广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题（含答案解析）

广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合A={x|xWl},B={x|lnx<l},贝”(重4)八8=()

A.(0,1)B.(0,e)C.(l,e)D.(e,+oo)

2.已知随机变量X服从正态分布若尸(X<0)+P(X<3)=《，则尸(2<X<3)=

()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

3.若函数=在区间(2,+8)上单调递增，则实数机的取值范围为()

A.[—2,0)B.(―co,—2]C.(—8,0)D.[2,+8)

4.已知：sin(a+0=m，tana=3tanp,则sin(a—R)=()

m“m「mm

At.—B.——C.—D.——

4422

5.在菱形ABCD中，^\AB-7S\=\AB\,且而在旗上的投影向量为九而，则八()

A_1R1cV2口&

2222

6.已知函数〃x)=x(x+a)2在x=l处有极小值，则实数。=()

A.3B.-3C.1D.-1

7.将半径为R的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值

为()

22

A.TIRB.2成2C.2扃玄D.4nR

22

8.设双曲线C:=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为耳,耳，过工的直线与C的右支交

ab

于M,N两点,记心与的内切圆半径分别为小公若6%=9/,则C的离心率

为()

A.72B.GC.3D.4

二、多选题

9.已知奇函数的定义域为R,若〃x)=〃2r),则()

A."0)=0B.“X)的图象关于直线x=2对称

C./(x)=-/(^+4)D.的一个周期为4

10.已知等比数列｛凡｝的公比为4,前〃项和为S,，若H=-l,且\/”旷,见+2>4，则()

A.〃2>。B.0<^<1C.〃〃+1D.S<-----

nq-1

11.设复数Z在复平面内对应的点为Z,任意复数Z都有三角形式：r(cos，+isine),其中r

为复数z的模，6是以x轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边的角(也被称为z的辐角).

若4=Mcose+isina),z2=(cos^+isin夕)，则zl-z2-qu[cos(«+/?)+isin(«+/?)].从0,

1,由中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚部，如此重复操作〃次，可

得到〃个复数：4/2一・,2”,记丫，="2・.马.()

A.不存在〃，使得区|=2024

B.若(Xi).，为实数，则X1的辐角可能为J

0

C.区区4的概率为"

D.(X)为整数的概率为j

O

三、填空题

12.已知圆/+y=4与抛物线丁=2/(？>0)的准线交于A,3两点，若|AB|=26,贝|

P=.

13.若函数/(x)=sin(8-：]与g(x)=sin(0x+：j在区间(o，|J上均单调递增，则实数0

的取值范围为.

14.已知正方体的棱长为I,若在该正方体的棱上恰有4个点满足

\MI^+\MC^=d,则〃的取值范围为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.设VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且bcosC+csin3=a.

(1)求角8的大小，

(2)若A8边上的高为:，求cosC.

4

7T

16.如图，在三棱锥中，平面ABC_L平面BCD,ZBCD=ZBDC=-,尸为棱AC

6

的中点，点。在棱CO上，PQ±BC,且。。=2QC.

⑴证明：平面3CD；

(2)若求平面CP。与平面的夹角的余弦值.

17.已知函数/(%)=1+。88%在*=0处的切线方程为〉=尤+2.

⑴求实数。的值；

⑵探究“尤)在区间，费，+s］内的零点个数，并说明理由.

22

18.已知椭圆C:?+}=1的右焦点为尸，点42在C上，且标=力丽(几＞。).当＞1=1时，

|AB|=3.

(1)求C的方程；

API

(2)已知异于尸的动点P,使得帚=人

(i)若A,B,尸三点共线，证明：点尸在定直线上：

3

(ii)若A,B,P三点不共线，且a=丁求AAB尸面积的最大值.

19.对于任意正整数〃，进行如下操作：若〃为偶数，则对〃不断地除以2,直到得到一个

奇数，记这个奇数为。“；若〃为奇数，则对%+1不断地除以2,直到得出一个奇数，记这

个奇数为巴.若4,=1,则称正整数”为“理想数”.

⑴求20以内的质数“理想数”；

(2)已知册=小一9.求m的值;

⑶将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列出｝，记也｝的前〃项和为3,

证明：

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CACCBDBDADBC

题号11

答案ACD

1.C

【分析】利用对数函数的性质求解集合B,再利用交集和补集的性质求解即可.

【详解】令lnx<l,解得xe(O,e),即8={x[0<x<e},而44={尤|%>1},

所以@A)cB={x|l<尤<e},故低A)c3=(l,e),即C正确.

