2023年高考数学二轮复习教案：不等式

解密03讲：不等式

【考点解密】

1.两个实数比较大小的方法

a-b>0^a>b

(1)作差法<a—(a,/?£R)

、〃一b<0=〃<Z?

Ca4,

(2)作商法<%=10a=b(〃£R,b>0)

a<,

T<l^a<b

7b

2.不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>b^b<a=

传递性a>b,b>c=>a>c今

可加性a>b=a+c>b+c=

a>ti\

八(=>ac>bc

O0J

可乘性注意C的符号

a>b\

八(=>ac<bc

c<0J

a>b]

同向可加性，今〃+c>/7+d=>

c>d]

同向同正可

工\^>ac>bd=>

乘性c>d>0J

可乘方性〃>b>0n〃〃>〃(〃£N,心1)a,b同为正数

可开方性a>b>0=>y[a>yfb(n£N,“22)a,b同为正数

3.一元二次不等式的解集

判别式/=庐一4。。J>0J=0/<0

y

二

二次函数y=ax1+bx+cAM

3>0)的图象x^U/xX

2

OX

有两相等实根

方程ax1+bx+c=0(4>0)有两相异实根制,X2

b没有实数根

的根(X[<X2)制=为=一五

tzx2+Z?x+c>0(。>0)的解集{x\x<Xl或X>X2]Ni/j{小£R}

“f+Zzx+cvO(〃>0)的解集{x\xi<X<X2]00

4.基本不等式屈W皇

(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=6时取等号.

(3)其中皇叫做正数a,b的算术平均数，的叫做正数a,6的几何平均数.

5.几个重要的不等式

(1)«2+/?22ab(a,Z?£R).

hZ7

(2)/+石22(a,b同号).

(3)a6W(":beR).

(4)"3BGR).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

6.用基本不等式求最值

用基本不等式M法w等求最值应注意：一正二定三相等.

(l)a,6是正数；

(2)①如果等于定值P,那么当时，和a+6有最小值2炉；

②如果a+6等于定值S,那么当a=b时，积ab有最大值［w.

⑶讨论等号成立的条件是否满足.

【方法技巧】

一、比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

二、判断不等式的常用方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.

(2)利用特殊值法排除错误答案.

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、霹函数等函数的

单调性来比较.

三、利用基本不等式求最值

⑴前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.

(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.

【核心题型】

题型一：比较两个数(式)的大小

1.已知a=&，b=近-5c=#-0,则“，b,。的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】通过作差法，a-b=E+6-币,确定符号，排除D选项;

通过作差法，a-c=2无-底,确定符号，排除C选项；

通过作差法，6-c=(S+3)-确定符号，排除A选项；

【详解】由a-b=4i+0-布,且(应+退r=5+2痣>7,故。>6；

由a-c=2点-指且(2伪2=8>6,故°>c；

b-c=(A/7+A/5)-+且(^/^+6')=9+2^/T8>9+2^/14=(y/l+A/2j,故c>8.

所以a>c>Z?,

故选：B.

2.已知：2"=6"=10,则3,ab,的大小关系是()

A.ab<a+b<3B.ab<3<a+b

C.3<a+b<abD.3<ab<a+b

【答案】D

【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.

【详解】«=log210>log28=3,Z?=log610>l,

ab>3；

又a'?=3+?=ig2+lg6=lgl2>1na+b>a/?,a+b>a匕>3.故选D.

abab

【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.设M=2a(a—2)+7,N=(a-2)(a-3),则Af与N的大小关系是()

A.M>NB.M=NC.M<ND.无法确定

【答案】A

【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案

【详解】解:因为M=2“(a—2)+7,N=(a_2)(a-3),

I+；＞0,

所以M-N=(2/—4a+7)-(a2—5a+6—ci+a+1=a+万

：.M>N,

故选：A

题型二：不等式的基本性质

4.对于实数a,b,c,下列命题中正确的是()

A.若。>4>,则ac2>6c2

B.若IVa-6V2,24a+6V4,则4W4a-劝411

bn

C.若0<a<b,则

ab

D.^a>b>c>0,则f〉：+-

bb+c

【答案】D

【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.

【详解】对于选项A,注意到若c=0,当时，at?=布=0.故A错误.

