浙江省A9协作体高三年级上册暑假返校联考试题数学（含解析）

绝密★考试结束前

浙江省A9协作体暑假返校联考

高三数学试题卷

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸

规定的地方。

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项''的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸

上答题一律无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

第I卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.设集合4={x|x>0},B=(X|X2-^<0},则ZD8=

A.{x[0<xWl}B.{x[0<x<l}C.{x[0<xWl}D.{x|04x<l}

2.设复数N满足(1+3=3-i,则国=

A.72B.y/3C.75D.口

3.已知平面向量”=(1,2),b=(-\,ni),若(2a-b)J_a,则“=

D.U

A.---B.—2C.2

22

2]

4.已知sin(a+6)=],cosorsinP则sin(a-/7)=

1122

A.--B.-C.--D,3

5.函数y=在区间口,+8)上单调递增，则a的取值范围是

A.(-8,2]B.[2,田)C.—JD.[-2,-HO)

6.方程4cos在兀]的根的个数为

A.2B.3C.4D.5

7.一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内，其底面放在圆锥底面上，则圆柱体积最大为

A.电4点八816

B----7TC-—兀D-—兀

27272727

/⑴,李(X)是偶数时’若/⑻.则

8.已知函数/(x)>0,且卸(x+l)=

3/(x)+L当/\x)是奇数时.

浙江省A9协作体暑假返校联考高三数学试题卷第1页共4页

A./(I)>3B./(2)<10C./(3)<31D./(4)<16

二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目

要求，全部选对得6分，部分选对分别记0分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分。

9.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,4),则以下选项正确的是

A.若y=x+2,则E(y)=4B.若y=2X+4,则。(y)=8

C.尸(X<0)=P(XN4)D.P(1<%<4)=1-2P(Z>4)

10.三次函数/卜)=/+办2+x+l叙述正确的是

A.函数/(x)可能只有一个极值点

B.当。=0时，函数/(x)的图象关于点(04)中心对称

C.当飞=-^■时，过点的切线可能有一条或者两条

D.当时，在点(x°J(x。))处的切线与函数y=/(x)的图象有且仅有两个交点

11.数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学

表达式：r=a(l-sin^),克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线。”，明白了笛

卡尔的心意.已知利用关系式一.c和r=)犬+歹2可将信

中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程.如图，该曲线图象过

点(0,-2),则

A.a=1

B.曲线经过点(-1,0)

C.当点(X。,九)在曲线上时，-逑〈与〈逑

44

第11题图

D.当点(X。,”)在曲线上时，-2<j<7

04

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。

12.双曲线C：二-匕=1的离心率为▲.

43

13.曲线歹=e、在x=0处的切线恰好是曲线歹=加(％+。)的切线，则实数a=▲.

14.竦(sheng)州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称炎U(shan)县，赡县、竦县，古往今

来无数文人墨客都醉心于嫌州的山水风景之中.李白曾梦到：湖月照我影，送我至刺溪.杜甫

有诗曰：物溪蕴秀异，欲罢不能忘.其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史

文化名片.现有甲、乙两人到达高铁煤州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千

年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡.已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三

地打卡的概率分别是!，!，!和!，!，!，则甲、乙打卡不相同景点的概率为▲.

浙江省A9协作体暑假返校联考高三数学试题卷第2页共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步骤。

15.(本题满分13分)在△Z8C中，角Z,8,C所对的边分别为a,b,c,且2csinZ=3asin3,

,1

cosA=—.

3

(I)证明：a=c；

(11)若b=6,求8C边上中线ZD的长.

16.(本题满分15分)已知三棱锥尸一月3C,尸力J_平面48C,ABLBC,AC=2,PA=AB=\,

E为PB的中点，。为胡延长线上一点.

(I)证明：AELCPx

(II)当二面角力-尸。-。余弦值大小为好时，求B。的长.

4

第16题图

浙江省A9协作体暑假返校联考高三数学试题卷第3页共4页

17.(本题满分15分)已知椭圆C：£+£=1(a>6>0)的上顶点力(0,2),点P(乎,1)在椭圆。上,

斜率为左的।直线/过点Z交椭圆C于另一点。.

