湖北省荆门市某校2024-2025学年九年级上学期九月月考数学试题（含答案）

数学独立作业（一）

（考试时间120分钟，总分120分）

一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求）

1.一元二次方程x2-2x=0的根是（）

A.x=2B.x=0

C.石=0,%=2D.玉=0,=-2

2.若x=-2是方程/+7内+6=0的一个解，则机的值为（）

A.-1B.1C.2D.5

3.用配方法解一元二次方程/-6彳-5=0,配方正确的是（）

A.(x-3)2=4B.(x-6)2=14

C.(x-3)2=14D.(X+3)2=4

4.下列方程有实数根的是()

A.3/+2尤+1=0B.x2-x-3=0C.x2+2=0D.x2-V3x+1=0

5.在用求根公式x=±近心竺求一元二次方程的根时，小建正确地代入了a,b,c得

2a

到xJ±J（-3）＜4X2X（-1）,则她求解的一元二次方程是（）

2x2

A.2X2-3X-1=0B.2X2+4X-1=0

C.-X2-3X+2=0D.3X2-2X+1=0

6.已知关于x的方程/+〃,+4=0的两个实数根分另I]为2和一1,贝U二次三项式无2+px+q

可以因式分解为()

A.(x-2)(x+l)B.(x-2)(x-l)C.(x+2)(x+1)D.(x+2)(x-l)

7.我们知道方程Y+2x-3=0的解是再=1，々=-3,现给出另一个方程

(2x+3『+2(2x+3)-3=0,它的解是()

A.X]=1,x[=3B.西=1,x,——3C.西=—L—3D.再=-1,x2=-3

8.048CD中，AB,3c的长分别等于一元二次方程Y一5x+6=0两根之和与两根之积,

试卷第1页，共6页

则对角线NC长的取值范围是（

A.AO1B.1<AC<6

C.AC>5^AC<11D.

9.有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布,

同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动.小明被邀请参加一次“微信点名”

活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定

”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动.设参与该活动

后规定“@”x人，则可列出的方程为（）

A.x2=91B.1+x2=91C.l+x+x（l+x）=91D.l+x+x2=91

10.对于一元二次方程，古代数学家研究过其几何解法.以方程/+2x=34为例，三国时

期的数学家赵爽（约公元3-4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如

图所示的大正方形N2C。，它由四个全等的矩形加中间小正方形组成，根据面积关系可求得

42的长，从而解得x,参考此法，则图中正方形的面积为（）

二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11.若尤1，%是方程/+3x=0的两个根，贝！］%+%=

12.我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步

（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔

（宽）为x步，则可列方程.

13.若关于x的一元二次方程尤2-2》+加=0有两个不相等的实数根，则优的值可以

是—.（写出一个即可）

b24

14.定义新运算：规定=ad-bc,例如=2x8—4x6=—8,若

d68

试卷第2页，共6页

3xl-8x

=2,则x的值为

1x

15.如图，在矩形45C。中，瓦方分别是边40,CD上的点，且将矩形沿斯

折叠，点。恰好落在BC边上点G处，再将沿成折叠，点A恰好落在EG上的点〃

处.若4B=1,AD=2,则即的长为.

三、解答题（共9题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.用适当的方法解关于x的一元二次方程：

（l）x2-2x-l=0

⑵无（3x-2）=2x?+48

17.已知关于x的一元二次方程:X2-如+/一。-2=0有两个相等的实数根，求代数式

4

18.阅读与思考：

小明同学在解一元二次方程（x-3『=x-3时，两边同时除以x-3,得到x-3=l,于是得到

原方程的根为x=4.小华同学的解法是：将无-3移到等号左边，得到（X-3）2-（X-3）=0,

提公因式，得（x-3）（x-3-l）=0,即x-3=0或x-4=0,进而得到原方程的两个根为

玉=3,々=4.

⑴判断：小明同学的解法（），小华同学的解法（）.（填正确或错误）

（2）解方程：X2（X-5）-4（X-5）=0.

