初一数学上册《直线与角》全章复习与巩固提高知识讲解及练习

《直线与角》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1.经历从现实世界抽象几何图形的过程，能说出常见的几何体和平面图形；

2.掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、表示方法、性质、及画法;

3.初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题.

【知识网络】

-立体图形「直线一两点确定一条直线

几何图形一一射线

「K短比较

■-平面图形—线段一

L两点之间线段最短

「度量与计算

一角—大小比较一角平分线

-余角与补角一同角（或等角）的余角相等;

同角（或等角）的补角相等

【要点梳理】

要点一、几何图形

i.几何图形的分类

.多面体：棱柱、棱锥等

立体图形4

旋转悻：圄柱、国锥、球体等

几何图形

:三角形、四边形、五边形等

平面图形

要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.

2.几何图形的构成元素

几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线;

面动成体，体是由面组成.

要点二、线段、射线、直线

1.直线，射线与线段的区别与联系

1/18

类别、直线射线

.-J

图形AB/AB'AB

①两个大写字号（表①表示两端点的两

①两个大写字母；

表示方法示蜻点的字母衣苜J;个大写字母;②一个

②一个小写字母

②一个小写字母小蜀宇母

端点个数无1个2个

延帏性向两方无限延伸向一方无限延伸不可延伸

性质两点磷定.一条直线.两点之间，氏段事短

不可以不可以可以

作图叙述过4、3作直线A3以4为端点作射域48连接A8

2.基本事实

⑴直线:两点确定一条直线.（2）线段:两点之间线段最短.

要点诠释：

①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可

以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.

②两条直线相交只有一个交点.

③两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.

3.线段的长短比较与运算

（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.

（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC,或AC=a+b；AD=AB-BD.

aAaBbc

bAD0

（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点.如下图，有:

AMMBIAB

2,

AMB

要点诠释：

①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有AM1AB,则点M为线段AB的

中点.

②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.

如下图，点此N,P均为线段AB的四等分点，则有AMMNNPPBIAB.

AMNPB

要点三、角

1.角的概念及其表示

2/18

（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两

条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.

（2）角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶

点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：

要点诠释：

①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.

②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.

2.角的分类

N8锐角直角钝角平角周角

范围0<Z3<90°NB=90°90°<Z3<180°NB=180°NB=360°

3.角的度量

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".

要点诠释：

①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.

②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式（即从高级单位向低级单位转化）时用乘法

逐级进行；由度分秒的形式化成度（即低级单位向高级单位转化）时用除法逐级进行.

③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一

成60.

4.角的比较与运算

（1）角的比较方法：①度量法；②叠合法；③估算法.

（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角

的平分线，例如：如下图，因为OC是/AOB的平分线，所以Nl=/2=[/AOB,或/A0B=2

N1=2/2.类似地，还有角的三等分线等.

5.余角、补角

（1）定义：

如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补.

如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余.

（2）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.

要点诠释：

①余角（或补角）是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）.

3/18

②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.

③只考虑数量关系，与位置无关.

④''等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.

6.方位角

以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

要点诠释：

（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确

定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西,三要确定旋转角度的大小.

（2）北偏东450通常叫做东北方向，北偏西450通常叫做西北方向，南偏东450通常

叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.

（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.

要点四、用尺规作线段与角

1.尺规作图

几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画圆，这种画圆的方法叫做尺规作图.

2.用尺规作线段

（1）用尺规作一条线段等于已知线段.

要点诠释：画一条线段等于已知线段

①度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.

②用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=a,如下图：

（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.

（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.

（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.

3.用尺规作角

<1）用尺规作一个角等于已知角.

（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.

（3）用尺规作一个角等于已知角的和.

（4）用尺规作一个角等于已知角的差.

【典型例题】

类型一、几何图形

V1.对于棱柱体而言，不同的棱柱体由不同的面构成：

三棱柱由2个底面，3个侧面，共5个面构成；

四棱柱由2个底面，4个侧面，共6个面构成；

五棱柱由2个底面，5个侧面，共7个面构成；

六棱柱由2个底面，6个侧面，共8个面构成；

（1）根据以上规律判断，十二棱柱共有多少个面？

（2）若某个棱柱由24个面构成，那么这个棱柱是什么棱柱？

（3）棱柱底面多边形的边数为n,则侧面的个数为多少？棱柱共有多少个面?

（4）底面多边形边数为n的棱柱，其顶点个数为多少个？有多少条棱？

4/18

【答案与解析】

解：(1)十二棱柱由2个底面，12个侧面，共14个面构成.

(2)这个棱柱有24个面，由于底面有2个，故其侧面共有22个，从而这个棱柱是二十

二棱柱.