对于选项B,设m(a-6)+〃(。+。)=4〃一2Z?,

\m+n=4Im=3,、(、

得C，解得「又3W3。―6)46,2W6V4,

\n-m=-2\n=l'/

得544a—2b410.故B错误.

对于C选项，因。<。<匕，则">a2^—>—故C错误.

ababab

a+c_(〃-b)c

对于D选项，1因a>b>c>0,则:〉炉，故D正确.

b+cb9+c)bb+c

故选：D

5.已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是()

A.若a>b,c>d,则a-t/>6-cB.若a>b,0d则ac>ZM

cdcib

C.若〃b>0,bc-ad>0,则—>—D.若a>b,c>d>0,则一>—

abdc

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.

【详解】解：由不等式性质逐项分析：

A选项：由c>d,故-cv-d,根据不等式同向相加的原则a-d>b-c,故A正确

B选项：若a>0>b,0>c>dJjJlJacvbd,故B错误；

C选项：ab>0,bc-ad>0,则”㈣>0,化简得£-/>0,故C正确；

abab

nh

D选项：a=-l,b=-2,c=2,d=l则：=—=一1,故D错误.

ac

故选：AC

6.已知d>5>0,贝！J()

C.tz3—b3>2^a2b—ab2^D.y/a+1—yjb+l>y/a—\[b

【答案】AC

【分析】对A,对。>人两边同除油化简即可判断;

对B,对不等式移项进行因式分解得即可进一步判断1-1的符号不确定，即可判断;

对C,对不等式移项进行因式分解得(“-"3一而+廿)>0,由〃+从一必=5一32+而即可判断；

对不等式移项进行根式运算得不吃〉行力

对D,,即可进一步判断

【详解】对A,a>b>Qnq>4n；>LA正确；

ababba

对B,a-^->b--<^a-b+―-->Q<^(a-b^1一一|>0,a-b>0,1--->0<^ab>l

不等式不一定成

baab\abJab

立，B错误;

22

对C,d—83>2(〃2人一成2)O(Q—6乂/一"+匕2)>0,,/a—b>Ofa+b—ab>0<^>[a—b^+ab>0,不等式

成立，C正确;

对"D,Ja+1—{b+1>yfu—y[bJa+1—+1—y[b,所1以

11

J/7+1+s/b>Ja+1+,不等式不成立，D错误;

Ja+1+y/u\/Z7+1+-\/b

故选：AC.

题型三：不等式性质的综合应用

7.已知l«a+b<4,-l<a-b<2,贝！J4a—2Z?的取值范围是()

A.[-4,10]B.[-3,6]C.[-2,14]D.[-2,10]

【答案】D

【分析】利用待定系数法得出4a-2)=(a+b)+3(a-b),并计算出3伍-9的取值范围，利用不等式的性质可得出

4a-2》的取值范围.

x+y=4\x=l

【详解】设4a-2/?=x(a+b)+y(a—〃)=(%+，解得,

x-y=-2U=3

「.4a—2Z?=(a+Z?)+3(a—b),

Ql<tz+Z?<4,—l<a—b<2,—3<3(tz—Z?)<6,

由不等式的t生质可得一2«(a+b)+3(a—b)(l。，gp-2<4«-2^<10,

因此，4a-2/?的取值范围是[-2/0],故选D.

【点睛】本题考查求代数式的取值范围，解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示，在求解可充分利

用待定系数法，考查运算求解能力，属于中等题.

8.己知l<x-y<3,则的取值范围是（）

A.[2,28]B.1,28C.[2,27]D.1,27

【答案】C

【分析】利用待定系数法求得3x-y=（x+y）+2（x-y）,由-14尤+y4l,14x-”3,结合8工[£|'=23口，从而

可得结果.

【详角军]令3x—y=s（x+y）+,（九一y）=（s+，）x+（s—，）y

U=2

X-

l<x-y<3,

2<2（x-y）<6...@

・••①+②得l<3x>7.

则=23x^e[2,27].

故选C.

【点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档

题.

9.已知12<。<60,15<6<36,则£的取值范围为_________.

b

【答案】（1,4）

【分析】由15<6<36可以推出〈人，由不等式的性质可以得到/的取值范围.

36b15b

【详解】0<15<6<36n0<2<9<],而0<12<。<60,根据不等式的性质可得

36b15

12x]<a4<Cx60n，<F<4,所以:的取值范围为（上4）.

