2,tanZMEN=tanZCBO,

1V2+1

=­，解得a

2V2-22

综上所述,

13.（2022•南京・中考真题）已知二次函数y-2ax+c（。、。为常数，。/0）的最大值为2,

写出一组符合条件的。和c的值：

【答案】。=-2,c=0（答案不唯一）

【分析】根据最值公式得到4次一（一24=2,即可得到。-。=2,据此写出一组符合条件的a和c

4a

的值即可.

【详解】解：：二次函数>=亦2_2依+。的最大值为2,

.4QC一（一24）

4a-'

••c—a=2,

故。=-2时，c=0,

故答案为：a=-2,c=0（答案不唯一）.

14.（2022・盐城•中考真题）若点尸（私〃）在二次函数y=/+2x+2的图象上，且点P到V轴的距离小

于2,则”的取值范围是.

【答案】l<n<10

【分析】先判断-2〈加<2,再根据二次函数的性质可得：〃=/+2机+2=（机+）+1,再利用二次

函数的性质求解〃的范围即可.

【详解】解：；点尸到夕轴的距离小于2,

/.-2<m<2,

•.•点尸（见"）在二次函数夕=尤2+2》+2的图象上，

:.n=m2+2m+2++1,

.•.当/=-1时,〃有最小值为1.

当加=2时，〃=（2+iy+l=10,

，”的取值范围为1W”<10.

故答案为：14“<10

15.（2021•泰州•中考真题）在函数y=（x-l）2中，当x>l时,y随x的增大而—.（填“增大，或“减小”）

【答案】增大

【分析】根据其顶点式函数y=（x-可知，抛物线开口向上，对称轴为尤=1,在对称轴右侧夕随

X的增大而增大，可得到答案.

【详解】由题意可知：函数>=(x-l)2,开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又♦.•对称轴为

X--1,

.•.当x>l时，y随的增大而增大,

故答案为：增大.

16.(2023•苏州•中考真题)如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y=£k(x>0)的图象交于点

X

4(4,").将点A沿x轴正方向平移机个单位长度得到点瓦。为x轴正半轴上的点，点8的横坐标大

于点。的横坐标，连接8。,8。的中点。在反比例函数〉=£。>0)的图象上.

X

(1)求”#的值;

(2)当〃?为何值时，ABOD的值最大?最大值是多少？

【答案】(1)"=8,左=32

(2)当,"=6时，48取得最大值，最大值为36

【分析】⑴把点/(4,")代入y=2x,得出〃=8,把点/(4,8)代入y.(x>0),即可求得上=32；

(2)过点。作x轴的垂线，分别交轴于点E,F,证明丝AFCD，得出BE=DF,CE=CF,

进而可得C(8,4),根据平移的性质得出B(m+4,8),D(12-m,0),进而表示出/⑶。。，根据二次函

数的性质即可求解.

【详解】(1)解：把点代入y=2x,

”=2x4,

解得：〃=8；

把点4(4,8)代入丁=?、>0),解得左=32；

（2）I•点5横坐标大于点Z）的横坐标，

・,•点8在点。的右侧，

如图所示，过点。作％轴的垂线，分别交/丛、轴于点反尸,

・•・/B=ZCDF,

在△ECB和AFCD中,

/BCE=ZDCF

<BC=CD,

/B=/CDF

...△EC5g△/CO(ASA),

/.BE=DF,CE=CF,

•：EF=yA=8,

：.CE=CF=4,

：.C(8,4),

将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B,

B(m+4,8),

BE=DF=m—4,

Z>(12-m,0),

OD=12-m,

AB-OD=m(n-m)=-(m-6)2+36,

.•.当加=6时，取得最大值，最大值为36.

17.（2022・常州•中考真题）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为卜=工；②函数

表达式为＞=/；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于了轴对称；⑤函数值了随自变量x

增大而增大.将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不

透明的盒子3中搅匀.

