河北省秦皇岛市某中学2025届高三年级上册一模数学试题（含答案解析）

河北省秦皇岛市山海关第一中学2025届高三上学期一模数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/==4},8={（工,勃y=2cos*,则NcB的真子集个数为（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

2.若干人站成一排，其中为互斥事件的是（）

A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙站排尾”

C.“甲站排头”与“乙不站排头”D.“甲不站排头”与“乙不站排头”

3.抛物线>=2/的准线方程为（）

C.x=—D.x=—

82

4.已知直线瓦c是三条不同的直线，平面£，B，7是三个不同的平面，下列命题正确的

是（）

A.Pa,bPa,则。〃6

B.若。〃6,aPa,则6尸a

C.若aua,bua,且。〃/?,b///3,则a〃?

D.a,0,7三个平面最多可将空间分割成8个部分

5.若正四棱锥的高为8,且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）

A.24B.32C.96D.128

2

6.已知双曲线C:4-/=1（°>0）,点“在。上，过点”作C两条渐近线的垂线，垂足分

a

别为48,^\MA\-\MB\=~,则双曲线。的离心率为（）

A.—B.—C.—D.V3

233

V

7.直线》=2%-2与曲线y=sin7rx+——的交点个数为（）

x-1

A.2B.3C.4D.5

8.已知函数/（x）=lnx-妙2+工，若不等式/（同〉0的解集中恰有两个不同的正整数解，则

实数加的取值范围是（）

试卷第1页，共4页

.2+ln23+ln3\3+ln32+ln2)

.8'9)9,4J

3+ln32+ln2\'2+ln23+ln3)

J1,859J

二、多选题

9.已知奇函数〃x）的定义域为R,若〃x）=/（2-x）,则（）

A./（O）=OB.〃x）的图象关于直线x=2对称

C.f（x）=-f（x+4）D./（x）的一个周期为4

10.已知函数〃x）=2sin（ox+9）（o>0,,|<鼻的图象过点/（0,1）和8（/,-2）（/>0）,且

满足|/3匕=屈，则下列结论正确的是（）

兀71

A.（p=—B.co=—

63

C.当尤e时，函数f（X）值域为[0,1]D.函数了=^-y（x）有三个零点

11.已知函数/（》）=住-2办2+丘+,（。,仇。€1^）,/'（力是/卜）的导函数,则（）

A."“=c=0”是“/⑺为奇函数”的充要条件

B."“=6=0”是“f⑺为增函数”的充要条件

c.若不等式〃x）<0的解集为{M尤<1且/-1},则/'（X）的极小值为-三

D.若网是方程/'（x）=0的两个不同的根，且,+'=1,贝物<0或a>3

三、填空题

12.二项式（x-y）6的展开式中/_/的系数为.

13.已知/（无）是定义在R上的奇函数，/（x+2）为偶函数.当0令<2时，/（尤）=1吗（》+1）,

则川01）=.

14.二阶魔方是一个2x2x2的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简

单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶

魔方共有种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由

试卷第2页，共4页

排列，在这7块中，任意确定6块，最后1块也就唯一确定了)

四、解答题

15.已知。，4c分别为V/8C三个内角42,C的对边，且6cos+抬%siih4=a+c

(1)求3；

(2)若6=2,△48C的面积为百，。为ZC边上一点，满足CZ>=24D,求2。的长.

16.4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以

纪念“中华文字始祖，，仓颉口同造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国

六种官方语言平等使用.某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问

题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立.若答对一题记2分，答错一题记1分，已知

甲留学生答对每个问题的概率为;，答错的概率为

44

⑴甲留学生随机抽取3题，记总得分为X,求X的分布列与数学期望；

(2)(i)若甲留学生随机抽取加道题，记总得分恰为2优分的概率为4,求数列｛M｝的前机

项和；

(ii)记甲留学生已答过的题累计得分恰为〃分的概率为。,，求数列｛2｝的通项公式.

3

17.已知函数f^x)=2alnx+—x2+GR)

⑴若曲线>=〃x)在点(1,7(1))处的切线方程为/(x)=r+6,求0和6的值；

⑵讨论/(x)的单调性.

18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，

分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果,

得到芯片的质量指标值X服从正态分布NJ。?)，并把质量指标值不小于80的产品称为A

等品，其它产品称为5等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得

到如图所示的频率分布直方图.

