中考数学专项复习：分式的概念、性质、运算（原卷版+解析）

中考数学一轮复习资料五合一

《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》

(全国通用版)

第6锦台式的概念、仁质、运兵

点分式的概念及有意义的条件

分式的定义

AA

(1)一般地，整式/除以整式氏可以表示成一的形式，如果除式8中含有字母，那么称一为分式.

BB

A

(2)分式一中，力叫做分子，8叫做分母.

B

AAA

【注】①若8片0,则一有意义；②若夕0,则一无意义；③若/二0且则一二0.

BBB

核心考点2：］分式的基本性质

1.分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.

即：一A=一A.r±(CwO)或A一=A一—C±(CwO),其中4B,。均为整式.

BBCBB：C

2.约分及约分法则

(1)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

(2)约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因

式的最低次塞；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数.如果分式的分子、分母是多项式，先分解

因式，然后约分.

【注】约分的根据是分式的基本性质.约分的关键是找出分子和分母的公因式.

3.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式.

【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式.

4.通分及通分法则

(1)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这

一过程称为分式的通分.

(2)通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、

相同因式的最高次鬲和所有不同因式的积)；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所

得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母

的分式；

③若分母是多项式，则先分解因式，再通分.

【注】通分的根据是分式的基本性质.通分的关键是确定几个分式的最简公分母.

5.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次骞的积作为

公分母，这样的分母叫做最简公分母.

■分式的运算

1.分式的加减法

(1)分式的加减

nc〃+「

①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减.用式子表示为：:土丁=『.

bbb

②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分•式，然后再加减.

士一4a1cad、bead±bc

用式手表不为：一±一=—±-=--------

bdbdbdbd

(2)分式的乘法

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用式子表示为：

ac_a-c

bdb-d

(3)分式的除法

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.

士一4acada-d

用式手表示为：一+—=----=-----

bdbcb-c

(4)分式的乘方

乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方.用式子表示为:守=。("为正整数，人wO)

(5)分式的混合运算

含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算.

混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.

分式在中考数学试卷中主要的题型如下：基础题会以选择或填空题形式给出，比如对分式概念(分

式有意义的条件)，分式性质的考查，而对分式混合运算的考查主要放在解答题中的计算部分，一般会有

一个计算题，5分左右，值得所有同学重视。

分式的判断

21z、x52m-n

1・下列各式：丁耳（尤7）,其中分式有（

'9K+5,4%+3y'9

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据分式的定义进行判断即可.分式有：5

共2个，故选：B.

4x+3y'

A

【反思】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键,式子9（45是整式）中，分母8中

含有字母，则。A为分式.

D

分式有意义条件

2x

2.如果分式三•有意义，那么工的取值范围是（）

x-1

A.尤HOB.xwlC.xw—1D.XHO且xwl

画【分析】分式有意义，则分式的分母不为0,可得关于X的不等式，解不等式即得答案.

解：要使分式上2x■有意义，贝b-LwO,

x-1

解得x力1,

故选B.

【反思】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零,

分式值为0的条件

3.若分式4的值为°,则工的值为（

A.2B.-2C.2或-2D.0

【分析】根据分式的值为零的条件得出a-4=0且》-2力0,即可求解.

解：：分哈的值为。,

••x2-4=0且X—2A0,

解得：x=-2,

故选：B.

【反思】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是理解分式的值为零的条件：分母不为零，分子为

分式求值

4.已知:+卜5,则代数式含忆的值等于（）

A.3B-ic-7D.5

【分析】由已知可知。+6=5次?，然后整体代入求解即可.

【详解】解：由工+；=5可得6=

ab

a—lab+b

4Q+4b+ab

5ab-lab

20ab+ab

3ab

21ab

j_.

7，

故选C.

【反思】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键.

分式的基本性质

5,下列等式成立的是（）

aba21

AB.

ab-b1a-b2a+ba+b

aa123

CD.—l—:

—a+ba+baba+b

1【分析】

根据分式的基本性质及分式的加法法则进行即可.

ab_ab_a

【详解】

ab-b1(a-b)ba-b'

.A成立，符合题意；

21

2a+bb,

a+—

2

•B不成立,不符合题意；

aa

—a+ba-b'

，C不成立，不符合题意；

12b+2a

—+—=----

abab

，D不成立，不符合题意；

故选A.

【反思】本题考查了分式的基本性质，分式的加法，熟练掌握性质和运算法则是解题的关键.

