平面向量的数量积（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第02讲平面向量的数量积

（7类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第3题,5分向量垂直的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示

数量积的运算律

2024年新II卷，第3题,5分已知数量积求模模长的相关计算

垂直关系的向量表示

向量垂直的坐标表示

2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示

利用向量垂直求参数

2023年新II卷，第13题,5分数量积的运算律向量的模长运算

2022年新H卷,第4题,5分数量积及向量夹角的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示

坐标计算向量的模

2021年新I卷，第10题,5分数量积的坐标表示逆用和、差角的余弦公式化简、求值

二倍角的余弦公式

2021年新II卷，第15题,5分数量积的运算律无

2020年新I卷，第7题,5分用定义求向量的数量积无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分

【备考策略】I通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积

2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系

3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角

4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学

和实际问题中的作用

5会用数量积解决向量中的最值及范围问题

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理

解，易得分，需重点复习。

知识点1平面向量的数量积的定义

知识点2平面向量数量积的运算律

核心知识点

知识点3平面向量数量积的有关结论

考点1求平面向量的散量积

平面向量的数量积考点2辨析3积的运算律

考点3模长综合计算

考点4夹角综合计算

核心考点

考点5垂直综合计算

考点6向量

考点7数量积范围的综合问题

知识讲解

1.平面向量的数量积

设两个非零向量a,8的夹角为仇记作（叫，且。e[o,扪

。二

定义

则数量同向cos0叫做a马b的数量积，记作ab

|a|cos3叫做向量a在b方向上的投影，

投影

网cos0叫做向量b在a方向上的投影

几何

数量积ab等于a的长度同与b在a的方向上的投影团cos0的乘积

意义

2.向量数量积的运算律

b=ba.

(2)(Aa)b=k(ab)^a(Ab).

(3)(a+6)c=ac+Z>c.

3.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=（xi，刈），8=（x2，乃），。与分的夹角为夕

结论几何表示坐标表示

数量积\a\\b\cos(2,b\ci'b=x\X2~\~y\y2

IM=Jx?+贯

模\a\=y[a^a

abxix2-hyiy2

夹角cos6=-----cos0—,=~/

同网yjxi+y^-y/xi+yi

aLb的充要条件ab=0^iX2~\~y\y2=0

+式

|a力|与同网的关系|a力三同网,iM+J1J21WJ(x¥)(x,+yi)

1.数量积运算律要准确理解、应用，

例如，a?=a，c（aWO）不能得出8=c,两边不能约去一个向量.

2.a力=0不能推出a=0或8=0,因为。力=0时，有可能a_LA.

3.在用同=值求向量的模时，一定要先求出/再进行开方.

考点一、求平面向量的数量积

1.（2022•全国偏考真题）已知向量满足|=1,向=百］。-2刃|=3,则〃（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024•山东潍坊•三模）已知向量Z=（l,2）石=（4,-2）1=0"）,若＞（2%+可=0,则实数4=

3.（2021•全国・高考真题）已知向量Q+B+°=6,忖=1,同=口=2,a-b+b-c+c-a=・

4.（2024・全国•模拟预测）如图所示，在边长为2的等边中，点£为中线5。的三等分点（靠近点

3）,点尸为的中点，则而.丽=（）

即时

1.(2023•全国•高考真题)正方形A8CD的边长是2,E是22的中点，则品■.丽=()

A.V5B.3C.2#>D.5

2.(2022黑龙江•二模)已知向量2=(1,机)，B=(",6),若5=3),则72=.

3.(2022.全国•高考真题)设向量g的夹角的余弦值为:，且同=1,问=3,则(2£+3"=.

4.2024•河北衡水•模拟预测)在^ABC中,NBAC=60。,网=6,辰|=3,而=2MB,CN=两，贝ij不.赤=

()

A.-9B.—C.9D.18

2

考点二、辨析数量积的运算律

典例引领

1.(2021・浙江,高考真题)已知非零向量则"a.c=B•c"是"。=B"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2.(湖北•高考真题)已知己石,高为非零的平面向量.甲：小3=小1,乙：］=己，贝IJ()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.(上海•高考真题)若心)均为任意向量，meR,则下列等式不一定成立的是()

A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)-c=a-c+b-c

C.m(a+b)=ma+mbD.(a-b)c=a(b-c)

即阻性遐

4.(2023•全国•模拟预测)设Z,BI是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是()

A.（QB.卜闿《4・6

c.0球-但诙与1垂直D.问训少-q

5.（22-23高三上・江苏扬州•开学考试）（多选）关于平面向量色石忑，下列说法不正确的是（）

A.若.己，贝=B

B.^a+b^c=a-c+b-c

C.若必二庐，^a-c=b-c

D.（a-b^-c=（b-cj-3

考点三、模长综合计算

典例引领

1.（2022•全国•高考真题）已知向量Z=（2,1）Z=（-2,4）,贝干-q（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2024•全国•高考真题）已知向量满足忖=1,卜+2q=2,且伍-2a）_LB,贝咽=（）