试卷第3页，共4页

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数元作为〃

的近似值,用样本标准差S作为b的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A

等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量4服从正态分布

N/，贝jj尸(〃-er<^<〃+<r)a0.6827,P"-2cr<^<〃+2<r)«0.9545,

P(U—3cr<J<〃+3cr)®0.9973.)

(2)(i)从样本的质量指标值在［45,55)和［85,95］的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标

值在［85,95］的芯片件数为人求〃的分布列和数学期望；

(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知

一件A等品芯片的利润是加(1<%<24)元，一件B等品芯片的利润是ln(25-⑼元，根据(1)

的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.

19.对于任意正整数〃，进行如下操作：若〃为偶数，则对〃不断地除以2,直到得到一个

奇数，记这个奇数为勾；若〃为奇数，则对3〃+1不断地除以2,直到得出一个奇数，记这

个奇数为若。”=1,则称正整数”为“理想数”.

(1)求20以内的质数“理想数”；

⑵已知册=加一9.求小的值；

(3)将所有“理想数”从小至大依次排列,逐一取倒数后得到数列出｝,记也｝的前n项和为S”,

证明：5„<|(neN*).

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参考答案:

题号12345678910

答案CAADCBACADAD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】作出几何图形，确定/cB的元素个数即可得解.

【详解】集合/={(xj)|x2+/=4}是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的

集合,

集合8={(苍川旧=2＜：05X}是坐标平面内，函数y=2cosx图象上的点的集合,

在同一坐标系内作出圆/+，=4及函数y=2cosx的部分图象，如图,

观察图象知，圆/+必=4及函数y=2cosx的图象有3个公共点,

所以NcB有3个元素，共有2?-1=7个真子集.

故选：C

2.A

【分析】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.

【详解】对于选项A,因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确，

对于选项B,因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确，

对于选项C,因为“甲站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项C不正确，

对于选项D,因为“甲不站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项D不正确，

故选：A.

3.A

【分析】根据抛物线的性质得出准线方程.

【详解】抛物线方程y=2/可化为/=；了，贝=故抛物线》=2/的准线方程为

答案第1页，共14页

故选：A

4.D

【分析】对于A,。与6相交、平行或异面；对于B,blla或bua；对于C,由于直线。,6

未必相交，故无法判定&与夕平行；对于D,a,/3,7三个平面两两垂直时，最多可将空

间分割成8个部分.

【详解】直线。,Ac是三条不同的直线，平面a,/3,7是三个不同的平面，

对于A,若a//a,blla,则。与6相交、平行或异面，故A错误；

对于B,若aI/b,alia,贝!]6//a或6ue,故B错误；

对于C,若aua,bua,且。//6，b//p,由于直线。,6未必相交，所以a与不一定

平行，故C错误；

对于D,a,(3,7三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分，故D正确

故选：D.

5.C

【分析】根据正四棱锥及球的特征求出锥体的底边边长和侧棱长，然后结合勾股定理利用侧

面积公式计算即可.

B/

如图所示，设P在底面的投影为G,易知正四棱锥尸-/BCD的外接球球心在尸G上,

由题意球。的半径=P。=4。=5,。6=8-5=3,

__________行

所以NG=j52-32=4,PA=782+42=4A/5-贝1JNB=8x5=4后，

故中，边AB的高为《4正j-(2也了=63,

所以该正四棱锥的侧面积为4x^x4亚x6VI=96.

2

故选：C

6.B

【分析】设点利用点到直线的距离公式，结合点W在C上即可求解.

答案第2页，共14页

【详解】设点”（无。,比）,贝IJ与一/=1,即

a

又两条渐近线方程为y=±!x,即》±@=0,

a

故有肉必”.旬I^o-ayl\a2__3

c2c24

所以e=_=----.

a3

故选：B.

【分析】由题意知要求交点即求函数2x-2=s切乃x+°-的零点，等价于求

x-l

的零点，等价于求/'（x）=尤和Mx）=2（X-1）--1两函数交点,

sinTix=2x-2-作

X—1

出相关图形，利用数型结合从而可求解.

