高考数学专项复习：向量（新定义）（原卷版）

专题06向量专题（新定义）

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）定义平面向量之间的一种运算“。”如下：对任意的£=（租,〃）,B=（p,q）.令

aQb=mq-np,下面说法错误的是（）

A.若£与否共线，则

B.aQb=b0a

C.对任意的（砌0石=*03），

D.Ro耳+0,=用中

2.（2022春・湖南邵阳•高一统考期中）定义万③5=|寸-万石.若向量苕=（2,若），向量5为单位向量，则

的取值范围是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

3.（2021春•云南昆明•高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点。和两个不共线的向量由

平面向量基本定理，平面内任何一个向量而都可以唯一表示成q,e2的线性组合，机=xq+ye2（x,ye/?）,

则把有序数组（苍丫）称为情在仿射坐标系[。河,回下的坐标,记为正=（x,y）,在仿射坐标系[。；£回下，之,

B为非零向量，且好（W，M）,力=（三，%），则下列结论中（）

①a+B=（玉+々,乂+%）②若Z_L方，则占％+%%=。

③若3/石，则%%=尤2%④cosM,

一定成立的结论个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022•高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向

量为“等模整向量”，例如向量”（1,3）,方=（-3,T）,即为“等模整向量”，那么模为5〃的“等模整向量”有（）

A.4个B.6个C.8个D.12个

5.（2017・四川广元.统考三模）对于〃个向量…,工，若存在〃个不全为0的示数《,心,&,•••,《,，使

得：《7+鱼Z+匕用+…+左7=。成立；则称向量吊,4，4,…]是线性相关的，按此规定，能使向量Z=（i,o），

Z=（L-D，Z=（2,2）线性相关的实数左&，%，则勺+4%的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（2022秋•内蒙古鄂尔多斯・高三统考期中）对任意两个非零的平面向量或5,定义比。/=匆，若平面

P'P

向量£石满足同2W＞。，的夹角8e[o,£],且二。石和石。5都在集合,|wez｝中，则J。1（）

A.—•B.1C.—D.一

222

7.（2023・全国•高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系

中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点尸作两坐标轴的平行

线，其在无轴和y轴上的截距a,b分别作为点尸的x坐标和y坐标，记尸（。力），则在x轴正方向和y轴正方

向的夹角为。的斜坐标系中，下列选项错误的是（）

A.当6=60。时4（1,2）与43,4）距离为2名

B•点4（1,2）关于原点的对称点为4（一1,一2）

C.向量。=（占,%）与%=（%，%）平行的充要条件是％了2=%%

D.点4（1,2）到直线％+丫-1=0的距离为加

8.（2022春•黑龙江大庆・高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox,0y是平面内相交成。，

角的两条数轴，,区分别是与无，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系尤Oy为。斜坐标系，若

OM=x^+y^,则把有序数对（无》）叫做向量两■的斜坐标，记为两'=（x,y）.在。=£的斜坐标系中，

«=-,^-p=(V3,-l).则下列结论中，错误的是()

①"日=；一石,，+1；②同=1；®a±b-,④5在乙上的投影为一0

(22

A.②③B.②④C.③④D.②③④

9.(2021春•上海浦东新•高一华师大二附中校考阶段练习)如图，定义小B的向量积[2司第郦强，a

为当2、B的起点相同时，由々的方向逆时针旋转到与B方向相同时,旋转过的最小角，对于。=(%,%),

之=(%$)，"=(七,%)的向量积有如下的五个结论：

①[丸°,//可=4"[a,可;②[a,可=[£〃]；

③[£,可=占%-々%；④[£出+可=[£,可+[£,)]；

⑤[a,B+c]=；

其中正确结论的个数为()

a

Z「

A.1个B.2个

C.3个D.4个

10.（2022春.山西朔州.高一校考阶段练习）定义=为两个向量B间的“距离”，若向量B满

足下列条件：（i）W=l；（ii）£”；（道）对于任意的teR,恒有匹，居）士皿石），现给出下面结论的编号,

则以上正确的编号为（）

A.①③B.②④C.③④D.①⑤

11.（2018・湖南.统考一模）在实数集R中，我们定义的大小关系“〉”为全体实数排了一个“序”，类似的，我

们这平面向量集合。={-£=（尤,y）,xe氏ye耳上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“〉定义如下：

