2023年高考数学二轮复习试题汇编：函数与方程

专题02函数与方程

一、核心先导

二、考点再现

【考点1】函数的零点

对于一般函数y=/(%),%我们把使/(x)=0成立的实数%叫做函数丁=/(%),%€。的零点.注

意函数的零点不是点，是一个数.

【考点2】函数的零点与方程的根之间的联系

函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0的实数根，也就是函数y=/(x)的图象与x轴的交点的横坐标

即方程/(X)=o有实数根o函数y=/(x)的图象与X轴有交点O函数y=/(x)有零点.

【考点3】零点存在定理

如果函数y=/(x)在区间切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(a>/3)<0,那么，函数

y=/(x)在区间(。,力内有零点，即存在ce(a,»,使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

【考点4］二分法

对于在区间上连续不断且<o的函数y=/(X),通过不断地把函数/(%)的零点所在的区间一

分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=0的近

似解就是求函数/(%)零点的近似值.

【考点5］高频考点技巧

①若连续不断的函数/(x)是定义域上的单调函数，则/(x)至多有一个零点；

②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数尸(X)=f(x)-g(x)有零点o方程F(x)=0有实数根o函数%=/(X)与%=g(x)的图象有交

点;

④函数F(x)=f(x)-a有零点o方程歹(x)=。有实数根o函数％=/(%)与乂=。的图象有交点

Oy=/(%)},其中。为常数.

三、解法解密

方法一：确定函数f(X)零点个数(方程r(x)=0的实根个数)的方法：

(1)判断二次函数/1(*)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)=0的判别式A>。，A=0,A

<0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断.

(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确

定，如三次函数的零点个数问题.

(3)若函数f(x)在［a,6］上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又/"(a)•『(6)<0,则y=

f(x)在区间(a,吩内有唯一零点.

方法二：导数研究函数图象交点及零点问题

利用导数来探讨函数y=/(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：

①构造函数h(x)=/(%)-g(x)；

②求导〃(x)；

③研究函数/z(x)的单调性和极值(必要时要研究函数图象端点的极限情况)；

④画出函数/z(x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等.式；

⑤解不等式得解.

探讨函数y=/(x)的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

四、考点解密

题型一:判断零点所在区间

例1.(1)、(新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末)

2

函数〃x)=ln(x+l)——的一个零点所在的区间是()

JC

A.(0,l)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

(2)、(2022•北京市西城外国语学校高一期中)函数/(无)=°-尤,零点所在的一个区间是()

X

A.(-2,-l)B.(0,l)C.(1,2)D.(2,+oo)

【变式训练1-11.(2019•浙江湖州高一期中)函数/(x)=ln%+2%—3的零点所在的区间是()

A.(0,l)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【变式训练1-2】、(2020•内蒙古•北方重工集团第五中学高一阶段练习(文))函数/(元)=：-log2X的零

点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+s)

题型二:零点个数的判断

例2.(1)、(2008•湖北•高考真题(文))方程2-，+/=3的实数解的个数为

(2)、(2022•四川省泸县第二中学模拟预测)函数〃x)=lnx+2x-6的零点的个数为()

A.OB.IC.2D.3

【变式训练2-1】.(2020•张家口市第一中学高一月考)函数/(x)=4-|lgx|的零点个数为()

e

A.OB.IC.2D.3

兀2+2xY<0

【变式训练2-2】.(2021•陕西•西安中学模拟预测)已知函数=j陋|；>o，贝U函数g(x)=/。-力-1

的零点个数为().

A.IB.2C.3D.4

题型三:根据零点个数，求解析式中参数的范围

例3.⑴、(2021•广东•东莞市东方明珠学校模拟预测)若关于无的方程2尤3_3/+a=0在区间[-2,2]上

仅有一个实根，则实数。的取值范围为()

A.[-4,0]B.(1,28]C.H，0)U(l,28]D.H，0)U(1,28)

Y+4%+〃jr1

(2)、(2022•山西•模拟预测)已知函数〃x)=,，’若函数>=/(无)-2有三个零点，则实数。

Inx+1,x>1,

的取值范围是()

A.(-S,2)B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-3,+S)

[nxx>]

【变式训练3-1】•(2020•湖南•雅礼中学模拟预测)已知定义在R上的函数/(%)=।2'|「若函数

产一斗片,i

Mx)=/(x)-依恰有2个零点，则实数a的取值范围是()

c.U{o}D.(-i,o)U{o}U^—

【变式训练3-2】、(2022•云南保山•模拟预测(理))已知函数/(刈=彳2/._人”x<8,若方程/。)=日

恰好有四个实根，则实数%的取值范围是()

