立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域通用课时时长（分钟）90知识点用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题.教学目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作用．教学重点用向量方法解决立体几何中的有关问题教学难点用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题教学过程一、课堂导入空间平行垂直问题1．两条直线平行与垂直；２．直线与平面平行与垂直；３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题1．两直线所成角；２．直线和平面所成角；３．二面角的概念；空间距离问题二、复习预习（１）空间向量的直角坐标运算律：设，，则，，，，，．（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．（3）模长公式：若，则．（4）夹角公式：．（5）两点间的距离公式：若，，则．三、知识讲解考点1平面法向量的求法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x,y,z的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有几种求平面法向量的办法也比较简便．求法一：先来看一个引理：若平面ABC与空间直角坐标系x轴、y轴、z轴的交点分别为A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，定义三点分别在x轴、y轴、z轴上的坐标值xA＝a，yB＝b，zC＝c（a,b,c均不为0），则平面ABC的法向量为．参数的值可根据实际需要选取．证明：EQ\s\up8(→)\d\ba24()AB＝(－a,b,0),EQ\s\up8(→)\d\ba24()AC＝(－a,0,c),∴ ,∴ 是平面ABC的法向量．这种方法非常简便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为，法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x轴平行（交点坐标值为），和y轴、z轴交点坐标值分别为b、c，则平面法向量为；若平面和x,y轴平行，和z轴交点的坐标值为c，则平面法向量为．（2）若平面过坐标原点O，则可适当平移平面．求法二：求出平面方程，得到法向量．我们先求过点及以n＝为法向量的平面的方程．设是平面上的动点，于是有n＝0，即整理得令，有这就是平面的一般方程.平面的方程可用三元一次方程来表示．且的系数组成该平面的法向量．注意：(1)有了平面的方程，就能得到平面的法向量，可用平面内不共线的三点求出平面的方程．(2)一些特殊情形的平面，方程会更简捷：通过原点的平面，，方程为；平行于轴的平面，，方程为；通过轴的平面，，方程为；既平行于轴又平行于轴的平面,也就是一个平行于坐标面的平面，方程为；类似地，可讨论其它特殊情形．(3)两平面：与平行的充要条件是求法三：用行列式求得法向量．若，是平面内两个不共线向量，计算行列式＝，则平面的法向量为．考点2用空间向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0,]，而两个向量的夹角取值范围也是[0,]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过EQ\F(,2)的那个角即可，但对二面角却是个难题.笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.图一用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量则应分别垂直于该平面角的两边.易知，当同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为.所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可.或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向.两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.xxyzO图二对第二个问题，我们需要选取一个参照物.在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy平面的关系，是自下而上穿过xOy平面呢，还是自上而下穿过xOy平面若是第一种情形，则与EQ\s\up8(→)\d\ba24()OZ所夹的角是锐角，只需取法向量的z坐标为正即可；若是第二种情形，则与EQ\s\up8(→)\d\ba24()OZ所夹的角是钝角，只需取法向量的z坐标为负即可．若法向量与xOy平面平行，则可以选取其它如yOz平面、zOx平面观察．（二）用半平面内的向量解二面角由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．考点3空间直线与空间平面的向量形式在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、证明的目的．在立体几何中借用向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的．1．空间直线：如果l为经过已知点A且方向向量为的直线，那么点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式，或对任一点O（通常取坐标原点），有这是空间直线的向量形式．2．空间平面：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对s、t，使或对空间任一定点O（通常取坐标原点），有这是空间平面的向量形式．