(3)棱柱底面多边形的边数与侧面的个数是相等的，即底面多边形的边数为n,则侧面

的个数也为n,棱柱的面数为(n+2).

(4)底面多边形的边数为n的棱柱，其顶点个数为2n个，共有3n条棱.

【总结升华】根据立体图形的特点，从特殊到一般，寻找规律.

举一■反二：

【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是()

类型二、线段和角的概念或性质

V2.下列判断错误的有()

①延长射线0A；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA=PB,则点P是线

段AB的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离.

A.0个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，

射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而

线段是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA=PB,只有当点P在线段AB上时，

才是线段AB的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者

的本质属性不同.

【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别.

举一反三：

【变式】下列说法正确的个数有()

①若/1+/2+/3=90°,则/I,Z2,Z3互余.②互补的两个角一定是一个锐角和

一个钝角.③因为钝角没有余角，所以，只有当角为锐角时，”一个角的补角比这个角的余

角大”这个说法才正确.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B提示：③正确

▼3.(安徽芜湖)如图所示的4X4正方形网格中，N1+/2+/3+N4+/5+/6+N7等于

().

5/18

【答案】B

【解析】通过网格的特征首先确定/4=45°.由图形可知：/I与/7互余，/2与/6互

余，/3与/5互余，所以/1+/2+/3+/4+/5+/6+/7=90°+90°+90°+45°=315°.

【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关.

举一反三：

【变式】如图所示，AB和CD都是直线，ZA0E=90°,N3=/FOD,Zl=27°20',

解：因为/A0E=90°,

所以/2=90°-Zl=90°-27°20,=62°40'.

又/A0D=180°-/1=152°40,，Z3=ZFOD.

1

所以/3=q/A0D=76°20,.

答：/2为62°40,，/3为76°20'.

V4.如图所示，时钟的时针由3点整的位置（顺时针方向）转过多少度时，与分针第一次

重合.

【答案与解析】

解：设时针转过的度数为X。时，与分针第一次重合，依题意有:

12x=90+x

90

解得x--

答：时针转过—°时，与分针第一次重合.

6/18

【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及

问题来解决.

举一反三：

【变式】125°+4=°=°'

【答案】31.25°,31°15,

类型三、线段或角的计算

1.方程的思想方法

5.如图所示，BC是线段AD上的两点，且CDAB,AC=35cm,BD=44cm,

求线段AD的长.

ABCD

【答案与解析】

3

解：设AB=xcm,贝"CD—xcm

3

BC(35x)cm或(44-x)cm

3

于是列方程，得35x44_x

解得：x=18,即AB=18(cm)

所以BC=35-x=35-18=17(cm)

33

CD_x_1827(cm)

22

所以AD=AB+BC+CD=18+17+27=62(cm)

【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解.

2.分类的思想方法

59

▼6.同一直线上有A、B、C、D四点，已知AD=-DB，AC=-CB，且CD=4cm,

95

求AB的长.

【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小.

【答案与解析】

59

解：利用条件中的AD=-DB,AC=-CB,设DB=9x,CB=5y,

95

则AD=5x,AC=9y,分类讨论：

(1)当点D,C均在线段AB上时，如图所示：

p-5x-d------9x

』——----------------------B

,■------9y-—5y—*

*.*AB=AD+DB=14x,AB=AC+CB=14y,x=y

*.*CD=AC—AD=9y—5x=4x=4,x=l,AB=14x=14(cm).

g

(2)当点D,C均不在线段AB上时，如图所示：方法同上，解得AB-(cm).

7/18

(3)如图所示，当点D在线段AB上而点C不在线段AB上时，方法同上，解得

e112

AB——(cm).

53

-5x+9x-

4nal-ZZ-—,…—

(4)如图所示，当点C在线段AB上而点D不在线段AB上时，方法同上，解得

An112

AB——(cm).

53

8112

综上可得：AB的长为14cm,—cm,——cm.

753

【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决

的方法，注意设量法在图形中的体现，使比较复杂的问题得以顺利的解决，在正确答案中，

⑶与⑷的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解.

类型四、线段或角的作图

CT.阅读：在用尺规作线段AB等于线段a时，小明的具体作法如下：

已知：如图，线段a

求作：线段AB,使得线段AB=a.

作法：①作射线AM；

②在射线AM上截取AB=a.

二线段AB为所求.

解决下列问题：

已知：如图，线段b.

<1)请你仿照小明的作法，在上图中的射线AM上作线段BD,使得BD=b；

(不要求写作法和结论，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，取AD的中点E.若AB=5,BD=3,求线段BE的长.(要求：第(2)

问重新画图解答)

【思路点拨】

(1)在射线BM上截取线段BD,则BD'1或8口斗即为所求；

(2)由于点D与线段AB的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：

8/18

①点D在线段AB的延长线上，则BE=AB-AE=1；

②点D在线段AB的延长线上，则BE=AB-AE=4.