36o153bb3

【点睛】本题考查了不等式的性质.不等式的性质中没有相除性，可以利用相乘性进行转化，但是应用不等式相乘性

时，要注意不等式的正负性.

题型四：利用基本不等式求最值

命题点1配凑法

、4

10.设实数x满足%>。，函数y=2+3%+；的最小值为()

x+1

A.4百-IB.46+2C.40+1D.6

【答案】A

4

【解析】将函数变形为y=3(%+l)+0-1,再根据基本不等式求解即可得答案.

【详解】解：由题意%>0,所以无+1>0,

44

所以y=2+3x+——=2+3(%+1)—3+——

x+1x+1

=3(x+l)+三一122际+1).二-1=4百-L

人"I-1y十1

当且仅当35+1)=鼻，即苫=¥-1>0时等号成立，

所以函数y=2+3》+/"；•的最小值为4&-L

x+1

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因

式的和转化成定值;

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最

值，这也是最容易发生错误的地方

11.已知x>0,y>0,2x+3y=6,则孙的最大值为

【答案】|3

【详解】因为尤>0,y>0,2x+3y=6,

所以孙=初%)=4唱支］2=:俳=|.

33

当且仅当2x=3y,即x=］,y=l时，孙取到最大值］.

12.已知a>b>c,求(a—c)匕与+黄，的最小值.

【详解】(。-0(六十占)

=(Lf-。)(六+士)

=1+1+2+产

a-bb-c

Va>b>c,.*»a—b>0,b-c>09

b-ca—b、,b-ca-b

：.2K2+2---.---=4

a-ba-bb-c

当且仅当a—b=b—c,即2b=a+c时取等号,

•••(.—c)(j与+£)的最小值为4.

命题点2常数代换法

13

13.已知a>0,6>0,a+〃=1,则丁=—I"：的最小值是()

ab

A.7B.2+gC.4D.4+273

【答案】D

【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.

【详解】因为a>0力>0,。+6=1,

13/7\门3、463。、4_lb3a71c质

所以y=—I=(a+b)\—I—=4H----1---->4+2J--------=4+2,3，

abyab)ab\ab

当且仅当2=乎即6=岛时，等号成立.

ab

结合a+b=l可知，当〃=《!二土时，》有最小值4+2JL

22

故选：D.

12一

14.己知x>Ly>0,且—-+—=1,贝！I尤+2y-l的最小值为()

x-1y

A.9B.10C.11D.7+2指

【答案】A

【分析】利用“乘1法”将问题转化为求[原-1)+2日[。+的最小值，然后展开利用基本不等式求解.

12

【详解】Qx>l,/.x-l>0,又y>0,且一—=1,

x-1y

.-.x+2y-l=[(x-l)+2y][—+-^=5+^+^^>5+2户1,2(1)'=乡，

I无一1yjx-1y\x-ly

当且仅当用7=型二2,解得x=4,y=3时等号成立，

x-1y

故x+2y-l的最小值为9.

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因

式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最

值，这也是最容易发生错误的地方.

15.若实数x+2y=4(x>l,y>?)，则一二+7二的最小值为()

2x-12y-\

14

A.—B.1C.—D.2

23

【答案】D

【分析】由条件变形工+4=!工+不■二［（x-l）+（2y-l）］,再结合基本不等式求最小值.

x-12y-l2^x-l2y-l」

【详解】由条件可知，x-l+2y-l=2,

所以占+1△］［（xT）+（2yT）］

2y-l

_£2y-lx-1

2+2+2=2

-2x-12y-l4x-12y-l

7

2y—lx—11

当上丁=^―即2y-1=%—1,结合条件x+2y=4（x>ly>~）.

x-12y-lf2

可知x=2,y=l时，等号成立，所以「7+八的最小值为2.

x-12y-l

故选：D

11Q

16.已知々>0,b>0,且〃6=1,则---1------1--------的最小值为_________.

2a2ba+b

【答案】4

【分析】根据已知条件，将所求的式子化为?+2，利用基本不等式即可求解.

2a+b

.八r八,118abab8

【详角牛】•「a>0,b>0,a+b>0,ciTb=1,1------1--------=1-------1--------

2a2ba+b2a2ba+b

=j+§=当且仅当a+匕=4时取等号，

2a+b\2a+b

结合ab=l,解得a=2—JIb=2+6，或a=2+如/=2-0时，等号成立.

