2025年高考数学一轮复习学案：三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）学生版

第02讲三角恒等变换

（和差公式、倍角公式、升降塞公式、辅助角公式）

（14类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

三角函数的化简、求值

2024年新I卷，第4题,5分用和、差角的余弦公式化简、求值

同角三角函数基本关系

2024年新I卷，第13题,5分用和、差角的正切公式化简、求值同角三角函数基本关系

用和、差角的正弦公式化简、求值

2023年新I卷，第8题,5分三角函数求值

二倍角的余弦公式

2023年新II卷，第7题,5分半角公式、二倍角的余弦公式无

2023年新II卷,第16题,5分由图象确定正（余）弦型函数解析式特殊角的三角函数值

用和、差角的余弦公式化简、求值

2022年新U卷，第6题,5分无

用和、差角的正弦公式化简、求值

正、余弦齐次式的计算

2021年新I卷，第6题,5分二倍角的正弦公式

三角函数求值

逆用和、差角的余弦公式化简、求值数量积的坐标表示

2021年新I卷，第10题,5分

二倍角的余弦公式坐标计算向量的模

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5-11分

【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公

式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考

知识点1正弦的和差公式

知识点2余弦的和差公式

知识点3正切的和差公式

知识点4正弦的倍角公式

知识点5余弦的倍角公式及升降皋公式

知识点6正切的倍角公式

核心知识点

知识点7半角公式

知识点8万能公式

知识点9和差化积与积化和差公式

知识点10推导公式

知识点11辅助角公式

考点1正弦两角和与差的基本应用

考点2余弦两角和与差的基本应用

考点3正切两角和与差的基本应用

考点4拼凑角思想在三角恒等变换中求值

考点5拼凑角思想在三角恒等变换中求角

考点6正弦倍角公式的应用

考点7余弦倍角公式的应用

核心考点考点8升嘉公式与降幕公式的应用

考点9正切倍角公式的应用

考点10半角公式的应用

考点11辅助角公式的应用

考点12万能公式的综合应用

考点13积化和差与和差化积公式的综合应用

考点14三角恒等变换的综合应用

知识讲解

1.正弦的和差公式

sin(cr+6)=sinacosP+cosasin/3

sin(a—A)=sinacosP-cosasin(3

2.余弦的和差公式

cos(a+=cosacos£一sinasinp

cos(a-/3)=cosacos〃+sinasin0

3.正切的和差公式

tan(e+0=tana+tan广

1-tanatanp

tana-tan(3

tan(6Z-y0)

1+tanatan[3

4.正弦的倍角公式

sin2a—2sinacosa=>sinacosa--sin2a

2

5.余弦的倍角公式

cos2a=cos126Z-sin2a-(cosa+sina*cosa-sina)

升塞公式：

cos2a=1-2sin2a，cos2a=2cos2a-\

降塞公式：

.2l-cos2al+cos2a

sina---c-o--s-2--a-------------------

22

6.正切的倍角公式

2tana

tan2a=

1-tan2a

7.半角公式

a1-cosa

(Dsin-=±

2J2

a1+cosa

(2)cos-=±\---

2J2

a1-cosasina1-cosa

(3)tan-=±------------=------------=------------

2J1+cosa1+cosasina

以上称之为半角公式，符号由0所在象限决定.

2

8.万能公式

2tan—1-tan2—2tan—

2??

sinx=---------cosx=------------tanx=----------

1+tan2—1+tan2—1-tan2—

222

9.和差化积与积化和差公式

.・n.a+0a—f3

sm戊+sin〃=2sm-----cos-----

22

••noa+B.a—P

sma-smp=2cos----sm-----

22

cca+Ba-B

cosa+cosp=2cos----cos------

22

cosa-cosp=2sm----sm-----

22

2sinAcosB=sin(4+B)+sin(4-B)

2cosAcosB=cos(4+5)+cos(4-B)

2sinAsinB=cos(4-B)-cos(A+2)

10.推导公式

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2

11.辅助角公式

y=asinx+bcosx,(a>0)=>y=+〃sin(x+0)，其中tan0=2,(一工，工)

a22

考点一、正弦两角和与差的基本应用

典例引领

1.（福建・高考真题）sinl5Ocos75o+cosl5Osinl05。等于（）

A.0B-iC.1D.

2.(全国•高考真题)sin20°cos10°-cos160°sin10°

A--f

1

C.——

2D-i

3.（2020•全国•高考真题）已知sine+sin"+#1,则sin[e+让)

6

nV3V2

AD.----cD.

-I3-IV

4.（2024•全国•高考真题）已知二为第一象限角，〃为第三象限角，tana+tan4=4,tanitan/?=行+1,

则sin(6f+0=

即时

1.（2024高三•全国•专题练习）sin435°=.