故选：C

2.A

【分析】由条件结合正态密度曲线的对称性可得P(X<0)=P(X>2),结合条件可求

P(2<X<3).

【详解】因为随机变量X服从正态分布N(l,4),

所以随机变量X的均值〃=1,

所以随机变量X的密度曲线关于x=l对称，

所以P(X<0)=P(X>2),

又尸(X<0)+P(X<3)=[，

所以尸(X>2)+尸(X<2)+尸(2<X<3)=*,

因为尸(X>2)+尸(XW2)=l,

所以P(2<X<3)=0.1,

故选：A.

3.C

【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围.

【详解】由函数/⑴二已各的定义域为^^^2的+8)，

设/=———，贝Uy=e'

x-m

又y=e，单调递增，

答案第1页，共16页

当根=0时，，=0,/（x）=e°=1,无单调性，不成立;

当根v0时，t=—^―在［-oo,m）和（M,+8）上单调递增,

x-m

=e。在（―，间和（私+8）上单调递增,

所以（2,+。）口根,+8）,则mV2,即机＜0；

当机＞0时，一在（t,祖）和（m,+e）上单调递减,

x—m

即/（同=已言在（一8，加）和（私+8）上单调递减，不成立；

综上所述机＜0,

故选：C.

4.C

【分析】利用两角和正弦公式和同角关系化简条件求sinacos/?,cosasin",再结合两角差

正弦公式求结论.

【详解】因为sin（a+0=根，

所以sinacos/+cosasin/7=m,

因为tana=3tan/7,

〜।sinasinB

所以----二3-------,

cosacosp

7171

故sinacos夕=3sin#cosc,+—+—,keZ,

22

所以sinacosP=—,cosasmJ3=—

449

所以sin（a—分）=sinacos/?-cosasin^=—.

故选：C.

5.B

【分析】根据给定条件，结合向量减法可得=再利用投影向量的意义求出人

【详解】由|而-而|=|两，得|丽卜|同，而A5CO是菱形，则△ABD是正三角形，

于是NBA。/,AD-AB=\AD\\AB\cos-=-\AB\1,

332

因此而在通上的投影向量为空当荏=：通，所以2=1.

|AB|22

答案第2页，共16页

故选：B

6.D

【分析】利用导数建立方程求解参数，再结合题意进行检验即可.

【详解】因为/(*)=尤(％+P)2,所以/(力=式*2+2依+。2)=丁+262+品：，

所以1f(力=3%2+4^+。2,而函数〃尤)=x(x+a)2在x=l处有极小值，

所以/'(1)=0,故3+4“+/=0,解得4=-1或。L-3,

当的=-3时，(x)=3f—12x+9,

令尸(x)<Oxe(X3),令尸(x)>0,xey,l)U(3,+oo),

故此时“X)在(F,1),(3,+«)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

此时/(x)在尤=1处有极大值，不符合题意，排除，

当％=-1时，/,(x)=3x2-4x+l,

令广(久)<0,xe(1,l),令[(x)>0,xe(-00,j)u(l,+co),

故此时f(x)在(1,+8)上单调递增，在([I)上单调递减，

此时/(X)在x=l处有极小值，符合题意，故D正确.

故选：D

7.B

【分析】设圆柱的底面半径为「，高为人，由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球,

由此确定『，R,〃的关系，再求圆柱的侧面积表达式并利用基本不等式求其最值.

【详解】设圆柱的底面半径为「，高为心

由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，此时圆柱的轴的中点为球的球心，

所以产+gj=R2,

由基本不等式可得产+f|J>2T.|=r/2,

当且仅当厂=孝〃，/=同时等号成立，

所以泌SR?,

答案第3页，共16页

由圆柱的侧面积公式可得，圆柱的侧面积5=2兀泌，

所以SW2TIR2,当且仅当R=r=夜n时等号成立，

所以可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为2兀斤.

故选：B.

8.D

【分析】根据给定条件，探讨△西工与月"的内心a，仪的横坐标的关系，再结合角平

分线的性质及直角三角形射影定理列式计算即得.

【详解】设耳(—0),4(*0),其中。2=〃+/，

设△M/例与的内心a，。2的横坐标分别为%,9,

过。I分别作阿、MF八百鸟的垂线，垂足分别为R、S、T,

则|肱?|=|那|、忸/=国刀、\F2S\^\F2T\,

又眼耳日”|=(|四?|+阿(|MS|+陷|)=|附-陷|=|用-院|=2a,

且后耳闫巧|+|叫|=2c,则瓯=a+c,T(a,O),于是再=a,同理尤2=“，

因此点。1、。2在直线x=a上，又月«平分N4尸，项％平分/叫。，

ZPF2Q=TI,则\OJ\-\OJ\=\TF^,

而|叫|=c-a,|血力=石,|。2刀=」，

则桃=(C—a)~,即9a2=(c—a)、解得c=4a,

所以双曲线的离心率e=£=4.

