2024-2025学年湖北省武汉某中学九年级上学期9月月考数学试题及答案

九年级（上）数学限时作业9.15

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.将一元二次方程3必一》-2=°化成一般形式后，常数项是-2,则二次项系数和一次项系数分别是（）

A.3,-2B.3,1C.3,-1D.3,0

2.抛物线丁=必与y=f2相同的性质是（）

A.开口向下B.对称轴是y轴C.有最低点D.对称轴是x轴

3.用配方法解方程f-4x+l=0,变形后的结果正确的是（）

A.（x-2『=3B.（x-2『=-3C.（x-2）2=5D.（x-2『=-5

4.抛物线y=2x2-3向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（）

A.y=2x2-4B.y=2（x+l『-3

C.y=2（x-l）2-3D.y=2x2-2

5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数

是157,设每个支干长出的小分支数目为x,根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.l+x+%2=i57B.x+x2=157

C.（1+X）2=157D.l+（l+x）2=157

6.知一元二次方程/+3尤+1=0的两根为4、X],则为々+玉+々的值是（）

A.-4B.-2C.2D.4

7.若关于X的一元二次方程左2必—（2左+1）%+1=0有两个实数根，则上的取值范围是（）

,1,1D.左之一」且左H0

A.k>——B.k>——C.k>—且左H0

4444

8.在同一平面直角坐标系中，一次函数丁=丘+匕和二次函数y=6（x+上7的大致图象是（)

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必

c/h

9.已知抛物线y=G2+法+（?（。〉0）的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点为（-1,0）.若关于x的一

元二次方程。x?+"x+c=p（p＜0）有整数根，则p的值有（）

A.1个B.2个C.3个D.5个

10.抛物线y=V_3x+2与直线y=x-1交于48两点，抛物线上只有三个点到直线y=x-l的距离为m,

则m的值是（）

A.—B.1C.D.收

24

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.抛物线丁=—（%—1）2+5的顶点坐标是.

12.若y=（m—2）x帆+1是关于尤的二次函数，则加=.

13.九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x

名学生，则列出的方程化为一般式为.

14.已知二次函数y+法+。自变量x与函数值j之间满足下列数量关系，则代数式a-b+c的值等

于.

X-3-2-10

y-9-3-1-3

15.二次函数丁=。必+法+4。。0）的部分图象如图所示，图象过点（-1,0）,对称轴为直线x=l.下列结

论：®2a+b=0；®9a+3b＜-c；③若点A（—3,%）、点点。（4,%）在该函数图象上，则

%＜为＜%；④若方程。（％+1）（%-3）=-3的两根为毛和%，且%＜%2，贝1」再＜-1,马＞3.其中一定正

确的结论有（填写序号）.

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16.已知抛物线y=炉—（机+2）%+5m-3在-1Vx<1的范围内能使y21恒成立，贝。根的取值范围为

三、解答题（共8题，共72分）

17.用指定方法解方程：

（I）%2_4x=8；（配方法）

（2）2x2+3x-l=0.（公式法）

18.已知二次函数丁=。必一5%+。的图象与无轴交于4（1,0）、3（4,0）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）当y=10时，求自变量x的值.

19.随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2009年底拥

有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.若该小区2009年底到2012年

底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？

20.已知二次函数y=（依-l）（x-3）的图象与无轴两个交点的横坐标均为整数，且左为负整数.

（2）若尸（七%）,。（-2,%）是抛物线上的两点，且%>为请画出函数图象，并结合函数图象直接写出实

数。的取值范围是.

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21.阅读下列材料：若关于x的一元二次方程。必+加;+。=0（4。0）的两个实数根分别为d、/，则

bc、

芭+%2=---'X]%=一•解决下面问题:

aa

已知关于x的一元二次方程4/+4〃％+〃2=4x有两个不等实数根4、%，

（1）求〃的取值范围;

22

（2）当“W0时，设加=—+一，试用含〃的代数式表示出相；

再x2

（3）在（2）的条件下，若机=4,求出〃的值.

22.小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m）,另外三边选用不同材料

建造.平行于墙的边的费用为20元/m,垂直于墙的边的费用为15元/m,设平行于墙的边长为xm.