2.（23-24高三下•山东荷泽•阶段练习）已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经

过点尸口⑹，贝|sin/q）=()

ABC.立D.1

-4-i2

3.(2024高三・全国•专题练习)化简：sin[a+g}osa-cos[a+|Jsina=

4.(2024・河南•三模)若sin(a-/)=L且tana=2tan〃，则sin(c+£)=()

6

V3-亚c2、1

AA.—B.—C—D—

2232

5.(2024•云南•模拟预测)若sine+sin[e+1J=彳，贝!Jsin]e+Ej=()

c-1D-T

A・三B-T

考点二、余弦两角和与差的基本应用

典例引领

1.（高考真题）sinl63°sin223°+sin253°sin313°=（）

11D

A.-B.——cT--f

22

2.(2024・全国•高考真题)已知cos(a+/7)=加,tanatan/7=2,贝IJcos(a-0=()

c机m

A.-3mB.----C.—D.3m

33

3.(2023•全国•高考真题)已知sin(a—m=Lcosasin〃=L则cos(2a+277)=().

36

7117

A.-B.一C.—D.—

9999

即时检测

1.（2024•山东枣庄•模拟预测）已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点

71.71,则

P\cos—,sin—cos]a-%()

I33

1-6

A.0B.-C.—D.—

22

_3sin'=j|,尸则cos(a—G)=()

2.（2024•宁夏石嘴山•二模）已知COSa二二，

33566316

A.—B.—C.—D.------

65656565

3.（2024•四川宜宾・模拟预测）若cos（a-g；+cosdz=-1,贝iJcos(a—£)=()

aV3RV3r273n273

3333

4.(23-24高三下•江苏扬州•开学考试)已知cos(a+£)=§,tan^tan/?=-,则cos(2a-20=()

315c315

A.—B.一c.--D.——

819819

则3卜一智

5.（2024•全国•模拟预测）己知一,32tan=25sin26,)

A.运RV2「行D.一迪

10101010

考点三、正切两角和与差的基本应用

遇典例引领

1.（2019•全国•高考真题）tan255°=

A.一2一gB.—2+73c.2-V3D.2+73

2.(重庆,高考真题)若tana=g,tan(a+/7)=g，则tan£=

1155

A.—B.—C.一D.-

7676

,cosa=百，则tan[a+y

3.（2024,全国・高考真题）已知-------:—:=()

cosa-smaI4J

A.273+1B.2V3-1c.近D.1-V3

2

71

4.（2020,全国•图考真题）已矢口2tani?-tan(9+—)=7,贝!Jtan氏()

4

A.-2B.-1C.1D.2

5.(2022•全国•高考真题)若sin(a+P)+cos(a+P)=2A/^cos(a+"sin/J,则()

A.tan(^z-/?)=lB.tan(6Z+/7)=l

C.tan(a—4)=一1D.tan(a+1)=-l

即时检圆

1.(2024•山西吕梁•二模)已知角1的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点卜行」)，则

(兀、/、

tanI<7-—I=()

A.-V3B.--C.2D.V3

33

2.(2024・重庆•三模)已知cos["^—=3cos|

a+则tana=()

1

A.2B.yC.3D.-

3

3.(2024・江苏•模拟预测)若3sina+4cosa=5,则tan(a+；卜()

11

A.-7B.7C.-D.——

77

4.(2024•福建泉州•模拟预测)已知sin(a-77)=2cos(a+/?),tan(a-/?)=；,贝!Jtana-tan/?=()

3546

A.—B.一C.-D.一

5355

5.(2024•贵州黔东南•二模)已知0<]</?<兀，且5由(。+夕)=2(305(。+/7),sinasin£—3cosacos/7=0,则

tan(a-0=()

A.TB.一与c-4D-T

考点四、拼凑角思想在三角恒等变换中求值

典例引领

■一

1.(2024•四川•模拟预测)已知二£[,兀]，sinf^+^j=1,则sina=()

AV3-2V6I+6V2CV3+2-\/6口65/2—1

A.-------------RD.----------

10101010

TT--^-<|3<0,cos(?+a)=Xcos贝|cos(

2.（浙江•高考真题）若0＜。＜下,

243423

=()

A.亚B.一亚C,9D.一返

3399

3.(23-24高三下•浙江金华•阶段练习)已知cos(a—/7)=；,sinasin£=-1,则cc^a—sii?/?=()

111

AB.一C.一D.-

-7368

卜黄足sin[a+|^=；

4.（22-23高一下•江西景德镇•期中）已知ae(o,7i),C0

V-?6

则sin(a+2/)=()

A2V10+22厢-2

dr-2V10+2D2A/10+2

-9-999

1.(2024•河北石家庄•三模)已知角戊,/满足tancr=；,2sin/?=cos(a+/?)sina,贝IJtan/?=()

111

A.—B.—C.—D.2

367

2.(2024•山西・三模)若sin2a=#^sin(〃-a)=,且ee，尸e7T,—,贝lJcos(a+»)=()

AV5+V2RV30_V602V5-V2

6636

已知a,£都是锐角，cosa=；,sin（a+/7）=［字，则cos2/7的值为（）

3.（2024•重庆・模拟预测）

1；C.-3D,也

A.—B.