【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法:

答案第4页，共16页

①定义法：通过已知条件列出方程组，求得凡C得值，根据离心率的定义求解离心率e；

②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程

求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

9.AD

【分析】由奇函数可得/(。)=0,再根据函数的周期性与对称性分别判断.

【详解】由函数/(x)为奇函数，则/(O)=O,A选项正确；

又〃x)=〃2—力，即〃x+l)=/(lr),则函数关于直线尤=1对称，B选项错误；

由〃x)=/(2—x)可知/(2—x)=/(4+x),

即〃x)=〃4+x),函数〃%)的一个周期为4,C选项错误，D选项正确；

故选：AD.

10.BC

【分析】首先排除公比的特殊情况，结合给定条件解出公比范围，利用等比数列的性质逐个

分析即可.

【详解】Sl=al=-1,4+2对恒成立，

则％-qn+1>勺qn-ln-qn+l>-qn-xn/一(才一1)<0恒成立，

贝1)4>0,q2T<0,故o<q<i,故B对；

A：a2=-q<0,故A错；

1

C：an+l-an=-q"+q"=q"'(1-^)>0=>an+l>an,故C对；

D：由臬二井-领工上+鲁二〉々，故D错.

1-qr-qq-\1-qq-1

故选：BC.

11.ACD

【分析】对于A,三个数中作为复数的实部和虚部，则其模长可能为1,6,2,易知2024不

能拆分成这三个数的乘积;对于B,由题可知(区户”即为如必为实数，举由一个例子，即可判

答案第5页，共16页

断B选项；对于C,由氏|=々/巧/（4,贝I]的值值为U,1,1;

6;1,1,6,2;1,1,2,2;1,1,1,出;1,1,1,2,据此可以求出概率；对于D,若（X,J为整数，则

X’的辐角可以为0,£,无（3个3加1个0）,据此求出概率.

【详解】由0』,出中任意选两个不同数字分别作为实部和虚部，

则模长「可能值为1,6,2

对于A,若区|=2024,则=2024=23.253,

由253不是2与3的整数倍，

故不存在"，使区|=2024，故A对；

对于B,若（XJ2024为实数，则的辐角为2E或|+2kK,keZ，故B错；

对于C,由|X/=石/巧W4,

则小公小〃的取值为1,1,1,1;1,1,>/3;1,1,2;1,1,2,2;1,1,1,1,1,1,2.

故P（|X卜4）=1+C；+C"；：C；+C；+C：审=1|,故C对；

1T

对于D,当r=1时，则辐角为。或万；

当r=6时，则辐角为。或不

当r=2时，则辐角为£或g

3o

若（X4）2为整数，则X4的辐角可以为0弓,无（3个;加1个0）

33

故2二行=7,故D对；

28

故选：ACD.

12.2

【分析】根据抛物线的准线方程，直线与圆相交弦长公式可得P.

【详解】由抛物线丁=2座（°>0）的准线为/:x=-光，

圆/+/=4的圆心为。仅,0）,半径厂=2,

则圆心。到准线/的距离d=与，

2

答案第6页，共16页

则|A8|=2〃-/=2,4一?=2看,

解得P=2,

故答案为：2.

【分析】确定。>0,根据正弦函数的递增区间求出。的范围，结合正弦函数的周期性求出。

的范围可得答案.

【详解】当。=0时，〃x)=sin［-不具备单调性，

当&<0时，/(x)=sin(0x-：J=-sin(_0x+：］,

若在区间［。胃］上单调递增，则在>=sin's+在区间［日上单调递减,

可得/一8+9一年+5因为尸sm,在序3上是单调递增的，

所以y=sin3在&上不可能单调递减，所以。<0不成立,

于是①〉0.

若函数〃x)=sin,x-m在区间04上单调递增，则

24(keZ),°

neo兀兀3

-------------<2fai+—co<4k+—

242〔2

若函数g(x)=sin(w+：J在区间04上单调递增，则

249,8

7169兀兀-1

----F—<2fai+—0V4k+一

242〔2

因为①>0,所以k=0时，

综上所述,0<°wg.

故答案为：［ol.

14.