对于任意两个向量Z=（X［，X）,%=（无2，%），当且仅当“为>尤2"初'占=工2且%>%”，按上述定义的

关系“>”，给出下列四个命题：

①若4=（L0），£=（0,1）,6=（0,0）,贝!Jq>e2>。；

②若4>的，a2>（z3,则O］>4；

③若q>的，则对于任意的ax+a>a2+a-,

④对于任意的向量£>6，其中H=（0,0）,若%>%,则

其中正确的命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

a

12.（2017秋.河南郑州•高三郑州一中阶段练习）若非零向量2万的夹角为锐角。，且彳=cos。，则称万被5

b

同余已知方被*'同余”，则4_日在不上的投影是（）

13.（2022春・陕西榆林•高一榆林市第一中学校考期中）设2=（%,%）£=（［,4）,定义一种向量积：

a®b=（ax,%）区鱼，4）=（她，她）•已知而二。,；［，坂=，点尸（x,y）在y=sinx的图象上运动，

点。在y=的图象上运动，且满足丽=拓区而+3（其中。为坐标原点），则y=〃x）的最大值A及最

小正周期T分别为（）

A.2,7tB.2,4%

C.—,47rD.—,7i

14.（2023•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量2与B的夹角为6,定义Z㊉心辰ind+及。s，|.

已知向量£为单位向量，|@=应，卜-4=1,则2㊉5二（）

A.叵B.72C.®D.2A/3

22

15.（2022春・浙江金华・高一浙江金华第一中学校考期中）记min{x,y}=[*"L设Z方为平面内的非零

[x,x<y

向量，则（）

A.min｛忖+5#亍一同｝Wmin｛卜"同｝B.min^|«+fe|2j+fe2

C.min｛K+5„-同｝>min｛B"同｝D.min^|«+5|2,|^-5121<a2+b2

16.（2021.全国.高三专题练习）对于向量可（i=l,2,把能够使得卜|月4+...+|可取到最小值的点

P称为A（i=l，2,.”,w）的“平衡点”.如图，矩形A3CD的两条对角线相交于点。，延长BC至E,使得3C=CE,

联结AE,分别交3D、CD于尸,G两点.下列的结论中，正确的是（）

A.A、C的“平衡点”为0.

B.D、C、E的“平衡点”为。、E的中点.

C.A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一.

D.A、B、E、。的“平衡点”必为尸

二、多选题

17.（2022春・浙江•高一期中）如图所示，在平面上取定一点。和两个以点O为起点的不共线向量I，工，

称为平面上的一个仿射坐标系，记作{。：,号，向量前=最与有序数组（x,y）之间建立了一一对应关

系，有序数组（x,y）称为次7在伤射坐标系{。：£,号下的坐标，记作曲'=（x,y）.已知[,是夹角为。=与

的单位向量，不=。,2）,^=（2,-1）,则下列结论中正确的有（）

B.|tz|=V3

1一

C.a±bD.石在£方向上的投影向量为-

。sin(〃石

18.（2022春.河南.高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量定义新运算：a®b^.已知非

