三角形的计算与证明-2023年中考数学大题专练（原卷版）

专题07三角形的计算与证明

方法揭秘

考向一、全等三角形的性质与判定

考向二、等腰三角形与等边三角形

考向三、直角三角形与勾股定理

考向四、几何基本作图

考向五、相似三角形

考向六、三角形综合问题

精选江苏近3年真题20道

【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率

1.全等三角形的性质与判定

（1）全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等；

全等三角形的周长相等，面积相等；

全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等.

（2）全等三角形的判定定理：

①边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

②边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；

③角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

④角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；

⑤对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对

应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

（3）判定两个三角形全等的思路

［找夹角+SAS

①已知两边‘找直角HL

I找第三边sss

,一边为角的对边f找另一角fAAS

［'找夹角的另一边fSAS

②改一边'一角—边为角的邻边找夹角的另一角FASA

找边的对角fAAS

俄夹边—ASA

③已知两角［找其中一角的对边―AAS

（4）全等三角形中常见的辅助线：

①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律.

②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证

明.

2.等腰三角形与等边三角形

(1)等腰三角形的性质：

性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角).

推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底

边上的高重合.

(2)等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简称：等角对等边】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法.

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线;

④判定定理在同一个三角形中才能适用.

(3)等边三角形的性质

①等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.

②等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线

是对称轴.

(4)等边三角形的判定

①由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形.

②)判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三

个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°,则用判定定理2来证明.

4.直角三角形与勾股定理

(1)定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

(2)性质：①直角三角形•两锐角互余；

②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么•它所对的直角边等于斜边的一半；

③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

(3)判定：①两个内角互余的三角形是直角三角形；

②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

(4)勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2.

(5)勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

5.相似三角形性质与判定

(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.

(2)性质:

①相似三角形的对应角相等；

②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；

③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

(3)判定：

①有两角对应相等，两三角形相似；

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

③三边对应成比例，两三角形相似；

④两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

(4)相似基本模型:

C

【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质

考向一、全培三角形的帆质易利是

1.(2022・江苏盐城•盐城市第四中学(盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学)校考模拟预测)如图，已

知点8,E,C,厂在一条直线上，AB=DF,AC=DE,ZA=ZD.

(1)求证NC〃。后

⑵若B尸=18,EC=6,求3c的长.

2.(2021•江苏常州・常州实验初中校考二模)如图，点。、E、F、3在同一直线上，点/、。在异侧,

⑴求证：AB=CD；

(2)若/B=CF,/2=40。，求的度数.

3.（2022•江苏南通・统考二模）在①DE=3C,②NC=NE,③这三个条件中选择其中一个，补充

在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，AC平分/BAE,。是/C上的一点，AB=AD.若,求证：/ADE=NABC.

4.（2022•江苏苏州•统考模拟预测）如图，已知/B=CD,AB//CD,E、歹是/C上两点，且4F=CE.

（1）说明：4ABE色ACDF；

(2)连接8C,若NC/7D=100。，NBCE=3Q°,求/CAB的度数.

5.（2019•江苏徐州•统考三模）在A/BC中，乙4cB=2/8,如图①，当/C=90。，为NR4c的平分线

时，在48上截取连接易证/3=ZC+CD.

图①图②图③

（1）如图②，当/CH90。，4D为A48C的角平分线时，线段AS,AC,CD之间又有怎样的数量关系？不

需要说明理由，请直接写出你的猜想.

（2）如图③，当/ZC3关90。，4。为A4BC的外角平分线时，线段AC,CO之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.

考向二、等膜三龟形与得边三龟形

6.（2017•江苏苏州・统考中考模拟）已知：如图，在四边形48co中，443c=44DC=90。，点£是NC的

中点.

D

(1)求证：ABE。是等腰三角形：

⑵当NBCD=。时，ABED是等边三角形.

7.(2022•江苏南京•南师附中树人学校校考二模)如图，在“8C中，AH1BC,垂足为77,且BH=CH,

£为BN延长线上一点，过点E作跖/8C,分别交8C,/C于尸，M.

⑴求证N8=NC；

(2)若/5=5,/8=3,/E=2,求心的长.

8.(2020•江苏扬州・统考一模)数学课上，李老师出示了如下的题目：

“在等边三角形/8C中，点£在上，点。在C3的延长线上，且ED=EC,如图，试确定线段NE与。3

的大小关系，并说明理由

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:

A

A

图1图2

（1）特殊情况，探索结论

当点E为48的中点时，如图1,确定线段/E与。3的大小关系，请你直接写出结论：

AEDB（填“>”，或“="）.

