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文档简介

福建省泉州市永春县永春第一中学2024年高三3月月考数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.中国古典乐器一般按“八音”分类.这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最先见于《周礼·春官·大师》,分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”,则含有打击乐器的概率为()A. B. C. D.2.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”.如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦至少有2个阳爻的概率是()A. B. C. D.3.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位4.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则6.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如:四叶草曲线就是其中一种,其方程为.给出下列四个结论:①曲线有四条对称轴;②曲线上的点到原点的最大距离为;③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为;④四叶草面积小于.其中,所有正确结论的序号是()A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=A.2 B.2 C.2338.已知抛物线的焦点为,为抛物线上一点,,当周长最小时,所在直线的斜率为()A. B. C. D.9.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}10.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()A.年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加11.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则;其中真命题的个数为()A. B. C. D.12.已知全集,函数的定义域为,集合,则下列结论正确的是A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为__________.14.已知集合,,则____________.15.如图,在△ABC中,E为边AC上一点,且,P为BE上一点,且满足,则的最小值为______.16.设函数,,其中.若存在唯一的整数使得,则实数的取值范围是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到曲线,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)曲线上是否存在不同的两点,(以上两点坐标均为极坐标,,),使点、到的距离都为3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)设抛物线过点.(1)求抛物线C的方程;(2)F是抛物线C的焦点,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若,求的值.19.(12分)已知等差数列an,和等比数列b(I)求数列{an}(II)求数列n2an⋅a20.(12分)已知六面体如图所示,平面,,,,,,是棱上的点,且满足.(1)求证:直线平面;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为().(1)求抛物线C的极坐标方程;(2)若抛物线C与直线l交于A,B两点,求的值.22.(10分)在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面积.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数,根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有种取法;“两音”中含有打击乐器的取法共有种取法;所求概率.故选:.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.2、C【解析】

利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种;“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻(即6个全部是阴爻)的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选:C【点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.3、D【解析】

根据函数图像得到函数的一个解析式为,再根据平移法则得到答案.【详解】设函数解析式为,根据图像:,,故,即,,,取,得到,函数向右平移个单位得到.故选:.【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式,三角函数平移,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.4、C【解析】

根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围,再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分条件,故选C.【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查指数,对数不等式的解法,是基础题.5、D【解析】试题分析:,,故选D.考点:点线面的位置关系.6、C【解析】

①利用之间的代换判断出对称轴的条数;②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值;③将面积转化为的关系式,然后根据基本不等式求解出最大值;④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系,从而判断出面积是否小于.【详解】①:当变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;当变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;当变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;当变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;综上可知:有四条对称轴,故正确;②:因为,所以,所以,所以,取等号时,所以最大距离为,故错误;③:设任意一点,所以围成的矩形面积为,因为,所以,所以,取等号时,所以围成矩形面积的最大值为,故正确;④:由②可知,所以四叶草包含在圆的内部,因为圆的面积为:,所以四叶草的面积小于,故正确.故选:C.【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用,其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用,难度较难.分析方程所表示曲线的对称性,可通过替换方程中去分析证明.7、C【解析】

计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8、A【解析】

本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上,计算点P的坐标,计算斜率,即可.【详解】结合题意,绘制图像要计算三角形PAF周长最小值,即计算PA+PF最小值,结合抛物线性质可知,PF=PN,所以,故当点P运动到M点处,三角形周长最小,故此时M的坐标为,所以斜率为,故选A.【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质,难度中等.9、C【解析】

根据集合的并集、补集的概念,可得结果.【详解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故选:C.【点睛】本题考查的是集合并集,补集的概念,属基础题.10、C【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知,所以,从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较,故A、B、D选项错误;由堆积图可知,从年至年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最多的是口罩,C选项正确.故选:C.【点睛】本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.11、C【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面,那么另一条也垂直于这个平面知①正确;当直线平行于平面与平面的交线时也有,,故②错误;若,则垂直平面内以及与平面平行的所有直线,故③正确;若,则存在直线且,因为,所以,从而,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系,里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理,是一道基础题.12、A【解析】

求函数定义域得集合M,N后,再判断.【详解】由题意,,∴.故选A.【点睛】本题考查集合的运算,解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式,集合是函数的定义域,还是函数的值域,是不等式的解集还是曲线上的点集,都由代表元决定.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

基本事件总数,抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种,由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率.【详解】从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,基本事件总数,抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种,分别为:,,,,,,,,,,则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.故答案为:【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力,求解时注意辨别概率的模型.14、【解析】

由于,,则.15、【解析】试题分析:根据题意有,因为三点共线,所以有,从而有,所以的最小值是.考点:向量的运算,基本不等式.【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题,属于中档题目,在解题的过程中,关键步骤在于对题中条件的转化,根据三点共线,结合向量的性质可知,从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值,求分式形式和的最值的问题,两式乘积,最后应用基本不等式求得结果,最后再加,得出最后的答案.16、【解析】

根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.【详解】解:函数,且画出的图象如下:因为,且存在唯一的整数使得,故与在时无交点,,得;又,过定点又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以,存在唯一的整数使得所以.根据图像可知,当时,恒成立.综上所述,存在唯一的整数使得,此时故答案为:【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点右边的整数点中为满足条件的唯一整数,再数形结合列出时的不等式求的范围.属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)存在,【解析】

(1)先求得曲线的普通方程,利用伸缩变换的知识求得曲线的直角坐标方程,再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式,求得直线的直角坐标方程.(2)求得曲线的圆心和半径,计算出圆心到直线的距离,结合图像判断出存在符合题意,并求得的值.【详解】(1)曲线的普通方程为,纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线的直角坐标方程为,其极坐标方程为,直线的直角坐标方程为.(2)曲线是以为圆心,为半径的圆,圆心到直线的距离.∴由图像可知,存在这样的点,,则,且点到直线的距离,∴,∴.【点睛】本小题主要考查坐标变换,考查直线和圆的位置关系,考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化,考查参数方程化为普通方程,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.18、(1)(2)【解析】

(1)代入计算即可.(2)设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解:(1)因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为(2)由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,,.因为,所以,联立,化简得,所以,,所以,,解得,所以.【点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.19、(I)an=2n-1,bn=【解析】

(I)直接利用等差数列,等比数列公式联立方程计算得到答案.(II)n2【详解】(I)a1=b解得d=2q=3,故an=2n-1(II)n=14+【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,裂项求和,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20、(1)证明见解析(2)【解析】

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