IB

（1）设垂直于墙的一边长为ym,求y与尤之间的函数关系式；

（2）设菜园的面积为Sn?,求S与x的函数关系式，并求出当5=546时x的值；

（3）请问菜园的最大面积能达到600m2吗？如能，求出x的值；如不能，说明理由.

23.如图，△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°，。是3c的中点,E点在线段5。上运动，作等边QDEE.

（1）如图1,ODEE在5c的上方，且厂点恰好落在线段A5上，求——的值；

AF

（2）如图2,ODEE在5c的下方，X在CB延长线上，CE=EH,连接AF、FH,求证：

AF工FH；

（3）如图3,将QDEE绕D点旋转，连接BE,已知A3=2百,DE=2，直接写出AR+5E的

最小值为.

1

24.如图1,抛物线丁=一5左92+g+6机与x轴交于A、2两点（A在2左边），与丁轴正半轴交于C点,

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OA=-OC.

3

(2)如图2,N点在抛物线上，ZACN=2ZBAC,求N点的横坐标；

(3)如图3,P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于R点，过点的直线/分别交抛物线

于。、E两点，直线P。、PE分别交工轴于G、H两点,求证：FG-FH为定值,并求该定值.

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九年级(上)数学限时作业9.15

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.将一元二次方程3炉-x-2=°化成一般形式后，常数项是-2,则二次项系数和一次项系数分别是()

A.3,-2B.3,1C.3,-1D.3,0

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关

键.一元二次方程3V-x-2=0就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可.

【详解】解：；3x2—%—2=0是一般形式，常数项是—2,

二次项系数和一次项系数分别是3和-1,

故选：C.

2.抛物线丁=必与^二一V相同的性质是()

A.开口向下B.对称轴是y轴C.有最低点D.对称轴是x轴

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数y=ax2(aw0)的性质分析即可.

【详解】解：>0,

抛物线y=%2的开口向上，对称轴为y轴，有最低点；

V-1<0,

.♦•抛物线y=-d的开口向下，对称轴为y轴，有最高点.

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数丁=。M(0#0)的性质，是基础知识，需熟练掌握.抛物线y=(aw0)

是最简单二次函数形式.顶点是原点，对称轴是y轴，。>0时，开口向上；a<0时，开口向下.

3.用配方法解方程f-4x+l=0,变形后的结果正确的是()

A.(x-2)、3B.(X-2)2=-3C.(x-2)2=5D.(x-2)2=-5

【答案］A

【解析】

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【分析】此题考查了一元二次方程的配方法.把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结

果，即可作出判断.

【详解】解：f-4x+l=0,

x2-4x=-l，

配方得Y-4X+4=-1+4,即（x—2）2=3,

只有选项A符合题意；

故选：A.

4.抛物线y=2——3向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（）

A.y=2x2-4B.y=2（x+l）2-3

C.y=2（x-l）2-3D.y=2x2-2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图象的平移.根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案.

【详解】解：将抛物线y=2炉—3向左平移1个单位长度，

所得新抛物线的函数解析式为y=2（x+l）2-3,

故选：B.

5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数

是157,设每个支干长出的小分支数目为无，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.1+X+X2=157B.x+x2=157

C.（1+x）2=157D.l+（l+x）2=157

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.根据题意主干，支干和小分支的总数是157,列出方程即可.

【详解】解：每个支干长出尤个小分支，根据题意得：

1+x+X?=157,

故选：A.

6.知一元二次方程/+3彳+1=0的两根为为、％，则王马+七+马的值是（）

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A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于1的一元二次方程

苏+加；+。=0（叱0）的根与系数关系：x1+x2=--,%匹=£是解题的关键.根据一元二次方程根与

aa

系数的关系得到％l+%2=-3，%,％2=1，代入进行计算即可得到答案.

【详解】解：•.•一元二次方程£+3%+1=0的两根为不，/，

再+%=-3,xi-x2=l,

二.%入2+再+元2=1—3——2,

故选：B.

7.若关于X的一元二次方程左2k—（2左+1）%+1=0有两个实数根，则上的取值范围是（）

A.k>--B.k>--C.左>一工且左HOD.左》一,且左HO

4444

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程中二次项系数不为零及根的判别式建立不等式组求解即可.