（2）特例启发，解答题目

题目中，/£与。2的大小关系是：AEDB（填“>”，或“="）.理由如下：如图2,过点E作

EF//BC,交4c于点F.（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形N5C中，点£在直线上，点。在直线3C上，S.ED=EC.若A/BC的边长为1,AE=2,

求CD的长（请你直接写出结果）.

9.（2022•江苏扬州•校联考三模）已知。和AOEC都为等腰三角形，

AB=AC,DE=DC,ABAC=NEDC=n°.

AA

n;D

C

E

图1图2图3

（1）当〃=60时，

①如图1,当点。在/C上时，请直接写出BE与4。的数量关系:

②如图2,当点。不在/C上时，判断线段8E与4D的数量关系,并说明理由；

⑵当力=90时，

①如图3,探究线段3E与4。的数量关系，并说明理由；

②当BE〃AC,AB=6y/2,AD=2时，请直接写出DC的长.

10.（2022•江苏泰州•统考二模）如图，在。8c中，ZBAC>90°,AB=AC,点。在BC上，且&）=8/.

（2）在（1）的条件下探索/C与CE的数量关系，并说明理由.

考向三、直南三角形与为股灾.理

11.（2022・江苏无锡•模拟预测）如图，已知“3C中，乙4cs=90。，AC=4,BC=6,DE垂直平分8c

交于。，交.BC于E,连接CD,求CD的长.

12.（2022•江苏南京•统考二模）如图，在△N5C中，AB=AC,ZBAC=120°,点。在5c上且D4_L/C,

垂足为/.

⑴求证：AB?=BDBC;

（2）若8。=2,则NC的长是.

AR3

13.（2022•江苏无锡・无锡市天一实验学校校考二模）已知ZUBC,ZB=6Q°,—

BC2

cc

(Si)(图2)

(1)如图1,若8C=2。，求/C的长；

(2)试确定四边形48。，满足/NDC+N3=180。，且4D=2DC.(尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕

迹.)

14.(2022•江苏苏州・统考一模)定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这

个三角形叫做有趣三角形.

C

(1)若“3C是有趣三角形，AB=3,BC=6,贝!J/C=；

(2)已知等腰小3C的周长为10,若“3C是有趣三角形，求“3C的腰长；

(3)如图，在"BC中，ZACB=135°,点D,E在边AB上，且ACOE是以。E为斜边的等腰直角三角形.求

证：由三条线段ND,DE,BE组成的三角形是有趣三角形.

15.(2022•江苏南通•统考一模)如图，△A5C中，ZACB=9Q°,4C=BC=4,点D为BC边上一点、(与B,

。不重合)，连接过点C作交N3于点£,设CO=a,

⑴求证：ZCAD=ZBCE；

4

(2)当。=］时，求5E的长；

AF)

(3)探究笠的值(用含。的代数式表示).

考向四、几何基声作图

16.（2022・江苏无锡•校考二模）如图，NABD=NCDB=90°,尸为线段上的一点.

DD

①②

⑴在图①中仅用圆规和无刻度直尺分别在48、上分别作点£、F,使EFLPF,且EF=PF.无需写

出作图步骤，但保留作图痕迹；

⑵若48£尸=30。，求BP.PD.（图②供问题（2）用）

17.（2022•江苏盐城•校考三模）如图，在中，点。是A8的中点，AC<BC.

（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E,使得直线成）平分“BC的周长；（不要求写作法，但要保

留作图痕迹）；

⑵在（1）的条件下，若/B=12,AC=2EC,求4E的长.

18.（2020•江苏盐城・统考一模）如图，在RtZXNBC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8.

（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹.

①作/ZC3的平分线，交斜边于点D；

②过点。作8C的垂线，垂足为£.

⑵在（1）作出的图形中，求。E的长.

19.（2022・江苏盐城•滨海县第一初级中学校考三模）如图，一张矩形纸片/BCD中，ZB=ZC=90°,

AD>AB.将矩形纸片折叠，使得点4与点C重合，折痕交/。于点M,交BC于点、N.

AD

BC

（1）请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；

⑵在（1）的条件下，连接4V、CM,判断四边形NNCW的形状并说明理由;

(3)若AB=4,BC=8,求折痕MV的长.

20.（2022•江苏南京・统考二模）已知△/8C,请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不

写作法）.

（1）在图①中，3C所在直线的下方求作一点使得

（2）在图②中，8c所在直线的下方求作一点N,使得NBNC=2/4

考向五和他三角出

21.（2022•江苏盐城•校考一模）如图，点。是△N3C的边48上一点，NABC=NACD.

(2)当40=2,48=3时，求/C的长.

22.（2022秋•江苏盐城•九年级校考阶段练习）如图，中，尸C平分N/C3,PB=PC,

A

P

BC

(1)求证：VAPC:NACB;

(2)若ZP=2,尸5=4,求/C.