鼠——最简分式概念

6.下列分式中，是最简分式的是()

2

A理X+1尤2-4

C-（X+1）2

B・七（2+x）2

窗【分析】最简分式是指分子、分母中不含有公因式，不能再约分的式子.

解：A.当=犯，不是最简分式，故A项错误，不符合题意；

XX

B.—=不是最简分式，故B项错误，不符合题意；

2x-6x-3

x2+1

C.不能化简，是最简分式，故C项正确，符合题意；

（x+厅

2

°西%-亓4=Y(x+2)(x尸-2)"x不-2’不是最简分式，故D项错误，不符合题意；

故选：C.

【反思】本题主要考查了最简分式，熟练掌握最简分式是指分子、分母中不含有公因式，不能再约分的

式子是解题的关键.

分式的约分

-4x3y_6ab分式1A的最简公分母是

7.约分

2xy22cl—4〃

【分析】找出公分母,分别求解即可.

簿•~4x3y_2xy-（-2x2）_-2x2

2xy2xy•yy

6ab2a-3b3b

2。-4/2。（1-2。）1-2。'

分式半，~^~2.的最简公分母是12孙2,

2x3y4孙

故答案为：①-生，②兴、③12孙2.

yi-2a

【反思】本题考查了分式的化简，最简公分母的求法，熟练掌握分式的基本性质，最简公分母的求法是

解题的关键.

鼠——分式的通分

8.把上，通分，贝______.

4x6xy4xoxy

@【分析】找出W，：的最简公分母12/y,再利用分式的性质将士

的分母均化为12—y.

oxy

.y_y-3y_3/5_5-(2x)_iox

4x2I2x2y12x2y,6xy12x2y12x2y)

3y2lOx

故答案为

12x2y'I2x2y

【反思】本题考查分式通分，关键是熟练掌握分式的基本性质

w——整体代入法求分式的值

9.已知2a-2b=ab,则工-:的值等于______.

ab

窗【分析】所求式子通分后，将已知等式变形后代入计算即可求出值，本题利用了整体代入思想.

O.,2a-2b=2，(a-b)-ab,

11_b-a_a-b_a-b_1

ababab2(〃-A)2

故答案为：-万.

【反思】此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母.

©——分式的化简求值

3-r(5

10.先化简后再求值：一X+2——-其中元=20—3

x—2\x-2

【分析】先算出括号里面的式子，再根据分式的除法法则算出最简分式，最后将x的值代入最简分式

计算即可.

3-xJx+2—-—

解：

x—2Ix—2

3-xx2-9

x—2x—2

3—xx—2

-----------X----------

x-2X2-9

1

x+3

将x=20-3代入-工中可得

原式=-；1__

20-3+3-2夜—4

【反思】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是解题的关键.

灵活运用整体思想，可以简化计算

数学思想方法是数学的灵魂。初中数学中常用的数学思想方法有很多，整体思想就是其中一种非常

重要的思想方法，解题过程中灵活运用整体思想可以很有效地简化计算，提高我们的解题效率，尤其是

在计算代数式（整式、分式）的值过程中，要注意！

秘籍六：灵活运用整体思想，可以简化计算！

fiiiSl

悻组J

—•、选择题

1.下列代数式中，属于分式的是（）

X20

A.3B.上C.—+yD.

371+23~b

分式」有意义时X的取值范围是（

2.）

尤+3

A.xw3B.x>-3C.x>—3D.XH—3

若分式工」的值为0,则X的值为（

3.)

x+2

A.x=—2B.x=lc.x=2D.x=-l

x

4.已知X2_3X7"=0,则代数式1—的值是（）

x-x-m

1J_

A.3B.2C.D.

32

5.分式二。可变形为（）

a-b

aa

A.—^―B.-^―c.D.

-a-ba+ba-ba+b

6.下列是最简分式的是（）

ab+a4x—11+x3%

A.C.D.

a4xl-x26x+9y

7.下列利用分式的基本性质变形错误的是（）

1—XX~12xx

AA______=_______B.

・l-2x2x-l4y+22y+l

aa2q2—4a—2

ru.——D.

baba2+4Q+4a+2

AR

5x-7-^-+-4,则4、夕的值为(

8.).

x+lx-j

A.A=3,B--2B.4=2,B=3C.A=3,B-2

4

9.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=-的图象

与一次函数y=r+l的图象交于点p（〃4〃）,则代数式工+工的值

mn

为（）

11

A.B.

