2024-2025学年数学人教版九年级上册《圆》单元测试（含答案）

第24章圆

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，在。0中，48是直径，CD是弦，AB1CD-垂足为点£,连接CO,AD,zBAD=20°.则下

列说法中正确的是（）.

A.AD=2OBB.CE=EO

C.ZOCE=40°D.zBOC=2zBAD

2.如图，N8是OO直径，C,。是。0上位于异侧的两点.下列四个角中，一定与NACD互余的角是

().

A.zADCB.zABDC.zBACD.zBAD

3.如图，AB是（DO的直径，点C,D,£在。0上.若NAED=20°，贝々BCD的度数为（）.

C.115°D.120°

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4.如图，已知。0的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是4AOB，/COD.若NAOB与/COD互补,

CD=6，则AB的长为（）.

D.5A/3

5.点/,8在。0上，且4AOB=110°.若C是。O上的一点（点C不与点/,8重合），贝此ACB等于（）.

A.55°B.70°C.55°或125°D.70°或110°

6.如图，是OO的直径，C是线段上的一点（不与点2重合），D,E是半圆上的点且CD与2E交于

点F.用①位二加，②DC1AB，③FD=FB中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，则能组成

的真命题的个数为（）.

力0cB

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.如图，正六边形N8CD由内接于。0，OO的半径为6,则这个正六边形的F_—

边心距和俞的长分别为（）//

71

A.3,§

271

V

D.3A/3,2K

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8.如图，在OO中，弦AB=5，点。在上移动，连结OG过点。作CD1OC交OO于点。，则C。

的最大值为（）

A.5B.2.5

C.3D.2

9.如图，在矩形45CD中，AB=5,AD=12，将矩形45CD按如图所示的方式在直线/上进行两次旋转,

则点5在两次旋转过程中经过的路径的长是（）

「1

5|-----ICr---,

।।

AD1

25

A.万工B.13KC.25兀D.25也兀

10.如图，在矩形/BCD中，AB=4，AD=5,AD,AB,8C分别与。0相切于E,F,G三点，过点。

作G）O的切线交BC于点M,切点为N,则。M的长为（）

D.2小

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.左图中的三翼式旋转门在圆柱形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，右图是

旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图中的数据，可知AB的长是m.

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12.如图，PA,P8是00的切线，切点分别是点N和8,NC是。0的直径.若zP=60°，PA=6，则8c

的长为.

13.如图，氏△八8(2的斜边人8=4,。是的中点，以。为圆心的半圆分别与两直角边相切于。，E两

点，则图中阴影部分的面积为.

14.如图，。0的半径是2,直线/与。0相交于45两点，M,N是。。上的两个动点，且在直线/的

异侧.若NAMB=45°，则四边形K4A®面积的最大值是

N

15.如图，在平面直角坐标系中，点Z在第一象限，0A与x轴相切于8,与y轴交于C(0,l)，D(0,4)两

点，则点/的坐标是

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16.如图，已知OO的半径是4,C,。是直径48同侧圆周上的两点，ZAOC=96°>ZBOD=36%动点

P在上，贝IPC+PD的最小值为.

三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

△ABC的三个顶点在。0上，AD1BC,。为垂足，£是BC的中点.

求证：zl=z2.

18.（本小题8分）

如图，点。在。0上，过点。作。0的切线交直径48的延长线于点尸，DC」AB于点C.

19.（本小题8分）

如图，N8是半圆的直径，左图中，点C在半圆外；右图中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺（只能画

线）按要求画图.

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C

BAB

OO

(1)在左图中，画出△ABC的三条高线的交点；

(2)在右图中，画出△ABC中边上的高.

20.(本小题8分)

如图，/2为。0的直径，弦CD1AB于点E,连接/C,过/作AF1AC,交OO于尸，连接DR过2

作BG，DF,交。厂的延长线于点G.

(1)求证：2G是。0的切线；

⑵若NDFA=30°，DF=4,求尸G的长.

21.(本小题8分)

在平面直角坐标系xQv中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于A(l,0)，B(4,0)两点，对于点P

和OM，给出如下定义：若抛物线丫=ax?+bx+c(a力0)经过/，8两点且顶点为尸，则称点尸为OM的

“图象关联点”.