19.已知否,是关于x的一元二次方程/+办-9=0的两个实数根.

11

（1）若4=一11,求一+一的值；

X]x2

（2）若芭=1,求％?及”的值.

20.已知X1，马是一元二次方程2/-2x+机+1=0的两个实数根.

（1）求实数机的取值范围；

试卷第3页，共6页

(2)如果X],起满足不等式4+6%三＞(%+%)2,且加为整数，求加的值.

21.已知关于x的方程：x2-(6+m)x+9+3m—0.

(1)求证：无论加为何值，方程都有实数根.

(2)若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求加的值.

22.根据以下素材，完成探索任务.

探索果园土地规划和销售利润问题

AxL

2x

EM

其农户承包了一块长方形果园48cD,图1是果园的平面图，

种植园区

其中48=200米，8c=300米.准备在它的四周铺设道路，上

N

下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都F

2x

为x米，中间部分种植水果.BxI

出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小

图1

于5米.

该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓

培育一年可产果.若每平方米的草莓销售平均利润为100元，

每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将

草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每

图2

月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元.

问题解决

(1)若中间种植的面积

解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.是44800m：,求道路宽

度x的值.

/解决果园种植的预期利润问题.(总利润=销售利润-承包费)(2)若农户预期一个月

试卷第4页，共6页

的总利润为55.2万元，

-则从购买草莓客户的角

度考虑，每平方米草莓

平均利润应该降价多少

元？

23.综合与探究

如图，在矩形ABCD中，4B=16cm,AD=4cm,动点尸，。分别从点/,C处同时出发,

点尸以3cm/s的速度从点/移动到点8,点。以2cm/s的速度从点C向点。移动，点0随

点尸的停止而停止移动，设移动时间为《f>O)s.

⑴当t为何值时，四边形P3C0的面积是24cm2?

(2)当t为何值时，PQ的长为5cm?

(3)当△尸5。为直角三角形时，直接写出/的值.

24.如图1,在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线V=丘+4左与x轴交于点A,与V

轴交于点B,以/O、8。为邻边作矩形/03C,其面积是8.

yjkyjkyk

图1।图2图3

(1)求直线/台的解析式；

(2)如图2,点P从点O出发，沿线段向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，点。从

点B出发，沿线段80向终点。运动，速度为每秒1个单位长度，连接尸0,P、。两点同时

试卷第5页，共6页

出发’运动时间为，秒，当，为何值时，口。的面积为T

⑶如图3,在（2）的条件下，当"1时，尸、。两点同时停止运动，在x轴上是否存在点

M,使得/MQP=45。？若存在，求出点M坐标，若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解解方程即可，解题过程中提取公因式

是解题的关键.

【详解】解：X2-2X=0,

x(x-2)=0,

X]—0,x?=2,

故选：C.

2.D

【分析】本题考查方程的解，以及解一元一次方程，将x=-2代入方程/+加x+6=0求解,

即可解题.

【详解】解：；x=-2是方程x?+加x+6=0的一个解，

2)--2m+6=0,

解得m=5,

故选：D.

3.C

【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式.

方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断.

【详解】解：X2-6X-5=0,

移项，得x?-6x=5,

配方，得/一6X+9=5+9,

即(％-3>=14,

故选：C.

4.B

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，分别求出各项的根的判别式，根据结果

判断即可.

【详解】-：a=3,b=2,c=l,

•••/J2-4oc=22-4x3x1=-8<0,

所以A方程没有实数根；

答案第1页，共15页

a=l,b=—l,c=—3,

/>2-4ac=(-l)2-4xlx(-3)=13>0,

所以B方程有两个不相等的实数根；

a=l,b=0,c=2,

b2-4ac=02-4xlx2=-8<0,

所以C方程没有实数根；

a=\,b=—V3,c=1,

.••Z)2-4ac=(-V3)2-4xlxl=-l<0,

所以D方程没有实数根.

故选：B.

5.A

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式X=一""ic

2a

中字母所表示的意义.根据求根公式X=一6±一44c解答.