四、例题精析【例题１】如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的大小；ABABCDSEF【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系．设，则，．取的中点，则．平面平面，所以平面．（2）不妨设，则．平面AEFG与x轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、G(0,0,1)，与y轴无交点，则法向量，在CD延长线上取点H，使DH＝AE，则DH∥AE，所以AH∥ED，由（1）可知AG∥EF，所以平面AHG∥平面EFD，平面AHG与x轴、y轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、H(0,－EQ\F(1,2),0)、G(0,0,1)，则法向量，设二面角A－EF－D的大小为，则，即二面角A－EF－D的大小为．【例题２】已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝＝1，M是PB的中点.（1）求二面角CAMB的大小；（2）求二面角AMCB的大小.【解析】如图建立空间直角坐标系，则对二面角CAMB而言，EQ\s\up8(→)\d\ba24()AD是平面AMB的法向量（向内），易知平面ACM符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy平面，所以与EQ\s\up8(→)\d\ba24()AZ所夹的角是锐角.对二面角AMCB而言，平面ACM选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy平面，与z轴正向所夹的角是钝角.xxyz（1）如图，以AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB的法向量为＝(1,0,0),设平面ACM的法向量为＝(x,y,z).由已知C（1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0)，则M(0,1,EQ\F(1,2)),∴ EQ\s\up8(→)\d\ba24()AC＝(1,1,0),EQ\s\up8(→)\d\ba24()AM＝(0,1,EQ\F(1,2)).由取y＝1，则x＝1,z＝2，∴＝(1,1,2).（满足·EQ\s\up8(→)\d\ba24()AZ>0）.设二面角CAMB的大小为，则cos＝,∴ 所求二面角的大小为arccos.（2）选取（1）中平面ACM的法向量＝(1,1,2)，设平面BCM的法向量为＝(x,y,z).EQ\s\up8(→)\d\ba24()BC＝(1,1,0),EQ\s\up8(→)\d\ba24()BM＝(0,1,EQ\F(1,2)),由取z＝－2，则y＝－1,x＝－1，＝(－1,－1,－2)，则，所夹的角大小即为二面角A－MC－B的大小，设为，cos＝，∴ 所求二面角的大小为－arccosEQ\F(EQ\R(6),3).【例题３】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是BB1（1）求二面角E－AC1－B的大小；（2）求二面角C1－AE－B的大小．【解析】在第（1）题中，只需在AC1上找到两点G、H，使得EQ\s\up8(→)\d\ba24()GB、EQ\s\up8(→)\d\ba24()HE均与EQ\s\up8(→)\d\ba24()AC1垂直，则EQ\s\up8(→)\d\ba24()GB、EQ\s\up8(→)\d\ba24()HE的夹角即为所求二面角的大小．如何确定G、H的位置呢可设，，这样向量EQ\s\up8(→)\d\ba24()GB就用参数表示出来了，再由EQ\s\up8(→)\d\ba24()GB·EQ\s\up8(→)\d\ba24()AC1＝0求出的值，则向量EQ\s\up8(→)\d\ba24()GB即可确定，同理可定出H点．第（2）题方法类似．以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),B1(0,0,2),C1(1,0,2),E(0,0,1)．EQ\s\up8(→)\d\ba24()AC1＝(1,－1,2),EQ\s\up8(→)\d\ba24()AB＝(0,－1,0).xyzGxyzGH由EQ\s\up8(→)\d\ba24()GB·EQ\s\up8(→)\d\ba24()AC1＝0＋(＋1)＋4＝0，解得：，∴ EQ\s\up8(→)\d\ba24()GB＝().图六同理可得：EQ\s\up8(→)\d\ba24()HE＝()，EQ\s\up8(→)\d\ba24()HE·EQ\s\up8(→)\d\ba24()AC1＝0．图六EQ\s\up8(→)\d\ba24()GB、EQ\s\up8(→)\d\ba24()HE的夹角等于二面角E－AC1－B的平面角．cos<EQ\s\up8(→)\d\ba24()GB,EQ\s\up8(→)\d\ba24()HE>＝,xyzMN图七∴ 二面角E－AC1－xyzMN图七（2）EQ\s\up8(→)\d\ba24()AE＝(0,－1,1),在AE上取点M、N，设，则,由EQ\s\up8(→)\d\ba24()MB·EQ\s\up8(→)\d\ba24()AE＝0得：＋1＋＝0，解得：＝，∴ EQ\s\up8(→)\d\ba24()MB＝.同理可求得：EQ\s\up8(→)\d\ba24()NC1＝(1,,),EQ\s\up8(→)\d\ba24()NC1·EQ\s\up8(→)\d\ba24()AE＝0.∴ EQ\s\up8(→)\d\ba24()MB、EQ\s\up8(→)\d\ba24()NC1的夹角等于二面角C1－AE－B的平面角．cos<EQ\s\up8(→)\d\ba24()MB,EQ\s\up8(→)\d\ba24()NC1>＝,∴ 二面角C1－AE－B的大小为arccos().