【答案与解析】

解：（1）如图，使得BD=b的点D有两个，分别为点D和点W.

!—f-~）-----

ADBDrM

（2）：E为线段AD的中点，

:.aE=.

如图1,点D在线段AB的延长线上.

VAB=5,BD=3,

.•.AD=AB+BD=8.

.\AE=4.

.\BE=AB-AE=1.

如图2,点D在线段AB上.

VAB=5,BD=3,

；.AD=AB-BD=2.

；.AE=1.

.\BE=AB-AE=4.

综上所述，BE的长为1或4.

故答案为：1或4.

【总结升华】本题考查的是两点间的距离，解答此类题目时要注意线段之间的和差关系及分

类讨论的思想.

《直线与角》全章复习与巩固（提高）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.如图，正方形ABCD通过旋转得到正方形AB'CW,则旋转角度为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么

一个五棱柱对角线的条数共有（）.

A.20B.15C.12D.10

9/18

3.下面说法错误的是（）.

A.M是线段AB的中点，则AB=2AM

B.直线上的两点和它们之间的部分叫做线段

C.一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线

D.同角的补角相等

4.从点0出发有五条射线，可以组成的角的个数是（）.

A.4个B.5个C.7个D.10个

5.用一副三角板画角，下面的角不能画出的是（）.

A.15°的角B.135°的角C.145°的角D.150°的角

6.如图所示，已知射线0C平分/AOB,射线0D,0E三等分/AOB,又0F平分/AOD,

则图中等于/BOE的角共有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.已知：线段AC和BC在同一条直线上，如果AC=5cm,BC=3cm,线段AC和BC中点间的

距离是（）.

A.6B.4C.1D.4或1

8.平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个,最多为n个，则m+n等于（）.

A.12B.16C.20D.以上都不对

二、填空题

9.把一个周角7等分，每一份是的角（精确到秒）.

10.若/a是它的余角的2倍，/8是/a的2倍，那么把/a和/B拼在一起（有一条边

重合）组成的角是度.

11.如图，正方形ABCD经过后到正方形AEFG的位置，则中心是,旋转角度是

度.

12.钟面上，指针从“12”顺时针旋转到“3"，旋转了；指针从“3”顺时针旋转

60°到数字.

13.如图，点B、0、C在同一条直线上，ZA0B=90°,ZAOE=/BOD,下列结论：

①/EOD=90°；②/COE=ZA0D；③NCOE=ZB0D；@ZC0E+ZB0D=90°.

其中正确的是.

C0B

10/18

14.如图，/AOB是钝角，OC、OD、0E是三条射线，若OCLOA,0D平分/AOB,0E平分NBOC,

那么/DOE的度数是.

15.已知：A、B、C三点在一条直线上，且线段AB=15cm,BC=5cm,则线段AC=.

16.如图，平面内有公共端点的六条射线0A、OB、0C、0D、0E、OF,从射线0A开始

按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,…，则“17”在射线

上；“2007”在射线________上.

三、解答题

17.钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分?

18.

11/18

已知：如图1，ZAOB=70*.

(1)如图2,射线OC在NAOB的内部，OD平分NAOC.若NBOD=40・，

求/BOC的度数s

⑵若NBODNNBOC(ZKX?<45°),且NAOD=，AOC,请你画出图形,

并求/BOC的度数.

19.

O是直线AB上一点，/8D是直角.OE平分NBOC

(1)如图1,若NAOC=401求/OOE的度数；

(2)在图1中.若NAOC=a,直接写出NDOE的度数(用含a的代数式表示h

C3)将图1中的/8D按顺时针方向旋转至图2所示的位置.

①探究/AOC与NDOE的度数之间的关系.写出你的结论，并说明理由；

②在/AOC的内部有一条射线OF,满足：

2ZAOF+ZBOE=4<ZAOC-/AOF),

U

试确定NAOF与NDOE的度数之间的关系.

20.

12/18

如图，已知A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为6・BC=4,AB=12.

（1）写出数轴上点A、8表示的数：

（2）动点P、Q分别从人、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀

速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中

点.点N在线段CQ上，且CNM^CQ.设运动时间为2（，＞0）秒.

①求数轴上点M、N表示的数（用含，的式子表示）；

②f为何值时，原点。恰为线段PQ的中点.

~AOB*

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C；

【解析】根据旋转的性质，/BAB'为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角，求出

ZBABZ的度数即可.

2.【答案】D；

【解析】由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为

不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条.五棱柱对角线的条数共有2义5=10

条.