23.(2022秋•江苏盐城•九年级校联考阶段练习)已知：A4BC中，。为8c边上的一点

(1)如图①，过点。作DE//48交/C边于点£.若48=5,BD=9,DC=6,求。£的长；

(2)在图②中，用无刻度的直尺和圆规在NC边上作点尸，使/由4=乙4；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(3)如图③，点尸在/C边上，连接2/、DF.若NDFA=NA,A£BC的面积等于,以ED为半径作

OF,试判断直线8c与。尸的位置关系，并说明理由.

24.(2022秋・江苏盐城•九年级校考阶段练习)如图，在矩形NBCD中，点£、F、G分别在边43、BC、CD

上，且EFJ.GF.

⑴求证：AEBFs»CG；

(2)若B£=3,AF=5,B=1,求CG的长.

25.(2023秋・江苏泰州•九年级泰州市第二中学附属初中校考期末)(1)如图1,D、E为等边AA8C中3C

边所在直线上两点，ZDAE=120°,求证：AABDs^ECA；

(2)V4DE中，ZDAE=\20°,请用不含刻度的直尺和圆规在。E上求作两点8、C,点8在点C的左侧,

使得“8C为等边三角形；

(3)在(1)的条件下，H为BC边上一点,过”作交48延长线于点尸，HG〃/E交/C延长

HF

线于点G,若4B=6,BD=a,ZHAE=60°,求r的值.(用含有。的代数式表示)

AAA

图1图2图3

考向力、三龟形除合冏题

26.(2023秋•江苏南通•八年级校联考期末)(1)如图1,在A4BC中.点。，E,尸分别在边8c,48,/C

上，NB=NFDE=/C,BE=DC.求证。£尸；

(2)如图2.在A48C中.BA=BC,NB=45°.点。，尸分别是边3C、上的动点.且/b=28。.以DF

为腰向右作等腰AOM.使得DE=DF,NED尸=45。.连接CE.

①试猜想线段DC,AD,3尸之间的数量关系，并说明理由.

②如图3.已知NC=3,点G是/C的中点，连接E4EG.请直接写出ZECD的度数和EA+EG的最小值.

24A

G

£cc虫

BDBDBD

图1图2图3

27.(2022春・江苏•九年级专题练习)如图，“3C的角平分线8。=1,Z/IBC=120o,/X、/C所对的

边记为。、C.

B

AD

(1)当。=2时，求。的值；

(2)求“3C的面积(用含a,c的式子表示即可)；

(3)求证：a,c之和等于a,c之积.

28.(2022秋•江苏盐城•九年级校考阶段练习)(1)如图1,在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,AD=CD,

对角线8。=8,求四边形N3CD的面积；

图1

（2）如图2,园艺设计师想在正六边形草坪一角430C内改建一个小型的儿童游乐场OM4N,其中。/平分

ZBOC,04=100米，N8OC=120。，点N分别在射线。和OC上，且/M4N=90。，为了尽可能的

少破坏草坪，要使游乐场OM4N面积最小，你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OM4N

图2

29.（2022秋・江苏常州•八年级校考期中）如图1,在“3C中，AB=AC,。为射线8C上（不与3、。重

合）一动点，在4D的右侧射线8C的上方作V4DE.使得AD=/E,ZDAE=ABAC,连接C£.

图1备用图备用图

（1）找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；

（2）延长EC交的延长线于点尸，若/尸=45。，

①利用（1）中的结论求出NDCE的度数；

②当△/助是等腰三角形时，直接写出的度数；

（3）当。在线段8c上时，若线段3C=3,AABC面积为3,则四边形/DCE周长的最小值是.

30.（2022春•江苏•九年级专题练习）（1）如图1,点P在线段48上，点C、。在线段A8上方，连接尸。、

PC、AD、BC、CD,当NO尸。=々=/3=90°时，ADBCAPBP（填"=''或"*"）；

（2）如图2,点尸在线段48上，点C、。在线段上方，连接尸。、PC、AD、BC、CD,当锐角

/。尸。=44=/8时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；

（3）如图3,在△/助中，^5=8cm,/O=3O=5cm,点E为边中点.点尸是边45上一个动点，由点

/出发，以每秒1cm的速度，沿边向点3运动，点C在边上，且ZDPC=//.点尸的运动时间为“秒）,

当△OCE为等腰三角形时，请直接写出f的值.

【真题再现］直面中考真题，实战培优提升

一、解答题

1.（2022•江苏淮安•统考中考真题）己知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF,AB=DE,

aBAC=乙EDF.求证：ZB=Z£.

