北京市某中学2024-2025学年高二年级上册数学国庆测试卷（三）（含答案）

理工附中高二数学国庆测试卷（3）

一、选择题

1、正方体48CD-481GA中，直线NC与直线3G所成的角、直线NC与平面4。所成的角分别为（）

A.45°,60°B.90°,45°C.60°,60D.60°,45°

2、如图，在下列四个正方体中，P,R,Q,M,N,G,〃为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与必0所

在平面平行的是（）二二

>■

DC

3、如图，在底面为正方形的四棱锥尸-45C。中，上4,底面4SCD,/PDA=45。,则异面直线尸8与4C所

成的角为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

4.如图，2BCD-44G2为正方体，下面结论错误的是（）一

A.3。//平面C"D]B.ACX1BD

c.平面D.异面直线1。与C4所成的角为60°

/。一•tz

5.如图，在菱形45cZ）中，ZABC=60°,沿对角线/。折起，，使平面48C_LAB平面/CD，

则二面角Z-CQ-B的平面角的余弦值为（）.B

A.—B.-C.—D.2

523c

6.已知P为正方形N5CD所在平面外一点，PA，平面ABCD,若尸2=48,则平面PAB与平面PCD所成角的大

小为（）

A.30°B,45°C.6O0D.90°

7.在正方体ABCD-AXBXCXDX中，动点尸在4c上（含端点），则BP与AD,所成角的取值范围是（）

8.已知四棱锥尸—45CD的底面为矩形，尸。，平面ZBC。，40=2,0c=4,直线。。与平面尸/C所成角的

2

正弦值为则四棱锥尸-48C。的体积为（）

D.8

9.在底面为等边三角形的三棱柱4BC-481G中，已知441平面4BC,AB=2,叫=4,。是棱CG的中点，/

是四边形片4内的动点，若G/〃平面则线段G"长度的最小值为（）

A.272B.2C.百D.V?

10.如图，在棱长为1的正方体48CD-4用£。|中，E,尸分别为。，的中点,则下列结论错误的是（）

/on

A.点尸到点E的距离为0B.点尸到直线矶》］的距离为"

'5

C.点F到平面AEDl的距离为"D.平面BFC、到平面AEDX的距离为坟

13113

二、填空题

11.设。=（一1,2,加），b=（2,-4）,若b=4a,贝!）|〃一力|=.

12.如图，二面角a"-/?的棱上有两个点A,B,线段与/C分别在这个二面角两

个面内，并且都垂直于棱/.若二面角&-7-/的平面角为三，且/8=4,AC=6,

BD=8,贝！］CQ=.

13、如图，四棱锥尸-48CD的底面是边长为1的正方形，点£是棱尸。上一点，

PE=3ED,若而=/定且满足8F7/平面ZCE,则/=.

14.如图所示，在四棱锥尸-45CD中，底面月3。是菱形，且上4,平面45C。，PA=AD=AC,

点尸为PC的中点，则二面角C—BF—D的正切值为.

JT

15.在四棱锥尸—MCD中，面/BCD,四边形MCD为直角梯形，ZABC=ZBAD=~,PA=AD=4,

AB=BC=2,则平面尸43与平面PCD夹角的余弦值为,异面直线尸B与。。的距离为.

16.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍薨”的五面体（如图），其中四边形/BCD为矩形,

EFHAB，若AB=3EF,Z\ADE和LBCF都是正三角形，且=2EF,则异面直线AE与CF所成角的大小

为.

AB

、解答题

17.如图，在平行六面体N8CD-4片G2中，以顶点/为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60。.记羽三,

AD=b，^4]=c.

⑴求国的长;

⑵求国与就夹角的余弦值.

D/'.

一抄C

18.如图，在直三棱柱N8C-48c中，底面48c是边长为2的正三角形，=3,点。在线段上且

AD=2DB,点£是线段4G上的动点.

⑴当点E在什么位置时，直线DE〃平面/CG4?请说明理由；

⑵当直线。£〃平面/CG4时，求平面。仍与平面夹角的余弦值.

19.如图1,在平面图形A8CDE中，AE=ED=BD=BC=T,BCVBD,ED!/AB,NE4B=6。°,沿2D将

△BCD折起，使点C到尸的位置，且BF工BE,EG=BF,如图2.

图2

(1)求证：平面G£8F_L平面NEG.

V3

(2)线段尸G上是否存在点使得平面M42与平面/EG所成角的余弦值为彳？若存在，求出GW的长；若不存

在，请说明理由.

2026届理工附中高二数学国庆测试卷⑶

一、选择题

1、正方体48CD-481GA中，直线4C与直线8G所成的角、直线ZC与平面4。所成的角分别为（）

A.45°,60°B.90°,45°C.60°,60D.60°,45°

【答案】D

2、如图，在下列四个正方体中，P,R,Q,M,N,G,〃为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与时所

【答案】D

3、在底面为正方形的四棱锥尸—中，底面48CD,ZPDA=45°,则异面直线P3与ZC所成的角

为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】B

4.如图，/8。-4月4。为正方体，下面结论错误的是（）

A.5。//平面C42

B.AC,±BD

C.NGJL平面CAR

D.异面直线与c耳所成的角为60。

答案：D

5.如图，在菱形4BC。中，ZABC=60°,沿对角线NC折起，使平面48C，平面NCD,则二面角

/-CD-8的平面角的余弦值为().