~44

C.D.一

22

二、填空题

5

10.若分式有意义，则》的取值范围是一

2x-3

日寸’分式士的值等于。.

11.当/二

化简脸?=一已知=则分式言学的值为—

12.

1y1

13.—的最简公分母是

孙5x3'6xyz

化简：Lj4

14.

/\x-11-x(?\()=5孙一.

15.

⑴三」3%3/y'⑶*匕

化简：之

16.

17.对于一切正整数"，关于x的一元二次方程/-5+3）%-3/=0的两个根记为见,b”,则

111

-----------------------------1-------------------------------1-•••H--------------------------------

(%—3)(4—3)(4-3)(Z?2-3)(%—3)(%—3)

12+2

18.已知实数〃、b、c满足a+b+c=0,则代数式：2a+b+2c11的值为一.

a+b

19.阅读下面的材料，并解答问题：

分式三3（无2°）的最大值是多少？

2x+82x+4+42（x+2）+4

解：=2+-^—

x+2x+2x+2x+2

44

因为所以x+2的最小值是2,所以女的最大值是2,所以2+不的最大值是4,即

三三（无20）的最大值是4

根据上述方法，试求分式筌的最大值是

三、解答题

/-9ci—311

20.先化简，再求代数式---------!---------------的值，其中a=tan60°+l.

/—2〃+1a—1d—1Ja+2

一、选择题

「在空26中，出中分式的个数有（）

y4x+y2x71

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.下列关于分式的判断,正确的是（）

Y4.13

A.当x=2时，U的值为零B.当x为任意实数时，的值总为正数

x-2厂+1

33

C.无论x为何值，一—不可能得整数值D.当x#3时，二二有意义

x+1

3.如果把分式言中的X和y都变为原来的2倍，则分式的值（）

A.变为原来的4倍B.变为原来的2倍C.变为原来的gD.不变

4.下列代数式变形正确的是（）

八aama+1a

A.一=——B.；

bbm~b

0.2x2xx+y_x+y

C.=D.-

0Ax+2yx+2y-x-yx-y

5.下列各式中最简分式是（）

“a-b22las

A.----B.CD.

b-ax+yx-1

2

r_i9

6.JT,贝口等于()

x+2x+1x+1

A.x+1B.x-1C.x+2D.x-2

112

7.把通分的过程中，不正确的是

x—2(x-2)(x+3)(x+3)2

1_(x+3)2

A.最简公分母是(X-2)(%+3)2

x-2~(x-2)(x+3)2

1x+32_2x-2

C-----------=------------

,(x-2)(x+3)(x—2)(%+3产(x+3)2-(x-2)(x+3)2

8.已知〃历=1,〃+Z?+c=2,a2+b2+c2=3,贝--+-----+---\；的值为(

ab+c—1bc+a—1ca+b—1

A.-1B.—C.2D.—

23

9.已知x是方程炉+2%-2=0的根，那么代数式（三一％—乎:一的值是（）

vx-2）X-2x

A.V3-1B.73+1C.6—1或—石+1D.73-1^-73-1

222

10.已知函数/(%)=；—,其中/⑷表示户。时对应的函数值，如/⑴=7二，/(2)=-—,则

1+x1+11+2

/(焉)+/(焉)+…/(；)+/⑴+/(2)+…+/(2021)+/(2022)的值为()

A.2022B.2021C.4043D.4042

二、填空题

11.已知式子」二在实数范围内有意义，则x的取值范围是

12.如果分式㈣Zf的值等于0,那么加的值为.

m-4

-7Li1。5a-lab+5b

13.已1r知一+丁=3,ni则I——,,,=.

aba+6ab+b

14.给出下列分式：

⑴等，⑵注，⑶⑷产2i2

（5），…其中最简分式有—.（填序号）

6。a+b2a-bb-aa+2ab+b

15.已知工-工=2,则分式2x+3冲-2y的值为_

xyx-xy-y

16.已知。，b是一元二次方程必一2%-2020=0的两个根，则,+?=

ab

ii4

17.已知实数。，人满足/+

三、解答题

X2-4X+4

18.先化简，再求值：,其中-2WxW2,取一个合适的整数代入求值.

—2xX

已知：2x

19.M=^-N=------

—♦■2x+1

(1)当1>0时，判断N与。的关系，并说明理由；

2

⑵设V=QN.若%是整数，求歹的整数值.

