平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第06讲平面向量中的范围与最值问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（2类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识

点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。

基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围

的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前

两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。

本讲内容难度较大，需要综合学习。

知识点1模长的范围及最值

,核心知识点［知识点2夹角的范围及最值

考点1模长的范围及最值问题

核心考点考点2夹角的范围及最值问题

知识讲解

1.模长的范围及最值

与向量的模有关的问题，一般都会用到a2=|«|2,结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。

2.夹角的范围及最值

类别几何表示坐标表示

模\a\=y[a^a

abxix2+yiy2

夹角cos0=--cos0—,=­/

同网J%?+式,Jxl~\~yi

结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。

考点一、模长的范围及最值问题

典例引领

1.（浙江•高考真题）已知行，B是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量己满足0-I＞（B-3）=O,则同

的最大值是

Ly[2

A.1B.2C.D._

、2

2.（湖南•高考真题）已知£范是单位向量，7B=o.若向量）满足卜-&-可=1,则同的取值范围是（）

A.[V2-1„V2+1]B.[V2-l„V2+2]

C.[1„V2+1]D.[l„V2+2]

3.（四川•高考真题）已知正三角形NBC的边长为26，平面/BC内的动点尸,M满足|万|=1,PM^MC，

43D49037+6月r37+2"

-----D.—C.----------------D.------------------

4444

即时检测

L（2024•全国•模拟预测）已知泊为单位向量，且8-5司=7,贝||2”引+归-2目的最小值为（）

A.2B.2gC.4D.6

2.Q3-24高二上•四川•阶段练习）己知平面向量力3满足同=躯=2方=1,2\c^=b-c,则|3-同气曲-可2

的最小值是.

3.（2024•吉林长春•模拟预测）已知向量国B为单位向量，且7%=-；,向量日与1+33共线，则仃+口

的最小值为.

4.（2024・上海长宁二模）已知平面向量£,科工满足：同=问=丽,F|=2,若仅一可•仅询=0,则*可的

最小值为.

5.（23-24高三上•重庆沙坪坝,阶段练习）已知同=百，同=1,a-b=O>|c+a|+|c-a|=4,

d12-34b-d+3=0>则讳-@的最大值为（）

A2721..「4V21,。31

A.-----F1bR.4C.-----FZU.—

333

_-1-jr

6.（21-22fWj—^下・浙江•阶段练习）已知|矶=|6]=|3|=1,ci,b=—,（a,c）+（b9c）=—.若私〃wR,则

I机万一〃BI+1加|+1〃3—万|的最小值为（）

A.0B.—C.1D.V3

2

考点二、夹角的范围及最值问题

典例引领

1.（2024•广东江门•二模）设向量刀=（1,尤）,彷=（2,x）,则cos〈H5,巫〉的最小值为.

2.（2022•上海奉贤,一模）设平面上的向量aB,只歹满足关系）=/-只在=底-或"吐2）,又设。与B的模均

为1且互相垂直，则无与歹的夹角取值范围为.

3.（22-23高三上•江西•阶段练习）已知平面向量£=万5,b=OB，c=OC,满足4花•衣，

4OS-CS=l-|dc|2,则向量14g与工-25所成夹角的最大值是（）

71712兀5兀

A.-B.-C.—D.——

6336

1.（2024・全国•模拟预测）已知非零向量Z与3的夹角为锐角，）为B在"方向上的投影向量，且EH句=2,

则3+"与3的夹角的最大值是.

2.（21-22高三上•浙江温州,期末）已知平面向量2,1满足卜|=卜+5=1,a-b=-^,向量万满足

p=（2-A）a+Ab,当方与7-2的夹角余弦值取得最小值时，实数2的值为.

3.（2021•浙江宁波•模拟预测）已知Z花是空间单位向量，a-b=Q，若空间向量工满足：

c-a=l,c-fe=2,|c|=Vi0,则归+5+[=,对于任意x/eR,向量工与向量/+胃所成角的最小值

为

『I好题冲关

能力提

一、单选题

1.（2023•江西九江•一模）已知蔡、［为单位向量，则向量碗+2）与［夹角的最大值为（）

2.（2023・北京•模拟预测）平面向量入B满足口=3利，且归-4=4,则［与1/夹角的正弦值的最大值为

（）

12

A.—B.-C-D

432吐3

1-*—*|1—»11-»i4

3.（2023•安徽安庆•二模）已知非零向量a,6的夹角为凡a+6=2,,且卜6卜5,则夹角。的最小值为

()

兀一71兀71

A.—B.—C.-D.

6432

4.2024•安徽六安•模拟预测）已知平面向量2,b，2满足同=1,可=百，a-b=~,^a-c,b-c）=30°,

则同的最大值等于（）

A.2A/7B.V7c.2GD.373

-TT_

5.（2024•全国•模拟预测）已知心B为非零向量，且|叫=出|=«—>0）,(a,b)=—,若|2+彷］的最小值为

6，则/+产的值为（).

917

A.-B.-C.4D.

24T

6.（2021•全国•模拟预测）已知向量Z，B满足。+4=3,2%=0,若c—4a+(1—A)Z>(AGR),c,ci=c,b,

则4的最大值为（）

13

A.3B.2C.-D.

2

7.Q021,浙江•模拟预测）已知非零平面向量b，1满足问=2邛-：=1,若£与书的夹角为:，则。-工

的最小值为（）

V3

A.V3-1B.V3C.V3+1D.

~2

8.（2021•全国•模拟预测）设而勺，向=6,且「工。若向量［满足：二/二21办，贝IJ国的最大值是

（）

A.5B.6C.7D.8

二、填空题

9.（2023•安徽宣城,二模）已知向量满足词=2同=2,对任意的2>0,*回的最小值为⑸则£与石

的夹角为.

10.（2023•河北,模拟预测）已知平面向量，石满足卜-,=1且,当向量与向量33-彼的夹角最大

时，向量B的模为.

11.（2023・上海闵行•二模）已知单位向量若对任意实数x,同一可之日恒成立，则向量①B的夹角

的最小值为.

12.2024•河北沧州・模拟预测汨知单位向量心向量加与日不共线，且卜-现=系，则同的最大值为.

13.（2023•上海杨浦•二模）已知非零平面向量3、八己满足同=5,2同=同，且0-叶色-7）=0,则网

的最小值是

14.（22-23高一下,福建福州，期中）已知平面向量Z，b，且满足3石=|何=旧|=2,若"为平面单位向量，

则,@+鼠。|的最大值______

15.（2023•贵州铜仁•模拟预测）已知向量心b,己满足@+5+?=6，（a-b）\a-c）=0,\b-c\=3,贝”

同+回+同的最大值是.

16.（2024•全国,模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量入B满足同+|同=6,若3在B方向上的投影与B

在］方向上的投影之和等于,行丫，则。，日夹角的余弦值的最小值为.

17.（21-22高三上•浙江嘉兴•期末）已知非零平面向量万，b，3满足同=4,且伍=若

TTTT

汗与B的夹角为。，且,则0的模取值范围是.

18.（23-24高三上,天津宁河•期末）在平行四边形A8CD中，ZABC=60。,£是CD的中点，AF=2FE<

若设互3=2,数=几则而可用Z,B表示为________；若△">£的面积为心,则麻|的最小值

211

为.

19.（2020•浙江温州•三模）已知向量£,办满足g=3,旧|=1,若存在不同的实数4,4（44*0），使得

录=痛+3痛,且6-£）.运-司=0（/=1,2）,则铲可的取值范围是

20.（2021•浙江金华・模拟预测）已知平面向量Z,而满