题型四:根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系

3x

fer<0

例4.(1).(2022•吉林•东北师大附中模拟预测)已知函数/(尤)=.'二，g(%)=-x2+2x(其中e

[3x,x>0

是自然对数的底数)，若关于X的方程尸(x)=g(f(x))-〃z恰有三个不同的零点网,马，三，且玉<Z<彳3,则

33-%+3x,的最大值为()

34

A.1+In—B.1+In—C.3—In3D.3+In3

43

/、Ilogx|,x>0

(2).(2021•普宁市第二中学高三月考)已知函数/(x)=91若

/(占)=/(当)=/(毛)=/(%4)(占，了2，W,看互不相等)，则王+马+%+%的取值范围是()

a-H'°X[-?°_

C-H)D-H_

3H-1,(X<1)

【变式训练4-1】.(2021•云南红河•模拟预测(文))已知函数，(x)=2,16，、，若不<无2<%<%，

—x—4尤+,(x>1)

且/■(%)=/■(%)=/(毛)=/(%),则逮1的取值范围是()

A.(-8,-5)B,(5,8)C.(8,11)D.(-11,-8)

【变式训练4-2】.(2020•全国•高三零模(文))己知函数=若函数y=/(x)-a有3个不

[4%,%>0

同的零点石，九2，%(石<9<%3)，则玉+%+?的取值范围是.

题型五:根据零点所在区间，求解析式中参数的范围

例5.(1)、(2017•江苏南通•一模)已知函数〃x)=x+lnx-4的零点在区间(3Z+1)内，则正整数%的

值为.

(2)、(2021•江西上饶•二模(文))已知函数/⑺=ln尤-:无2+1,若/(x)-履>0恰有3个正整数解，

则上的取值范围为()

In27In37In27In37

-2--624'36

In27In37In27In37

-2__4^6-2__4^6

16x2-24x+9,x<1

【变式训练5-1】•（2022•新疆昌吉•二模

/（无）=祖（〃26/?）有三个不同的实根，则力的取值范围为.

【变式训练5-21•（2019•安徽•三模（文））己知函数/（x）=ln尤-（；尸+。有唯一的零点看,且x°e（2,3）,

则实数。的取值范围是

A.（--ln3,--ln2）B.（--In3,--ln2）

4234

C.(―+In2,—+In3)D.(—+In2,—+In3)

题型六:复合函数的零点问题（自我嵌套）

例6.（1）、（2021•吉林长春外国语学校（理））已知函数/（无卜]：?、'"'。若关于x的方程/[/（x）]=0

log2>0

有且只有一个实数根，则实数”的取值范围是（）

A.（FO）B.（f0）U（0,l）

C.（0,1）D.（O,l）U（l,+®）

（2）.（2022•全国高三专题练习）设aeR,函数=若函数y=打〃力]恰有4个零点,

—X+ax,x<0

则实数。的值为.

、fx+l,x<0,,

【变式训练6-1】•（2022•全国高三专题练习（理））已知函数।八则函数y=/r[〃x）]的所

log2x,x>0

有零点之和为.

]nx——x〉0

【变式训练6-2】、（2022•湖南•长郡中学模拟预测）已知函数〃x）=无’，则函数y=/U•（元）+1]

x2+2x,x<0

的零点个数是O

A.2B.3C.4D.5

题型七:复合函数的零点问题（与二次函数嵌套）

例7.⑴、(2022•陕西•铜川市耀州中学模拟预测(文))设函数〃x)=:+1'”；，若关于x的方程

|log4x|,x>0

[〃x)T-(a+2)〃x)+3=。恰好有六个不同的实数解，则实数。的取值范围为()

A.(-2A/3-2,2^-2)B,273-2,1

C.—,+co^D.(2^[3—2,+co)

(2)、(2021•江西省乐平中学高一开学考试)已知函数/(尤卜(“:匕""：。'的值域为R,且若关

[-X+l,x<0

于X的方程/(“_(租+2)〃力+2租=0有三个不同的实数根，则机的取值范围为()

A.(-℃,1)B.(-a),e)C.[0,1]D.[0,e]

【变式训练7-1】、(2021•吉林省实验中学模拟预测(文))已知函数=则关于x

的函数y=4/⑺-13〃x)+9的零点的个数为()

A.8B.7C.5D.2

ln(|x|+l),x<0

【变式训练7-2】.(2021•黑龙江鹤岗一中(理))已知函数/(力=%,若方程

--,x>0

r(X)+2〃Z"(X)+M_I=O恰有4个不同的实数根，则实数加的取值范围是()

