2023年中考数学综合压轴题突破：二次函数

2023年中考数学综合压轴题突破——二次函数

一、综合题

1.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A（-3,0）和点B（l,0）,交y轴于点C.

图1图2

（1）求这个抛物线的函数表达式；

（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.

（2）若点D的坐标为（-1,0）,点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2,杯体ACB'所在抛物线形状不变，杯口直径

值.

ABf//AB,杯脚高CO不变，杯深CD'与杯高ODr之比为0.6,求AB'的长.

2.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:

4.如图，抛物线的顶点为£（-1,4）,且过点A（-3,0）,与y轴交于点C,点。是这条抛物线上一点,

X-10123

它的横坐标为如且-3VmV-l,过点。作QK_L%轴，垂足为K,QK分别交线段AE,AC于点G,H.

y0-3m-30

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求m的值；

（3）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象;

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：GH=HK；

（3）当△CGH是等腰三角形时，直接写出根的值.

5.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间.经市场调查表明，该馆

每间标准房的价格在170〜240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准

房的价格x（元）的数据如下表:

X（元）190200210220

（4）这个二次函数的图象经过点（-2,力和（。，与两点，写出•=,b=.

y（间）65605550

3.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1,杯体ACB是抛

物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB=4,且点A,B关于y轴对称，杯脚高

8=4,杯高£>0=8,杯底MN在x轴上.

兴即y，

(1)求点E、F的坐标(用含m的式子表示)；

(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图形

(2)连接0A,若△OAF是等腰三角形，求m的值;

(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

(3)如图2,设抛物线y=a(x-m+6)?+h经过A、E两点，其顶点为M,连接AM,若NOAM=90。，

(3)设客房的日营业额为w(元).若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营

求a、h、m的值.

业额最大？最大为多少元？

9.“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至.某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰

6.设二次函数yi=(x-a)(x-a-1)+(x-3),其中a为实数。

墩墩”纪念品的销售.每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元.销售期间发现，当

(1)当a=0时，求函数yi的图象的顶点坐标；

销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销

(2)若不论a为何值，二次函数yi的顶点都在同一函数y2的图象上，求函数y2的表达式;

售，设每天销售量为V个，销售单价为％元.

(3)若二次函数yi的图象与x轴正半轴始终有交点，求a的取值范围。

(1)直接写出y与％之间的函数关系式和自变量％的取值范围；

7.如图AB=AC=10>/3，ZBAC=120°，ZDAC=90°，点尸从点C出发，以2cm/s的速度

(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；

向点D运动同时点Q从点D出发，以lcm/s的速度向点A运动，当点P到达点。时，P、(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

Q两点停止运动.运动时间为t秒.

(1)【问题探究】

(1)如图1，用含t的式子表示ABPQ的面积求出ABPQ的最大面积；

如图1,在中，BC=8,点。为A5上一点，且=DELBC于点、E,若△ABC的面积为

(2)如图1,4BPQ的面积与四边形AQPC的面积能否相等如果能，求t的值，如果不能说明理由.24,求DE的长.

(3)如图2,点P为圆心，PQ为半径作圆，点P、。在运动过程中，当t为何值时，直线AC(2)【问题解决】

与。尸相切度填写出t的值.如图2,某小区有一块三角形空地ABC,其中AB=AC=5O米，3C=60米，开发商计划在这片空地上进行

8.如图1,矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为绿化和修建运动场地，在3C边上选一点。，边上取一点E,使得=过点E作EF〃BC交AC

AE,已知AB=8,AD=10,并设点B坐标为(m,0),其中mVO.于点尸，连接在中和把区域内绿化，在四边形CD£户区域内修建运动场地.若设的长为

%(米)，运动场地(四边形仪出尸)的面积为y(平方米).

①求y与％之间的函数关系式；

②运动场地(四边形8E尸)的面积是否存在最大值？若存在，求出运动场地(四边形COE尸)面积的最大

值及取得最大值时的长；若不存在，请说明理由.

11.如图，二次函数广-；x2+2x+l的图像与一次函数y=-x+l的图像交于A、B两点，点C是二次函数图象

(1)求该二次函数的解析式；

的顶点，P是x轴下方线段AB上一点(与端点不重合)，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E,平

(2)若M是OB上的一点，作MN〃AB交OA于N,当4ANM面积最大时，求MN的长；

行线交直线BC于点F.