2222

考点五、拼凑角思想在三角恒等变换中求角

典例引领

1.（23-24高三上•贵州铜仁•阶段练习）已知sine=且,sin/=晅，且々和尸均为钝角，则a+4的值为

510

A兀C5兀5兀_p.7兀7TI

A.-B.—c-1或彳D-T

44

)=3/2!1力=_；,且1,尸€(0,万),则2&-夕=()

2.(2024jWj二,全国•专题练习)已知tan(a-£

3兀713%7t

A.------B.—C.—D.——

4444

TT

3.(22-23局二,全国,期末)已知0<。<4<2,cos2a+cos2Q+l=2cos(a—力)+cos(a+/7),贝ij()

c兀

A.a+/3=—B.a+J3=—

6

c兀

C./3—cc=一).p—cc=—

6

即时检测

高三・全国•专题练习)已知f,sin/?=1^,且二它]。,]],4则二+4的值

1.(2023cosa=3

是()

3万71口冗、5万

A.——B.-一.~~D.—

4444

7T3兀4F)

2.(22-23[Wj二上•山东青岛•期中)已知一KaW1兀，TI<P<—,sin2dz=—,cos(a+/7)=------，则〃一二二

425、〜10

()

371571

A.一兀B.—一.一7CD.一

4442

-,sin(a+/?)=-^^,二£。,[，Pe一，则二一方=

3.2024・吉林长春•模拟预测)已知cos2a=

5')1012」12」

()

71371-571_713兀

A.-B.——LTD.严彳

44

考点六、正弦倍角公式的应用

典例引领

1.sin15°cos15°=()

11n6

A.—B.一一1.------\,).---------

4444

2.(2024•河南.二模)已知sinx+cosx=g,贝I]cos[2x_71]J=

2

3388

A.——B.C.D.

5599

3.（2024・四川自贡•三模）己知角。满足匕萼4=3,则sin2a=

)

sm2a

3V103回33

B.C.D.

101055

即时检测

1.(2024•山东济南•三模)若sina-cosa=后，贝ljtana=()

A.1B.-1C.2D.-2

tan2a

2.(2024•山东•模拟预测)已知sin2a=-1,贝！Jtan1()

A.4B.2C.—2)D.-4

考点七、余弦倍角公式的应用

典例引领

3

1.（山东•高考真题）已知cosx=—，贝Ucos2x=（）

4

111

A.—B.-C.—

448

2.（2022・北京•高考真题）已知函数/（x）=cos2%-sin'x,则（）

力上单调递减(7171）上单调递增

A.，(x)在.B./(x)在|

(兀7%)

C./(x)在;上单调递减D./(x)在上单调递增

5兀_

3.(2021•全国,|Wj考真题)cos2在"—cos2：

12~()

eD.8

A1B.2C

A.2

322

4.（全国•高考真题）函数了（xhcos%--sin4X的最小正周期是

71

A.B.兀C.2万D.4"

2

即时检测

2

1.（2020,全国"iWj考真题）若sinx=—,贝!jcos2x=.

3

2.（2024•北京顺义•三模）已知函数了（无）=««2：-5m2：,贝。（）

A.为偶函数且周期为47rB.为奇函数且在,卞曰上有最小值

C.〃x）为偶函数且在崎］上单调递减D./（x）为奇函数且g,oj为一个对称中心

3.（2022•浙江"高考真题）若3sina-sin£=+"=',贝!Jsina=,cos2^=

考点八、升嘉公式与降幕公式的应用

典例引领

1.（浙江宁波•期末）sin2-=

12

A.B.2+Gc.-1

D.-

4444

2.（2024•浙江•模拟预测）若81@11戊=3（：0$戊，则cos2a=____.

3.（2024・浙江・三模）已知c°s（g+|•卜,则cos（2"+)()

D,如

A.--B.：C.--

2222

4.2024•全国•模拟预测）已知4〃为锐角，满足sina+si叨=乎,cos(a+〃)=_g4UsinF=

cos（a-/7）=________.

