2024-2025学年重庆市西北狼联盟高二年级上册入学联考数学试题（含答案）

2024-2025学年重庆市西北狼联盟高二上学期入学联考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知向量2=（%+1,-2）,b=（-2%,3）,若五〃氏则实数乂的值为（）

A.1B.3C.-3D."

2.已知复数z=白@是虚数单位），则共辗复数万在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图，四边形4BCD的斜二测直观图为平行四边形A‘B'C'D',已知

A'O'=B'O'=O'E'=C'E'=D'E'=n,则该图形的面积为（

C.2/D.4兀

4.已知一组数据：121,123,124,125,125,126,127,128,129,130.则这组数据的第25百分位数

是（）

A.123B.124C.125D.126

5.若a,b,c,m,九为空间直线，仇，夕为平面，则下列说法错误的是（）

A.a//b,1c,则a1c

B.m1nip,mln,则a10

C.m1a,n1S，a]JR,则7n〃荏

D.a,b是异面直线，则a,b在a内的射影为两条相交直线

-1.

6.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCWi中，E为BC的中点，CF=1CCV则异面直线EF与当外

所成角的余弦值为（）

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3^/26

rD卫

.26

7.如图，一架高空侦察飞机以600a/s的速度在海拔16000m的高空沿水平方向飞行，在4点处测得某山顶

M的俯角为45。，经过15s后在B点处测得该山顶的俯角为75。，若点4B,M在同一个铅垂平面内，则该山

顶的海拔高度约为（）（^/2«1.414,平=1.732）

A.2436m

B.3706m

C.3200m

D.3146m

8.如图，在“BC中，丽=|近，E为线段力。上的动点，J.CF=xCA+yCB,贝岭+?的最小值为（）

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.经过简单随机抽样获得的样本数据为孙,冷,…….xn,则下列说法正确的是（）

A.若数据久1，犯，，久n的方差S2=0,则所有数据句,久2,Hn均相同

B.若数据……，尤n的均值为3,则数据%=2xt+l（i=1,2,3,…,兀）的均值为6

C.数据X1，久2,,%n的极差不小于数据%2，%3,…，久n-1的极差

D.若数据……，加的众数为78,则可以说总体中的众数为78

10.若向量需满足|Z|=|瓦=2,而+3|=2道，则（）

A.a-b^-2B.3与刃的夹角为与

C.al（a-2b）D.2-石在石上的投影向量为货

11.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为

扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，A4i垂直于底面，A4i=5,底

面扇环所对的圆心角为全弧4。的长度是弧BC长度的3倍，CD=2,则下列说法正确的是（）

A.弧4D长度为无A*|T-

B.曲池的体积为争

C.曲池的表面积为20+147r

D.三棱锥力一CQD的体积为5

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人.该校要了解高一学生对

食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从

高一2班抽取的人数是.

13.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为367r

的球面上，若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为.

14.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形4BCD的边长为4,点P在

四段圆弧上运动，则而•瓦的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知复数z=a+bi(aER,bER)满足|z|=避，z?的虚部是2.

(1)求复数z；

(2)设z,z2,z—z2在复平面上的对应点分别为4,B,C,若4点位于第一象限，求-4BC的面积.

16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，平面PAD1平面力BCD,四边形力BCD为菱形，△PAD为等边三角形,

乙4BC=120。，点E,尸分别是线段P44。的中点.

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(1)求证：PC〃平面EBD；

(2)若AB=2,求四棱锥P-DFBC的体积.

17.(本小题12分)

为了落实“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调

整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准双吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按

平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月

均用水量(单位：吨)，将数据按照口,2),…，［8,9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其

中0.4a=b.

(1)求直方图中a,6的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为

代表);

(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准双吨)，估计久的值，并说明理由.

18.(本小题12分)

△4BC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sirM—sinC=-^-^(sinB-sinC).

(1)求角4

(2)从三个条件：①a=3；②b=3；③△ABC的面积为3避中任选一个作为已知条件，求△48C周长的

取值范围.

19.(本小题12分)

刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2兀与

多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面

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体每个顶点均有3个面角，每个面角均为全故其各个顶点的曲率均为2兀-3xgrr.如图，在直三棱柱

力BC—中，点4的曲率为罟，N,M分别为AB,的中点，且力B=AC.

(1)证明：CN，平面力BBiAi.

(2)证明：平面4MBi1平面ABB遇i.

(3)若A4i=2AB,求二面角4-MB1-的的正切值.