零向量而满足网＞3问且向量篙的夹角e若4®③刀和4G砺）都是整数，则正丽的值可

能是（）

A.2B-1C.3D.4

19.（2023•全国•高三专题练习）已知向量♦，区是平面a内的一组基向量，。为a内的定点，对于a内任

意一点P,当丽=痴+其时,则称有序实数对（X,y）为点P的广义坐标.若点A,3的广义坐标分别为（西,兀）,

（々,/），关于下列命题正确的是（）

A.线段42的中点的广义坐标为

B.A,8两点间的距离为-%『+（/%1

C.若向量函平行于向量赤，则占%=尤2%

D.若向量力垂直于向量砺，则占尤2+%%=2

20.（2022•江苏南京・统考模拟预测）设“4〃是大于零的实数，向量乙=（mcosa,msina）,1=（ncos尸,〃sin£）,

其中a,/?e[0,2万），定义向量3）2=（册cos^l■，而$出口而2=（Mcos，,册sing,记0=a-力，则（）

]_1_

A.（aY-（ay=a

1J_n

B.（a）^-（by=vmncos—

1__L__n

C.（ay-（by>4dmnsin2—

4

1_12_n

D.（。户+（W>4vmncos2—

4

21.（2022•浙江温州・高一永嘉中学统考竞赛）设0、A、5是平面上任意三点，定义向量的运算：

det（万，砺）=W•丽，其中两由向量函以点。为旋转中心逆时针旋转直角得到（若函为零向量，规定

两也是零向量）.对平面向量％、b,c，下列说法正确的是（）

A.det（a,石）=det®,。）

B.对任意XeR,det（Z+篇,5）=det（£,5）

一__det\a,c]det（c,fe）

c.若2、B为不共线向量，满足法+超=Z（x,yeR）,则工=一,y=—万f

det（a,。）det（a,B）

D.det（a,石）c+det伍,c）4+det（c,a）b=6

22.（2023春•湖北武汉•高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量式和A，定义

]。，=宗若平面向量苕而满足同纲>0,万与5的夹角。e0,：,且送B和人G都在集合

meZ,〃eZ1中.给出以下命题，其中一定正确的是（）

A.右根=1时，则10。=。0。=1

,_1

B.右根=2时，则益。〃=—

2

C.若根=3时，则小5的取值个数最多为7

2

D.若根=2014时，则少。5的取值个数最多为701"4L

2

23.（2023・全国•高三专题练习）定义平面向量的一种运算如下:对任意的两个向量：=（再,％）,%=（%，%），

11

令加油=（菁%-兀2%，%入2+%%），下面说法一定正确的是（）

A.对任意的XeR,有（砌。6=彳（006）

B.存在唯一确定的向量2使得对于任意向量£,都有混）。=京）：=：成立

C.若£与后垂直，贝IJ（温力与温阿）共线

D.若Z与石共线，则（温联与编（碱的模相等

三、填空题

24.（2023春•江苏泰州•高一靖江高级中学校考阶段练习）设向量&与石的夹角为凡定义万与B的“向量积”，

日xB是一个向量，它的模等于卜x5卜同|5卜苗6,若a=（1,6），B=（-石，-1）,贝巾义5卜.

25.（2018春•安徽芜湖•高一芜湖一中校考阶段练习）在平面斜坐标系尤Qy中，ZxOy=60°,平面上任一点p

关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若赤=肩+总（其中最分别为1,y轴方向相同的单位向量），

则p的坐标为（％y）,若P关于斜坐标系x0y的坐标为（2,-1）,则|而卜

26.（2019春・安徽芜湖•高一校联考期中）定义£*方=卫心，若）=（1,2）,石=（3,-2）,则与方向相反的

a-b

单位向量的坐标为.

27.（2022秋•湖南长沙•高三校考阶段练习）已知对任意平面向量荏=（x,y）,把漏绕其起点沿逆时针方向

旋转。角得至！J向量衣=（xcose-ysin（9,xsine+ycos6»）.如图所示,顶角NQ=120。的等腰三角形PQR的顶点P、

Q的坐标分别为尸。,0）、Q（3,g）,则顶点R的坐标为.

28.（2022春・北京海淀•高一校考期中）设平面中所有向量组成集合C,巨为C中的一个单位向量，定义

网司=-元+2（9短济则下列结论中正确的有（只需填写序号）.

①若沆、为eC,M=；

②若JteC,则尸（尸（元））=无；

③若日=（1,0）,羽=（O,l）,F（u）=v,则。有唯一解.

29.（2022春・江苏南通・高一海安市曲塘中学校考期中）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如

下研究成果：若函=（%,%）,砺=（%,%），则入西=；卜力-马力试用上述成果解决问题：已知A。」），

8（2,3）,C（4,5）,则S4ABe=-------------------------

30.（2022春・上海宝山・高一上海交大附中校考阶段练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2

种v变换和4种卬变换

v1：模变为原来的g倍，同时逆时针旋转90。；

v2：模变为原来的1■倍，同时顺时针旋转90。；

“：模变为原来的应倍，同时逆时针旋转45。；

吨：模变为原来的忘倍，同时顺时针旋转45。；

叼：模变为原来的0倍，同时逆时针旋转135。；

明：模变为原来的应倍，同时顺时针旋转135。.

记集合S={v15v2,“，暝，吗,叫},若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过n次抽取，依次将第i次抽取的

变换记为4«=。』,2,一〃），即可得到一个〃维有序变换序列，记为则以下判断中正确的

序号是.

①单位向量入（1.0）经过2022次v变换后所得向量一定与向量Z=（0,1）垂直；

②单位向量7=（1,0）经过2022次w变换后所得向量一定与向量a=（0.1）平行；

③单位向量7=（L0）经过变换后得到向量）=（-1,0）,则Gf中有且只有2个v变换；

④单位向量；=（L0）经过G7变换后不可能得到向量力=（1,1）；

⑤存在“，使得单位向量7=。,0）经过G“次变换后，得到2=（2022,2022）.