2Q

【详解】解：由xJ士J(-3)--4X2X(-1)知:但2,b=-3,c=-l.

2x2

所以该一元二次方程为：2X2-3X-1=0.

故选：A.

6.A

【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式.

根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式.即可得出答案.

【详解】解：、・关于x的方程无2+/+q=0的两个根为再=2,9=-1.

•••原方程为：(x—2)(x+l)=0.

二二次三项式/++q可分解为(尤-2)(%+1).

故选：A.

7.D

【分析】把方程(2x+3『+2(2x+3)-3=0看作关于2x+3的一元二次方程，用换元法解题即

可得到结果.

答案第2页，共15页

【详解】把方程（2x+3）2+2（2x+3）-3=0看作关于2尤+3的一元二次方程，

,2x+3=1或2x+3=-3,

X]——1,x2——3.

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法，熟悉换元法的解题步骤是解题关

键.

8.D

【分析】此题考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系，先根据根与系数的关系得

到/8=5,BC=6,然后利用三角形三边关系求解.

【详解】解：---AB,3c的长分别等于一元二次方程必-5》+6=0两根之和与两根之积，

；.AB=5,BC=6,

••・对角线/。长的取值范围是1</（^<11.

故选：D.

9.D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转

发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可.

【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为l+x+/=91,

故选：D.

10.B

【分析】分别求出中间小正方形和每个小矩形的面积，利用V+2X=34,再求和即可得到

答案.

【详解】解：由图可知，中间小正方形的边长为2,面积为4,每个小矩形的面积都是

x（x+2）=X?+2x=34,

.•.图中正方形ABCD的面积为34x4+4=140.

故选：B.

【点睛】此题考查了整式的乘法与图形的面积，求出中间小正方形和每个小矩形的面积是解

题的关键.

11.-3

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解.

答案第3页，共15页

【详解】解：,.,西,％2是方程产+3%=0的两个根,

.b3、

/.X]+X2=—=—=—3,

a1

故答案是：-3.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握网,X2是一元二次方程

ax?+6x+c=0的两个根，则X]+X2=-2,是解题的关键.

a

12.x(x+12)=864

【分析】利用长乘以宽=864,列出方程即可得出答案.

【详解】解：设阔(宽)为无步，则所列方程为：x(x+12)=864.

故答案为：x(x+12)=864.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关

键.

13.0(答案不唯一)

【分析】根据一元二次方程根的判别式求出机的取值范围，由此即可得出答案.

【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式△=(-2)2-4例>0,

解得m<l,

则机的值可以是0,

故答案为：0(答案不唯一).

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关

键.

14.；或一3

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程3/-(1-8x)=2,

解方程即可得到答案.

3xl-8x

【详解】解：•••=2,

1x

2

3X-(1-8X)=2,即3X2+8X-3=0,

解得x=-3或x

答案第4页，共15页

故答案为：§或-3.

15.-

3

【分析】由矩形的性质可得ZA=90°,AE=2-ED,由折叠的性质可得：

EH=AE=2-ED,EG=ED,BH=AB=\,NAEB=NGEB,ABHE=ZA=90°,证明

BG=ED,再由勾股定理计算即可得解.

【详解】解：,••四边形48。是矩形，AB=\,AD=2,

AD//BC,44=90。，AE=2-ED,

ZAEB=ZGBE,

由折叠的性质可得：EH=AE=1-ED,EG=ED,BH=AB=\,ZAEB=NGEB,

ZBHE=ZA=90°,

ZBHG=180O-ZBHE=90°,ZGEB=ZGBE,GH=GE-EH=ED-(2-ED)=2ED-2,

BG-GE,

・•.BG=ED,

BH2+GH2=BG2,

.-.l2+(2ED-2)2=ED2,

解得：即=；或ED=1,

AE<ED,

ED=—,

3

故答案为：.

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练

掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

16.(l)Xj=1+V2,X2=1-^2

(2)&=8,尤2=—6

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解

法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键.

(1)用配方法求解即可；

答案第5页，共15页

(2)整理一般式后用因式分解法求解即可.

