《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力

第四章

弯曲内力目录第四章弯曲内力§4-1弯曲的概念和实例§4-2受弯杆件的简化§4-3剪力和弯矩§4-4剪力方程和弯矩方程

剪力图和弯矩图§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系§4-6平面曲杆的弯曲内力目录3一、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。

主要产生弯曲变形的杆---梁。二、平面弯曲的概念：4受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。纵向对称面MF1F2q平面弯曲5三、弯曲实例工厂厂房的天车大梁：FF6起重机大梁目录7车削工件目录8火车轮轴目录9火车的轮轴：FFFF10楼房的横梁：阳台的挑梁：§4-2受弯杆件的简化目录一、梁支座的简化a)滑动铰支座b)固定铰支座c)固定端12

二、载荷的简化(a)集中荷载F1集中力M集中力偶(b)分布荷载q(x)任意分布荷载q均布荷载13三、静定梁的分类（三种基本形式）M—集中力偶q(x)—分布力1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：—集中力Fq—均布力LLLL（L称为梁的跨长）火车轮轴简化目录§4-2受弯杆件的简化目录§4-2受弯杆件的简化吊车大梁简化目录§4-2受弯杆件的简化§4-3剪力和弯矩目录一、弯曲内力的确定（截面法）：[例]已知：如图，F，a，l。

求：距A端x处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：①求外力（支座反力）FAX=0以后可省略不求18ABFFAYFAXFBYmmx②求内力FsMMFs∴

弯曲构件内力：－剪力，－弯矩。FAYACFBYFC研究对象：m-m

截面的左段：若研究对象取m-m

截面的右段：19ABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。AFAYCFBYFC2.剪力：Fs

构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。20二、弯曲内力的正负号规定:

①剪力Fs

:

②弯矩M：

Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)左上右下，剪力为正左顺右逆，弯矩为正21例题一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC三、求指定截面上的剪力和弯矩222、求C截面（跨中截面）上的内力qAaC得到：（剪力的实际方向与假设方向相反，为负剪力）得到：（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）23如以右侧梁作为研究对象，则：为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。qBaC24qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。左上右下为正25截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:左顺右逆为正26截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。左上右下为正左顺右逆为正27解：1、根据平衡条件求支座反力例题一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDC2、求B、D截面上的内力?28解：1、根据平衡条件已求出支座反力例题一外伸梁受力如图所示。试求D左、D右、B左、B右截面上的内力。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDC2、求D左、D右、B左、B右截面上的内力?29AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDC截面：30AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDC截面：31截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDC32截面：与截面相比，该截面的内力只增加了约束反力，故有：亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDC33四、小结(基本规律)

（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。（2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FS

、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FS、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。34

（3）梁内任一截面上的剪力FS的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。

若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。

35（4）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。

若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。36

(5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃”（突变），其跳跃的值就是这个集中力的大小；集中力偶作用的截面上弯矩有”跳跃”，其跳跃的值就是这个集中力偶的大小．37在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即称为剪力方程和弯矩方程AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF1剪力方程与弯矩方程§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图38

2内力与外力的相依关系

某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；

在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；39AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点为各段梁的控制截面。

所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。3控制截面的概念40xx(+)(+)(-)(-)剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。注意：必须标明控制截面上的内力值4剪力图和弯矩图41F(x)xF解：①求支反力②写出内力方程③根据方程画内力图[例]列出梁内力方程并画出内力图。FABFAYMAxM(x)-FL42q悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程x依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxl由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为目录例题4-2qx§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图43BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题4-3§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图44BAlFAYFBYx2FSxMxx1CFab目录§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点。在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。45BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CMab目录例题4-4§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图46BAlFAYFBYx2x1CMab目录§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。47BAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCx3.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx目录例题4-5§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图48注意：1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（x的区间）即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。49集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。总结50例题悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的和及其所在截面位置。Pm=PaACBaa取参考坐标系Axy。解：xy1、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段:x51BC段:Pm=PaACBaaxx2、作梁的剪力图和弯矩图-PPa(+)(-)3、求和（在BC段的各截面）（在AB段的各截面）52例题外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：xy1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力532、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axCA段:xAB段:x54yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力图和弯矩图-qa(-)(-)(+)(-)E(+)55例1.简支梁AB受力如图，试作该梁的剪力图和弯矩图。yxaaapapACBDFAyFByxxx解：1.支座反力2.剪力方程、弯矩方程56yxaaapapACBDFAyFByxxxP／32P／3QxPa/32Pa/33.剪力图、弯矩图

MxoPa/357例2.简支梁AB受