2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2.2第1课时组合与组合数公式跟踪训练含解析新人教A版选修2-3

PAGE第1课时组合与组合数公式[A组学业达标]1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参与两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中属于组合问题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：①与依次有关，是排列问题；②③均与依次无关，是组合问题．答案：C2．计算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝()A．120 B．240C．60 D．480解析：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝eq\f(7×8,2×1)＋eq\f(6×7×8,3×2×1)＋eq\f(8×9,2×1)＝120.答案：A3．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有()A．15种 B．30种C．45种 D．90种解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,5)＝45(种)选法．答案：C4．方程Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x－4,14)的解集为()A．{4} B．{14}C．{4,6} D．{14,2}解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14－2x－4，,2x－4≤14，,x≤14，))解得x＝4或6.答案：C5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20 B．9C．Ceq\o\al(3,9) D．Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)解析：分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定Ceq\o\al(1,4)个平面；其次类，在直线b上任取一点，与直线a可确定Ceq\o\al(1,5)个平面．故可确定Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)＝9个不同的平面．答案：B6．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参与某次社区服务，假如要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：法一：分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4)种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,4)种选派方案．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,4)＝14(种)不同的选派方案．法二：6人中选派4人的组合数为Ceq\o\al(4,6)，其中都选男生的组合数为Ceq\o\al(4,4)，所以至少有1名女生的选派方案有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,4)＝14(种)．答案：147．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从4名男医生中选2人，有Ceq\o\al(2,4)种选法，从3名女医生中选1人，有Ceq\o\al(1,3)种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝18.答案：188．不等式Ceq\o\al(2,n)－n＜5的解集为________．解析：由Ceq\o\al(2,n)－n＜5，得eq\f(nn－1,2)－n＜5，∴n2－3n－10＜0.解得－2＜n＜5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．答案：{2,3,4}9．(1)解方程：Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)；(2)解不等式：Ceq\o\al(x－1,8)＞3Ceq\o\al(x,8).解析：(1)原方程等价于m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(mm－1m－2m－3,4×3×2×1)，∴4＝m－3，解得m＝7.(2)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤8，,x≤8，))∴x≤8，且x∈N*，∵Ceq\o\al(x－1,8)＞3Ceq\o\al(x,8)，∴eq\f(8！,x－1！9－x！)＞eq\f(3×8！,x！8－x！).即eq\f(1,9－x)＞eq\f(3,x)，∴x＞3(9－x)，解得x＞eq\f(27,4)，∴x＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅供应的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅打算了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需打算多少不同的素菜品种？解析：设餐厅至少还需打算x种不同的素菜．由题意，得Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,x)≥200，从而有Ceq\o\al(2,x)≥20，即x(x－1)≥40.又x≥2且x∈N*，所以x的最小值为7.故餐厅至少还需打算7种不同的素菜．[B组实力提升]11．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参与某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A．224 B．112C．56 D．28解析：由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝112.答案：B12．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有()A．72种 B．84种C．120种 D．168种解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空当中，所以关灯方案共有Ceq\o\al(3,10)＝120(种)．答案：C13．方程Ceq\o\al(x,17)－Ceq\o\al(x,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)的解集是________．解析：因为Ceq\o\al(x,17)＝Ceq\o\al(x,16)＋Ceq\o\al(x－1,16)，所以Ceq\o\al(x－1,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，解得x1＝－3(舍去)，x2＝5.答案：{5}14．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中随意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．解析：依据结果分类：第一类，两台甲型机，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝30(种)；其次类，两台乙型机，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝40(种)．依据分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝70(种)不同的取法．答案：7015．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，求Ceq\o\al(12,n)的值．解析：由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2·eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，于是Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.16．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解析：设既会唱歌也会跳舞的人为“多面手”第一类，选会唱歌的4人无多面手：有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,8)＝350；其次类，选会唱歌的4人中有一个多面手：有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)