【详解】(1)x2-2x-l=0,

：•炉一2x=1,

—2x+1=1+1,

・•.(1)2=2,

X—1=+V2,

•**Xj=1+,X?=1—;

(2)vx(3x-2)=2x2+48,

X?—2x—48—0，

.*.(x-8)(x+6)=0,

・・・工一8=0或、+6=0,

Xj—8,%2=—6.

1

17.——

3

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，根据方程有两个相等的实数

根，得到A=0,求出。的值，根据分式的运算法则化简后，把。的值代入计算即可.

【详解】解：由题意，得：A=(-a)2-4xl(«2-a-2)=0,

解得〃=-2,

aaa+1_1

又/_][〃+J+aa-19

18.(1)错误;正确

(2)%=—2,口=2,工3=5

【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程

是解题的关键.

(1)根据解题过程可判断小明错误，小华正确；

答案第6页，共15页

(2)方程左边用提取公因式法因式分解为(x+2)(x-2)(x-5)=0,即可得到答案.

【详解】(1)解：因为两边同乘以或者除以一个不为零的数，等式的值不变，

所以有可能等于零也有可能不等于零，

所以小明的解法错误，小华的解法正确；

故答案为：错误；正确.

(2)解：'.'x*(x-5)-4(x—5)=0,

(X2-4)(X-5)=0,

二.(x+2)(x-2)(x-5)=0,

..X]——2,%2=2,X3=5.

19.(l)-y

(^)Q=8,%2=—9

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若玉/2是一元二次方程

bc

办2+bx+c=O(QwO)的两木艮，%+工2=——,X1X2=—.

一aa

11x,

(1)根据一元二次方程根与系数的关系得出再+%=",再吃=-9,再把一+一化为」一

再代入计算即可；

(2)由方程的解的含义可得a=8,再根据一元二次方程根与系数的关系可得答案；

【详解】⑴解：•••内,马是一元二次方程/+办-9=0的两个实数根，a=-11,

•­•x2-llx-9=0

x{+x2=ll,x[x2=-9,

11

—+—

石x2

_玉+x2

XyX2

--1-1■

9，

(2)解：把X1=1代入苫2+如一9=0;

答案第7页，共15页

・，.1+Q—9=0,

解得：a=8；

•••方程为：x2+8x-9=0,

vX]+x2=-8,

x?=-9；

20.(1)(2)一1或0

2

【分析】(1)由题意得一元二次方程判别式ANO,进而求解.

(2)由根与系数的关系用含力的代数式表示再+X2与再进而求解.

【详解】解：(1);方程2x?-2x+加+1=0有两个实数根，

AA^O,

即(-2)2-4*2(加+1)》0,

解得加wg,

.•・实数机的取值范围是机

(2),•・X|,马是一元二次方程2--2》+加+1=0的两个实数根，

二.玉+/=1,%•％2=g(m+1)，

2

*/4+6西％2>(芭+x2),

1

.\4+6x-(m+l)>l27,

解得m>-2,

冽且加为整数，

•••加的值为T或0.

【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的

bc

情况与A的关系，掌握国+%=-2,^2=-.

aa

21.(1)见解析；(2)m的值是1.

【分析】(1)求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；

(2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和

可以用两根的和与两根的积表示，即可得到一个关于的方程，求得〃?的值.

答案第8页，共15页

【详解】(1)证明：对于关于x的方程--(6+m)x+9+3根=0,

a=\,b=-(6+m),c=9+3m,

△=b2-4ac=(6+m)2-4(9+3加)=m2>0,

，无论m为何值方程都有两个实数根；

(2)解：•••直角三角形的两直角边/8、NC的长是该方程的两个实数根，

■■AB+AC=m+6,AB*AC=9+3m,

・・・△/8C是直角三角形，

■■.AB2+AC2=BC2,

•••(AB+AC)2-2AB-AC=BC2,

即(m+6)2-2x(9+3m)=52,

解得：m=-1或m=\,

又,；AB，AC=9+3m,m为正数，

■■m的值是1.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及运用

公式法解一元二次方程，考查的知识点较多，但难度不大.