⑴已知E(5,2)，F(1-4)，G(3,l)，H(|,3),在点E,F,G,“中，0M的”图象关联点”是:

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(2)已知(DM的”图象关联点”p在第一象限，若OP=£PM,判断。p与(DM的位置关系，并证明；

(3)己知C(4,2),D(l,2),当OM的“图象关联点”P在。M外且在四边形/BCD内时，直接写出抛物线

y=ax2+bx+c中。的取值范围.

22.(本小题8分)

已知NMPN的两边分别与。O相切于点/,B,<30的半径为r.

(1)如图①，点C在点/,8之间的优弧上，ZMPN=80°.求NACB的度数.

(2)如图②，点C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形NP8C为菱形，NAPB的度数应为多少?请说明理

由.

(3)若PC交OO于点。，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示).

23.(本小题8分)

如图，在aABC中，NACB=90°，AC=BC=CD,NACD=a（CD位于△ABC外），将线段CD绕点C顺

时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE,

(1)依题意补全图形；

(2)判断/E与8。的数量关系与位置关系,并加以证明;

(3)若60°<aW110°,AB=4,/£与3。相交于点G,直接写出点G到直线N8的距离d的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理和三

角形三边的关系.连接。。，根据三角形的三边关系判断/；根据垂径定理，圆周角定理判断8,C,D,

【解答】

解：连接如图.

在aAOD中，OA+OD>AD，(\)

AD<2OB，/错误；(?

AB是直径，是弦，AB1CD.改二

CE=ED，B错误;

AB是直径，CD是弦，AB，CD，

■■■BC=BD>

•••ZBOC=2ZBAD=40°，

ZOCE=50°.C错误，。正确.

故选D.

2.【答案】D

【解析】解:•••NABD,NACD是0所对的圆周角，

•••ZACD=ZABD.

AB是。O的直径，

•••Z.ADB=90°，

•••ZABD+ZBAD=ZACD+4BAD=90°，

•••与NACD互余的角是NBAD.

故选D.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查圆周角定理及其推论，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是90°.

连接/C,根据直径所对的圆周角是90°，得NACB=90°，再根据圆周角定理，可求出NACD=20°，即可

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求出NBCD的度数.

【解答】

解：连接AC.

AB为。O的直径，

ZACB=90°.

ZAED=2O°，

zACD=20°,

•••ZBCD=ZACB+ZACD=110°，

故选B.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查圆周角定理，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形.

延长/O交于点£,连接8E,由/^08+280£=4人€«+/£0口知/8€«=/£'0口，据此可得

BE=CD=6，在Rt^ABE中利用勾股定理求解可得.

【解答】解：如图，延长/O交OO于点£,连接3E,

又,­,ZAOB+ZCOD=180°，

•••zBOE=zCOD>

BE=CD=6，

AE为。O的直径，

■■■ZABE=9O".

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AB=VAE2-BE2=V102_62=8，

故选B.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了圆周角定理，属于基础题，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可,

注意点。可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论.

【解答】

解：如图.

1

当点C在优弧上时，NACB=-ZAOB=55°.

当点C在劣弧上时，zACB=1(360°-zAOB)=125°.

故选C.

6.【答案】D

【解析】解：延长。C交于G,如图，

若①加=而，②DC-LAB，则而=前，则R=61，所以NDBE=ZBDG，则③FB=FD成立；

若①余=61，③FB=FD,贝1JNDBE=NBDG，所以R=61，则寄=R，所以②DC，AB成立；

若②DC1AB，③FB=FD，则而=前，zDBE=zBDG.所以同=51，所以①余=51成立.

故选：D.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、以及弧长公式的运用，熟练掌握正六边形的性质是解决问题

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的关键.连接oc,OB,由正六边形48CDEF可求出NBOC=60°，进而可求出NBOM=30°，根据直角三

角形30°角所对的边是斜边一半再利用勾股定理求出的长，再由弧长公式即可求出弧3c的长.

【解答】

解：连接。C,OB,

正六边形NBCOM是圆的内接多边形，

•••ZBOC=60°，

OC=OB>OM1BC)

•••ZBOM=30°，

•••OB=6，

BM=3，

OM=762-32=3A/3,

工60X7TX6c

•••BC的长=—而—=2兀，

loll

故选D.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键.连接

OD,如图，利用勾股定理得到CD,利用垂线段最短得到当OC1AB时，0c最小，再求出CD即可.