AJ_R6cCD1

222

3.（2024・广东肇庆•模拟预测）已知12是单位向量，且它们的夹角是60°.若］=1+2£彼=21-晟，且

\a\=\b\,则2=（）

A.2B.-2C.2或-3D.3或-2

4.（2024高三下•全国•专题练习）已知向量a=（-1,2）,向量否满足卜-©=2右，且cos〈“,B〉,则⑸=

（）

A.V5B.5C.V10D.25

1.（2024・陕西榆林•二模）若向量Z=（加,"?-1）,3=（&私3）,|研=|31,则他=（）

A.-4B.-3C.-272D.-2

2.（2024•陕西西安•模拟预测）已知向量。=（切,加），weR,1=（0,2）,贝电+囚的最小值为.

3.（2024•广西柳州•模拟预测）已知向量3与B的夹角为60。，且》=（1,6），忖=1,则归-2q=（）.

A.V?B.y/5C.4D.2

4.(2024・湖南长沙•三模)平面向量a,b,c满足：a±c,«用=］，GQ］，且H=P|=3'4R=2'

贝lj|a+S+c|=_.

考点四、夹角综合计算

典例引领

1.（2023•全国,高考真题）已知向量。=（3,1）3=（2,2）,贝1|cos（a+&a-B）=（）

A.—B.叵C.—D.短

171755

2.（2023•全国•高考真题）已知向量痴忑满足同=同=1洞=收，且3+彼+己=6，贝Ucos〈。一旋底〉=

（）

3.(2022,全国"身考真题)已知向量a=(3,4),A=(l,0),c="+仍，若<a,c>=<8,c>,贝!|f=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.（2023•河南郑州•模拟预测）已知向量方=（百,1）,B=（〃L1,3）,若向量I,B的夹角为锐角，则实数%的

取值范围为()

A.(l-V3,+oojB.(1+3A^,+CO)

C.(1-V3,1+373)U(1+373,+oo)D.(l+G,l+3G)U(l+3省,+8)

即时检测

1.（2024•山东日照•三模）已知a和B是两个单位向量，若则向量Z与向量［一右的夹角为（）

兀兀712兀

A.—B.-C.—D.—

6323

2.（2024•广东江门•二模）设向量刀=（l,x）,砺=（2,x）,则cos〈dX砺〉的最小值为____.

3.（2024•河北•模拟预测）平面四边形N8CD中，点及尸分别为/刀逃。的中点，|。。|=2|/同=8,忸尸|=5,

则cos（/8,Z）C）=（）

4.（2024・上海•模拟预测）已知向量3,b,。满足同=同=1,同=也，且@+彼+3=0,则

a-c,b-c

考点五、垂直综合计算

典例引领

1.（2024•全国•高考真题）设向量万=（x+l,x）,B=（%,2）,则（）

A.〃、=-3〃是〃的必要条件B.〃％=-3〃是〃£//另〃的必要条件

C.〃工=0〃是〃力产的充分条件D.〃x=—1+G〃是纭/必的充分条件

2.（2024•全国•高考真题）已知向量万=（0,1）石=（2,x）,若必@_包,贝!Jx=（）

A.-2B.-1

3.（2023•全国•高考真题）已知向量£=（1,1）3=。,一1）,若［+词」（Z+闻,则（）

4+〃=B.X+//=-1

加=1D.沏=一1

即时检测

1.（2024•广西•三模）已知向量那么向量B可以是（）

A.（1,3）七C.（3,-1）D.（3,1）

2.（2024•浙江台州•二模）已知平面向量-=（2,1）,石=（-2,4）,若（2-+B）乂苏-,则实数4=（）

3.（2023•浙江宁波•一模）若氏石是夹角为60°的两个单位向量，+B与-3a+2B垂直，贝（）

1177

A.—B.—C.—D.一

8484

4.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知向量2=（2,。，b=（1,2）,若当"4时，3-6=|S|-|fe|,当时,

alb贝IJ（）

A.4=-4,q=-1B.八=—4,

C.”4,t2=-1D.%=4,Z2=1

考点六、求投影向量

典例引领

■——

L（2024•山东青岛•二模）已知向量）=（-1,2）,彼=（-3,1）,则I在B上的投影向量为（）

2.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知向量Z3满足同=23=（3,0）,|”可=&6,则向量Z在向量B方向

上的投影向量为（）

1一

3.（2024•安徽马鞍山•模拟预测）已知平面向量值与B满足：）在B方向上的投影向量为3在方方向上

4

的投影向量为心且同=2,则问=（）

A.V3B.2C.273D.4

c________\___.

