与圆锥曲线相关的线段和（差）的最值-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题49与圆锥曲线相关的线段和(差)的最值

【方法点拨】

1.动点尸到两个定点A、2距离之和的最小值为|A8|,当且仅当P、4、8三点共线时成立，

即|24|+|尸3121AB|；

2.-|AB|^|E4|-|PB|<|AB|.

【典型题示例】

22

例1已知双曲线^--二=1的右焦点为，P为双曲线左支上一点，点40,a),WUAPF

42

周长的最小值为()

A4+72B.4(1+a)C.2(72+76)D.底+3也

【答案】B

【分析】利用定义转化为尸P+PA+4+2&(其中F为双曲线的左焦点)，再利用

PF'+PA>AF',当且仅当P、4尸，三点共线成立.

【解析】AF=2也,A4尸尸的周长为/=尸厂+24+4尸=7*+尸4+2应

设尸为双曲线的左焦点，则由双曲线定义得PF=PF'+4,故/=PF'+R4+4+2直

又PF'+PANAF'=24i,当且仅当尸、42三点共线成立

所以此4+4a=4(1+应)，故AAP尸周长的最小值为4(1+72).

例2阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学

三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：

已知动点M与两定点A,2的距离之比为双彳>0,几/1),那么点〃的轨迹就是阿波罗尼斯

圆，简称阿氏圆.己知在平面直角坐标系中，圆O:Y+y2=4、点A(T,0)和点3(0,1),M

为圆O上的动点，则21MAi+1MB|的最小值为.

【答案】V17

【分析】逆用“啊圆”，将2|跖4|中系数2去掉化为“一条线段”，从而将21MAi+|MB|

化为两条线段的和，再利用“三点共线”求解.

【解析】因为啊圆的圆心、两定点共线，且在该直线上的直径的端点分别是两定点构成线段

分成定比的内外分点

所以另一定点必在X轴上，且(—2,0)内分该点与A(-L0)连结的线段的比为2

故该点的坐标为(T,0)

设C(yo)，则圆。：/+丁2=4上任意一动点M都满足|MC|=2|MA|

所以21MAi+|=|MC|+|MB|

又因为|MC|+|M2|2|BC|=JT7,当且仅当M、B、C共线时，等号成立

所以21MAi+IMBI的最小值为后.

点评：

1.已知两定点、啊圆的圆心三点共线；

2.啊圆的在己知两定点所在直线上的直径的两端点，分别是两定点构成线段分成定比的内、

外分点.

例3过抛物线C:J=4x的焦点厂的直线/于C交于A,8两点，则|4目+4逐目取得最小

值时，|AB|=()

9753

A-B.-C.-D.—

2222

【答案】A

【分析】将如1+4阿］利用定义转化为到准线的距离，|AF|+4忸典=再+4?+5,抓住

王马=£=1为定值，运用基本不等式解决.

【解析】设4>i，X),B(x2,j2)

则由抛物线定义得卜同=再+1,忸耳=巧+1

故尸|+4忸耳=3+4蜀叶5,

又因为西工2==1

根据基本不等式有|AF|+4忸司=4+4马+522dxi.4工2+5=9,当且仅当芭=4々，即

x1=2

<1时，等号成立

故|AB|=|A^+怛司=再+勺+2=：.

例4已知以为抛物线Uy?=4%上一点，过抛物线C的焦点P作直线

x+O—l)y=5—2机的垂线，垂足为N,贝力MF|+|政V|的最小值为

A.272-3B.2应-2C.2+0D.3-72

【答案】D

[分析]本题的关键点有二，一是利用抛物线的定义将|MF|转化为点M到准线x=-1的

距离，这也是遇到抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离的一种基本思路；二是发现

N在一个“隐圆”上，即利用定线段张直角确定隐圆，最终将所求转化为圆上的动点到

直线上点的距离最小来解决.

【解析】由题可得抛物线焦点P(1,0),准线方程为x=-l,

过点A/作A0与准线垂直，交于点Z),

直线x+(m—l)y=5—2m整理得m{y+2)=y—x+5,

联立卜+2=0可得尸=3即该直线过定点(3,_2),

[y—x+5=0[y=-2

设P(3,-2),连接FP,取EP中点E,则E(2,-l),|即|=及，

若月V_U,则N在以FP为直径的圆上，该圆方程为(x-2>+(y+l)2=2,

又由得|A/F|+|MVH"D|+|MV|，

如图，|M0+|MN|的最小值为圆(无-2>+(y+l)2=2上的点到准线的距离的最小值，

过点E作即'与准线x=-l垂直并交于点O',

与圆E交于点N',与抛物线交于点〃‘，

则|D'N'|即为|MD|+|跖V|的最小值,

即|MD|+|ACV|的最小值为|EZT|-r=3-应.

故选D.

例5已知点A(4,4)在抛物线y2=4x上，尸是抛物线的焦点，点P为直线1=—1上的

动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，贝|」|。川+|。同的最小值

为()

A.8B.2A/13C.2+741D.V65

【答案】D

【分析】由题意，知抛物线V=4%的焦点尸(L。)，直线x=—1是抛物线V=4%的准线，

设厂(1,0)关于直线1=—1的对称点尸(—3,0),|PA|+|PF|=|PA|+|PF|,利用两点之间线段

最短，可知|B4|+|P4的最小值等于再利用两点之间的距离即可求解.