【分析】分别讨论当Af在正方体各个棱上时d的取值范围，再根据点M的个数求交集即可.

【详解】

答案第7页，共16页

Di

|C?

4

D.

A

当M在48、CQ上时由BCJA5、BC,1C,Dt,即怛d叫+|屿|4|G同+|明|，即

de["l+可

当“在A瓦、C£＞上时ABMG为等腰三角形，BC”R,即

5

|5B1|+|B1C1|<|Affi|+|MC1|<|4G|+|4i|-即de[2,2&]；

当M在AA|、AA、AD,上时d的取值范围均一致，当M在AA上时，绕AA翻折,

使平面ABCR与平面AgGA在同一平面内,

则忸匕闫加8|+阿£同4闭+|46],即de74+272,272

又Af在每条棱上运动时，所在位置与d的值一一对应，

又1+百＞“+2血，

所以若满足条件的M点恰有4个，则de[2,J4+2忘),

故答案为：[2,“+2-).

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用椭圆的定义，分类讨论在不同棱上d的范围.

7T

15.(1)-；

4

⑵-当

【分析】(1)根据内角和公式，两角和正弦公式和正弦定理可得a=AosC+ccosB,结合条

件可得sinB=cos3,由此可求8；

答案第8页，共16页

（2）过点。作边A5上的高CO,结合（1）及所给条件解直角三角形△ACO,々CD求BC,

AC,再利用余弦定理求cosC.

【详解】（1）在VABC中，A=7i—（B+C）,

/.sinA=sin^jc—（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB

由正弦定理：号=名=，片，

sinAsinBsinC

由sinA=sinBcosC+sinCcosB可得a=ZTCOSC+ccosB,

又由题意知"bcosC+csinB,sinB=cosB,且BE（0工）

（2）在VABC中过点C作边AB的高CO,交边AB与D,

由题意可知CD=二，且△BCD和AACD都是直角三角形.

JTC

因为8=:，所以△BCD是等腰直角三角形，所以8£>=cr>=：,

3

所以A£>=AB-8。=—c,

由勾股定理，BC2=BD2+CD2,AC2=AD2+CD2,

解得3C=^c,AC=­c,

44

M,7,2_2

在VABC中，由余弦定理得：cosC=^―

MY

--------C

2.%网

44

BD

16.（1）证明见解析

【分析】（1）依据题意证明直线与两个平面的交线垂直，再利用面面垂直的性质求解即可.

（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可.

【详解】（1）如图，取棱CD靠近。的三等分点R,

答案第9页，共16页

连结AR,BA,则。是CR的中点，

因为P为棱AC的中点，所以尸。是△ACR的中位线,

所以PQ/4?,因为尸QL3C,所以BCL4?,

JT

设BC=«a,因为ZBCD=ZBOC=—,

6

所以8£>=耳，作BHLCD,连接8R,

BR2+BC2=CR2,BC±BR.

又AT?c8R=R,AR,3Ru面ABH,

.•.3C_L平面ASR,因为ABu面ABH,所以BCJ_AB.

又由平面ABC_L平面38,平面ABCp平面88=3。，

平面BCD得证.

(2)由(1)知，AB1BC,AB±BR.以3为原点，

成的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系B-町，z.

令42=3。=石,;.C（石,0,0）,A（0,0,不）,R（O,1,O）,Q^,1,0

\7

设平面CPQ的法向量为%=(x,y,z),

答案第10页，共16页

-AC=0,V3x-V3z=0,

则______即＜令z=L可得.=（L名」）.

Y\•AR=0,y-V3z=0,

连接8Q,此时20=6，QD=2,由余弦定理得3。=1,

所以BQ2+BO2=QD2,所以BQL3Z),

因为AB_L平面88,所以BQ_LAB,

因为AB,30u面ABD,ABQBD=B,

所以BQ1■面ABD,故平面ABD的一个法向量为而=

22

7

|々•闻J3岳

设平面CP。和平面AB。的夹角为8,则cos*"

闻网V55

二.平面CPQ和平面ABD夹角的余弦值为叵

5

17.⑴a=l

-3K

⑵“X）在区间，+8有且仅有两个零点,理由见解析.

2

【分析】（1）运用导数几何意义，结合斜率可解;

(2)f(x)=+cosx,f(x)=ex-sinx,令g(x)=/'(x),g'(x)=e，-cosx,运用g'(x)的正

负判定了'（X）的单调性，再运用广⑺的正负得到了⑺单调性，结合零点存在性定理可解.