左2wo

【详解】解：由题意得：〈「,、［2,，

［―（2左+1）］-4k2>0

解得：k>—且左HO.

4

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键，注意不要忽略

“一元二次方程二次项系数不为零”这一隐含条件.

8.在同一平面直角坐标系中，一次函数丁=履+。和二次函数y=6（x+左『的大致图象是（）

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【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数上和6进行分类讨论.分当左＞0,

6＞0时，当上＞0,人＜0时，当上＜0,〃＞o时，当左＜0,人＜o时，四种情况讨论即可.

【详解】解：对于一次函数丁=履+。和二次函数丁=。(％+左『的图象，

①当左＞0,6＞0时，一次函数丁=履+。的图象过第一、二、三象限，二次函数y=o(x+左『的图象开

口向上，对称轴在y轴左侧，没有选项符合；

②当上＞0,6＜0时，一次函数丁=丘+。的图象过第一、三、四象限，二次函数y=o(x+k)2的图象开

口向下，对称轴在y轴左侧，没有选项符合；

③当k＜0,6＞0时，一次函数丁=丘+。的图象过第一、二、四象限，二次函数,=〃%+左)2的图象

开口向上，对称轴在y轴右侧，选项B符合；

④当上＜0,人＜0时，一次函数丁=丘+。的图象过第二、三、四象限，二次函数y=o(x+k)2的图象

开口向下，对称轴在y轴右侧，没有选项符合；

故选：B.

9.已知抛物线y=。必+6x+c(a〉0)的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点为(-1,0).若关于x的一

元二次方程ax?+0x+C=p(p＜0)有整数根，则〃的值有()

A.1个B.2个C.3个D.5个

【答案】B

【解析】

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【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与X轴及常函数y=P（P<0）直线的交点横坐标与一元二次方程

根的关系.根据题意可知一元二次方程的根应为整数以2+笈+。="（°<0）,通过抛物线

、=以2+加；+或。〉0）的对称轴为直线》=1,与x轴的一个交点为（-1,0）.可以画出大致图象判断出直

线y=p（—4aWy<0）,观察图象当-4〃Vy<0时，抛物线始终与x轴相交于（-1,0）与（3,0）.故自变量

x的取值范围为-l<x<3.所以x可以取得整数0,1,2共3个.由于x=2与x=0关于对称轴直线x=l

对称，所以x=2与x=0对应一条平行于x轴的直线，，x=l时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直

线，从而确定>时，P的值应有2个.

【详解】解：：抛物线丁=0?+加；+（?（。〉0）的对称轴为直线％=1,

b

.・.——=1,解得。=—2”.

2a

又丁抛物线y=ax2+bx+c（a〉0）与无轴的一个交点为（-1,0）,

把（-1,0）代入y=ax2+Zzx+c得，0=〃+2〃+c,

解得：c=—3a.

y=ax2-lax-3a（a>0）.

对称轴h=l,最大值k=-4a.

如图所示，

顶点坐标为(L—4a),

令ax2-lax-3<7=0>

即V—2x—3=0，

解得％=-1或%=3.

・・・当a>0时，抛物线始终与x轴交于（-L0）与（3,0）,

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ax2+bx+c=p.

即常函数直线y=o,由“<o,

/.-4a<y<Q,

由图象得当-4aWy<。时，一1<%<3,其中x为整数时，x=Q,1,2.

一元二次方程ax'+bx+c-p(p>0)的整数解有3个.

又•♦•x=0与x=2关于直线x=l轴对称，

当x=1时，直线>=。恰好过抛物线顶点，

所以P值可以有2个.

故选：B.

10.抛物线y=x2-3x+2与直线y=尤-1交于42两点，抛物线上只有三个点到直线y=x-1的距离为m,

则m的值是()

A.—B.1C.D.72

24

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用，二元二次方程组，二元一次方程的根的判别式等知

识.如图当直线/与/'和直线A5平行，直线/与抛物线只有一个交点，且直线/与直线/'和直线A3的距离

相等，此时，直线/与直线/'和抛物线的交点满足条件.求出点E的坐标，证明DAHE是等腰直角三角形即

可解决问题.