【详解】由题意可得y=s加rx+』7Tnsz^rx+U，所以其与直线y=2x-2的交点,

x-1x-l

等价于求sinjrx+-^―=2x-2的零点，等价于sinnx=2x-21的零点，

x-lX-1

等价于求函数/（x）=s%»x与函数〃（X）=2（x-1）——二的交点，

X—1

易得函数/（x）=S应乃X为周期为2的函数，且久=1时，—1）=5山乃=0,

所以（1,0）是函数/（无）=s，〃%x的一个对称中心,

对于〃(x)=-----,/z(l+x)+/z(l-x)=2(x+l-l)---------i-2(l-x-l)--------=0,

X1X+111X1

所以Mx)关于点(1,0)对称，且y=2(x-l)为增函数，V=-一二为增函数，

X—1

所以〃卜）=2卜-1）--三在（fl）,（1,内）上单调递增,

X-L

所以可以作出/（久）和力（无）图象如下图,

答案第3页，共14页

由图可得其有2个交点，故A正确.

故选：A.

8.C

【分析】不等式1(力>0可化为7"-1<啊，利用导数分析函数g(x)=啊的单调性，作函

XX

数〃卜)=妙-1,8(》)=也的图象，由条件结合图象列不等式求加的取值范围.

【详解】函数/(力=牝-皿2+%的定义域为(0,+8)*

不等式f(x)>0化为：〈也.

X

令访(X)="7X_1,g(x)=¥，g\x)=]—^,

故函数g(x)在(o,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

当x>l时，g(x)>0,当尤=1时，g(久)=0,

当0<尤<1时，g(x)<0,

当x->+oo时，g(x)-»0,当x>0,且x->0时，g(x)->-00,

画出g(无)及九(%)的大致图象如下，

因为不等式/(》)>0的解集中恰有两个不同的正整数解,

故正整数解为1,2.

故!〃⑵<g⑵

[“3)*⑶’

答案第4页，共14页

。1ln2

2m-1<---

2

即《

c1Jn3.

3m-1>—

3

3+ln32+ln2

故--------<m<----------

94

故选：C.

9.AD

【分析】由奇函数可得y(o)=o,再根据函数的周期性与对称性分别判断.

【详解】由函数[(X)为奇函数，则/(O)=O,A选项正确；

又〃x)=〃2-x),即/(x+l)=/(I),则函数/(x)关于直线x=l对称,B选项错误;

由/（x）=/（2—x）可知/（2—x）=/（4+x）,

即〃x)=〃4+x),函数〃x)的一个周期为4,C选项错误，D选项正确;

故选：AD.

IO.AD

【分析】A选项，把/(0,1)代入解析式，得到9=1B选项，根据川.力乂尤。〉。)为函数

的最低点及|/同1nm=而，由勾股定理得到方程，求出々=2,从而得到;T＜2＜、7,把

8(2,-2)代入解析式，得至觞=/；C选项，整体法求出函数值域；D选项，画出f(x)与N=x

的函数图象，根据交点个数得到零点个数.

【详解】A选项，把/(0,1)代入得2sin"=l,sin°=g,

因为|。|＜白，所以0=9,A正确；

26

B选项，3(%-2)(%＞0)为函数的最低点，

|^|mm=V13,故Jx：+(l+2)2=而,解得分=2,负值舍去，

则：17＜2＜：3T,其中T=凸27r，故7T＜乎37r，

故2sin(2o+[]=-2,sin^2o+^=-1,

[-T1兀37rt、t7兀_兀5兀

由于一＜G＜一,所以一＜2。十一＜一,

24663

答案第5页，共14页

故2。+[=',解得。=号，B错误；

o23

C选项，/(x)=2sin(展)，xe1J।2兀兀「八5兀

--,1时，—^+-e0,—,

4」36|_6_

故sin[gx+，/(》)=2sin(gx+Eje[-1,2],C错误;

D选项，画出f(无)与N=x的函数图象，如下：

故y=x-f(x)有三个零点，D正确.

故选：AD

11.ACD

【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函

数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函

数/(x)的单调性,进而求得/(x)的极小值,可判定C正确；结合二次函数的性质，结合A>0,

列出不等式，可判定D正确.

【详解】对于A中，当”=c=0时，函数/(无)=^+法，则满足/(-尤)=-尤3-bx=-/(x),

所以/'(x)为奇函数，所以充分性成立；

若f(x)为奇函数，贝!J/(-%)=-x3-2ax2-bx+c=-f(x)=-x3+2ax2-bx-c,

则4“x2-2c=0恒成立，所以“=c=0,所以必要性成立，所以A正确；

对于B中，当a=6=0时，[卜)=/+。，可得/(》)=3/，0,所以“X)为增函数；

由/'卜)=3/-4办+6,当/1(x)为增函数时，△=16°2一12640,所以“。=6=0”是“/(x)为

增函数”的充分不必要条件，所以B错误；

对于C中，由/'(x)=3f-4办+6,若不等式/'。卜。的解集为{x|x<l且小-1},

则/(X)在R上先增后减再增，则/'(-1)=0,/(1)=/(-1)=0,解得2a=b=c=-l,

答案第6页，共14页

故f(x)=x3+x2-x-1=(x+l)2(x-1),可得f\x)=3x2+2x-1=(3x-l)(x+l),

令/''(x)=0,解得x=-l或x=；,

当xe(-8,-l)内,r(x)>0,/(x)单调递增;