即时检测

1.（2024•浙江绍兴•二模）若sin（1^+“=g,贝iJcosQa.，（

)

2.（2024•安徽合肥•三模）已知2sina=l+2Gcosa,贝人抽,二一^^二（）

3.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知sin[a+g]-Gcosa=g,贝iJsinQa-己]=

4.（2024•黑龙江•三模）已知8$（。一〃）二；5口改吊尸=；,则cos（2a+2£）=.

（・湖南长沙•二模）已知吉卜71

5.20242cos2x+osx-cos3x=-

n4

考点九、正切倍角公式的应用

典例引领

1.（2024高三,全国•专题练习）若tan（7i-a）=g,则tan2a=.

2.（2024•安徽合肥三模）已知6»e（0,3，tan,+3=[tan（9,贝l]tan26>=.

3.（23-24高三上•广东湛江•阶段练习）已知。e（0百，且一^~~-=sin20,则tan”（

2sin，+cos3

A.y/2,—1B.y/2,+1C.y/3+1D.y/3—1

即时建

1-tan2—

1.(2024高三•全国・专题练习)-------

71

tan—

8

且sinQ+cosq=：

2.（2024•辽宁沈阳•二模）已知ae（0,兀）,贝Utan2a=()

12_1224

A.——B.D.

7c空T

已知710_正,则tan12。-：

3.（2024•全国•模拟预测）ee0,1,sin2—+—

84-210

11731

A.——B.C.—D.13

133117

考点十、半角公式的应用

典例后阚

1.(2023•全国•高考真题)已知口为锐角，cose=^^,贝何咚=().

42

A3—y/5R—1+V5r3—y/5n—1+V5

8844

1zy

2.(2024•湖南邵阳•二模)已知a为锐角，若sina=—,则cos27=()

42

“4+V15R4-V15-4-V15「岳

8844

3.（2023・浙江•二模）数学里有一种证明方法叫做尸厂。珈泌o〃Avo"s,也被称为无字证明，是指仅用图象而

无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明

更为优雅与有条理.如下图，点C为半圆。上一点，CH1AB,垂足为记NCOB=6,则由

tan/BCH=-可以直接证明的三角函数公式是

esin<9

tan—=

21+cosJ

01-cos^0l+cos9

C.tan—=----------D.tan—=----------

2sin。2sin。

.即一时检测

1.（2024•全国•模拟预测）已知角1是第二象限角，且终边经过点（-3,4）,贝l]tan£=（）

D.一或2

A.3B.7C.2

cosa=g,贝"cos]a吟/

2.（2023•全国•模拟预测）已知。是锐角，)

A一一逅1V6C叵变D,也

B.—1-----

2626•"6r2~~6~

35兀八c00

3.若sin0=—,一<0<3TI,则tan—+cos—=()

222

A.3+回°VioC.3+巫3厢

B.3--------D.3-

10101010

考点十一、辅助角公式的应用

典例引领

I_________________________

1.（2024•全国,高考真题）函数〃x）=sinx-Gcosx在[0,兀]上的最大值是.

2.（2020・北京,高考真题）若函数/0）=5吊（工+夕）+85工的最大值为2,则常数。的一个取值为.

3.（全国•高考真题）设当x=d时，函数/（x）=sinx-2cosx取得最大值，贝l]cosd=.

4.（2024高三・湖北•二模）在AASC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,cosC=1,c=8,则

当。+6取得最大值时，sin/=.

即时检圆

1.（2024•湖北・二模）函数f（x）=3cosx-4sinx,当取得最大值时，sin%-（）

4433

A.-B.一一C.-D.——

5555

2.（2024•四川南充•二模）已知函数/（x）=3sinx+4cosx.设x=6时，/（幻取得最大值.则cos[d+：j=

（）

A7V2n7V2

1010c今

3.（2024・山东•模拟预测）若函数〃x）=cos（x-0）+sin[x+mJ的最大值为2,则常数。的一个取值

为.

4.（2024•河北保定•三模）已知锐角a,P(aw/7)满足sina+2cosa=sin3+2cos=,则sin(a+£)的值

为（）

A3屈2V534

RC.—D.一

10555

考点十二、万能公式的综合应用

典例引领

tancr_2（、

1.（21-22高三上•四川成都•阶段练习）已知c为锐角且二7二^=一§，贝1Jsin^a+g的值

是.

2.(2023•江苏徐州•模拟预测)已知sin(2a-^)=g,贝［Jtan(a+?tan(a+^1)=.

1.(2022・四川眉山•模拟预测)若sin2tz=cos2a,则cos2tz的值为()

313

A.----B.—C.0D.—

525

2.(2024