山东省青岛市第六十六中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷

2024-2025学年度第一学期高一年级期中检测数学试题参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．定义行列式，，则的取值集合为（）A． B．或C．或 D．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3.已知，下列说法错误的是（）A. B. C. D.4．下列函数中是增函数的为（）A． B． C． D．5．下列关系中正确的是（）A． B．C． D．6．函数的图象大致是（）A． B．C． D．7．设，若不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．8．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（）A． B．9 C． D．8二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．函数（）的图象是一条直线B．命题“，都有”的否定是“，使得”C．当时，的最小值是5D．，是的充分不必要条件10.下面结论错误的是（）A.函数的单调递减区间是；B.已知函数（且）的图象恒过定点，则3.C.函数是R上的增函数；D.若，则11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．存在最小值，则C．的单调递减区间为 D．若，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数的定义域为.13．已知幂函数满足，则.14．已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（13分）已知全集，集合，集合，集合．(1)求，(2)若，求实数m的取值范围．16．（15分）已知函数的图象过点.（1）求实数的值，并证明函数为奇函数；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论．17．（15分）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？18．（17分）已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数的解析式，画出函数的图像并写出函数的单调区间；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(3)若方程有个根，求实数的取值范围，并求这个根的和.19．（17分）已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数.(1)求和的解析式；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

2024-2025学年度第一学期高一年级期中检测数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【分析】根据行列式定义，化简不等式，结合一元二次不等式解法求解集.【详解】因为，所以不等式，可化为，所以，所以，所以或，所以的取值集合为.故选：C.2.【答案】D【分析】先根据指数函数单调性计算集合，绝对值不等式化简得出集合，再根据并集定义计算即得.【详解】集合，，则，故选：D.3.【答案】C【解析】【分析】ACD，由不等式的性质可得到正误；B选项，由函数单调性得到判断.【详解】A选项，因为，，所以，，A正确；B选项，因为在上单调递增，故，B正确；C选项，，不等式两边同时乘以得，，C错误；D选项，因为，所以，不等式两边同除以得，，D正确.故选：C4.【答案】D【分析】对选项逐一分析函数的单调性，由此选出正确选项.【详解】对于A：，由一次函数性质，为减函数，不满足题意，故A错误；对于B：，由指数函数的性质可知为减函数，不满足题意，故B错误；对于C：，由幂函数的性质可知在上为减函数，不满足题意，故C错误；对于D：，由幂函数的性质可知，为增函数，满足题意，故D正确.故选：D.5.【答案】D【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，即可判断选项.【详解】幂函数在单调递增，所以，指数函数单调递减，所以，所以.故选：D6.【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A、B，再根据时函数值的特征排除C.【解析】函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；又当时，故排除C.故选：D7.【答案】D【分析】由一元二次不等式解集得到参数关系，进而有，再比较各函数值的大小.【解析】由题设，则，故，所以，，，且，所以.故选：D8.【答案】A【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算.【详解】若函数为偶函数，则，即，可得，整理得，故，解得，.若正实数、满足，即，可得，可得，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BD【详解】选项A：由于函数的定义域为整数，所以函数的图象是由一系列的点构成，故选项A错误；对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B正确；对于，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，显然等号不成立，故C错误；对于D，对于D，当，时，有成立，而，但，不成立，即由不能得到，，所以，是的充分不必要条件，故D正确.故选：BD.10.【答案】ACD【解析】【详解】选项A，当时，，而当时，，所以函数的单调递减区间不是，所以A错误，选项B，根据指数函数过定点的知识可知，解得，，所以.所以B正确；选项C，当和时，，所以不是上的增函数，所以C错误，选项D：令，即，，故选项D错误；故选：ACD11.【答案】ABD【分析】根据分段函数解析式直接求得函数值可判断AD选项，再根据分段函数的单调性判断方法分别判断BC选项.【详解】A选项：，，所以，解得，A选项正确；B选项：当时，，所以，即函数在上的最小值为，又当时，，所以函数在上单调递减，所以当时，所以若函数存在最小值，则，B选项正确；C选项：在上单调递减，在上单调递减，不能说函数在上单调递减；D选项：由已知得，所以，又函数在上的最小值为，所以，解得，D选项正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【分析】函数的定义域满足，解得答案.13.【答案】【分析】根据给定条件，利用幂函数的解析式可得，再代入计算即得.【详解】设，则，所以.故答案为：14.【答案】【分析】根据是上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.【解析】因为函数满足对上的任意实数，，恒有成立，所以函数在上递减，所以，即，解得，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果；（2）因为，所以，分和两种情况求解即可.【详解】（1）根据题意：集合，集合或，或，（2）因为，所以，若，则，若，则，得时，可得，实数的取值范围为或.16.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）将的坐标代入函数的解析式，可得的值，即可得函数的解析式，求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义分析可得结论；（2）设，由作差法分析可得结论.【解析】（1）根据题意，函数的图象过点则有，解可得，则其定义域为，且则函数为奇函数（2）根据题意，由（1）的结论，，则上为增函数证明：设则又由，则，则则函数在上为增函数【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，关键是求出的值，属于基础题.17.（1）（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.【分析】（1）每台售价200万，销售收入是，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；（2）观察利润的函数解析式，发现对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润.【详解】（1）当时，；当时，，.（2）若，，当时，万元；若，，当且仅当时，即时，万元.则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.18.【答案】（1），作图见解析，单调递减区间为，，单调递增区间为；（2）（3），两个根的和为0【分析】（1）由条件，结合奇函数性质求出时，函数的解析式，结合二次函数图象特征作函数图象，由图象读出函数的单调区间；（2）由条件结合（1）的结论可得，列不等式可得结论；（3）由图象，作函数的图象，结合条件观察图象可得结论.【详解】（1）设，则，所以又为奇函数，所以，所以当时，，则函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为，经过点，，；函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，经过点，，；作出函数的图像，如图所示：的单调递减区间为，；的单调递增区间为；（2）由（1）函数的单调递增区间为，又在上单调递增，所以，所以，故，所以的取值范围是；（3）由于方程的解就是函数的图象与直线的交点的横坐标，根据（1）所作的函数的图象，作出