2.（2022•江苏常州•统考中考真题）如图，点力在射线OX上，OA=a.如果。A绕点。按逆时针方向旋

转n°（0<n<360）到OA',那么点4’的位置可以用（a,废）表示.

（1）按上述表示方法，若a=3,n=37,则点4的位置可以表示为；

（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3,74。）表示，连接力'力、A'B.求证：A'A=A'B.

3.（2021・江苏无锡・统考中考真题）已知：如图，AC,DB相交于点。，AB=DC,乙ABO=LDCO.

A,

O.

求证：(1)AABO=ADCO；

(2)4OBC=Z.OCB.

4.(2020•江苏镇江•统考中考真题)如图，/C是四边形的对角线，N1=NB,点、E、尸分别在48、

BC上,BE=CD,BF=CA,连接M.

(1)求证：ND=Z2；

(2)若EF〃AC,/。=78。，求NA4C的度数.

5.(2020•江苏徐州・统考中考真题)如图，ACIBC,DC1EC,AC=BC.DC=EC,力E与BD交于点F.

(1)求证：AE=BD；

(2)求乙4FD的度数.

6.(2021•江苏徐州・统考中考真题)如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,4两点重合.点。落

在点G处.已知力B=4,BC=8.

Cl)求证：2V1EF是等腰三角形；

(2)求线段FD的长.

G

7.（2022・江苏无锡・统考中考真题）如图，△48。为锐角三角形.

图1图2

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在NC右上方确定点。，］tZDAC=ZACB,且CD14D；（不

写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若NB=60。，AB=2,BC=3,则四边形48。的面积为.（如需画草图,

请使用试卷中的图2）

8.（2022•江苏苏州•统考中考真题）如图，将矩形/BCD沿对角线NC折叠，点3的对应点为E,AE与CD

交于点F.

（1）求证：4DAF3AECF；

⑵若NFCE=40°,求/CAB的度数.

9.（2021•江苏常州•统考中考真题）如图，B、F、C、E是直线/上的四点，AB//DE.AB=DE,BF=CE.

BC

D

（1）求证：4ABODEF；

（2）将△力BC沿直线/翻折得到△A'BC.

①用直尺和圆规在图中作出A/BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接4力，则直线力力与/的位置关系是.

10.（2021•江苏泰州•统考中考真题）（1）如图①，。为42的中点,直线小心分别经过点。、B,且//〃心,

以点O为圆心，。/长为半径画弧交直线/2于点C,连接/C.求证：直线〃垂直平分ZC；

（2）如图②，平面内直线〃〃/2〃〃〃〃，且相邻两直线间距离相等，点P、。分别在直线//、。上，连接

PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线〃上求作一点。，使线段尸。最短.（两种工具分别只限使用一次，并

保留作图痕迹）

11.（2021•江苏南京•统考中考真题）如图，力。与BD交于点O,OA=OD.Z.ABO=ZDCO,£为BC延长

线上一点，过点£作EF〃CD,交BD的延长线于点R

（1）求证MOBmADOC；

（2）若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的长.

12.（2020•江苏淮安•统考中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为力、B、C,测得NC4B=30°,

44BC=45。，AC=8千米，求4、B两点间的距离.（参考数据：V2«1.4,V3~1.7,结果精确到1千

米）.

13.（2020•江苏泰州・统考中考真题）如图，已知线段a,点力在平面直角坐标系xOy内,

（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P,使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a.（保

留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若力点的坐标为（3,1）,求P点的坐标.

14.（2020•江苏苏州・统考中考真题）问题1：如图①，在四边形力BCD中，ZB=ZC=90°,P是BC上一

问题2：如图②，在四边形ABCD中，Z8=NC=45。，P是BC上一点，PA^PD,^APD=90°.求傥之

BC

的值.

15.（2020・江苏无锡・统考中考真题）如图，已知力B〃CD,AB=CD,BE=CF.

AB

D

求证：(1)/\ABF=ADCF；

(2)AF//DE.

16.(2020•江苏淮安・统考中考真题)【初步尝试】

(1)如图①，在三角形纸片48c中，乙4cB=90。，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN,则

AM与BM的数量关系为；

图①

【思考说理】

(2)如图②，在三角形纸片4BC中，AC=BC=6,AB=10,将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕

为MN,求霁的值.

图②

【拓展延伸】

(3)如图③，在三角形纸片力BC中，AB=9,BC=6,乙4cB=2/4将△4BC沿过顶点C的直线折叠,

使点B落在边AC上的点/处，折痕为CM.

①求线段力C的长；

②若点。是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将AAPM沿PM折叠得到△A'PM,点力的对应

点为点a',A'M与CP交于点F,求小的取值范围.

17.（2021•江苏徐州・统考中考真题）如图1,正方形4BCD的边长为4,点P在边力。上（P不与4。重