A.(-2,-l)B.(0,2)

题型八:高考压轴真题训练

例8.⑴、(2007•湖北•高考真题)关于x的方程(犬-1丫-/T+左=o,给出下列四个命题:

①存在实数左,使得方程恰有2个不同的实根;

②存在实数3使得方程恰有4个不同的实根;

③存在实数左，使得方程恰有5个不同的实根;

④存在实数3使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是()

A.OB.IC.2D.3

(2)、(2019•江苏•高考真题)设”x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，Ax)的周期为4,g(无)的周期

k(x+2),0<x<l

为2,且是奇函数.当尤e(0,2]时，f(x)=6(1)2,g(x)=_j_]<*2，其中左>。•若在区间(。⑼

,25》一

上，关于x的方程/(x)=g(x)有8个不同的实数根，则上的取值范围是.

e"%<0

【变式训练8-1】•(2018•全国•高考真题(理))已知函数/(无)=,'-；g(x)=f(x)+x+a.若g(x)

Inx,x>0,

存在2个零点，则。的取值范围是

A.[-1,0)B.[0,+oo)C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【变式训练8-2】.(2021•北京•高考真题)己知函数/(x)=|lgx|-h-2,给出下列四个结论：

①若左=0,/⑺恰有2个零点；

②存在负数左，使得Ax)恰有1个零点；

③存在负数3使得〃x)恰有3个零点；

④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

五、分层训练

A组基础巩固

1.(2022•陕西•咸阳市高新一中高一期中)函数/(x)=尤?+e，-2的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.(2022•重庆八中高一期末)/(x)=log2X+x-7的零点所在区间为()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

3.(2022•广东•肇庆市外国语学校模拟预测)已知函数〃无)满足〃龙+1)=/(%-1),当xe[0,2)时，

/(X)=X3-1X2-2X,则在[0,8]上的零点个数为。

A.4B.6C.8D.9

4.(2022•黑龙江•佳木斯一中三模(理))已知函数〃x)=e2E-e-3e，sin(x-l),则函数y=的所有

零点之和为()

A.OB.IC.2D.3

5.（2022•天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知定义在R上的奇函数恒有/（x-1）=/（%+1）,

当xe[0,l）时，〃到=”1,已知此，得,-2），则函数g（x）=〃x）-履-1在（-L6）上的零点个数为（）

NilD

A.4个B.5个C.3个或4个D.4个或5个

,.Ie”+4〃，x>0

6.（2021•河南•罗山县教学研究室一模（理））已知函数/zx=/八在定义域上单调递增，

2-log/z（x+l）,x<0

且关于％的方程“无）=%+2恰有一个实数根，则实数〃的取值范围为（）

,1八111八

A.—>1B.~f~C.一，1D.(0,1)

[4)[4e\[eJ

[l,x=2

7.(2019•安徽•安庆一中模拟预测(理))设函数/(%)=，।修।若函数

\loga\x-2\+l,x^2,a>l

8（尤）=/2（%）+歹（%）+。有三个零点玉,%2，X3，贝|士工2+工2工3+石工3=（）

A.12B.11C.6D.3

8.（2020•内蒙古•鄂尔多斯市第一中学一模（文））函数=十‘2"“"°’若存在实数加，

''[aex,Q<x<2

使得方程=有三个相异实根，则实数。的范围是（）

A.5，+°0卜.0,5C.（-<»,2]D.gaj

9.（2016•辽宁鞍山•一模（文））设函数/（无）=I-"+'j"。，若互不相等的实数4，巧，X3满足

13x+4,x<0

/（%）=/（%2）=/（W），则石+%2+%3的取值范围是（）

2026

A.T5TB.

10.（2022•云南师大附中模拟预测（理））已知函数/a）=sinx+acosx（Q>0）的最大值为2,若方程=b

在区间（0,等

内有三个实数根%,%2，％3，且玉<々<%3，则石+2工2+%3等于（）

.8兀n107125兀

A.—B.---C.4兀D.---

336

11.（2022•全国•模拟预测）已知函数〃x）=-cosx,尸（x）是〃x）的导函数，则方程园必」=0在包+⑹

x8

内实数根的个数是一

sin7tx,xe[0,2]

12.(2022•四川•成都七中三模(文))已知函数〃x)=1/、/、，则函数y=/(x)—ln(x-l)

-/(x-2),xe(2,+a))

的零点个数是个.

x2-2x,x>0

13.(2021•陕西商洛•模拟预测(理))函数/")=门丫的零点个数为_________.