【详解】解：如图当直线/与/'和直线A3平行，直线/与抛物线只有一个交点，且直线/与直线/'和直线A5

的距离相等，此时，直线/与直线/'和抛物线的交点满足条件.

E

VA^Y"

设直线/与抛物线的交点为E,作石H_LAB于H.

y=X2-3x+2=：[x=3

由〈解得〈)或1交2，

[y=x-i[y=(

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.•.A(1,0),8(3,2),

2

tanNBAE=----=1,

3-2

/.ZBAE=45°,

设直线/的解析式为y=%+。，

y=x+b

由「2oc，消去y得到炉-4x+2-0=0,

y=x-3x+2

由题意A=0,16-4(2-0)=0,

解得b=-2.

‘%=2

方程组的解为《八，

y=0

二•£(2,0),

VZHAE=45°,且A£=l,

m—HE=.

2

故选：A.

二、填空题(每小题3分，共18分)

11.抛物线丁=—(%—1)2+5的顶点坐标是.

【答案】(1,5)

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质.根据抛物线y=a(x-丸尸+女的顶点坐标为(九左)求解即可.

【详解】解：抛物线y=—(x—I?+5的顶点坐标是(1,5),

故答案为：(1,5).

12.若y=(机—2)xH+l是关于x的二次函数，则加=.

【答案】—2

【解析】

【分析】此题考查了二次函数的定义，形如y=/x+Ax+c(awO)的函数是二次函数.根据定义解答即

可，熟记定义是解此题的关键.

【详解】解：.••函数y=(m—2)万帆+1是二次函数，

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m—2于0

"\H=2，

解得：m=-2,

故答案为：-2.

13.九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x

名学生，则列出的方程化为一般式为.

【答案】X2-X-132=0

【解析】

【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程.设全班有工人.根据互赠卡片一张，则X人共赠卡片

—1）张，列方程即可.

【详解】解：根据题意得，

x（x-l）=132,即炉-x-132=o,

故答案为：X2-%-132=0.

14.已知二次函数y=。必+6x+c自变量x与函数值j之间满足下列数量关系，则代数式a-b+c的值等

于.

X-3-2-10

y-9-3-1-3

【答案】-1

【解析】

【分析】本题考查二次函数的性质.由表格可得x=-1时y=-1,据此求解即可.

【详解】解：=—1时y=—L

ci—b+c=—1.

故答案为：-1.

15.二次函数丁=依2+乐+C（。。0）的部分图象如图所示，图象过点（-1,0）,对称轴为直线x=l.下列结

论：®2a+b=0；®9a+3b<-c；③若点A（—3,%）、点B]—|,%]，点。（4,%）在该函数图象上，则

%<%<为；④若方程。（％+1）（%-3）=-3的两根为王和%，且玉<%2，贝|西<-1,彳2>3.其中一定正

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【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据抛物线的对称性，求得

图象也过点(3,0),据此可判断②错误；先求得(4,%)关于直线x=l的对称点为(-2,%),%<1时，y随

着x的增大而增大，据此可判断③错误；方程。(x+l)(x-3)=-3有两根，可看作直线>=-3与抛物线

y=a(x+l)(x-3)有两个交点，根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【详解】解：①由题意可知：对称轴x=l,

.一=1,

2a

:.2a+b=0,故①正确；

②图象过点(-1,0),对称轴为直线I=1,

・•.图象也过点(3,0),即当％=3时，y=0,

y=9a+3b+c=0,即9。+3/?=—。，故②错误；

③(4,%)关于直线x=1的对称点为(-2,%)，

由图可知：％<1时，y随着x的增大而增大，

2

由于-,

%<%<%，故③错误；

④设y=a(x+l)(x-3),y=-3,

由于图象可知：直线>=一3与抛物线y=a(x+l)(x-3)有两个交点，

方程a(x+1)(%-3)=-3的两根为X］和x2,

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:.x1<-1<3<X2,故④正确；

综上，正确的只有①④，

故答案为：①④.

16.已知抛物线y=Y—(机+2)x+5m-3在-1<xV1的范围内能使y21恒成立，贝。根的取值范围为

【答案】m>^-

4

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键.分三种情况：当

m+2«,,m+2«,,m+2«,

------21时，当-----V—1时，当—IV-------41时，讨论即可.

