苏科版八年级数学上册重难点专项训练：勾股定理（原卷版+解析）

专题n易错易混集训：勾股定理

聚焦考点

易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解

易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解

易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解

易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式

易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解

例题：（2022•湖北,恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）若一个直角三角形的两边长为3和4,则它第三

边的长为.

【变式训练】

1.（2022•广东•深圳外国语学校七年级期末）在RZ0ABC中，AB2=10,AC2=6.贝UBC?=（）

A.8B.16或64C.4D4或16

2.（2021•甘肃•景泰县第四中学八年级期中）已知直角三角形的三边长分别为6,7,x,贝.

3.（2022•辽宁抚顺•八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15,那么这个三角形的第三边

长为.

4.（2022•安徽哈肥市西苑中学八年级期中）已知尤、y为直角三角形的两边且满足^/^^+（尤-y+l）2=0,

则该直角三角形的第三边为.

5.（2020・四川成都•八年级阶段练习）如图，点M,N把线段分割成AM,MN和NB,若以AM,MN,

为边的三角形是一个直角三角形，则称点N是线段的"勾股分割点已知点N是线段A8的

“勾股分割点"，若AM=3,MN=4,则8N的长为.

易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解

例题：（2021•北京市鲁迅中学八年级期中）在EA8C中，AB=15,AC=20,8c边上的高AO=12,则

BC=.

【变式训练】

1.（2021•黑龙江牡丹江•八年级期末）在EA8C中，若AC=15,BC=13,AB边上的高CO=12,则MBC的周

长为.

2.（2022•北京TOI中学八年级期中）在R/0ABC中，EL4CB=90°,AC=4,AB=5.点P在直线AC上，且

BP=6,则线段AP的长为.

易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解

例题：（2022•浙江绍兴•二模）在AABC中,AC=4,BC=2,AB=2斯，以AB为边在"BC外作等腰直角AABD,

连接CD,则CD=.

【变式训练】

1.（2021•辽宁•沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在R/fflABC中，90°,AB=5cm,AC=

3cm,动点P从点B出发沿射线BC以lcm/s的速度移动，设运动的时间为f秒，当0ABp为等腰三角形时，

t的取值为.

2.（2022•江西萍乡•八年级开学考试）如图，在直角三角形纸片ABC中，fflACB=90。，回8=30。，AC=3,点

。是边上的点，将团C8O沿C£＞折叠得至峋CPO,CP与直线A2交于点E,当出现以。尸为边的直角三角

形时，8。的长可能是.

3.（2022・湖北武汉•八年级阶段练习）R/a42c中，直角边AC=8,斜边42=17,在直线AC上取一点。,

使0A2O为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为.

易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式

例题：（2021•新疆伊犁,八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3。相，高是12c机的长方体纸

箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是cm.

【变式训练】

1.（2021•山东•烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，A,8是一棱长为3c机的正方体的顶点，点C

在棱上，且8C=1C7W.若一只蚂蚁每秒爬行2cm,在顶点A处的蚂蚁沿着正方体的前侧面和右侧面爬行到

C点，至少爬行秒？

2.（2022・广东梅州•八年级期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20〃z,宽A£>=10根.中间竖有一

堵砖墙高MN=2〃z.一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走的路程.

3.（2022,广东茂名•九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12c〃z,底面周长为24c〃z,在容器外侧距下底1c%

的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最

短距离为cm.

4.（2022・全国•八年级）如图是一块长、宽、高分别为40"、2c和1c:九的长方体木块，一只蚂蚁要从长方

体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么

它需要爬行的最短路径的长是

5.（2022•山东•潍坊市寒亭区教学研究室一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯

一利用现有雪场改造而成的.下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地

可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为1上2m,其边缘

n

AB=CD=24m,点E在CO上，CE=4m.一名滑雪爱好者从点A滑到点E,他滑行的最短路线长为

m.

专题n易错易混集训：勾股定理

聚焦考点

易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解

易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解

易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解

易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式

易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解

例题：（2022•湖北•恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）若一个直角三角形的两边长为3

和4,则它第三边的长为.

【答案】近或5

【分析】分边长为4的边是斜边和直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得.

【详解】解：由题意，分以下两种情况：

（1）当边长为5的边是斜边时，

则第三边长为J42-3?；

（2）当边长为5的边是直角边时，

则第三边长为正彳=5；

综上，第三边长为6或5,

故答案为："或5.

【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键.