PH。

14.(2021•全国•模拟预测(文))方程xe'Tx|-l=O的实数根的个数为.

2X-b,x<0,

15.(2022•北京昌平•二模)若函数/(x)=厂有且仅有两个零点，则实数人的一个取值为_______.

yjx,x>0

X.c"+nX>—2

16.(2020•云南文山•模拟预测(理))己知函数/(©=：,「一二(e为自然对数的底数)，若Ax)

Jn(尤+4),尤<-2

有三个零点，则实数。的取值范围为.

/、fllnx|,0<x<2

17.(2022•内蒙古•包钢一中一模(文))设小)=，〃4_尤)2Vx<4若方程'=有四个不相等的实根

%1=1,2,3,4),且玉<%<三<》4，则(%+/)2+考的取值范围为.

18.(2021•江西•新余市第一中学模拟预测(文))已知定义在R上的奇函数/⑺，满足/(x+2)=-/(x),且

当尤e［0,l］时，/(x)=x2+x+sinx,若方程f(x)=机("?>0)在区间［-4,4］上有四个不同的根占,々,马七，则

xl+x2+x3+x4的值为.

B组能力提升

|log2(x-2)|,2<x<4

19.(2022•山西•一模(文))设函数/(%)=।2，若有四个实数根巧、々、鼻、

(x-5),x>4

X"’且士气<三气，则支节回+朋的取值范围是。

20.(2022•河南•模拟预测(理))已知函数/(X)为定义在R上的单调函数，且/(“X)-2,-2x)=10.若

函数一1；。'有3个零点，则.的取值范围为()

A.(2,3]B.(-1,3]

C.(3,4]D.(-1,4]

21.(2022•宁夏六盘山高级中学二模(理))已知a>0,函数f(x)=21n(办)-x,若函数人*片[”》))-X

恰有两个零点，则实数。的取值范围是()

A.1J+JB.(e,+co)D.[e,+8)

,、llnx|(x>0)

22.(2021•吉林省实验中学模拟预测(文))已知函数〃到=1二2：3武:<0)，则关于x的函数

y="2(x)-13〃x)+9的零点的个数为()

A.8B.7C.5D.2

23.(2021•甘肃白银•模拟预测(理))已知函数/'(%)=<尹+8>°),若函数g(x)=〃/(x)-a)-2,

2x2+4x+2(x<0)

则下列结论正确的是()

A.若g(x)没有零点,则％V0

B.当相=2时，g(x)恰有1个零点

C.当g(x)恰有2个零点时，加的取值范围为(0,1]

D.当g(x)恰有3个零点时，加的取值范围为(1,3]U{4}

24.(2022•山东省实验中学模拟预测)(多选题)已知函数/(无)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，

3X-X2,0<X<2

/(x)=<m(x-2)”，那么函数g(x)=/(X>-2在定义域内的零点个数可能是()

A.2B.4C.6D.8

25.(2020•全国•模拟预测)(多选题)己知函数了⑺是定义在R上的奇函数，当尤<0时，/(%)=ex(x+l),

则下列说法正确的是()

A.当x>0时，/(x)=e'(l-x)

B.函数〃尤)有2个零点

c.y(x)>o的解集为(-i,o)u(i,y)

D.VX],xfR,都有占

26.（2022•江苏南京•模拟预测）（多选题）已知函数/⑺：；'函数y=/（x）-0有四个不同

的零点为，巧，x3,14，且%1<%2<兀3<%4，则（）

A.。的取值范围是（0,1）B.々-％的取值范围是（0」）

2~+2电0

C.x3+x4=4D.-----------=2

x3+x4

27.（2022•福建三明•模拟预测）已知函数/（x）=xlnx+a（l-x）+x在区间（1,+s）内没有零点，则实数

a的取值可以为（）

A.-IB.2C.3D.4

|2%_2Ix<3

28.（2022•湖北•丹江口市第一中学模拟预测）已知函数〃x）=।，卜一，设函数

、一无~+8尤-12,尤>3

g（x）=[/（x）]2-（2/+l）/（x）+r+t,则下列说法正确的是（）

A.若g（x）有4个零点，贝|3Wt<4

B.存在实数t,使得g（x）有5个零点

C.当g（X）有6个零点时.记零点分别为占,4,彳3，匕，%，毛，且无1<X2<W<X4<X3〈尤6，贝U

2%+2均+2g+2%=8

D.对任意/<0,g（x）恒有