3.【答案】C；

4.【答案】D；

【解析】432110（个）.

5.【答案】C；

【解析】用三角板能画出的角应该是15的倍数，因为145。不是15的倍数，所以选B.

6.【答案】C；

【解析】等于/BOE的角共有3个，分别是NA0D,ZDOE,ZCOF,故选C.

7.【答案】D；

【解析】因为线段AC、BC的具体位置不明确，所以分点B在线段AC上与在线段AC的延

长线上两种情况进行求解.

8.【答案】B；

【解析】①6条直线相交于一点时交点最少，所以m1；

②6条直线任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，又因为任意三条直线不

过同一点，,此时交点为：n12345615.

二、填空题

9.【答案】51°25'43"；

【解析】本题考查了度分秒的换算，注意精确到某一位，即是对下一位进行四舍五入.

10.【答案】60度或180；

【解析】分/a在/8内部和外部两种情况来讨论.

11.【答案】A,45°；

【解析】根据图形以及旋转的性质可得旋转中心为点A,旋转角为/CAD,再根据正方形

的对角线平分一组对角即可得解.

12.【答案】90°,5；

13/18

【解析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的角是3600+12=30°,

每两个相邻数字间的夹角是30。，即指针从一个数字走到下一个数字时,绕中心轴旋转了

30°，指针从“12”绕中心点0顺时针旋转到“3”，是旋转了3个大格,旋转了

30°X3=90°；指针从“3”绕中心点0顺时针旋转60°,60°+30°=2(个)，就是旋转

了2个数字，即3+2=5,此时指向数字“5”.

13.【答案】①②④；

14.【答案】45°；

【解析】设/BOC=x°,则/DOE=/BOD—/BOE=之（9°2x）

x45.

15.【答案】20cm或10cm；

【解析】分点C在点B的左端和右端两种情况分类讨论.

16.【答案】0E,0C.

三、解答题

17.【解析】

解:设经过x分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分.

6x-360(x-1)=360(xT)-0.5x

1440

解得：X=(分).

1440

答：经过宙分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分.

18.【解析】

<l）V^LAOB=70°.2800=40*

/.£AOD=^AOB-/.BOD=70°-40°=J0°.

,：OD是々CC的平分歧.

：.^AO€=ldAOD=W.

：.£BOC=^AOB-6A0C=IO4.

(2)&ZBOC-a.

二ZBOD=3^8OC-=3a.

依题总.分两种情况：

①当射线OC在440。内部时.

此时射线OD的位员只H两神可隆，

i)若射线。。在NdOC内部.如图2.

二ZCOD=HBOD-CBOC=2a.

VdAOD^-^AOC.

2

:.Z4OD=ZCOD=2a.

14/18

:.003=400"800=2。+3a=5^=70°.

Aa=14°.

:.^BOC-ir.

ii)若射线OD在Z4C8外部,如图3.

:.NCW=乙BOD-ZBOC=2a.

^AOD^-ZAOC,

2

Ir

AtLAOD=-^COD=-a.

33

a—30°.

AZBOC=30*.

②当射线<X'和ZAOB外部时.

依遮意.此时对线ocKiJi.射线“3.

VNBOC<45".£AOD»-ZJfX,.

一

.,.射也OD的小置也乂“树种可催；

i)若射线。。在/H〃Z?内都.如图4.

.*.ZCOD»ZflfX'+dBOD=4a.

•:Z.AOD=-ZA(X'.

2

:.£AOD=£COD=4a.

:.&OBnZ£()D^ZXODs>a♦4a®7a-70*

a=100.

：.£BOC^\V.

15/18

n

ii）苻时段8在外".如图5.

:.ZCOD=£B（K£ROD=Aa.

V乙0。」“七，

2

.,.£AOD=L/.COD=-a.

33

4S

-*•OB=CBC〉D-CD=3a—a=-a

33

Aor=42°.

二ZBOC=42°

综上所述：NEOC的度数分别是10°.14。.30°、42。・

19.【解析】

解：（1）VO是亶线AB上一点（如图I）,

：.Z/lOC+ZBOC=l30o.

VZ4OC=40°,

：.ZBOC=\^°.

'."OE平分NZOC.

:.ZCOE=-Z5OC=-*140°=70°.

22

■:ZDOE=ZCOD-/COE,Z1COD=900,

:.NDOE=20K

（2）N0OE=?a,

（3）①答；ZZX?£=|ZAOC.

理由如F：

•I。是宜线4B上一点（如图2）,

^AOC+ZBOC=\80°.

AZ^OC=1800-ZAOC.

，.'OE平分WBOC,

：.ZCOE=~^BOC.

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:.ZCOE=-ZBOC.