当内，/'(x)<0,/(x)单调递减；

当内，/(x)>0,/(X)单调递增，

所以〃x)的极小值为了'J='+l[2x[g-l]=-羡，所以C正确.

对于D中，由/'(x)=3尤2-4办+6,因为再,超是方程/'(x)=0的两个不同的根,

所以A=16/-126>0,即4/一36>0,且占+赴=与户用=g，

114〃b

由一+—=1,可得石+%2=项%2，所以-7=彳，即6=4。，

X1%233

联立方程组，可得/-34>0,解得。<0或。>3,所以D正确.

故选：ACD.

12.15

【分析】先写出二项式。->)6的展开式的通项，再依题意求解.

【详解】由二项式>)6的展开式的通项为=C"6一(_y)，，

令r=2,得其展开式中x4j2的系数为晨(-I)?=15.

故答案为：15

13.-1

【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，再利用对数运算计算即可.

【详解】由题意可知/(x)=-/(r)J(x+2)=/(f+2),

所以/(-x+2)=-/(x-2)=/(x+2)n/(x+4)=-/(x)n/(x+8)=/(x),

所以/(无)的一个正周期为8,BP/(101)=/(5)=/(-1)=-/⑴=-log2(l+l)=-l.

故答案为：-1

14.3674160

【分析】运用分步乘法原理，结合排列数公式可解.

答案第7页，共14页

【详解】任选其中1个角作为参考，考虑其余7块排列情况.在这7块中，任意确定6块，

最后一块也确定了，所以任意二阶魔方有A；=7X6X5X4X3X2=5040种状态.

再考虑每个角块有三种朝向，扣除状态相同的情况，则有5040x36=3674160种状态.

故答案为：3674160.

71

15.⑴'；

⑵地,

3

【分析】(1)正弦定理边化角，利用内角和定理消去C,由和差公式和辅助角公式化简可得;

(2)根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出然后在△N8D中利用余弦定理可

得.

【详解】(1)由正弦定理有sin5cos4+AAsin5siiL4=siih4+sinC，

因为sin。=sin(^4+5)=sin^4cosB+cosAsinB,

所以sinBcos/+y/3sinBsinA=sirU+sinAcosB+cos4sin5,

化简得由sinfeiM=sirU+sirk4cosB,

由4£(0,兀)了山。°有V3sinS=1+cosS，可得‘亩/一：]；,,

因为Be(0,7i),8-，

6I66J

所以8—则5=；.

663

(2)由3=巴,S=，QcsiiiS=V5有ac=4

32

又/="2+02_2accosB可得/+02=8,

联立“+：=8解得“=c=2,所以V/BC为正三角形，

[ac=4

271

所以=

33

在△45。中，由余弦定理得8。2=22+[2]-2x2x-x-=—.

故的长为次.

3

答案第8页，共14页

A

D

B匕-------------、C

16.(1)分布列见解析，E(X)=t

【分析】(1)依题意X的可能取值为3、4、5、6,求出所对应的概率，即可得到分布列

与数学期望；

(2)(i)依题意可得匕,利用等比数列求和公式计算可得；

31

(ii)首先求出0,Q,当〃23时Q=]QT+ZQ_2,利用构造法求出通项公式.

【详解】(1)依题意可得X的可能取值为3、4、5、6,

i

7727

则尸(X=3)=前，p(x=4)=C；xIx

4641

1

64

所以X的分布列为

X3456

272791

P

64646464

,27,27=9，124015

以E(X)=3x----F4x-----F5x----F6x—=------=—

v764646464644

(2)(i)若甲留学生随机抽取机道题，总得分恰为2〃?分，即加道题均答对了,

所以匕=

设数列优｝的前加项和为股，则S

m

答案第9页，共14页

…、心由上r后八3八13313八Z1333351

(U)依就思可得。］=：,02=7+7x7=77?&:=^2><7><7+7><7><7=77,

4444164444464

31

当时2=工。1+12_2，

所以Q+；Q-1=Q-1+；。〃一2，

(1111313

所以2+］QT为常数数列，又。2+了。1=77+］火广1，

［4J41644

所以

则2T=-：3,「：，所以是以-《为首项，为公比的等比数列,

所以0,-g=-：x(一］(〃之3),

经检验当〃=1、2上式也成立，所以2,.