【变式训练】

1.（2022,广东•深圳外国语学校七年级期末）在R/HABC中，AB2=10,AC2=6.则=

（）

A.88.16或64C.4D4或16

【答案】D

【分析】根据勾股定理分情况讨论求解即可.

【详解】解：当NC=90。时，

BC2=AB2-AC2=4-.

当乙4=90。时，

BC2=AB2+AC2=16；

故选：D.

【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，理解题意进行分类讨论是解题关键.

2.（2021•甘肃•景泰县第四中学八年级期中）己知直角三角形的三边长分别为6,7,无，则/

【答案】85或13##13或85

【分析】分6和7都为两直角边和6为直角边，7为斜边，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：当6和7都为直角边时，由勾股定理得/=6?+72=85；

222

当6为直角边，7为斜边时，%=7-6=13,

综上,为2=85或13,

故答案为：85或13.

【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，利用分类讨论思想求解是解答的关键.

3.（2022•辽宁抚顺•八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15,那么这个

三角形的第三边长为.

【答案】17或必

【分析】分两种情况：当8和15都是直角边时；当15是斜边长时；分别利用勾股定理计算

出第三边长即可.

【详解】解：当8和15都是直角边时，第三边长为：,8?+15?=17,

当15是斜边长时，第三边长为：7152-82=V161.

故答案为：17或对

【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是0，b,斜边长为c,那

么a2+b2=c2.

4.（2022•安徽•合肥市西苑中学八年级期中）已知x、y为直角三角形的两边且满足

VT三+（x-y+l『=0,则该直角三角形的第三边为.

【答案】5或4##"或5

【解析】

【分析】

由非负性的性质可求得x与y的值，再分两种情况，利用勾股定理即可求得第三边的长.

【详解】

回Jx-320,（x—y+1）>0,且5/无一3+（尤一y+l『=0，

团％—3=0,X—y+1=0,

解得：x=3,y=4.

当行3,方4为直角三角形的两直角边时，由勾股定理得第三边为：疹百=5；

当x=3为一直角边，y=4为斜边时，由勾股定理得第三边为：742-32=^7-

故答案为：5或币.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，涉及两个非负数的和为零则它们均为零的性质，注意求得

的两边无法确定都是直角边还是一条直角边和一条斜边，故要分类讨论.

5.（2020•四川成都•八年级阶段练习）如图，点M,N把线段A3分割成AM,MN和NB,若

以为边的三角形是一个直角三角形,则称点是线段A8的"勾股分割点己

知点M,N是线段AB的“勾股分割点"，若AM=3,MN=4,则BN的长为.

【答案】5或将##近或5

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：当AM=3,M0=4为直角边时，当MN=4为斜边时，则AM=3为直角边，

再利用勾股定理可得答案.

【详解】

解：当AM=3,=4为直角边时，

\BN=1m+A1=5,

当MN=4为斜边时，则AM=3为直角边，

\BN=1U-?=布,

故答案为：5或近

【点睛】

本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.

易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解

例题：（2021•北京市鲁迅中学八年级期中）在0A8C中，A8=15,AC=20,边上的高40=12,

则BC=.

【答案】7或25

【解析】

【分析】

已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情

况讨论，即SABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解.

【详解】

解：分两种情况：

①如图1,0A2C中，AB=15,AC=20,BC边上高AO=12,

在RZEIAB。中48=15,AD=12,

由勾股定理得：BO=7152-122=9

在40AOC中AC=20,4。=12,

由勾股定理得：OC=也。?=16

0BC的长为BD+DC=9+16=25.

②如图2,同理得：BD=9,DC=16,

国BC=CD-BD=7.

综上所述，BC的长为25或7.

故答案为：25或7.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长.当

已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论.

【变式训练】

1.（2021•黑龙江牡丹江•八年级期末）在a48c中，若AC=15,BC=13,AB边上的高C£>=12,

则0ABe的周长为.

【答案】32或42##42或32

【解析】

【分析】

作出图形，利用勾股定理列式求出AD、BD,再分CO在AABC内部和外部两种情况求出A3,

然后根据三角形的周长的定义解答即可.

【详解】

解：vAC=15,3c=13,A3边上的高CD=12,

AD=4AC2-CD2=9>

BD=^BC2-CD1=5>

如图1,CD在AABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14,

此时，AABC的周长=14+13+15=42,

如图2,CD在AABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4,

此时，AABC的周长=4+13+15=32,

综上所述，A4BC的周长为32或42.

故答案为：32或42.