【解答】

解：连接。。，如图，

CD1OC,

•••ZDCO=90°>

CD=A/OD2-OC2=A/I^-OC2,

当OC的值最小时，CD的值最大，

而OC，AB时，0c最小，止匕时。、3两点重合，

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11

•••CD=CB=-AB=-x5=2.5,

即CD的最大值为2.5,

故选：B.

9.【答案】A

【解析】略

10.【答案】A

【解析】解：如图，连接。E,OF,ON,OG,

在矩形ABCD中，

ZA=ZB=9O°，CD=AB=4，AD,AB,2c分别与OO相切于E,G三点,

Z.AEO=ZAFO=ZOFB=zBGO=90°-OE=OF=ON=OG>

四边形AFOE和四边形FBGO是正方形，

AF=BF=AE=BG=2，

•••DE=3，

vDM是OO的切线，BC是的切线，4。是。O的切线，

•••DN=DE=3，MN=MG，

•*-CM=5-2-MN=3-MN，DM=3+MN，

在RtaDMC中，DM2=CD2+CM2,

•••(3+NM)2=(3-NM)2+42,

4

•••NM=-f

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413

•••DM=3+—=.

故选：A.

11.【答案】y

【解析】【分析】

此题主要考查了弧长的计算，以及圆的周长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出靠=病

=AC,并求出直径是2m的圆的周长是多少.首先根据题意，可得靠=蓝=/，然后根据圆的周长公

式，求出直径是2加的圆的周长是多少；最后用直径是2加的圆的周长除以3,求出&的长是多少即可.

【解答】

解：根据题意，可得靠=R=G,

AB=2兀+3=g(m),

即G的长是等n.

故答案为李

12.【答案】2g

［解析］解：连接AB./一--------y'

•••PA，尸2是。0的切线，f\/

0

PA=PB，(\\y

zP=60°-

PAB为等边三角形，C

•••AB=PA=6，ZPAB=60°，

PA是OO的切线，

•••NPAC=90°，

zCAB=30%

AC是(DO的直径，

■■■ZABC=9O°>

•••AC=2BC，

在Rt^ABC中，AB2+BC2=AC2>AB=6>

解得,BC=2g，

故答案为：2电.

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连接48,根据切线长定理得到PA=PB，根据等边三角形的性质得到AB=PA=6，NPAB=60°，根据切

线的性质得到NPAC=90°，根据勾股定理计算即可.

本题考查的是切线的性质，切线长定理，直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题

的关键.

13.【答案】2-f

【解析】【分析】

此题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰直角三角形，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的

关键.由NC与2C都为圆。的切线，利用切线的性质得到三角形与三角形为直角三角形，由

OD=OE,且AO=BO,利用77L得到两直角三角形全等，利用全等三角形的对应角相等得到三角形/5C

为等腰直角三角形，进而确定出三角形N8与三角形都为等腰直角三角形，由斜边。/的长求出OD

的长，且得出扇形圆心角的度数，阴影部分的面积为2（三角形面积-扇形面积），求出即可.

【解答】

解：连接O。、OE,

•AC、3C分别为圆。的切线，

•••ZADO=ZBEO=90°.

-O为的中点，

•••AO=BO,

在Rt△AOD和Rt△BOE中，

[AO=BO

lOD=OE,

•••Rt△AOD=Rt△BOE(HL),

•••Z.A=Z.B,

•4C=90°，

•••Z.A=Z.B=45°,

•••△ADO与△BEO都为等腰直角三角形,

zDOA=zEOB=45°>

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,•AO=BO=2,

根据勾股定理得：OD=也，

则$阴=2（AOD-S扇形）=2x己x（也153=2/

SA鼠'

77

故答案为2g.

14.【答案】4也

【解析】【分析】

本题也考查了圆周角定理以及三角形的面积.

过点。作OC1AB于C，交。0于。、E两点，连结。/、OB、DA、DB、EA、EB,根据圆周角定理得

△OAB为等腰直角三角形，求出N5,得到“点运动到。点，N点运动到E点时所求面积最大，求解即

可.