17

17.⑴"J，，=-1

(2)答案见解析

【分析】(1)先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解；

(2)结合导数与单调性关系对。的范围进行分类讨论即可求解.

［详解］(1)/(x)=2alnx+^x2-(a+3)x,则/'(》)=生+1^_々_3.

曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程为〃x)=r+b,

则广⑴=a-：3=T1,解得a=£,

97

由/⑴=_._^=_1+6,解得6=_1,

(2)f(x)=2alnx+-x2—(a+3)x,函数定义域为(。,+。)，

mi,2a3(3X-2Q)(X-2)

贝ljf'(x)=-+-x-a-3=------——上,

x22x

令/'(x)=0,解得尤=2或》=弓，

若aWO,则当xe(0,2)时,r(x)<0,"x)单调递减,当xe(2产)时,/'(尤)>0,/(x)单

调递增，

若0<"3,贝”当时，/-(x)<0,〃x)单调递减，当代„卜口工€(2,+8)时，

r(x)>o,〃尤)单调递增，

答案第10页，共14页

若。=3,则/'(x)20在(0,也)上恒成立，“X)单调递增，

若a>3,则当xe时，/(x)<0,/(x)单调递减，当xe(0,2)和x时，/'(x)>0,

〃x)单调递增，

综上所述，当aWO时，“X)的单调递增区间为(2,+s),单调递减区间为(0,2),

当0<”3时，"X)的单调递增区间为(0,，，和(2,+8),单调递减区间为11,2；

当“=3时，”X)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间，

当a>3时，〃x)的单调递增区间为(0,2)和(g,+s],单调递减区间为g].

18.(1)0.16

,,379

(2)(i)分布列见解析，—；(ii)w=—

【分析】(1)根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.

(2)(i)先求出〃的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即

可；

(ii)先根据二项分布的期望求出E(Z)=16m+841n(25-加)，然后构造函数

/(无)=16x+841n(25-x)(l<x<24),利用导数求出最大值时的m即可.

【详解】(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：

x=10x(0.01x50+0.025x60+0.04x70+0.015x80+0.01x90)=6^.

即〃。=69,所以X~N(69,1F),

因为质量指标值X近似服从正态分布N(69,1F),

所以

zl-^(69-ll<X<69+ll)1-尸(〃-b<X<〃+b)

Pr>>somU)=---------------------------------=--------------------------------

1-0.6827=015865。0.16,

2

所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16.

(2)(i)(0.01+0.01)x10x100=20,所以所取样本的个数为20件,

质量指标值在[85,95]的芯片件数为10件，故〃可能取的值为0,1,2,3,

相应的概率为：

答案第11页，共14页

「("°)=曾=0口小户生二

尸(〃=2)=*=1|

P(〃=3)=

。2033

随机变量〃的分布列为:

70123

215152

P

19383819

2151523

所以〃的数学期望E(〃)=0XA+1XK+2X4+3X《=9.

193o3o192

(ii)设每箱产品中/等品有y件，则每箱产品中B等品有(loo-丫)件，

设每箱产品的利润为z元，

由题意知：Z=加丫+(100-y)ln(25—m)=(m-ln(25-m))K+1001n(25-m,

由(1)知：每箱零件中/等品的概率为0.16,

所以y〜5(100,0.16),所以颐y)=iooxo.i6=i6,

所以£(Z)=E[(m-ln(25-m))Y+100ln(25-m)]

=(m-ln(25-m))EY+100ln(25—m)=16(m-ln(25-m))+100ln(25-m)

=16m+84ln(25-m).

8479

令/(x)=16x+841n(25—x)(lvxv24),由/<x)=16—-^=0得，x=—,

25—x4

7979

又xe(l,[),r(x)>0,〃尤)单调递增，xe(1,24),/'(x)<0,〃尤)单调递减,

44

所以当x=?79c(l,24)时，“X)取得最大值.

4

所以当"7=79[时，每箱产品利润最大.

4

19.(1)2和5为两个质数“理想数”

(2)7〃的值为12或18

(3)证明见解析