222

【详解】解：y=d—(m+2)x+5机—3的对称轴为直线工=嗖，开口向上，

m+2

①当-----21时，即加20时，

2

要使在—IVx<l的范围内能使y21恒成立，

只需x=l时的函数值大于等于1,即F—(加+2)+5m-321,

解得：加2?,

4

结合加20,得：771>—;

4

加+2

②当-----V—1时，即加W—4时，

2

要使在—IVx<l的范围内能使y21恒成立，

只需x=—1时的函数值大于等于1,BP(-l)2+(m+2)+5m-3>l,

解得："让，

结合机4-4,得无解；

m+2

③当一14------VI时，即-4<加<0时，

2

要使在—1<x<1的范围内能使y21恒成立，

只需了=等时的函数值大于等于1,即-(m+2)-^^+5m-3>b

化简得：m2-16m+20<0»

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解得：8-2VlT<m<8+2VlT-

结合一lvx<l,得无解；

综上，得加2—,

4

故答案为：m>1-.

三、解答题（共8题，共72分）

17.用指定方法解方程：

（1）X2-4X=8;（配方法）

⑵2Y+3x-1=0.（公式法）

【答案】（1）石=2+26，々=2—26；

0、—3+y/17—3—yfll

（2）X.=-----------，X,=------------

1424

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键.

（1）运用配方法即可解答.

（2）运用一元二次方程求根公式解答即可.

【小问1详解】

解：x2-4x=8>

配方得4+4=8+4,即（x-2『=12,

开方得x—2=±2百，

解得x=2土2A/3，

即％=2+2V,x2=2—2V3；

【小问2详解】

解:2d+31=0,

a=2,b=3,c=-1,

A=/一4。。=32-4x2x(-1)=17>0,

第11页/共25页

.-3±V17-3±V17

••x—--------二---------，

2x24

.-3+V17-3-V17

144

18.已知二次函数丁=。必—5x+c的图象与x轴交于A(1,O)、3(4,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)当y=10时，求自变量无的值.

【答案】(1)y=d—5x+4；

(2)当y=10时，自变量x的值为-1或6

【解析】

【分析】此题考查了二次函数与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练

掌握待定系数法是解本题的关键.

(1)将A与8坐标代入二次函数解析式求出。与c的值，即可确定出二次函数解析式；

(2)把y=10代入解析式解一元二次方程即可.

【小问1详解】

解：将4(1,0),5(4,0)代入解析式得：

a—5+c=0

16a—20+c=0

解得：a=1,b=4.

则抛物线解析式为y=必—5x+4；

【小问2详解】

解：当丁=10时，即/一5》+4=10，

解得：%=-1>尤2=6,

・・・当y=10时，自变量x的值为-1或6.

19.随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2009年底拥

有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.若该小区2009年底到2012年

底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？

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【答案】该小区到2012年底电动自行车将达到216辆

【解析】

【分析】设年平均增长率为x,根据增长率相同可以得到2020年的拥有量为125(1+%)辆，2021年的为

125(l+x『辆.

【详解】解：设2009年底到2011年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x,

根据题意得125(1+x『=180,

解得%=0.2=20%,%=—2.2(不符合题意，舍去)，

.\180x(1+20%)=216(辆)，

答：该小区到2012年底电动自行车将达到216辆.

【点睛】本题考查二次方程的实际应用，能够熟练通过增长率公式得到式子是解题关键.

20.已知二次函数y=(日-1)(%-3)的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且左为负整数.

(1)求函数解析式；

(2)若尸(a,2,%)是抛物线上的两点，且%＞%请画出函数图象，并结合函数图象直接写出实

数a的取值范围是.

【答案】(1)y=-(x+l)(x-3)；

(2)一2＜。＜4

【解析】

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数

与不等式的关系.

(1)令y=0,解关于x一元二次方程，求出二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标分别为3和,，然

k

后根据整数的整除性可确定负整数左值；

⑶把。(-2,%)代入抛物线的解析式即可求出％，求得点。关于对称轴的对称点为(4,-5),再利用

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%＞为即可求出a的取值范围.