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是分情况讨论求出A3的长，作出图形更形象直观.

2.（2022•北京中学八年级期中）在R他A8C中，0ACB=9O。，AC=4,AB=5.点尸在

直线AC上，且BP=6,则线段AP的长为.

【答案】3有-4或3g+4

【解析】

【分析】

根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可.

【详解】

解：如图,

SACB=90°,AC=4,AB=5

BC=y/AB2-AC2=A/52-42=3

在RtZkBPC中，PC7PB2-BC，=,62-32=36

PA=PC-AC=3^-4^PA=PC+AC=3-j3+4

故答案为：3出-4或3g+4

【点睛】

本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键.

易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解

例题：（2022•浙江绍兴•二模）在AABC中，AC=4,BC=2,AB=2下,以4B为边在AABC

外作等腰直角△45。，连接C。，则C£）=.

【答案】2版或2而■或3亚

【解析】

【分析】

分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案.

【详解】

解:如图1,0AB£）=90。，

A

D

CBE

图1

0AC=4,BC=2,AB=2yj5,

她G+BG=A",

豳AC3为直角三角形，0ACB=9O°,

延长圆，过点。作。丸CB于点E,

团。丸C3,

^\BED=^ACB=90°,

团团CA3+团CBA=90°,

丽ABD为等腰直角三角形，

^\AB=BDf她30=90°,

^\CBA^DBE=90°f

团团CAB二团项。，

在"05与反即中，

/ACB=/BED

</CAB=/EBD,

AB=BD

^\ACB^\BED(AA5),

0BE=AC=4,DE=CB=2,

^\CE=6,

根据勾股定理得：CD=\/CE2+DE2=2M；

如图2,回54。=90。，过点。作OE0CA,垂足为点E.

图2

团3CWCA,

^\AED=^ACB=90°.

^\EAD^EDA=90°,

团的30为等腰直角三角形,

^AB=AD,^BAD=90°,

WCAB+^\DAE=90°,

^\BAC=^\ADEf

在△ACB与△OE4中，

ZACB=ZDEA

<ZCAB=ZEDA,

AB=DA

瓯AC3酿OEA(A4S),

回。氏A04,AE=BC=2,

0CE=6,

根据勾股定理得：CD=JCE，+DE、2岳；

如图3,0AOB=9O。，过点。作。硕CB,垂足为点E,过点A作A/W5E,垂足为点f

图3

E0ACB=9O",

团团CA3+团G5A=90°,

团团D45+团084=90°,

团团破。+团D4F=90°,

团团EBQ+团8。£=90°,0DAF+0ADF=9OO,

酿。3氏她。死

在△AH)和△。班中，

NDBE=NADF

<NBED=/AFD,

DB=AD

m\FD^\DEB(A45),

^\AF=DE,DF-BE,

02+DF+BE=4,

^\DF=BE=lf

0CE=Z)E=3,

CD=y/CE2+DE2=35/2•

综合以上可得CD的长为2J元或2屈'或3亚.

故答案为2J元或2屈■或3行-

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三

角形的判定与性质是解本题的关键.

【变式训练】

1.（2021,辽宁•沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在R他ABC中，0ACB=9O°,

AB=5cm,AC=3cm,动点P从点8出发沿射线BC以lc%/s的速度移动，设运动的时间为

r秒，当0ABp为等腰三角形时，r的取值为.

【解析】

【分析】

当0ABp为等腰三角形时，分三种情况：①当尸时；②当尸时；③当2P=AP

时，分别求出3尸的长度，继而可求得f值.

【详解】

在R/a48c中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,

0BC=4(cm)；

①当尸时，如图1,f=5；

②当A8=AP时，如图2,BP=2BC=8cm,f=8；

③当2尸=AP时，如图3,AP=BP=tcm,CP=(4-f)cm,AC=3cm,

在R/E1ACP中，AP2=A(?+CP2,

所以产=32+(4-f)2,

解得：胃科25，

o

25

综上所述：当0ABP为等腰三角形时，f=5或/=8或£=

O

故答案为：5或/=8或,=或25.

O

【点睛】

本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及

分情况讨论，注意不要漏解.

2.(2022•江西萍乡•八年级开学考试)如图，在直角三角形纸片ABC中，0ACB=9O0,SB=

30。,47=3,点。是边AB上的点，将团C2D沿CO折叠得至幅CPD,CP与直线AB交于点E,

当出现以。尸为边的直角三角形时，2。的长可能是.