20.定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分

式为“和谐分式”.例如：==三*=±=+三=1+三，

X—1X—1X—1X—1X—1

^^■=2X(1)+2X+1=2X+2(XT)+3=2X+2+±,贝Ijg和"士1者R是"和谐分式”

X—1X—1X—1x—1%—1x—1

⑴下列分式：①土巴，②学1③安，其中属于“和谐分式”的是________(填序号);

xx+1y

(2)分式“二字^是否为“和谐分式”，请说明理由；

⑶当整数x取多少时，主心一三口一4二L的值为整数？

x+1xx+2x

中考数学一轮复习资料五合一

《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》

（全国通用版）

第6年台式的概念、健质、运事

敦殂特制样解

一、选择题

1.下列代数式中，属于分式的是（）

xC20

A•亨B.C.JD.——

兀+2b

F分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；

B.舄分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；

C.q+y分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；

20

D.当分母中含字母，是分式，故本选项符合题意；

b

故选：D.

A

【反思】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子?（/、8是

A

整式）中，分母8中含有字母，则g叫分式.

2.分式j有意义时x的取值范围是（）

尤+3

A.xw3B.x>-3C.x>-3D.

画；分式占有意义，，x+3w0,的取值范围为x〜3.故选：D.

【反思】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母值不为0是解题的关键.

3.若分式土匚的值为0,则x的值为（）

x+2

A.x=—2B.x=\C.x=2D.x=—l

分式台I的值为°,二天—』。，=L故B正确.故选：B.

【反思】本题主要考查分式的值为0的条件，解题的关键是熟练掌握“分式的值为0,则

分子等于0,分母不为0”

4.已知工之一3%一根=o,则代数式一T—的值是（)

X--x-m

A.3B.2C.-D.；

32

由无之_3%-相=0得%2_机=3%,则—......=-----=——=—',故选：D.

x-x-m3x-x2x2

【反思】本题考查了分式的化简求值，根据所求式子，正确变形已知等式是解题关键.

5.分式二。可变形为（）

a-b

-a

A.B.C.-一—D.-----

a+ba-ba+b

a

故选C.

-a+ba-bb-a

【反思】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键.

6.下列是最简分式的是（）

“ab+a4x-l1+x3x

A•丁

4x6x+9y

ab+a+b+l

该选项不符合题意.

a2-a2―a

B、三二是最简分式.该选项符合题意.

4x

]+X]+%1

C、匚7=（l+x）（l-力=匚1，该选项不符合题意.

3x3xx

D'菽E=3（2x+3y）=K＞该选项不符合题意.

故选：B.

【反思】本题考查了最简分式，分式的分子与分母，除1以外没有其它的公因式时，这样

的分式叫做最简分式

7.下列利用分式的基本性质变形错误的是（）

A-=0B=

1-2%2尤-1'4y+22y+l

aa24—4a—2

bab+4tz+4。+2

1-xx—12xx

故本选项正确，不符合题意；B、-—-=-一■-故本选项正确,

1-2x2x-14y+22y+l

不符合题意;

2

C、当awO时，,故本选项错误，符合题意；D、

bab

/一4(a+2)(a-2)a—2

故本选项正确，不符合题意；

Q2+4Q+4(Q+2『Q+2

故选：C

【反思】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

什5x—7A.B

8.若一^-------=——+——,则45的值为（

x2—4x—5x+1x—5

A.A=3,B--2B.A-2,B=3C.A=3,B-2D.-2,5=3

A(x—5)+B(x+l)

(x+l)(x-5)

Ax—5A+Bx+B

x2-4x-5

_(A+5)口+(—5A+3)

x2-4x-5

___5_x_-_7___=__A___।___B__

%2—4x5x+1x~5

,5x—7_(A+5)/+(—54+3)

—4x5—4x—5

.jA+B=5®

'[-5A+B=-^®，

①-②得：6A=12,

A=2.

将A=2代入①中，解得：B=3,

A+B=5①A=2

方程组的解为：

—5A+5=—7②B=3

故选B.

【反思】本题考查分式的基本性质，方程组的解法。

4

9.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=-2（x>0）的图象与一次函数

X

丁=_工+1的图象交于点「（根,〃），则代数式,+工的值为（）

mn

倒•.,反比例函数」》>0）的图象与一次函数y=-x+l的图象交于点尸（加,〃）,

1IInmm+n「故选

rnn=-44,n=—m+1,/.m+n=l,­'•—l——=----1------=--------A.

mnmnmnmn

【反思】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值.熟练掌握交点坐标

同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关

键.

二、填空题

5

10.若分式有意义，则x的取值范围是

2x-3

画由题意得：2x-3#O,解得：故答案为：xwg.