故答案为：4

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

命题点3消元法

17.负实数X、y满足x+y=-2,则的最小值为（）

y

A.OB.-1C.-72D.-5/3

【答案】A

【分析】由已知可得尤=-2-y,再利用基本不等式可求得“工的最小值.

y

【详解】因为负实数X、y满足x+y=—2,则％=_2_yv0,可得_2<yv0,

由基本不等式可得X=—2—y>—2+2（―y）------=0,

yy\-y

当且仅当-y=-；（y<。）时，即当y=-i时，等号成立.

故X-'的最小值为0.

y

故选：A.

18.若实数x,y满足孙+3X=3（0<X<T）,则的最小值为.

【答案】8

【详解】•・•实数x,y满足盯+3x=3（0<x<,，

331

x—y+3，0<^_|_j<2,解得>>3.

311]Ii~3

则最+正^=丁+3+在3+/i+622\/Cy—3>7耳+6=8,当且仅当y=4,x=]时取等号.

19.已知5/寸+y4=l（x,yeR）,贝!jf+的最小值是（）

A.-B.-C.也D.2

455

【答案】B

【分析】依题意可得/=又一上0,即可得到y2«o,l],从而得到/+>2=[4>2+5],利用基本不等式计算

可得；

【详解】因为5》学+丈=1,所以

因为f20,所以y2>（0』,

113

当且仅当4y2=了，即无2=历时取等号，

所以#+廿的最小值是:

故选：B

题型五：基本不等式的综合应用

20.已知正实数”6满足!+?=〃?，若的最小值为4,则实数机的取值范围是（）

abI。八a）

A.{2}B.[2,-H»）C.（0,2]D.（0,+e）

【答案】B

【分析】由题意可得（°+；]卜+，]=46+4+2?2.L.—2=4,当。6=二，即。6=1时等号成立，所以有b=L

V〃八a）abVababa

将▲+;=〃，化为。+工=机，再利用基本不等式可求得加的范围.

aba

【详解】解：因为6为正实数,

["田++"+5+2?222=4,

当,即ab=l时等号成立，

此时有人=—,

a

又因为‘+?=也，

ab

所以。+—二加，

a

由基本不等式可知〃（Q=1时等号成立），

a

所以机22.

故选：B.

21.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且点。满足丽=2丽&,若cos/ABC=^,则2c+a的

4

最大值为（）

A.用C.有D.3石

【答案】A

【分析】利用向量知识可得两边平方可得4+402+a=18,再利用不等式知识可求得结果.

【详解】因为⑸=2两，所以前-配=2（明-丽），所以丽'丽+g前，

所以丽2=（2丽+'后=-BA+-BC2+-\BA\\BC\cosZABC,

（33）999

/l\24141

所以0=-c2+-a2+-ca--,整理得标+4。2+收=18,

\,9994

所以（2C+Q）2-18=3QC,

因为2c+〃2ly/lc-a,所以QC<（2C+Q）,

8

所以（2c+a）2-18]（2c+a）2,解得0<2c+q4苧.

所以2c+。的最大值为上四

5

故选：A

【点睛】关键点点睛：将向量条件前=2次化为=+利用向量数量积的运算律运算得到

a2+4c2+ac=18是解题关键.

22.设等差数列｛“,｝的公差为d,其前"项和是S",若ai=d=l,则券龙的最小值是.

【答案】I9

【详解】斯=。1+（〃一l）d=",Sn=—2

5+82十*出M?+l)9

所以^+―+1

n3、n

当且仅当n=G，即几=4时取等号,

所以的最小值是*

WCln乙

【高考必刷】

一、单选题

2

1.（2021・山西太原•高一阶段练习）己知f=a+»,s=a+b+l,贝!U和'的大小关系为（）

A.t>sB.t>sC.t<sD.t<s

【答案】D

【分析】利用作差法，令s-f,结果配方，判断符号后得出结论.

【详解】ST=。+/+1-3+26)=/-26+1=3-1)220,

故有

故选：D.

【点睛】本题考查用比较法证明不等式的方法，作差--变形--判断符号--得出结论涉及完全平方公式的应

用.属于基础题.