【小问1详解】

解:令y=0,贝！］(履一1)(%-3)=0,

解得：%1=—,羽=3,

k

根据题意得工为整数，且左为负整数，

k

整数上=—1,

函数解析式为y=(—x—l)(x—3)=—(x+l)(x—3)；

【小问2详解】

解：：y=-(x+l)(x-3),

对称轴为直线x=1+3=1,

2

把点。(―2,%)代入y=—(x+l)(x—3)得当=-5,

则点。(-2,-5),

则点。关于对称轴的对称点为(4,-5),

故答案为：—2＜。＜4.

21.阅读下列材料：若关于x的一元二次方程。必+加；+。=0(4。0)的两个实数根分别为为、%,则

bc

再+%2=--'X\X2~~,解决下面问题：

一aa

已知关于X的一元二次方程4x2+4nx+/=4x有两个不等实数根为、%，

(1)求”的取值范围;

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22

（2）当〃wO时，设根=一十一，试用含〃的代数式表示出根;

£x2

（3）在（2）的条件下，若加=4,求出几的值.

【答案】（1）n<-

2

（3）n=—\/3—1

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别

式和根与系数的关系.

（1）把方程变形成一般形式，再根据有两个不等实数根列出不等式，即可求出”的范围；

（2）由一元二次方程写出%+%=f+1，再代入加=一+—=~"即可得答案；

xx

4xl尤2i2

（3）列出方程，解方程并检验即可得答案.

【小问1详解】

解：将4炉+4〃x+〃2=4x变形得：4x2+（4n-4）x+n2=0,

4x2+4nx+n2=4%有两个不等实数根，

/.A>0,即（4〃-4『-4x4/>0,

解得：

2

•・.〃的取值范围是

2

【小问2详解】

解：为、%是4x?+（4"—4）x+/=0的两个实数根,

1"

石+%=-〃+1，-X2=,

_22_2（玉+々）_2（-〃+1）_-8”+8

..772=I=-2=2

7171

玉X2%%2；

Z

【小问3详解】

解：由题意，得：加=迷炉=4,

n

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化简得：»+2〃—2=0,

解得二百-1或〃二-百-1，

经检验，〃=-1或几=——1是方程的解，

1J八

:“(一且〃w0,

2

n=$/3-1­

22.小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙(墙长24m),另外三边选用不同材料

建造.平行于墙的边的费用为20元/m,垂直于墙的边的费用为15元/m,设平行于墙的边长为xm.

蕖园

(1)设垂直于墙的一边长为ym,求y与尤之间的函数关系式；

(2)设菜园的面积为Sn?,求S与x的函数关系式，并求出当5=546时x的值；

(3)请问菜园的最大面积能达到600m2吗？如能，求出x的值；如不能，说明理由.

2

【答案】(1)y=—x+40；

3

2,

(2)S=一一%2+40%,当5=546时，%=21；

3

(3)菜园的最大面积不能达到GOOn?.

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题.

(1)根据“垂直于墙的长度=总费誉F费用-2”可得函数解析式；

垂直于墙的单价

(2)根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式；

(3)根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得.

【小问1详解】

解：根据题意知，:0》=_4+40,

15x23

故y与X之间的函数关系式为y=—gx+40；

【小问2详解】

2?

解：根据题意得，S=X(--X+40)=--X2+40X,

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2,

当5=576时，一一x2+40%=546,

3

解这个方程，得网=21,x2=39,

­,•x<24,

.,.当5=546时，%=21；

【小问3详解】

解：菜园的最大面积不能达到600m2，

2?

理由：VS=--X2+40x=-30）2+600,

2

a=—<0,

3

・・・当x<24时，S随x的增大而增大.

.,.当x=24时，S最大，此时S=576<600.

菜园的最大面积不能达到600m2.

23.如图，中，AB=AC,ZBAC=120°，。是5c的中点,E点在线段5。上运动，作等边QDEE.

（1）如图1,ODEE在5c的上方，且尸点恰好落在线段A3上，求——的值；

AF

（2）如图2,ODEE在3c的下方，〃在CB延长线上，CE=EH,连接4歹、FH,求证：

AF1FH；

（3）如图3,将QDEE绕D点旋转，连接BE,已知A3=2百,DE=2，直接写出AR+5E的

最小值为.