五、课堂运用【基础】１.在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，eq\r(2))．若S1，S2，S3分别是三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1【解析】设顶点D在三个坐标平面xOy、yOz、zOx上的正投影分别为D1、D2、D3，则AD1＝BD1＝eq\r(2)，AB＝2，∴S1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S2＝SOCD2＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)，S3＝SOAD3＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)．∴选D．【答案】D２.求过点,,的平面的法向量．【解析】方法一：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量，，设平面的法向量为，由，得，令，得平面的一个法向量．方法二：设过点,,的平面的方程为，代入点的坐标，得，解之，即，所以平面的方程为，所以平面的一个法向量．方法三：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量，，因为这两个向量不平行，计算．故所求平面的一个法向量．３．已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，（1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离．【解析】（1）解法一：延长交于，则为的中点，∴，∵，∴，连结，则，又是的中点，∴，∴是异面直线和的公垂线．解法二：以为原点，分别以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，于是有，，，，，，所以是异面直线和的公垂线．（2）由（1）知，为异面直线和的距离．所以．【巩固】１．已知正方体的棱长为，求与间的距离．【解析】解法一：（转化为到过且与平行的平面的距离）连结，则1C(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为eq\r(3)，求二面角A1-AB-C的大小．【解析】方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C．由三垂线定理得AC1⊥(2)BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝eq\r(3).因为A1C为∠ACC1的平分线，所以A1D＝A1E＝eq\r(3)．作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F．由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB-C由AD＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－A1D2)＝1，得D为AC中点，DF＝eq\f(\r(5),5)，tan∠A1FD＝eq\f(A1D,DF)＝eq\r(15)，所以cos∠A1FD＝eq\f(1,4)．所以二面角A1-AB-C的大小为arccoseq\f(1,4)．方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C(1)证明：设A1(a，0，c)．由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(a－2，0，c)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(a－4，0，c)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(a，－1，c)．由|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝2，得eq\r(（a－2）2＋c2)＝2，即a2－4a＋c2＝0.①又eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BA1,\s\up6(→))＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1⊥A1B．(2)设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，则m⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，m⊥eq\o(BB1,\s\up6(→))，即m·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，m·eq\o(BB1,\s\up6(→))＝0.因为eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(a－2，0，c)，所以y＝0且(a－2)x＋cz＝0．令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC1B1的距离为|eq\o(CA,\s\up6(→))|·|cos〈m，eq\o(CA,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(CA,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq\f(2c,\r(c2＋（2－a）2))＝c．又依题设，A到平面BCC1B1的距离为eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，于是eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(－1，0，eq\r(3))．设平面ABA1的法向量n＝(p，q，r)，则n⊥eq\o(AA1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，即n·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，－p＋eq\r(3)r＝0，且－2p＋q＝0.令p＝eq\r(3)，则q＝2eq\r(3)，r＝1，所以n＝(eq\r(3)，2eq\r(3)，1)．又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，故cos〈n，p〉＝eq\f(n·p,|n||p|)＝eq\f(1,4)．所以二面角A1-AB-C的大小为arccoseq\f(1,4)．【拔高】１．如图，已知ABCD为边长是4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝２，求点B到平面EFG的距离．ＡＡＢＣＤＧＥＦxyz【解析】分别以EQ\s\up8(→)\d\ba24()CD、EQ\s\up8(→)\d\ba24()CB、EQ\s\up8(→)\d\ba24()CG为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),B(0,4,0).∴ EQ\s\up8(→)\d\ba24()EF＝(2,－2,0),EQ\s\up8(→)\d\ba24()EG＝(－2,－4,2),设P是平面EFG上的动点，则存在实数s,t，使得EQ\s\up8(→)\d\ba24()CP＝EQ\s\up8(→)\d\ba24()CE＋sEQ\s\up8(→)\d\ba24()EF＋tEQ\s\up8(→)\d\ba24()EG＝(2,4,0)＋s(2,－2,0)＋t(－2,－4,2)＝(2s－2t＋2,4－2s－4t,2t),∴ P(2s－2t＋2,4－2s－4t,2t),∴ EQ\s\up8(→)\d\ba24()BP＝(2s－2t＋2,－2s－4t,2t).当且仅当BP⊥EF且BP⊥EG时，BP⊥平面EFG，BP即为所求的点B到平面EFG的距离．由EQ\B\LC\{(\A\AL(EQ\s\up8(→)\d\ba24()BP·EQ\s\up8(→)\d\ba24()EF=0,EQ\s\up8(→)\d\ba24()BP·EQ\s\up8(→)\d\ba24()EG=0))EQ\B\LC\{(\A\AL(2(2s-2t+2)–2(-2s-4t)=0,-2(2s-2t+2)–4(-2s-4t)+4t=0))，解得：EQ\B\LC\{(\A\AL(s=-EQ\F(7,11),t=EQ\F(3,11)))．∴ EQ\s\up8(→)\d\ba24()BP＝(EQ\F(2,11),EQ\F(2,11),EQ\F(6,11)),∴ 点B到平面EFG的距离即为|EQ\s\up8(→)\d\ba24()BP|＝E