【反思】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）

分式无意义今分母为零；（2）分式有意义今分母不为零；（3）分式值为零Q分子为零且分

母不为零.

11.当x=时’分式六的值等于0・

••分式士的值等于0,•••x=0

X+IN。'...AO'故答案为：°.

【反思】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为

0是解题的关键.

2化简琮_;已知!」=3,则分式2x+yy的值为—

xyx-2xy-y

倒①m2-3m_m（m-3）m

9-m2（3-m）（3+m）m+3

11

②•・--------=3,

y-x

二3,

孙

即y—%=3孙，贝=孙，

2x+3xy-2y_2（x-y）+3肛_2x（-3孙）+3孙_3肛_3

x—2xy—y（x—j）—2xy—3xy—2xy—5xy5

m3

故答案为一二；i

m+35

【反思】本题考查了分式的化简求值，解题关键是学会因式分解及约分.

11

13.——y的最简公分母是.

xy，5x3，6xyz

倒5，-yy,的分母分别是刈、5x\6xyz,故最简公分母是30dyz

故答案为30Vyz.

【反思】本题考查了最简公分母的求法.

14

14.化简：

x-2X2-4~一

x+2___________4_____1

(x-2)(x+2)一(x-2)(x+2)-彳+2

【反思】本题考查了分式的化简，解题的关键是熟练掌握异分母分式减法的运算法则.

()5盯2

⑵

3x3/y

j()

⑶y-24-y2

倒⑴x_1_(x_1)1_X

x-2~-(x-2)~(2-x)故答案为：2-x；

(5y)5yxy5xy2

⑵=

3x3x*xy3尤2y

故答案为：5y;

1-x_(1-x)(-2-y)_(xy-y+2x-2)

7-2(y-2)(-2-y)

故答案为：xy-j+2%-2.

【反思】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行分式变形,

确定分子分母同时乘除的整式.

⑹化简：而-六

x(%-1)(兀+1)-X+1

X+1X+1

xx2-x

x+1x+1

x>+l

x+1x(x-l)

1

x-1'

故答案为：々

x—1

【反思】本题考查分式的加减乘除混合运算，正确计算是解题的关键.

17.对于一切正整数"，关于x的一元二次方程/-（72+3）*-3“2=0的两个根记为

年’则S-3)+(a-)+…+(,­)=--------------

2

雷由根与系数的关系得%+bn=n+3,an.bn=-3»,

3)(2-3)

=q・2-3(4+2)+9

=-3/—3(〃+3)+9

=-3n2-3n

=—,

则(。“一3)(或一3)二-3小+1)=一§[丁日，

1]]

人(％-3)伯-3)(4-3)(%-3)(%—3)(4—3)

am"一，w

3

10

3

故答案为：-而

【反思】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求

值.

18.已知实数.、b、c满足a+6+c=0,贝IJ代数式：2af1+，]+b[2+2]+2cpi+；〕的

cJyca)\abJ

值为

2a2a2b2b2c2c

=一十一+一+一+一+一

bccaab

2a+2c2。+2b2b+2c

------+------+------

ba

2（Q+C）2（Q+Z?）2,+C）

b

〃+h+c=O,

a+c1a+b[b+c

丁=T'『T'

a

「•原式=—2-2-2=—6,

故答案为：-6.

【反思】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则.

19.阅读下面的材料，并解答问题：分式要20)的最大值是多少？

2%+8_2%+4+4_2（%+2）+4

解：=2+-^—

x+2x+2%+2%+2

44

因为*20,所以x+2的最小值是2,所以‘彳的最大值是2,所以2+二)的最大值是

x+2x+2

4,即矍?(xW0)的最大值是4

根据上述方法，试求分式筌的最大值是

2x2+102V+4+62（/+2）6c6

H---------=2H----------

0+2%?+2尤2+2x+2x+2

因为X』，所以f+2的最小值是2,所以目的最大值是3,所以2+七的最大值

是5,即筌的最大值是5.

故答案为5.

【反思】本题主要考查了分式的混合运算、分式的基本性质等知识点，根据分式的运算法

则对分式进行变形是解题的关键.

三、解答题

片—9ci—311

20.先化简，再求代数式---------!---------------的值,其中"tan&F+l.

a2—2〃+1a—162-1]。+2

窗解:[a2-9。—3

/—2〃+1

（a+3）（Q—3）Q—311

（。一I）?a—1a—1a+2