⑴从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是;

(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2张小纸条上的语句对

函数的描述相符合的概率.

【答案】⑴，*

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画出树状图，再由概率计算公式求解即可.

【详解】(1)解：从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是g；

故答案为：y;

(2)解：画出树状图：

共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3

种，

31

抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为二=-.

62

18.(2022•泰州・中考真题)如图，二次函数必=/+mx+l的图像与V轴相交于点A,与反比例函数

%="(x>0)的图像相交于点2(3,1).

X

(1)求这两个函数的表达式；

(2)当必随x的增大而增大且必勺2时，直接写出x的取值范围；

(3)平行于x轴的直线/与函数必的图像相交于点C、。(点C在点。的左边)，与函数%的图像相交

于点E.若AACE与4BDE的面积相等，求点E的坐标.

3

【答案】（1）M=--3x+l；%=（（％〉0）

3

（2）》<3

⑶唱W

【分析】(1)用待定系数法求出解析式即可；

(2)由图像直接得出结论即可；

(3)根据A点和3点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出C£=DE,进而确定E点是抛

物线对称轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可.

【详解】(1)解：；二次函数%=—+机无+1的图像与y轴相交于点A,与反比例函数为=?x>o)的

图像相交于点5(3,1),

k

329+3m+1=1>—=1,

3

解得m=—3,k=3,

・•・二次函数的解析式为乂=，—3x+l,反比例函数的解析式为为=((、>0)；

(2)解：•・•二次函数的解析式为弘=，—3x+l,

3

•••对称轴为直线x=7，

2

3

由图像知，当必随工的增大而增大且必<%时，-<x<3；

(3)解：由题意作图如下:

・•・4(0,1),

•••5(3,1),

AACE的C£边上的高与gDE的DE边上的高相等，

VAJCE与ABDE的面积相等，

CE=DE,

即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，

3

当x=2时，%=2,

19.(2021•盐城•中考真题)已知抛物线y=a(x-l)2+〃经过点(0,-3)和(3,0).

(1)求。、h的值；

(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新

的抛物线相应的函数表达式.

【答案】(1)a=l,〃=-4；(2)丁=/一4x+2

【分析】(1)将点(0,-3)和(3,0),代入解析式求解即可；

(2)将y=(x-l>-4,按题目要求平移即可.

【详解】(1)将点(0,-3)和(3,0)代入抛物线y=a(x-l)2+6得：

a(0-l)2+A--3

a(3-l)2+/!=0

4Z—1

解得:

〃=—4

a=},h——4

(2)•.,原函数的表达式为:y=(x-l)2-4,

向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得:

:•平移后的新函数表达式为:尸"--1)2—4+2=?—4x+2

BPv=x2-4x+2

20.(2021・扬州•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+6x+c的图像与x轴交于

点./(-1,0)、2(3,0"与夕轴交于点C.

⑴6=,c=；

(2)若点。在该二次函数的图像上，且工^=21^c，求点。的坐标；

(3)若点尸是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且S.^C=S./PB，直接写出点P的坐标.

【答案】(1)2,3；(2)(1+V10,6)或(1-V10,6)；(3)(4,5)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)先求出△A8C的面积，设点。(加，苏-2加-3),再根据以即=2S"c，得到方程求出加值,

即可求出点。的坐标；

(3)分点尸在点/左侧和点P在点/右侧，结合平行线之间的距离，分别求解.