【分析】分CP^AB，CDLAB,DP,AB三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可.

【详解】解：由折叠性质可得：

ZP=ZB=30°,DP=BD,ZPCD=/BCD,

在RtAABC中，

ZA=90°-30°=60°,AB=2AC=6,BC=6AC=3。

①如图，当CPLAB时，

APDE为直角三角形,

Z.PDE=90°-30°=60°,ZACE=90°-ZA=30°,

.\ZDCP=ZDCB=30°f

:.ZACD=ZA=60°,

AACD为等边三角形，

AD=AC=3,

:.BD=AB-AD=3；

②如图，当COLAS时,

P（E）

ACPD为直角三角形，

9

:.BD=BCcos/B=BC-cos30°=-；

2

③当DP_LAB时，

APD6为直角三角形，

..ZAEC=ZPED=90°-ZP=60°f

.•・AACE为等边三角形，

.-.AE=AC=3f

在RtAPDE中,

vZP=30°,

:.DP=6DE,

.•.BD=DP=6DE,

：AB=AE+DE+BD,

6=3+DE+由DE,

.,DE=^,

2

:.BD=6DE=9-36,

2

综上，3D=3或2或吃空，

22

故答案为：3或/或支芋.

【点睛】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出.

3.（2022,湖北武汉•八年级阶段练习）中，直角边AC=8,斜边AB=17,在直线AC

上取一点。，使0ABO为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为.

4?5

【答案】50或34+3后或34+5后或7-

O

【分析】分三种情况讨论：①如图1,当AB=BD=17时；②如图2,当A2=AO=17时；

③如图3,当A2为底时，AD=BD.

【详解】解：在咫0ABe中，BC^yjAB2-AC2=15>

①如图，

当42=80=17时，CZ)=CA=8时,

40=16,

EHABD的周长为17x2+16=50；

②如图,

当AB=A£)=17时，

得CD=AD-AC=9或CD=AO+AC=25,

在Rf3\BCD中，BD=VBC2+CD2=>/152+92=34或

BE>=VBCI+C£>2=V152+252=5取，

EEAB。的周长为17+17+3西=34+3扃或17+17+5取=34+5庖.

③如图,

当AB为底时，设4D=BO=x,则C£）=x-8,

在R/fflBC。中，BD^^CD^BC2,

即r=（工一8）2+152,解得：x=T289，

16

41/上289289—425

瓯A5D的周长为——+——+17=——.

16168

425

综上，胡2。的周长为50或34+3扃或34+5后或丁.

O

425

故答案为：50或34+3或34+5J同或-.

8

【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，分类讨论思想是本题的关键.

易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式

例题：（2021•新疆伊犁•八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3,高是12cm

的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是cm.

【答案】V193

【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可.

【详解】解：如图

AB=>/162+32=7265

如图

B

AB=A/122+72^^/i93

­.•^/T93<A^41<7265

它所行的最短路线的长为：阿

故答案为：A/193.

【点睛】本题考查平面展开图一最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键.

【变式训练】

1.（2021•山东•烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，A,8是一棱长为3c%的正

方体的顶点，点C在棱上，且8C=lc机.若一只蚂蚁每秒爬行2c7",在顶点A处的蚂蚁沿

着正方体的前侧面和右侧面爬行到C点，至少爬行秒？

【答案】2.5

【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和C点间

的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离，根据蚂蚁爬行的距离，即可求出爬行时间.

【详解】解：将正方体的前侧面和右侧面展开，如图所示：

根据题意可得：DC=Z）B+BC=3+l=4（cm）,

回蚂蚁爬行的最短距离为：AC=-JAD2+DC2=A/32+42=5（cm）,

回蚂蚁每秒爬行2cm,

回蚂蚁爬行的最短时间为：5+2=2.5（秒）.

故答案为：2.5.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的拓展应用，"化曲面为平面"是解决"怎样爬行最近"这类

问题的关键.

2.（2022,广东梅州•八年级期末）如图所示，48cD是长方形地面，长人2=20"，宽AD=

10%中间竖有一堵砖墙高MN=2他.一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙,

则它至少要走的路程.

【答案】26m

【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长

度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可.

【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN,

连接AC,

13四边形ABC。是长方形，AB=2.4m,宽AD=10"z,

MC=ylAB2+BC2=7242+102=26（M，

团蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程.

故答案为：26m.

【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的

关键.

3.（2022•广东茂名•九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12c〃z,底面周长为24c",在容

器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂

蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为cm.

【答案】15

【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确