31.（2022春・湖南株洲•高一株洲二中校考阶段练习）设V是己知平面M上素有向量的集合，对于映射

f:V^V,aEV,记M的象为了（泊.若映射了：VfV满足：对所有次及任意实数尢〃都有

/（几万+〃5）=彳/（a）+〃/（5）,则/称为平面〃上的线性变换，现有下列命题：

①设了是平面M上的线性变换，a.b^V,则/①+5）=/（万）+/（5）；

②若。是平面M上的单位向量，对方eV,设/团）=日+乙则/是平面M上的线性变换;

③对之eV,设/0）=V,贝厅是平面M上的线性变换；

④设了是平面M上的线性变换，aeV,则对任意实数上均有f（新）=45）.

其中的真命题是（写出所有真命题的编号）.

32.（2021春•重庆南岸•高一重庆第二外国语学校校考阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算“※”，

记海4=£cosO+Bsin。，其中夕是非零向量。,彼的夹角，若q,e2均为单位向量，且e「e2=g,则向量eMe2

与耳※卜可的夹角的余弦值为.

33.（2021春•陕西宝鸡・高一统考期末）设5、Qv是平面内相交成120。角的两条数轴，1，可分别是与*轴，

y轴正方向同向的单位向量，若向量丽=则把有序数对（x,y）叫做而在坐标系xOv中的坐标.假

设加=（2,2）,则画的大小为.

34.（2018春・浙江台州•高一台州中学校考期中）已知向量2及向量序列：吊%,可,…,,，…满足如下条件：

|=2同=2吗N=1,S.a~-a~^=d2,〃eN*）,当1C9且氏eN*时,4-a1s的最大值为.

35.（2017春・北京东城•高二统考期末）已知平面向量2=（九/），平面向量石=（p,q）,（其中孙〃,p,qeZ）.

定义：a®b={mp-nq,mq+np）.若2=（1,2）,b=（2,1）,贝（区B二；

若Z丽=（5,0）,且同＜5,忖＜5,则",b=（写出一组满足此条件的2和B即可）.

36.（2014・安徽•高考真题）已知两个不相等的非零向量q.B.两组向量工「工”工；：.%：工：和］均

由2个）和3个3排列而成.记S=X］—工--+t・+x＞J,+&y5，S齿表示S所有可能取值中

的最小值.则下列命题的是（写出所有正确命题的编号）.

①S有5个不同的值.

②若3_亡则5=与H无关.

③若I”己则S—与w无关.

④若；＞4a,贝US=＞0.

⑤若问=2忖,$而„=8|万/，则［与己的夹角为:

37.（2021春.重庆沙坪坝.高一重庆南开中学校考阶段练习）定义：对于实数加和两个定点/、N,在某图

形上恰有〃个不同的点£1=1,2,3,…,〃)，使得而.两=机，称该图形满足“"度冏合”，若在边长为4的正

方形ABC。中，BC=2BM，DN=3NA，且该正方形满足“4度冏合”，则实数机的取值范围是.

38.(2022.全国•高三专题练习)定义两个向量组X=&，E，项,F=(/,£%)的运算

x.y=W.工+15^+05^，设［„为单位向量，向量组x=(占,工2,无3)J=(%，%，%)分别为£可信的

一个排列，则x-y的最小值为.

39.(2022•北京顺义•统考二模)向量集合5={&,=(元,y),x,yeR},对于任意£,3eS，以及任意之«。』，

都有痛+(l-2)BeS,则称集合S是“凸集”，现有四个命题：

②若S为“凸集”，则集合N={2*e5}也是“凸集”；

③若吊,&都是“凸集”，则AD儿也是“凸集”；

④若4,4都是“凸集”，且交集非空，则AC4也是“凸集，，.

其中，所有正确的命题的序号是.

四、解答题

40.(2022秋・河北沧州•高二校考开学考试)平面内一组基底砺,而及任一向量

OC,OC=xOA+yOB(x,y&R),若点C在直线AB上或在平行于A3的直线上，我们把直线A8以及与直线

A8平行的直线称为“等和线”，此时x+y为定值，请证明该结论.

41.(2022秋.上海嘉定.高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习)已知在平面直角坐标系中，。为坐标原

点，定义非零向量两'=(。,力的“相伴函数”为y=asinx+6cosx(xeR),向量的=(a,b)称为函数

y=asinx+6cos尤(xeR)的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S

⑴已知aeR,〃(x)=cos(x+a)+2cosx,若函数为集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围;

(2)已知点M(a,6)满足条件：a=3,0<bW百，若向量两■的“相伴函数”>=g(x)在x