2.（2022・湖北・葛洲坝中学高一阶段练习）已知xeR,M=2/-l,N=4x-6,则MN的大小关系是（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定

【答案】A

【分析】作差法比较大小，即得解

【详解】由题意，M-A^=2%2-1-（4^-6）=2X2-4X+5=2（%-1）2+3>0

因此M>N

故选：A

【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题

3.（2022・江苏宿迁•高一期中）若。>6且必>4,则下列不等式一定成立的是（）

bi>+l„1,1b,a—2a+ba

A.—>------B.a+—>b+—C.a——>b——D.----->一

a<2+1ababa+2bb

【答案】B

【分析】利用不等式的性质，通过举特例结合作差法比较大小即可判断各个选项正误.

【详解】对于A,当。=3,。=2时，-b=42,b+13显然A错误；

a3a+14

对于B,*.*a>b^ab>4,•*.a-b>0,1一-y>0,

ab

a+--b--=（a-b]+———=（a-by[1———|>0,

abv7abv\ab）

••ciH—>b-\—,即B正确；

ab

对于C：当〃=—G，/?=—10时，Q—=,b—=-------,显然C错误；

2a2b20

对于D：当。=3,6=2时，即挈=。，7=-,显然D错误；

a+2b7b2

故选：B.

4.（2022.江西・贵溪市实验中学高三阶段练习（文））若0<x<g,则>=尤，1一4丁的最大值为。

A.1B.—C.—D.—

248

【答案】C

【解析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件.

【详解】•.•（）­<”,y=xJ1-4d=后（1-4Y）=g弁（1一4T）W；.41三一五=:

当且仅当4/=1_41,即x=YZ时取等号

4

则y=x\Jl-4x2的最大值为—

故选：C

【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.

b2

5.（2022•黑龙江・牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）己知为正实数且。+8=2,则一+7的最小值为（）

ab

3厂5

A.-B.y/2,+1C.-D.3

【答案】D

【分析】由题知2+]=-1,再结合基本不等式求解即可.

ab\abJ

【详解】解：因为db为正实数且。+6=2,

所以b=2-a,

「…b22-a222iJli

所以，—+三=----+工=—+工―]=2-+T-1

ababab\ab）

因为2+：=2（工+<]=（〃+6）（工+（]=2+2+£22+2=4,当且仅当a=b=l时等号成立；

ab\abJ\abJab

所以2+3==+?=2+^一1之3,当且仅当a=b=l时等号成立；

ababab

故选：D

19

6.（2022•全国•高三专题练习）已知两个正实数%,丁满足%+丁=2,则1+不j的最小值是（）

A.—B.—C.8D.3

32

【答案】A

【分析】根据题中条件，得到?++展开后根据基本不等式，即可得出结果.

【详解】因为正实数满足x+y=2,

则%

当且仅当v+彳1=O可r即》=3尸=5产等号成立.

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因

式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最

值，这也是最容易发生错误的地方.

_14

7.(2022・全国•高一单兀测试)已知正数了、>满足*+>=1,贝1J—+■;--的最小值为()

x1+y

914

A.2B.-C.—D.5

23

【答案】B

14

【分析】由x+y=l得x+(l+y)=2,再将代数式x+(l+y)与一+^-相乘，利用基本不等式可求出

x1+y

14

—+----的最小值.

x1+y

【详解】；x+y=l,所以，x+(l+y)=2,

rtc/14、「八“I4、4%1+V__I4%1+V__

则2(一+——)=[jf+(l+y)](-+--)=--+—^+5..2--------+5=9,

x1+yx1+y1+yx1+yx

149

所以,—+----

x1+y2

2

4xi+y

X=—3

当且仅当i有一丁即当；时，等号成立,

x+y=ly二一

3

14Q

因此‘1的最小值为丁

故选8.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题.

8.(2022•浙江•高一期中)已知实数x,y>0,且，+y=l,则缄+工的最小值是()

A.6B.3+20C.2+3应D.1+>/2

【答案】B

【分析】构造2x+L=〔2x+nF+j=3+2孙+，，利用均值不等式即得解

yIy八%)孙

【详解】2x+-=\2x+-I-+y|=3+2xy+—>3+2A/2,

yIy八x)xy

当且仅当2p=,，即尤=1+交，>=应一1时等号成立

孙2

故选：B

【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中

档题

9.(2021•安徽合肥・高一期末)已知无＞0,＞＞0,且」7+'=〈，则x+y的最小值为()

x+1y2

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】运用乘1法，可得由x+y=(x+1)+yT=[(x+1)+y]・(+；)-1，化简整理再由基本不等式即可

得到最小值.