(3)P是x轴上的点，过P作PQ，x轴与抛物线交于Q,过A作ACJ_x轴于C(点P不与点C重合)，当

以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标。

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合)，作PD±x轴，垂足为D,连接

(1)若反比例函数y=-的图像正好过点C,求k的值；

XPC.

(2)求当在EF面积最大时，点P的坐标；

①如图1,若点P在第三象限，且NCPD=45。,求点P的坐标；

(3)如图2,将二次函数y=1x2+2x+l关于x轴对称得到新抛物线y',y'的顶点为C,再将

②直线PD交直线BC于点E,当点、E关于直线PC的对称点E落在V轴上时，求四边形

V沿直线AB的方向平移得到新抛物线y〃，y〃的顶点为C〃.在平移过程中，是否存在一个合PECE'的周长.

14.如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0),B(2,0)两点，与y轴交于点C,点D是抛物线上一个

适的位置，使得小ABC"是一个直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点C的坐标；若不存

动点，设点D的横坐标为m(0<m<2).连接AC,BC,DB,DC.

在，请说明理由.

12.如图，已知二次函数的图象过点0(0,0),A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3。

(1)求抛物线的函数表达式

35

(2)△BCD的面积何时最大？求出此时D点的坐标和最大面积；(3)把抛物线y=ax2+bx+c(a^0)向右平移1个单位，再向上平移弓个单位得新抛物线，在新

216

(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点

抛物线对称轴上找一点M,在新抛物线上找一点N,直接写出所有使得以点A,C,M,N为顶点的四边形是

M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请

平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

说明理由.17.如图，已知抛物线y=^x2+bx+c经过点A(-l,0)、B(5,0)

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；

(2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8,求四边形AMBC的面积.

(3)定点Z)(0,m)在>轴上，若将抛物线的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到一条新

的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d(用含m的代数式

表示).

18.如图1,抛物线y=^+bx+c过点A(4,-l),，点C为直线AB下方抛物线上一

(2)①直接写出点An,及点Bn的坐标(用含n的代数式表示)动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N.

②点Bi,B2,B3,…，Bn是否在同一条抛物线上？若在，求出此抛物线的解析式；若不在，请说明理

由.

(3)①求NOB2A5的度数；②若△AiBzAn,与△A1B2A11+3相似，求n的值.

16.如图1,抛物线y=阮+c(〃wo)与x轴交于A(T,0),B(l,0)两点，交y轴于点C(0,3)

(1)求抛物线的表达式与顶点M的坐标;

(2)在直线AB上是否存在点。，使得C,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，若

存在，请求出D点坐标;

(3)在)轴上是否存在点。，使ZAQM=45°?若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明理

由.

图I图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线交抛物线

于点D,过点P作y轴的平行线交AC于点H,求PD+PH的最大值及此时点P的坐标；

答案解析部分・••根=T；

(3)解：函数图象如下所示:

2

9a—3Z?+2=0,“=一寸

1.【答案】(1)解：将A,B两点的坐标代入解析式得,解得

a+b+2=0,4

b~3

2汽4

故抛物线的表达式为：y=—x2——x+2

33

(2)解：连接OP，

设点0［羽一3"一§%+2）,

由（1）中表达式可得点C（0,2）,3.【答案】(1)解：设y=ax2+4,

则S=S四边形的尸=5A?。+S&CPO_SQDC=gxAOx%+gxOCx上尸|-；xCOx00•・•杯口直径AB=4,杯高DO=8,

5(2,8)

将尤=2,J=8代入，得a=l，

317

V-l<0，故S有最大值，当％=—1时，S的最大值为1.

24/.y=x2+4

2.【答案】(1)解：设这个二次函数解析式为丁=办2+"+小CD'