【详解】（1）由题可知T（x）=e'-asinx,

由x=0处的切线方程为y=x+2,.•收=/'(O)=e°=l,

把点(0,2)代入得e°+acosO=2,.\a=l.

(2)由(1)可知f(%)=e"+cosx,「./*'(x)=e，-sinx,

答案第11页，共16页

令g⑺=/'(x),g'(x)=_co&x,

当时，g，a)>。，则8⑴在区间卜与尸]上单调递增.

/Q\_3K

glY)=e2_]<0,g(_7i)=eF〉0,

.•・由零点存在定理可知，存在不£(/，-",使得<?(%)=。，即e*o=sin%o,

二当时，尸(x)<0,则小)在区间上单调递减；

当xe(%,-兀)时，/(x)>0,则/(X)在区间(飞,-兀)上单调递增，

又=e2+cos^-^^>0,/(-7i)=e-,t-l<0,

二由零点存在定理可知〃x)在区间(-亨，-”上有且仅有一个零点.

当xe[-7T,0)时，f'(x)=e*-sinx>0；

当xe[0,+oo)时，(x)=er-sinx>e°-1>0：

\/(x)在区间[-兀,y)上单调递增.

又兀)=eF_l<0,〃0)=e°+l>0,

二由零点存在定理可知，存在唯一零点9目-71,0),使得/(X2)=O,

综上可得，/(无)在区间J有且仅有两个零点.

22

18.(1)土X+匕V=1

43

24

⑵(i)证明见解析；(ii)y

【分析】(1)根据已知列式求出6,即可得出椭圆方程；

(2)(i)联立方程组结合向量关系计算得出点在的直线方程；(ii)先根据弦长公式求出|AB|

再应用圆的方程求出高的最大值即可.

【详解】(1)当4=1时，由对称性可知ABIx轴，

IAB|=24W=匕2=3,

22

.•.C的标准方程为土+匕=1.

43

(2)(i)(方法一)・••点尸异于点尸,r/Nl,

答案第12页，共16页

设力（久1，、1）,8（久2，丫2），直线AB的方程为％=啊+1，

22

联立方程?+（=1,得（3加2+4）尸+6"9一9=。,

6m9

%+%=一，

——3m92--+--4-X1%2=---3--m-52--+--4--

%]+AX-1+/L,

由左=彳而可知2

/+2%=°，

・••4民尸三点共线，且»="2＞。且彳/1）,

点尸在线段AB的延长线或反向延长线上，

则丽=2而，设P（x,y）,则无=与学，

1—A

石+X?

由必+几％=0，则%=一上，代入上式得尤=—4一=

%1+Ax+%

%

,尤=4%+%乂=。孙+1）%+（妆2+1）%=2〃明%+（%+%）

M+%M+%%+%

61tlQ

把％+%=-丁*，%%=—-T，代入上式得尤=4,命题得证・

3m+43m+4

（方法二）••,点尸异于点£，彳十1,

Xy+=1+4

设力（久1，%）,8（久2，丫2），由通=2而可知

>1+4%=°，

・••4民尸三点共线，且碗=〃4＞。且彳/1）,

点尸在线段AB的延长线或反向延长线上，PA=^PB，设P（x,y）,则》=三年

1—/I

/一死_(玉一％%2)(1+丸)_(%一「%2)(芭+4%2)

1-2—(1-2)(1+2)­1-22

将①式减去②式，得“—黄+'―2%2=1—%,

43

即(%+1%)(%-&2)+(X+%%)(%-4%)=1Z2

、43—'

则（玉+2%2）（玉_丸%2）=4（1—%）,

答案第13页，共16页

，点尸在定直线％=4上，命题得证.

38

3玉+产=二，

(ii)当4=y时，由(i)可知＜

3

X+二%=。，

38

玉+产二不_8

解得

x2=0,

_8

不妨设A在第一象限，则将*=3代入C的方程,

9=°

・♦•网】［|-。川竽+可弋，

州+6

则直线AB的方程为y=G——(x-O)-若，即'=石(工-1),

--0

5

设P(x,y)(yw石(x-1)),由瞳=彳可知卜_|：+卜—半］=»+(y+后，

为圆心，3为半径的圆上，且不在直线y=^(x-l)上,

:，岑在直线AB上，

(22J

:.^PAB面积的最大值为|x^x3=y.

答案第14页，共16页

19.(1)2和5为两个质数“理想数”

(2)加的值为12或18

(3)证明见解析

【分析】(1)根据“理想数”概念，结合列举法可解;

(2)分析题意知道册=