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参考答案

1.5

2.D

3.4

4.B

5.D

6.C

7.5

8.C

9.AC

10.BC

11.ACD

12.10

13.4*兀

14.[—8,24]

15.解：⑴

z=a+bi(a,bGR),

则z?=a2-b2+2abi,

由题意得小+按=2,

且2ab=2,

解得a=b=1或a=b=-1,

所以z=1+i或z=-1—i.

(2)

因为人位于第一象限，所以z=l+i,

z2=2i,

z—z2=IT,

所以4(1,1),8(0,2),C(l-l),

直线AC:%=1,所以且B到AC的距离为1；

SAABC=Xl=/X2xl=l.

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所以S、4BC=1-

16.解：(1)在四棱锥PYBCD中，连接=0,连E。，如图,

因四边形ABCD是菱形，贝|。是AC的中点，而E是P力的中点，贝i]PC〃E。，又EOu平面EBD,PCC平面

EBD,

所以PC〃平面EBD.

(2)

在正△PAD中，F是线段力。的中点，贝iJPF1AD,而平面PAD_L平面力BCD,平面PADn平面

ABCD=AD,

PFu平面PAD,因此，PF1平面力BCD,且PF=*AD=*B=4，

在菱形ABCD中，^ABC=120°,则NB/W=60°,-ABD是正三角形，BF1AD,BF=®

显然四边形DFBC是直角梯形，其面积为SDFBC=QF+BC)BF=知+2)x4=挈，

所以四棱锥P—DFBC的体积P=¥DFBC.PF=|x^x73=|.

17.解：(1)由频率分布直方图可得

0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=1,

又0.4a=b,则a=0.15,b=0.06,

该市居民用水的平均数估计为：

x=0.5X0.04+1.5X0.08+2.5X0.15+3.5X0.20+4.5X0.26

+5.5X0.15+6.5X0.06+7.5X0.04+8.5x0.02=4.07；

(2)由频率分布直方图可得，

月均用水量不超过2吨的频率为：。。4+0.08=0.12,

则月均用水量不低于2吨的频率为：1-0.12=0.88,

所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：

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40x0.88=35.2(万)；

(3)由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88,

月均用水量不超过5吨的频率为0.73,

则85%的居民每月的用水量不超过的标准x(吨)，5<%<6,

0.73+0.150—5)=0.85,解得x=5.8(吨),

即标准为5.8吨.

hh

18.解：(1)因为sin/-siziC=^sinB-siTiC^,所以a—c=@+.(b—c),

得扶+。2_。2=bg所以cos/=块

ZbcZ

77

因为力e(0,TT),所以A=3.

(2)分三种情况求解：

选择①a=3,

7T

因为/=予a=3,

由正弦定理得京b=W?=急=2避,

即△ABC的周长2=a+b+c=2避sinB+2避stnC+3=2避sinB+2/sin(第一B)+3=34

71

sinB+3cosB+3=6sin(B+1)+3,

因为Be(0,等，所以+^<^i<sin(B+5<1,

即△ABC周长的取值范围是(6,9].

选择②b=3.

TT

因为/=yb=3,

由正弦定理得与=ca

sinC—sinZ'

诉l、Jc=3群r_3s讥/_3sin(^-B)_3pcosB,3

加乂—而国―sinB———2sinB2f

即△ABC的周长2=a+b+c=^-+3pcosB&_34(1+cosB)9、严守919

2sinB2sinB22sinB24sin^cos^22tan—2'

ZZ4

因为Be(0,等，所以0<?W，所以0<tan?<G，

即△ABC周长的取值范围是(6,+8).

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选择③ABC=3

因为4=ABC=^bcsinA=*bc=34，得be=12,

由余弦定理得次=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2—36,

即△ABC的周长Z=a+b+c='(b+c)2—36+b+c,

因为b+c>2y[bc=4^，当且仅当b=c=2避时等号成立，

所以/>7(4A/3)2-36+4V3=6V3.

即△ABC周长的取值范围是[6m,+8).

19.解：(1)证明：在直三棱柱ZBC-Zi/Ci中，

AAr1平面ABC,AC,ABu平面ABC,

则44i1AC,44i1AB,

所以点/的曲率为

2TI—2X三—乙BAC=亭,

7T

所以NBZC=§,

因为4B=ac,所以△力BC为正三角形，

因为N为力B的中点，所以CN1AB,

又A4i1平面ABC,CNc平面ABC,

所以A411CN,

因为421043=4,441、ABU平面4BB141，

所以CN1平面ABB遇i.

(2)证明：取4当的中点D,连接DM,DN,

因为N