【答案】（1）3（2）见解析

⑶V21

【解析】

【分析】（1）连接AD,根据等腰三角形的“三线合一”得到NBA。=60。，ZADB=90°,进而得到

ZADF=30°,ZAFD=90°,从而有AR=▲AD,同理在中，由ZB=30°得到

2

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3

AB=2AD,从而5R=A5—AR=—AD,即可求解；

2

(2)连接AD,连接AH,取AH的中点0,连接。£0E,通过三角形的中位线定理结合等边三角形

的性质证明口4。尸4口。£少6人5),继而得到口。£4为等边三角形，再根据等边三角形的性质结合外角

定理得到Z0HF=ZOFH=-x60°=30°,即可求证；

2

(3)以5。为边在3。下方作等边口5。6,连接AD,AG,RG,可证明△3DE之△GDE,贝。

BEGF,故A/+BE=Ab+Gb2AG,当且仅当点AG,R三点共线时取得最小值且为AG,而

ZABG=90°,故由勾股定理可求AG,即可求出最小值.

【小问1详解】

解：连接AD,

；A3=AC,点。是5c的中点，

ZBAD=-ZBAC=-xl20°=60°,AD1BC,

22

ZADB=90°,

•/UDEF是等边三角形，

NEDF=60°,

ZADF=ZADB-NEDF=90°-60°=30°

ZAFD=180°-ZADF-ZBAD=180°-30°-60°=90°,

...在RliAOE中，AF=-AD,

2

NB=180°-ZBAD-ZADB=180°-60°-90°=30°,

...在RtZXABD中，AB=2AD,

13

BF=AB-AF=2AD——AD=-AD,

22

n口-AD

生=—3.

AFrAD

2

【小问2详解】

解：连接AD,

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•.•43=4。,/胡。=120。，点。为5c中点，

NABC=NC=30°,AD1BC,

：.AD^-AC,

2

连接AH,取AH的中点。，连接。F,OE,

CE=EH,

：.OE//AC,OE=-AC,

2

ZOEC=180。—NC=150。,OE=AD,

•/△F’DE是等边三角形，

FE=FD,ZFED=NFDE=ZEFD=60°,

•••ZADF=900+60°=150°,NOEF=360°-/DEC-ZFED=150°,

ZADF=ZOEF,

：.UADF^JOEF(SAS),

：.AF=O£ZL=N2,

ZOFA=ZEFD=60°,

.••口OE4为等边三角形，

OA=OF,

：.OA=OH=OF,

：.ZOHF=ZOFH=-x60°=30°,

2

ZAFH=NAFO+ZOFH=600+30°=90°,

AFLFH.

【小问3详解】

解：在RtZkABD中，ZABC=30°,AB=273

BD=AB-cosAABC=3,

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以3。为边在3。下方作等边□BOG,连接AD,AG,EG,

DB=DG=BG=3,NBDG=60°=NDBG,

•/QDEF为等边三角形，

：.DE=DF,ZEDF^6Q0,

：.ZBDG=NEDF,

/3=/4,

ABDE心GDF,

Z.BE=GF,

：.AF+BE=AF+GF>AG,

当且仅当点A,G,F三点共线时取得最小值且为AG,

'：ZABG=ZABC+NDBG,

ZABG=90°,

•*-AG=yjAB~+BG2=V21，

，AF+BE的最小值为V21.

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三

角形等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

24.如图1,抛物线'=-5x2+g+6m与x轴交于A、8两点（A在B左边），与丁轴正半轴交于C点，

OA=-OC.

3

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(2)如图2,N点在抛物线上,ZACN=2ZBAC,求N点的横坐标;

(3)如图3,尸是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交工轴于R点，过点。的直线/分别交抛物线

于。、E两点，直线P。、PE分别交x轴于G、H两点，求证：为定值，并求该定值.

11

【答案】(1)y——x9H—x+3

22

/、32

(2)——

23

⑶蔡

【解析】

2

【分析】（1）利用抛物线解析式得出C（0,6加），结合。4=3。。得出A（-4加,0）,代入抛物线解析式即可

求出相，即可得；

（2）过点C作NACN角