AB就一►ABAC1

4.（2024•湖南长沙•模拟预测）已知非零向量而与就满足『+口BC=0,且伺=则向

\AB\\AC\\AB\\AC\2

量M在向量无上的投影向量为（）

3―►1—►3—►1—、

A.-CBB.-CBC.——CBD.——CB

2222

即时检测

1.（23-24高三下•湖北•开学考试）已知e是单位向量，且|2。-司=加,方+2。在G上的投影向量为53,贝U。

与巨的夹角为（）

7171715兀

A.—B.—C.—D.—

64312

2.（2024•浙江绍兴三模）若非零向量万，B满足同=同=归+,,则1+2分在B方向上的投影向量为（）

-3__1->

A.2bB.—bC.bD.—b

22

3.（2024•全国•模拟预测）已知向量方=（2,〃?），K=（«,l）,c=（7n+l,-l）,若bile,则1在2+3上

的投影向量为（）

4.（2024•新疆喀什•二模）在直角梯形/BCD中，4J//BC且8c=1.与2D交于点。，则向

量协在向量瓦5上的投影向量为（）

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

2334

5.Q024•山东荷泽・模拟预测）在平面直角坐标系xQv中，）=（1,道），点3在直线x+岛-2=0上，则砺

在刀上的投影向量为（）

A.（1,⑹B.（1,3）C

考点七、数量积范围的综合问题

典例引领

L（湖南•高考真题）设Z花均是非零向量，且忖=2%,若关于x的方程/+口卜+分否=0有实根，则£与.

的夹角的取值范围为（）

八兀兀712K兀

A.0B.—,7iC.-D.—,Tt

_6J\_3J|_33J|_6

2.（2022・北京•高考真题）在。中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸为“5C所在平面内的动点，且

PC=1,则强.而的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

3.（2023・全国•高考真题）已知。。的半径为1,直线尸/与。。相切于点力,直线网与。。交于2,C两点,

。为2c的中点，若怛。|=夜，则强.而的最大值为（）

A1+V2a1+2V2

22

C.1+V2D.2+V2

4.（2024高三•全国•专题练习）已知同=网=2,同=1,（«-c）.（5-c）=0,则归-可的取值范围是（）

即时投测I

1.（2024・河北唐山・二模）已知圆C：X2+（J；-3）2=4,过点（0,4）的直线/与x轴交于点P，与圆C交于A,

8两点，则无•（0+而）的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2]D.[0,2）

2.12024•天津河北・二模）”8C是等腰直角三角形，其中=尸是“8C所在平面内的一点，

若屈=20（2>0,//>0>2+2//=2）,则声在坛上的投影向量的长度的取值范围是（）

A.]o，TB.与1C.[1,V2]D.[V2,2]

3.（2024•全国•模拟预测）已知昆瓦为单位向量，且囚-5同=7,贝小”引+卜-2a的最小值为（）

A.2B.2月C.4D.6

22

4.（2024・山东日照•一模）过双曲线^--匕=1的右支上一点P,分别向G>q:（x+4）2+r=3和

412

0G:（x-4）2+/=i作切线，切点分别为.N,贝IJ（同7+丽）•丽？的最小值为（）

A.28B.29C.30D.32

IN.好题冲关•

基础过关

■一________

一、单选题

1.（2024•重庆・三模）已知向量1=（3,1）,3=（-2,x）,若3，0+B）,则⑸=（）

A.2B.3C.2遥D.

3

2.（2024•北京大兴•三模）已知平面向量3=（1,加），5=（2,-2m）,则下列结论一定错误的是（）

A.aliiB.aLbC.|S|=2|a|D.a—b=（1,—3w）

3.（2022黑龙江•模拟预测）已知向量|Z|=3,|"—司=|Z+2]|,则日+司=（）

A.V3B.2C.75D.3

4.（2024・湖南•模拟预测）已知平面向量之=（-1,2）,石=（3,4）,贝壮在B上的投影向量为（）

3_434

5，-55,5

5.（2024•陕西安康•模拟预测）已知向量2］为单位向量，|句=目且"+g+工=6，则：与B的夹角为（）

6.（2024•陕西安康•模拟预测）若平面向量用B满足同="可=1,卜+可=氐则向量获夹角的余弦值为

7.（2024•江苏泰州•模拟预测）在平行四边形/3CZ）中/=45°,/8=1,/。=也，若/=酢+x近（xeR）,

则网的最小值为（）

D.V2

二、填空题

8.（2024•陕西•模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若。是正八边形NBCDEFG〃的中心,

画=1，则就.丽.