(I)求椭圆C的方程；

(II)当△力尸。的面积是竽时，求仁

18.(本题满分17分)设函数/(*)=*+即(工+1)]2,g(x)=ln(x+l)[ln(x+l)+〃7+l]+〃.

(I)求/'(x)的最大值；

(H)若函数“X)的极小值点为天,证明：-g</<0；,

(山)若/(x)Ng(x)恒成立，证明：ni+n<e-2.

19.(本题满分17分)设〃为大于3的正整数，数列｛4｝是公差不为零的等差数列，从中选取〃?项

组成一个新数列，记为也J,如果对于任意的i。=1,2,…,〃-2),均有(4-如油-〃+2)<。，

那么我们称数列｛bm｝为数列｛册｝的一个〃一数列.

(I)若数列｛4｝为】23,4,加=4,写出｛a”｝所有的〃一数列；

(II)如果数列应｝公差为1,m=2k+l,证明:也-小；

(III)记“从数列｛4｝中选取加项组成一个新数列｛",｝为数列｛%｝的〃一数列”的概率为匕，证

明：Pm<\.

浙江省A9协作体暑假返校联考高三数学试题卷第4页共4页

浙江省A9协作体暑假返校联考

高三数学参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.答案：A.【解析】因为力={x|x>0},3={x|0WxWl},所以，力n3={x［0<xWl},故选A.

2.答案：C.【解析】因为z===CT)。二。=3:4/+/；=3二4,二1一、方,所以£=1+2,，

1+/(1+/-XI-022

\z\=y/\2+22=y/5,故选C.

3.答案：D.【解析】因为(2a-b)_L〃，所以(2"6)・°=0,则(2〃-b)・o=3x1+(4-⑼x2=0,所

以7M=U,故选D.

2

21

4.答案：B.【解析】因为sin(a+4)=sinacosA+cosasinA=—,cosasin#=—,

36

所以sinacos/?=；,则sin(a-/?)=sinacos夕一cosasin£=g-：=；,故选B

5.答案：A.【解析】因为函数夕=2，”+|在区间［1,•)上单调递增，所以^=/一。+1在［］,内)上

单调递增，则即。42,故选A.

2

jr1

6.答案：B.【解析】画出函数在同一坐标系内画出，(x)=cos(x)和g(x)=-(x-l)图象，

34

因为/(--■)=-1<g(~—)=---—,所以/'(x)=cos(x-')与g(x)=图象在区间［一肛幻

336434

上有三个不同的交点，即方程4cos(x-。)=x-l有三个不同的根.故选B.

八y

7.答案：C.【解析】设圆柱的底面半径为广，高为h，由白心=乙，则〃=2-2"，

r1

所以厂=初26=2勿2。-尸)，因为『(/•)=_24(3「2-2「)，令『&)=0,则r=[,

所以P(r)a=P(|)=/*故选C.

8.答案：D.【解析】由〃8)=1逆推得，

/⑻=1f/⑺=2f/(6)=4-/(5)=8f/(4)=16f/(3)=32f/⑵=64f/(I)=128；

/(8)=lf/(7)=2f〃6)=4-»〃5)=8->/(4)=16f〃3)=32f/(2)=64T/(1)=21；

/⑻=lf/(7)=2->/(6)=4f/(5)=8f/(4)=16f/(3)=5f/(2)=10->〃l)=20；

浙江省A9协作体暑假返校联考高三数学参考答案第1页共7页

/(8)=1->/(7)=2^/(6)=4^/(5)=8-»/(4)=16->/(3)=5->/(2)=10->/(1)=3;

/(8)=lf/(7)=2->/(6)=4f〃5)=1-/(4)=2-»/⑶=4->/(2)=8f/⑴=16；

/(8)=1->/(7)=2->/(6)=4->/(5)=1->/(4)=2->/(3)=4->/(2)=1-^/(1)=2.

所以，/(4)<16.故选D.