【解答】

解：过点。作OC1AB于C,交。0于〃、E两点，连结CM、OB、DA、DB、EA、EB,如图，

zAMB=45°，

•••ZAOB=2ZAMB=90°>

OAB为等腰直角三角形，

•••AB=V2OA=2也，

S四边形MANB=SAMAB+SANAB>

・•・当M点到48的距离最大时，^MAB的面积最大；当N点到48的距离最大时，^NAB的面积最大,

即M点运动到。点，N点运动到£点，

此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=SADAB+SAEAB=|AB-CD+|AB-CE

111

=-AB（CD+CE）=-AB-DE=-x2亚x4=4m

15.【答案】（2,|）

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【解析】解：作AEly轴于点£,连接N8,AC,则四边形/8OE为矩形,

CE=1CD=|(4-1)=1.5，AC=AB=OE=1+(4-1)-2=2.5，

AE=A/AC2-CE2=V2.52-1.52=2，

点A的坐标是(23).

本题可作过/点垂直于y轴的直线，根据三角形的勾股定理列出方程，求解即可得答案.本题考查常用辅

助线作法：连接圆心和切点，作弦心距.

16.【答案】4g

【解析】解：过。作DEIAB交OO于E，连接CE交N2于P,连接0E,

作OF，CE于R如图所示：

止匕时CP+PD=CE最小.BD=BE-

■■■NBOE=NBOD=36"，

NAOC=96°，

•••z_BOC=84°,

•••ZCOE=ZBOC+ZBOE=120%

OC=OE=4,

180°-120°

•••ZOCE=ZOEC==30°，

2

OF1CE，

•••CF=EF.OF=|OC=2,CF=V§OF=2g，

CE=2CF=4V^即CP+PD的最小值为4的；

故答案为：4g.

过。作DE，AB交OO于E，连接CE交于尸，连接。E,作OF，CE于尸，点。与E关于N8对称,

此时CP+PD=CE最小.BD=BE＞由圆周角定理得出＜BOE=NBOD=36°，求出

ZCOE=zBOC+zBOE=120°,由等腰三角形的性质得出NOCE=NOEC=30°，由垂径定理得出

CF=EF，由直角三角形的性质得出OF=1OC=2，CF=A/30F=2^3,得出CE=2CF=4矽即可.

本题考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知

识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.

第16页，共25页

17.【答案】证明：如图，连接。E,

E

•••E是2c弧的中点，

■1■弧BE=弧EC,

•••OE1BC，

AD1BC-

•••OE//AD.

•••ZOEA=READ，

,•OE=OA，

•••zOAE=Z.OEA,

•e,Z.1-z.2>

【解析】此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难

度不大，关键是作好辅助线.

连接。E,利用垂径定理可得OE^BC,再禾！J用AD，BC,可得OE〃AD,然后即可证明41=42.

18.【答案】证明：连结。。，如图.

rPD为切线，

•••OD1PD，

ZODP=90%即NODB+Z.PDB=90°.

•••CD1OB-

第17页，共25页

•••NDCB=90°,

••ZCDB+ZDBC=9O°.

OB=OD，

Z.ODB=Z-OBD,

•••ZCDB=ZPDB，

•••DB平分NPDC.

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半

径，构造定理图，得出垂直关系.连结O。，如图，利用切线性质得NODB+NPDB=90°，由CD1OB得

zCDB+zDBC=90°-又有NODB=NOBD,于是得至UNCDB=NPDB,即。2平分ZPDC.

19.【答案】解：(1)如图所示：点尸就是三个高的交点.

(2)如图所示：C7就是N8上的高.

【解析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握锐角三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°.

(1)根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；

(2)与(1)类似，利用圆周角定理画图.

20.【答案】⑴证明：•••C，A,D,尸在。0上，zCAF=90°>

•••ZD=ZCAF=90°.

CD1AB，BG1DF，

•••Z.BED=Z.G=90°.

•••在四边形BEDG中,zEBG=360°-90°-90°-90°=90°.

•••半径OB1BG.

•••BG是OO的切线.

(2)解：连接CF.

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NCAF=90°，

•••CF是（DO的直径.

OC=OF.

直径AB1CD于E,

•••CE=DE.