22.(1)10；(2)每平方米草莓平均利润下调48元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

(1)由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为(300-2》)米、宽为

(200-2x2x)米的长方形，根据中间种植的面积是44800m2,可列出关于x的一元二次方程,

解之可得出x的值，取其符合题意的值即可得出结论；

(2)设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为(10。-月元，每月可

售出］5000+500x弓)平方米草莓，利用总利润=销售利润-承包费，可列出关于V的一元二

次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论.

【详解】解：(1)根据题意得：(300-2x)(200-2x2%)=44800,

整理得：x2-200x+1900=0,

解得：西=10,9=190(不符合题意，舍去)，

道路宽度为10米；

(2)设每平方米草莓平均利润下调y元，

答案第9页，共15页

(100-j^)5000+500x2-20000=552000

整理得：/-60y+576=0.

解得：必=12,%=48,

又・•・从客户的角度考虑，要让利于顾客,

,-.y=48

答：每平方米草莓平均利润下调48元.

23.(1)?=4

13-19

⑵t=M或t=M

8-2768+276,16

⑶4丁，「丁，［不

【分析】（1）根据题意，得到P/=3tcm,C0=2tcm,P8=N8-P/=（16-3f）cm,利用梯形面

积公式计算即可.

（2）分点。在店尸的上方和下方两种情况计算.

(3)分NPBQ=90°,/BQP=90°和ZBPQ=900三种情况计算.

【详解】（1）:/B=16cm,AD=4cm,点尸以3cln/s的速度从点/移动到点8,点。以2cm/s

的速度从点C向点。移动,

PA=3tcm,CQ=2tcm,尸3=AB-PA=(16-3f)cm,

.J(C0+啊8C=24,

.-.1(2z+16-3?)x4=24,

解得f=4,

故当/=4s时，四边形的面积是24cm2.

（2）如图，过点。作。于点£,

矩形48co中，AB=16cm,AD=4cm,

...四边形BCQE是矩形,PA=3tcm,C0=2tcm,尸8=-P/=(16-3。cm

答案第10页，共15页

...BC=QE=AD=4cm,BE=CQ=2tcm

PQ=5cm,

•••PE=^PQ1-EQ1=3cm,

BE=PB-PE=(16-3t-3)cm=[13-3t)cm

13—3,=2%,

13

解得公彳⑸；

如图，过点。作。于点£,

矩形/BCD中，AB\6cm,AD=4cm,

四边形8C0E是矩形，PA=3tcm,C2=Item,PB=48-尸/=(16-3。cm

BC=QE=AD=4cm,BE=CQ=2/cm

PQ=5cm,

•••PE=yjPQ2-EQ2=3cm,

BC

答案第11页，共15页

.・.5£=F5+P£=(16—3/+3)cm=(19—3，)cm

•••19—3/=2%,

io

解得f=M(s)；

1913

故当t=£s或f=时，尸Q=5cm.

(3)当/BQP=90。时，

•••矩形48CZ)中，48=16cm,AD=4cm,

AABC=ABCQ=90°,PA=3tcm,CQ=2tcm,PB=AB-PA=(16-3?)cm

/.BPQ=AQBC=90°-NPBQ,BQ2=BC2+CQ2=4z2+16,

ABPQS^QBC,

BPBQ

：'~BQ~~QC'

BQ2=PB-CQ,

.•.4〃+16=(16-3/)x2/,

整理，得5产-16/+8=0,

解得仆一,小二，

525

当48尸0=90。时，

•••矩形48CZ)中，48=16cm,AD=4cm,

NABC=ZBCQ=90°,PA=3tcm,CQ=2tcm,尸8=AB-=(16-3?)cm,

四边形BCQ尸是矩形，

：.PB=CQ,

答案第12页，共15页

AD

BC

2t=16-3/,

解得

当N05尸=90。时，

此时£=0,舍去

综上所述，4="但，/2="卮，时，AP8。为直