二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目

要求，全部选对得6分，部分选对分别记。分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分。

9.答案：AC.【解析】

A选项：E(y)=E(X+2)=E(X)+2=4,故A正确；

B选项：D(y)=Z)(2X+4)=4O(X)=16,故B错误;

C选项：由正态分布密度曲线知其关于X=2对称，利用对称性知P(XWO)=尸(X24),故C正确;

D选项：因为尸(XW1)+P(1WXW4)+P(XN4)=1,P(%>4)=P(%<0)P(X<1),

所以，P(lWX44)+2P(XN4)wl,故D错误.

10.答案：BD.【解析】

A选项：f\x)=3x2+2ax+l,令/<x)=0,即3/+2GX+1=0,A=4a2-12,当A>0时，方

程/口)=0有两个不同根，/(X)有两个极值点；当△4()时，/(x)无个极值点，故A

错误；

B选项：〃x)=x3+x+l歹=/+》是奇函数，故B正确：

C选项:设切点(演J(xJ),则切线方程为歹-/区)=/'(耳)(箕-演)，因为过点(x°J(x。)),所以

f(x。)-/区)=Lf),

即_须3+。(飞2_xj)+X。一为=(3x：+2ax,+1)(见一现)，

整理得(X。一内门。。+。+2玉)=0,所以玉=5，或占=一三区，由于％=-5，

乙J

则两根相等，即只有一个切点.，即只有一条切线，故c错误；

D选项：在点(xo，/(x。))处的切线为j，-/(xo)=/'(xo)(x-xj,与曲线联立方程组

y-fM=/Voz,、2/c、cg、]

«,化简得H，(x-Xo)2(X]+a+2x)=0,所以，x=x(),

y=x+ax+x+1

或x=-生也，

2

由于为。-女，则方程组有两个不同解，即有两个不同交点，故D正确.

11.答案：ABD.【解析】

:X=rcos。

因为厂=a0-sin6),所以，/=。&_小山6),利用关系式｛.4得/=a(「一y)，…(*)

y=rs\nG

A选项：因为曲线图象过点(0,-2),所以此时,=々77=2,代入(*)得4=a(2-(-2)),

所以。=1,故A正确；

B选项：因为。=1,所以(*)化为/="-歹，所以直角坐标系下的曲线方程为

x2+y2+y=ylx2+y2,代入点(一1,0)满足，故B正确；

C选项：x=rcos6=(l-sin6)cos6,设/(6)=(l-sin6)cos6,贝"

/'(6)=2sin26-sin6-l,令/(6)=0,得sin。=-；或sin6=1,

浙江省A9协作体暑假返校联考高三数学参考答案第2页共7页

则/(6)有极值士述，由对称性，所以，一空&X&空,故C错误;

444

D选项：方法1：由+/+歹=巧7r两边平方整理得，(f+y2)2+(2y-1)(x2+/)+/=0,

^-t=x2+y2,则『+(2/_1)/+/=0(*),由判别式△=(2y_1了一4/20,得

4

令/(/)=〃+(2y-。+歹2，由于方程(*)在飞LA+CQ)有解，

(1)当对称轴/=^~^^^2,即或时，由/(/)<0f#-2<y<0,

所以-2«yW--~；

(2)当对称轴”上亘〉/,即一土叵<7<9叵时，由△2(),得)yL,

2224

所以一11^<歹4]_,综上，-2<y<^-.

244

方法2：^=/-sin^=(l-sin^)sin0=-(sin0--)2+—,sin0e[-1,1],所以

2/44

故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。

12.答案：也.【解析】e，=>.

2a2

13.答案：。=2.【解析】曲线y=e，在x=0处的切线为y=x+l,g'(x)=—-—，

x+a

1_1,

设切点(x°,ln(Xo+a)),由,与+4，得1°c.

-■Ia=2

'ln(.v0+a)=X。+1i

14.答案：2.【解析】甲乙打卡相同景点的概率为Lxl+LxL+LxL=L,所以甲、乙打卡不相同

33633323

景点的、概率为i_=1=92.

33

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步界。

15.(本题满分13分)

(I)证明：因为2csinN=3asinB,由正弦定理得，2ca=3ab,所以c=—b,...2分

2

因为cos4=1,由余弦定理，cos.二仁」,……4分

3J+2-bc3

代入c=?b得，.+%_/=],化简得c=£b,……6分

23b2~32

所以a=c,即证；……7分

33万一>1—.―.