【解析】由题意，知抛物线V=4x的焦点厂(L。)，直线x=—1是抛物线V=4%的准线，

点A(4,4)在抛物线V=4%上，点「为直线％=—1上的动点，

设厂(1,0)关于直线1=—1的对称点尸(—3,0)，作图如下，

利用对称性质知：|尸耳=|尸尸'I，则|以|+|尸耳=|网+|PP|.A尸|

即点P在尸'位置时，|?A|+|P同的值最小，等于

利用两点之间距离知\AF'\=7(-3-4)2+42=而，则|网+旧刊的最小值为底

故选：D.

本题考查利用对称求最短距离，"两点之间线段最短"，是解决最短距离问题的依据，在

实际问题中，常常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，解决这类问题,

可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段转化为两点之间的距离问题.

【巩固训练】

22

1.已知椭圆C：土+上=1的左焦点为尸，点〃在椭圆C上，点N在圆E：

95

(x-2p+y2=i上，则+的最小值为()

A.4B.5C.7D.8

22

2.已知厂是双曲线^--乙=1的左焦点，4(1,4),尸是双曲线右支上的一动点，0IJ|PF|+|B4|

412

的最小值为.

3.设P是抛物线产=4x上的一个动点，P是抛物线的焦点.若8(3,2),则|尸2|十|尸/|的最小值

为.

4.设P是抛物线J2=4X上的一个动点，F是抛物线的焦点.若8(3,4),则尸3|+尸川的最小值

为.

5.设尸是抛物线V=4x上的一个动点，尸是抛物线的焦点.若3(3,2),点P到点4-11)的

距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为.

6.已知产是椭圆5/+9产=45的左焦点，尸是此椭圆上的动点，A(l,l)是一定点，则照十|尸川

的最大值为，最小值为.

7.已知直线/1:4%—3y+6=0和直线4：X=—1,抛物线V=4%上一动点尸到直线乙和直

线12的距离和得最小值为.

8.已知A(3,-1),B(5,-2),点尸在直线x+y=O上，若使|P4|+|PB|取最小值，则点尸

的坐标是()

1Q13

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-2,2)D.(―,—)

9.已知A(2,0),B(6,0),|=2,点N在抛物线V=8%上，则|M7V|+g|朋A|的

最小值为

A.6B.2A/5C.5D.2医

10.已知点尸(3力，fGR,点M是圆/+。-1)2=/上的动点，点N是圆(无—2)2+；/=；上的

动点，则『川一IPM的最大值是()

A.小一1B.2C.3D.y[5

11.已知尸为抛物线产=4x上一个动点，。为圆/+(y-4)2=l上一个动点，那么.

点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小值是.

【答案或提示】

1.【答案】B

【解析】易知圆心E为椭圆的右焦点，且a=3,6=J?,c=2,

由椭圆的定义知：|MF|+|VE|=2a=6,所以|MF|=6—|VE|,

所以+|ACV|=6-+|ACV|=6--1肱v|),

要求I"耳+|MN|的最小值，只需求I阿的最大值，显然M,N,E三点共线时

|瓶目—|肱V|取最大值，且最大值为1，所以|画|+|儿0|的最小值为6—1=5.

故选：B.

2.【答案】9

22

【解析】因为尸是双曲线上—匕=1的左焦点，所以网一4,0),设其右焦点为H(4,0),则

412

由双曲线的定义可得IPFI+照|=2a+|P”|+|例N2a+|4H|=4+J(4—l)2+(0-4)2=4+5

=9.

3.【答案】4

【解析】如图，过点2作2Q垂直准线于点Q,交抛物线于点Pi，

则|P1Q|=|PF|.1、

则有|尸为+\PF]>\PiB\+|P1Q|=|BQ|=4,

即|PB|+|PF|的最小值为4.

4.【答案】22G

【解析】由题意可知点3(3,4)在抛物线的外部.

；甲8|+|尸目的最小值即为8,尸两点间的距离,尸(1,0),

：.\PB\+\PF\>\BF\="2+2?=275,

即|P3|+|P曰的最小值为2JS.

5.【答案】

【解析】如图，易知抛物线的焦点为P(l,0),准线是》=一1,

由抛物线的定义知点P到直线x=~\的距离等于点P到点F的距离.于是，问题转化为在

抛物线上求一点P,使点P到点4(-1,1)的距离与点P到点尸(1,0)的距离之和最小，显然,

连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为血-(-I)]?+(0-1)2=75.

点评：

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看

到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.

6.【答案】6+6—^2

22

【解析】椭圆方程化为土+乙=1,

95

设尸1是椭圆的右焦点，则B(2,0),

.,.|AFi|=V2,.-.|B4|+|PF|=|B4|-|PFi|+6,

又一|4尸归RIITPB国AB|(当尸，A,西共线时等号成立)，

：.6-6<|E4|+|PF|<6+6.

7.【答案】2

8.【分析】求出A关于直线/：x+y=O的对称点为C,则P为直线BC与直线I的交点时,

满足条件，进而得到答案.

【解析】如下图所示：

点A(3,-1),关于直线/：x+y=O的对称点为C(1,-3)点，

由BC的方程为：主工=21乡，即x-4y-13=0,

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可得直线BC与直线/的交点坐标为：(卫，旦)，