FE

AB

9.（2024•四川内江•模拟预测）已知向量3=（-4,加），3=（1,-2）满足0-23）_1很，则加的值为.

10.（2024・重庆・三模）已知正方形48CD,边长为1,点E是8c边上一点，若BE=2CE,则荏.3=.

能力提升

一、单选题

1.（2024・福建泉州•模拟预测）若平面向量入B满足同咽，且”;时，口叫取得最小值，则他5）=

2.（2024•天津北辰三模）在。"中，|阿=2&,。为。8c外心，且亚•就=1，则/48C的最大值

为（）

A.30°B.45°C,60°D.90°

3.（2024・四川内江•模拟预测）曲线C的方程为r=4x,直线/与抛物线C交于/,2两点.设甲：直线/与

过点（1,。）；乙：OA-OB=-3（。为坐标原点），则（）

A.甲是乙的必要不充分条件B.甲是乙的充分不必要条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

4.（2024.四川成都.模拟预测）设向量。，B满足+且2同=3问/0,则cos＜/,B＞=（）

1313

A.——B.——C.-D.-

6868

5.（2024•陕西铜川•模拟预测）在A48c中，BA-BC^^BC2,若@在+|就，b^^AB+^AC,

2—►5—►

c=-AB+-AC,贝I］（）

77

A.归卜同＞|同B.归卜同＞同C.同＞同〉.D.同＞同＞同

6.（2024•四川成都三模）在矩形NBCD中，AB=5,4。=4,点£满足2荏=3丽，在平面/BCD中，动

点产满足丽.丽=0，则丽.就的最大值为（）

A.V41+4B.V41-6C.2713+4D.2万-6

二、多选题

7.（2024•浙江•模拟预测）已知向量入B的夹角为方，且同=1,忖=2,贝U（）

A.(a-b^LaB..+同=77

C.忻+*恸D.Z在加的方向上的投影向量为"3

4

8.（2024•新疆•三模）已知点。（。,0）,4（2,1）,5（1,2）,P（cosa,sina）（0＜a＜2n）,则下列结论正确的是

()

若口=^,则标而

A._1B.若〃而，贝*=下

4

―►―124

C.若AB・OP=-?,sin2cr=—D.|万|的最大值为店+1

9.（2024•广东江门•三模）定义两个非零平面向量的一种新运算〃*石=|〃|㈤6山〈〃花〉，其中〈见5〉表示见书的

夹角，则对于两个非零平面向量£》，下列结论一定成立的有（）

A.£在B上的投影向量为|a|sin〈a,6〉-b

161

B.(2*b)2+(ab)2=|«|2|6|2

C.2(a*6)=(2a)*6

D.若Q*B=0,KOa!lb

三、填空题

10.（2024天津河东•二模）如图所示，正方形的边长为而，正方形EFG”边长为1,则荏.就的

值为.若在线段48上有一个动点"，则林.旎的最小值为.

真题感也

1.（2024•北京・高考真题）设«,B是向量，贝〃卜+3伍-分）=0"是或2=]"的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024・天津•高考真题）在边长为1的正方形/BCD中，点E为线段CD的三等分点，

1—>—>—>

CE=-DE.BE=2,BA+JLLBC,则丸+〃=；尸为线段放上的动点，G为肝中点，则的最小值

为.

3.Q023,天津•|Wj考真题)在AABC中，BC=1,Z-A-60°,4Z)==/CD,记Z5==6,用扇b

—►1—►_,__.

表示4E=;若BF=3BC,则4E1./月的最大值为.

4.（2023・全国•高考真题）己知向量3,B满足归-可=石，归+可=悔-闸，则斗.

5.（2023•北京•高考真题）已知向量房B满足》+日=（2,3）为-B=（-2,l）,则|歼-出产=（）

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2022・全国•高考真题）已知向量M=（加,3）3=（1,加+1）.若人则加=.

7.（2022・全国•高考真题）设向量刃的夹角的余弦值为g,且同=1,W=3,则（22+否”=.

8.（2022・全国•高考真题）已知向量满足向=1,向=G,|Z-2司=3,则£石=（）

A.-2B.-1C.1D.2

9.（2022・天津•高考真题）在。8C中，CA=a,CB=b,。是NC中点，CB=2BE，试用用5表示力万

为.,若下JL诙，则NNC8的最大值为.

10.（2021•全国•!§）考真题）已知向量。==（3,4）,若（a-4坂）_L3,则2=

（2021•全国•图考真题）若向量之花满足卜|=3,卜-q=5,a%=l,则［0=

12.（2021•全国•高考真题）已知向量a=（3,l）3=（l,0）,c=a+《1.若£_1_工，则后=

13.（2021•浙江•高考真题）已知非零向量则H=是”=/的（）

A.充分不必要条件