【详解】由x+y=(x+1)+y-1

=[(x+1)+y]*l-1

11

=[(x+1)+y]・2(r+-)-1

x+1y

y(x+1).

=2(2+^-H-1——^)-1

x+1y

当且仅当x=3,y=4取得最小值7.

故选C.

【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中

档题.

10.(2022.黑龙江.哈尔滨市第一中学校高一阶段练习)下列说法正确的是()

A.若乂ywR且无+＞＞4,则%,y至少有一个大于2

B.VXGR,\/?=X

C.若1＜々＜3,2＜。＜4,则-2v2a-Z?v4

D.若"x)+2/3]=3x,则〃x)=17

【答案】A

【分析】结合反证法、全称量词命题、不等式、函数解析式的求法等知识求得正确答案.

【详解】A选项，依题意，尤,ywR且x+y>4,若苍,都不大于2,即*V2,yW2,

则x+yV4,与己知x+y>4矛盾，所以％y至少有一个大于2,A选项正确.

B选项，当》=-1时，7?=^（-1）2=1^-1,所以B选项错误.

C选项，由于1<。<3,2<8<4,所以2<2"6T<-b<2,

所以-2<2°-5<8,所以C选项错误.

D选项，依题意，/3+2，曰=3苫①，

以工替换x得/Q]+2/（X）=。②，

X\XJX

由①②解得/（%）=：-%,所以D选项错误.

故选：A

11.（2022•甘肃省会宁县第一中学高一期中）若函数/（》）=尤+」；（x>2）在x=a处取最小值，贝U”等于（）

x-2

A.3B.1+y/jC.1+V2D.4

【答案】A

【分析】将函数y=〃x）的解析式配凑为〃x）=（x-2）+」+2,再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用

等号成立得出相应的工值，可得出。的值.

【详角星】当%>2时，x-2>0,贝U/（x）=%+——=（1一2）+—-—+2>2J（x-2）•—-—+2

x2x2Vx2

=4,

当且仅当x-2=一二（尤>2）时，即当x=3时，等号成立，因此，«=3,故选A.

【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”

这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.

12.（2015・湖南•高考真题（文））若实数满足工+£=疝，则就的最小值为（）

ab

A.V2B.2C.2V2D.4

【答案】C

【详解】•.--+-=y[ab,:.a>Q,b>0,=1-+^>2.1-x-=2.^-,:.ab>2y/2,（当且仅当6=2a时取等号），所

abab\ab\ab

以他的最小值为2a，故选C.

考点：基本不等式

【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等

式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可

以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.

13.（2022.山东.青岛二中高一期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使

用，后来英国资学家哈利奥特首次使用“〉”和符号，并逐步被数学界接受志不等号的引入对不等式的发展景响深

远.已知a,b为非零实数，且“>公则下列结论正确的是（）

A.—>—B.ab2>a2bC.a2>/?2D.—y>—7—

ababab

【答案】D

【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.

【详解】A：2_3=上土，若a>8>0有62一/<0、ab>0,故错误;

ababab

B：ab2-a2b=ab（b-a）,若a>6>0有6-〃<0、ab>0,ab2<a2b,错误；

C：若a=\>b=-2,则/<。2,错误；

111,11.a-b,,11十-

D:/一百=亦厂？=所>°M，故而〉商，正确.

故选：D

一一a2+c2

14.（2022・福建・福州第十五中学IWJ三阶段练习）已知a,b,ceR^a+b+c=Q,a>b>c,则-----的取值范围是（）

ac

A.[2,+oo）B.（—CO,—2]C.1―2厂2D.^2,—

【答案】C

【分析】首先求得。，。及£的取值范围，再把上U转化为关于£的代数式色+£,利用函数/'⑺=「+』的单调性

aacacat

去求旦+£的取值范围即可解决

ca

【详解】由a+b+c=0,a>Z?>c,可得a>0,c<0,b=-a-c

clcj

则贝__,令/=一,贝！__

a2a2

a2+c2ac1

------=-+-=t+-,\-2<t<--\