（2）解：----=0.6,

ODf

a-b+c=0CD'“

/.------=0.6,

4。+2Z?+c=-3,4+CD

c=-3:.CDr=6,3=10,

a=l当y=10时，10=炉+4,

b=-2,

c=-3%=&或%2=—A/6,

；・二次函数解析式为y=/一2%-3；/.A!B'=276,

(2)解：•・•二次函数解析式为了二炉―2%—3,即杯口直径AB'的长为26

・••当％=1时，j=l2-2xl-3=-4,4.【答案】（1）解：•・•抛物线的顶点为E（-1,4）,

・••设抛物线的解析式为：

y=a(x+l)2+4(。wO),:.GH=HK；

3

（3）m的值为一]或3-30

••・抛物线过点A(-3,0),将其代入解析式为：

4。+4=0,

解得：a=—l,

抛物线的解析式为：J=-(X+1)2+4；

(2)证明：设直线AE的解析式为：y=kx+b(k^O),

将点A(-3,0),点E(-1,4)代入解析式：

{-3k+b=0

\-k+b=^，

[k=2

解得：人(，

[b=6

将(200,60)、(220,50)代入，得："盘兽二??，

直线AE的解析式为：y=2x+6,(.ZzOfc+b=50,

解得,=一义,

设直线AC的解析式为：y=k1x+bl(kl^O),

(b=160,

抛物线的解析式为：丁=一(％+1『+4化简得：y=—/―2%+3

Jj=--x+160(170<x<240)

2

当=0时，y=3,11,

x(3)解：w=xy=x(--x+16O)=--x2+160x,

・••点C的坐标为：C(0,3),b

对称轴为直线x=———=160,

2a

将点A(-3,0),点C(0,3)代入解析式：

■:ct=—<0,

卜3勺+4=02

?

(4=3・••在1700x0240范围内，w随x的增大而减小，

・••当x=170时，w有最大值，最大值为12750元

亿=1

解得：.，2

山=36.【答案】(1)解：由题意知，yi=(x-a)+a-3

所以函数yi图象顶点坐标为(a,a-3),

直线AC的解析式为：y=x+3,

当a=0时，通数)的图像的点坐标为(0,-3)

•••D的横坐标为m,DKLx轴，

(2)解：因为函数yi图象的顶点坐标为(a,a-3),

代入AE的解析式为：y=2m+6,又因为不论a为可值，一次函数y2=kx+b都经过yi的顶点，所以一次函数y2的函数表达式为y2=x-3

代入AC的解析式为：y=m+3,(3)解：当二次函数yi的图象过原点时，0=(0-a)2+a-3

-1-岳

GK=2m+6，HK=m+3，a=(此时图象对称轴在y轴左侧)

2

：.GH=GK-HK=m+3，

或2=T+W（此时图象对称轴在y轴右侧）=10+20-2?

2=30—2/

当二次函数的图象顶点在x轴上时，a=3oS.BPQ=；BP.QE

由图可知，若二次函数yi的图象与x轴正半轴始终有交点，+岳<x<3

2=g(30-2t冷

7.【答案】（1）解：如图，过点Q作QE1BC于E，务+峭

22

由题意可知DQ=t,CP=2t

\'ZDAC=90°,ZBAC=120°,AB=AC=10^

■­•当”号时，S,11PB最大值=空叵

:.ZBAD=ZACD=ZABD=30°28

:.ZADC=6O°,BD=AD

(2)解：S四边形AQPC=^&ADC~SADQP

:.QE=QDsinZADC

=^ADAC-SADPQ

=QDx——=——t

22=-xl0xl0>/3--x(20-2r)x—z

222

——=sinZADC

DC=50囱-5"+02

DC=———2

sinZADC

当ABPQ的面积与四边形AQPC的面积相等时，有

10A/3

=—^=20

—乌2+叫=50百一5后+乌2

2

222

/.BD=AD=DC-cosZADC

整理得：y/3t2-—^t+50^=0

2

=-DC=10

2

即：2»-25/+100=0

:.DP=DC-PC=20-2t

2

VA=25-4X2X100<0

:.BP=BC-PC

•••原方程没有实数解.

BD+DC-CP

•.&BPQ的面积与四边形AQPC的面积不相等.・••点E的坐标为(m-10,3),点F的坐标为(m-6,0)

(2)解：分三种情形讨论：

(3)解：如图：作PF1AC，

若AO=AF,

VAB±OF,BF=6,

.\OB=BF=6,

.\m=-6；

若OF=AF,则m-6=-10,得m=-4；

若AO=OF,

在RtAAOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64,

7

(m-6)2=m2+64,得m=--；

PF=PQ3

7

ZACB=30°由上可得，m=-6或-4或--

:.ZFPC=60°(3)解：由(1)知A(m,8),E(m-10,3),

:.FP=PCcosZFPC=-PC=t'・,抛物线y=a(x-m+6)2+h经过A、E两点,

2

a(m—m+6)2+h=8

\DQ=t,ZADC=60°.J

[a(m-10-m+6)2+/i=3'

:.DP=DQ=PQ=t