【详解】解：(1):点N和点3在二次函数^=/+/+<?图像上,

O=\-b+cb=-2

,解得:

0=9+36+c

故答案为：2,3；

（2）连接3C,由题意可得:

A(1,0),B(3,0),C(0,3),y=x1-2x-3,

SAABC=-x4x3=6,

2

'：SAABD=2SAABC,设点D(〃?，m2-2m-3),

=2x6,ipx4x|m2-2w-3|=2x6,

解得：x=l+Vio^41-Vio,Ay=x2-2x-3,

可得：y值都为6,

：.D(1+V10-6)或(l-Vio,6)；

•.•点尸在抛物线位于X轴上方的部分，

•*.n<1或">3,

当点P在点/左侧时，即〃<1,

可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，

••S^APC<S^APB,不成立；

当点尸在点3右侧时，即〃>3,

•.•△/PC和都以AP为底，若要面积相等,

则点8和点C到4P的距离相等，即5C〃/P,

设直线BC的解析式为夕=入取，

0=3k+pk=\

则,，解得:

—3=pP=-3

则设直线4尸的解析式为产x+q,将点4（1,0）代入,

则l+q=0,解得：q=\,

则直线4尸的解析式为y=x+l,将尸（小川-2〃-3）代入,

BPn2—2〃—3=〃+1,

解得：〃=4或〃=1（舍）,

—2〃—3=5,

・•・点尸的坐标为（4,5）.

考点2:二次函数的应用

21.（2022•南通・中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地

面成30。角的方向击出，小球的飞行高度刀（单位：m）与飞行时间/（单位：s）之间的函数关系是

h=-5/2+2OZ,当飞行时间t为s时，小球达到最高点.

【答案】2

【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解.

【详解】根据题意，有6=-5〃+20/=-5（-2户+20,

当”2时，力有最大值.

故答案为：2.

22.（2022・连云港•中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线＞=-0.2/+》+2.25运行,

然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离OH是.

m.

【答案】4

【分析】将y=3.05代入＞=一0.2/+X+2.25中可求出x,结合图形可知戈=4,即可求出

【详解】解：当>=3.05时，-0.2Y+X+2.25=3.05，解得：x=l或x=4,

结合图形可知：OH=4m,

故答案为：4

23.（2021・连云港・中考真题）某快餐店销售48两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖

出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份/种快餐的利润，同时提高每份2

种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份/种快餐利润每降1元可多卖2份，每份8种快

餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利

润最多是元.

【答案】1264

【分析】根据题意，总利润=人快餐的总利润+8快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润x对应

总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可.

【详解】解：设A种快餐的总利润为不，3种快餐的总利润为名，两种快餐的总利润为平，设A快

餐的份数为x份，则8种快餐的份数为(120-x)份.

据题意：%=112一三号XX=112-1+20)XX=-1£+32%

80—(120—xy/17

x2

W2=8+——-------(120-x)=-^r+72X-2400,

：.W^WX+W1=*+104x-2400=_(x-52)2+1264,

V-l<0,

.•.当x=52的时候,少取到最大值1264,故最大利润为1264元,

故答案为：1264.

24.(2023・无锡•中考真题)某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售

价格不低于22元/kg,不高于45元/奴，经市场调查发现每天的销售量P(kg)与销售价格x(元/奴)

之间的函数关系如图所示.

(1)求y关于x的函数表达式：

(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？

【销售利润=(销售价格一采购价格)x销售量】

-x+70（22<x<30）

【答案】⑴尸

-2元+100（30〈尤W45）

(2)销售价格为35元/kg时，利润最大为450

【分析】(1)分22VXV30时，当30<xV45时，分别待定系数法求解析式即可求解；

(2)设利润为w,根据题意当22Vx<30时，得出W=—(X-45)2+625,当30<x445时，

w=-2(X-35)2+450,

进而根据分224xW30时，当30<x445时，分别求得最大值，即可求解.

【详解】(1)当22W30时，设了关于x的函数表达式为y=h+b,将点(22,48),(30,40)代入得,

.J221+6=48

""130^+6=40

=-1

解得:

=70

.・.y=_x+70(22<X<30),

当30<xW45时，设V关于％的函数表达式为歹=幻+乙，将点(30,40),(45,10)代入得,

卜5/+4=10

130匕+4=40

[k]=—2

解得:U=ioo

y=-2x+100(30<x<45),

_f-x+70(22<x<30)

J-1-2x+100(30<jc<45)

(2)设利润为w

当22VxV30时，w=(x-20)(—x+70)=-x2+90x-l400=-(x-45)2+625

•.,在22VxV30范围内，w随着x的增大而增大，

.♦.当x=30时，w取得最大值为400；

当30cxV45时，w=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450

.•.当x=35时，1V取得最大值为450

450>400,

当销售价格为35元/kg时，利润最大为450.