OE是△CDF的中位线.

1

•••OE=,DF=2.

AD=AD，ZAFD=30°，

••ZACD=ZAFD=30°.

•••ZCAE=90°-^ACE=60°.

,•OA=OC，

・•・△AOC是等边三角形.

CE1AB,

・•.E为4。的中点，

••OA=2OE=4，OB=4.

••BE=OB+OE=6.

,•zBED=ZD=zG=90%

・•・四边形BEOG是矩形.

•*-DG=BE=6.

•••FG=DG-DF=2.

【解析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质、三角形中位线的性

质、矩形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题.

(1)由题意根据切线的判定定理证明半径OB1BG,即可证明BG是。O的切线；

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(2)根据题意连接CF,证明。£是△CDF的中位线，得到EO=1»F,进而依据等边三角形的性质得到BE

长，由矩形的性质可得出。G长，即可得到答案.

21.【答案】解：⑴F，H；

(2)0P与OM的位置关系是：相切.理由如下：

M为的中点.

A(1,O)，B(4,0)，

3

AM=-.

5

OM=-.

连接PM.

•••P为OM的“图象关联点”，

.••点P为抛物线的顶点.

.••点P在抛物线的对称轴上.

PM是48的垂直平分线.

PM1AB.

过点M作MN1OP于N.

11

SAOMP=2OM,PM=-OP-MN.

OP=|PM>

OM-PM3

•'*MN=------------=-=AM.

•••MN是0M的半径，且MN1OP.

OP与。M相切.

(3)-1<a<~|.

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【解析】【分析】

本题考查圆的综合问题，二次函数图象上点的坐标的特征，切线的判定，待定系数法求函数解析式，三角

形的面积等知识，综合程度较高.解题关键是根据“图象关联点”的定义，得出点P的横坐标.

(1)由抛物线及圆的对称性可知，OM的”图象关联点”在线段N2的垂直平分线上，由此可判断；

(2)连接尸河，过点于点N,运用面积法证明MN=AM即可；

(3)求出点尸纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可.

【解答】

(1)1•1ax2+bx+c(a#O)^iiA(l,O),B(4,0)两点且顶点为尸，

则顶点尸的横坐标为I，

在点E,F,G,，中，点/和点”的横坐标为|,

・•・在点E,凡G,”中，OM的”图象关联点”是尸，H；

故答案为：F,H.

(2)见答案;

(3)由⑴知，顶点尸的横坐标为|，由⑵知OM的半径为1.5，

已知C(4,2),D(l,2),

当OM的“图象关联点”尸在OM外且在四边形/BCD内时，

顶点P的纵坐标范围大于1.5且小于2,

当抛物线顶点坐标为(2.5,2)时，设抛物线的解析式为：y=a(x-2.5/+2,把点A(l,0)代入得，

8

a=V；

当抛物线顶点坐标为(2.5,1.5)时，设抛物线的解析式为：y=a(x-2.5)2+1.5,把点A(l,0)代入得，a=-|;

a的取值范围为：—^<a<~

22.【答案】解：(1)如图①，连接ON,OB,

第21页，共25页

•••PA,依为OO的切线，

•••zPAO=zPBO=90°.

ZAPB+ZPAO+ZPBO+zAOB=360°，

•••ZAPB+ZAOB=180°.

••1ZAPB=80°>ZAOB=100°.

•••ZACB=50°.

(2)当NAPB=60°时，四边形NP5C为菱形.理由如下：连接CM,OB,如图②.

由(1)可知，Z.AOB+ZAPB=180°.

-NAPB=60°，

•••ZAOB=120°.

•••ZACB=60°=Z.APB.

・•・点C运动到如图所示的位置时，PC距离最大，

•••PC经过圆心.

•••PA,P3为。0的切线，

PA=PB,zAPC=zBPC=30°.

又PC=PC,

•••AAPC丝△BPC(SAS).

•••ZACP=ZBCP=3O°-AC=BC.

ZAPC=Z.ACP=30°.

•1•AP=AC.

•••AP=AC=PB=BC.

四边形/P8C是菱形.

(3尸。O的半径为r,

OA=r,OP=2r.

•••AP=gr,PD=r.

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•••ZAOP=9