(II)方法1.因为b=&,a=c=-b=—,AD=-(AB+AC),……10分

222

浙江省A9协作体暑假返校联考高三数学参考答案第3页共7页

所以IN512=L(|万|2+2AB•JC+IJC|2)

12分

4

1,9c3应或1*

=—(一+2x---xv2x-+2)=—,

42238

故AD=....13分

4

方法2.因为a=c,所以Z=c,所以cosC=cos力=g,

在△4C。中，由余弦定理,

AD2=CA1+CD2-2CAxCDcosC……10分

=2+--2x^x—x-=—……12分

8438

故AD=1工....13分

4

方法3.因为6=J^，所以a=c=gb=,

由40是边上中线知，BC2+(240)2=2(44+力。2),即分

可得力。=叵.……13分

4

16.(本题满分15分)N分

(I)因为以平面力,BCu平面力8C,所以加_L8C,4分

又AB上BC,所以BC_L平面P45,

所以3CJ.力E,又E为P8的中点，所以4E_LP8,所以力E平面PBC,分

,76

因为PCu平面PBC,所以4E1CP；分

(H)建系如图,设3。=/,5(0.0,0),2(0,/,0),P(OJl),C(百,0,0),

分

取平面APQ的法向量m=(1,0,0),..8

设平面CPQ的法向量〃=(xj,二)，

因为*=(3T,0),PC=(V3,-1,-1),由笠,"二°,则

\PC-n=0

一•一，取〃=«,省,6(1-1)),……11分

yj3x-y-z=0

由cos<m,n>=,得2/-%+9=0,...13分

\fn\\n\4

33

解得/=3,或/=2,故8。=3或80=2……15分

2~~2

浙江省A9协作体暑假返校联考w我第4页共7页

17.(本题满分15分)

22

⑴。匕=1;6分

94

y=kx+2

(II)设直线的方程为夕=丘+2,联立<Jy2得(4+9标*+36Ax=0,8分

T+T=

-36A8-18氏2

则2(一)，9分

4+9/'4+9公

AP=^-,又直线"：2G-8=0,

10分

则。到直线的距离为

08-18公_

〃s石/-x石-36讨k+9x有元■一网/_324公—72风

12分

J12+81-(4+9&2)闻

贝ijJ-324公-72麻|_-(324/+72阮)

若-324/-72®<0,

、(4+9公)屈(4+9/C2)V93

八小小的石妨011VH|324/+72园|1573

所以A/1P。的面积S=-4PxdJ=-x^—xJ-------晨..三J=^_,

~222(4+9标)闻7

化简整理得54公+7&+10=0,无解;

若―72展。,则旦生将1=空巨逑,

(4+9A2)V93(4+9A2)V93

的面积S苧八*x条券甯邛

整理得，9炉+7麻-10=0,解得左=且或—小

39

综上，&=立或—速

.15分

39

18.(本题满分17分)

(I)八刈=1+21心+1),1分

x+\

浙江省A9协作体暑假返校联考高一.数，：“：匕本案第5页共7页

2(1-ln(x+I))

2分

/⑶=一石+11-，

当xe(-l,e-l)时，f*(x)>0>当xw(e-L+oo)时，/"(x)<0,

所以/'(x)在xe(-l,e-1)单调递增，在xe(e-l,+oo)上单调递减，

所以，/'(x)的最大值为/，(e-l)=l+2;4分

e

(II)由⑴知，/'(X)在单调递增,

又/，(_》=l_4ln2<0，f'(0)=1>0……6分

由零点定理可得必然存在唯一的w(-；,0),使得r(x())=0，...8分

且当xc(-；,Xo)时，f'(x)<0,当xw(Xo,O)时，r(x)>0，.

所以，函数/(X)的极小值点X。满足-;<x°<0.……10分

(III)由/(x)Ng(x),得*一(加+l)ln(x+1)—〃20,F(x)=x-(w+1)ln(jc+1)-M