25.(2023・宿迁・中考真题)某商场销售48两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果售出A

种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元.

(1)求42两种商品的销售单价.

(2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B

种商品的售价不变，A种商品售价不低于8种商品售价.设A种商品降价〃2元，如果42两种商品

销售量相同，求机取何值时，商场销售48两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)A的销售单价为30元、8的销售单价为24元

(2)当小=5时，商场销售48两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元.

【分析】(1)设A的销售单价为x元、B的销售单价为V元，根据题中售出A种20件，B种10件,

销售总额为840元；售出A种10件，B种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案;

（2）设利润为w,根据题意，得到鼓=-10（机-5）2+810,结合二次函数性质及题中限制条件分析

求解即可得到答案.

【详解】（1）解：设A的销售单价为x元、8的销售单价为V元，则

j20x+10^=840,卜=30

|10x+15y=660）解付jy=24，

答：A的销售单价为30元、8的销售单价为24元；

（2）解：A种商品售价不低于8种商品售价，

30-m>24,解得冽46,BP0<m<6,

设利润为w,则

w=（40+10m）x［（30-m-20）+（24-20）］

=-10m2+100m+560

=-10（m-5）2+810,

w在机=5时能取到最大值，最大值为810,

当机=5时，商场销售43两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元.

26.（2022・无锡・中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场

一面靠墙（墙的长度为10m）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形,

已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm（如图）.

（1）若矩形养殖场的总面积为36m°,求此时x的值；

（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【答案】（1、的值为2m；

（2）当》=5时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为飞-m2

【分析】（1）由3C=x,求得8D=3x,AB=?）x,利用矩形养殖场的总面积为36m?,列一元二次方程,

解方程即可求解；

（2）设矩形养殖场的总面积为S,列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函

数的性质求解即可.

【详解】（1）解：YBOx,矩形CDM的面积是矩形BQ弘面积的2倍，

CD=2x,

：.BD=3x,AB=CF=DE=；Q4BD）=8x,

依题意得：3x（8x）=36,

解得：xi=2,x2=6（不合题意，舍去），

此时x的值为2m；

（2）解：设矩形养殖场的总面积为S,

由（1）得：5=3x（8x）=3（x4）2+48,

•・•墙的长度为10,

/.0<3x<10,

V3<0,

・・・x<4时，S随着x的增大而增大，

...当x=g时，S有最大值，最大值为-3x（g-4）2+48=岑,

即当x=W时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为9m2.

33

27.（2022・淮安・中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、3两种品牌的粽子，两次进

货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和8品牌粽子150袋，总费用为7000

元；第二次购进A品牌粽子180袋和8品牌粽子120袋，总费用为8100元.

（1）求A、3两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

（2）当8品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进

行降价销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当5品牌粽

子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）A种品牌粽子每袋的进价是25元，3种品牌粽子每袋的进价是30元

（2）当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出8品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是

980元

【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；

（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低。元，利润为w元，列出w关于。的函数关系式，求出函数的

最值即可.

【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，8种品牌粽子每袋的进价是y元，

100x+150j；=7000

根据题意得,

180x+120y=8100,

故A种品牌粽子每袋的进价是25元，3种品牌粽子每袋的进价是30元；

（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低。元，利润为w元，

根据题意得，

w=（54-fl-30）（20+5«）=-5«2+100a+480=-5（A-10）2+980,

•：-5<0,

当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出5品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980

元.

28.（2021・淮安・中考真题）某超市经销一种商品，每件成本为50元.经市场调研，当该商品每件的