5.答案：A

解柝取ZC的中点。，以OC,OD,08所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，则平面48C的法向

量〃1=(0,1,0),平面ZCD的法向量〃2=(用/)，所以k=

6.已知尸为正方形/8C。所在平面外一点，上4,平面Z8CO,若尸2=48,则平面R48与平面尸CD

所成角的大小为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.答案：B

解析：方法一：分析知尸Z,AB,ZQ两两垂直，以/为坐标原点，AB,AD,方的方向分别为x,

y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设PN=4S=1,则/(0,0,0),£>(0,1,0),

尸(0,0,1),.•.赤=(0,1,0).取尸。的中点为E,连接ZE,则二次=.又而是平

面PN5的一个法向量，衣是平面尸CD的一个法向量，cos(AD,AE)\===^2

\AD^AE\

1XV22

2

平面PAB与平面PCD所成角的大小为45°.

方法二：•・・/〃，平面/BCD,28<Z平面48。。，，上4,48,又四边形/5CQ为正方形,

•/ABVAD,CD!/AB,-：PA^AD=A,r.48，平面尸40,CD,平面尸40,又45<z平面E43,

CDu平面PCD,平面PAB1平面PAD,平面PCD1平面PAD,ZAPD为平面PAB与平面PCD

所成的角.••,「/=48=40,PALAD,：.ZAPD=45°.

7.在正方体48。-4瓦£3中，动点尸在4c上（含端点），则AP与4D］所成角的取值范围是（）

71兀7171兀兀兀兀

A.B.C.D.

45345265265?

7.答案：D

解析：以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴、了轴、z轴建立空间直角坐标系,

设正方体棱长为1,点尸的坐标为（X1-x,x）,

则丽=(x—1,—x,x),可=(—1,0,1).

设丽，ADX的夹角为e,

1

则cos0=

所以当x=’时，cos。取最大值也，此时。=巴.

326

1JT

当x=l时，cos。取最小值一，此时。=巴.

23

8.已知四棱锥尸-48CD的底面为矩形，尸。，平面45C。，AD=2,DC=4,直线尸。与平面尸ZC

所成角的正弦值为:，则四棱锥尸-/BCO的体积为（）

A.4B.—C.—D.8

33

8.答案：B

解析：因为尸。，平面Z8C£>,D4,Z）Cu平面N8CD,所以尸PD1DC,又£M_LDC,所

以以。为原点，DA,DC,加的方向分别为x轴、y轴、2轴正方向，建立空间直角坐标系.设

PD=a(a>0),则尸(0,0,a),2(2,0,0),C(0,4,0),所以方=(2,0,—a),就=(-2,4,0).设平面PNC

.--»

〃.—2x—az—0

的一个法向量为〃=(x,y,z),则———‘取x=2a,得〃=(2a,a,4).又而=®0,—a),

n-AC=-2x+4y=0,

一\n'PD\4

尸。与平面尸NC所成角的正弦值为42,所以|cos〈〃,P£>►〉|=^―)=/=一2,解得a=2或

3\n\\PD\J5/+163

a=-2（舍去）,则PD=2,所以％忆=夫矩形忆-PD=—x2x4x2=—.

9.在底面为等边三角形的三棱柱45C-431G中，已知平面/8C,AB=2,=4,。是棱CG的中点，M

是四边形N2瓦4内的动点，若G"〃平面N2。，则线段长度的最小值为（）

A.2A/2B.2C.5/3D.5/7

答案：D

10.如图，在棱长为1的正方体48CQ-48]CQi中，E,尸分别为CD,同用的中点，则下列结论错误

的是（）

A.点尸到点£的距离为正

B.点F到直线ED1的距离为粤

C.点F到平面ZE'的距离为如

3

?[7

D.平面BFC到平面AED,的距离为

3

10.答案：D

解析：以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4L0,0),^fo,1,oh(0,0,1),所以而=(—1,0,—1),函=(o,—g,l

_____/]\AD[•〃=一％+2=0,

西=(-1,0,1),次=-1」,0.设平面4EQ]的一个法向量为〃=(x,y,z),贝U一i取

k2JAE-«=-x+—y=0,

[2，

x=l,得〃=（1,2,1）.点F到点E的距离为|而|=J（-l）2+（—Ip=近,故A正确；点尸到直线EQ的

距离为而「王一，故B正确；点尸到平面NEQ的距离为

\FE-n\掾=（，故C正确；由正方体的性质可知平面8PG〃平面ZED],所以平面8/q到平面

2£口的距离即点尸到平面4E2的距离，为立，故D错误.

3

二、填空题

11.设〃=(一1,2,加)，b=(2,n,-4),若〃=2。，贝!)|〃一力|=.

11.答案：9

解析：由〃=得(2,〃,一4)=2(-1,2,加)，

2二—2,2=—2,

,\<n=22,解得(加=2,.♦.〃=(—1,2,2),6=(2,-4,-4),—6=(—3,6,6),

-4=2m,n=-4,

a-b\=7（-3）2+62+62=9.

12.如图，二面角a-/-£的棱上有两个点A,B,线段2。与4S分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱/.若

.TT

二面角a—/—/?的平面角为1,J!LAB=4,AC=6,BD=8,则CD=.

【分析】根据式子丽=0+方+而，根据空间向量数量积的运算律即可求出CD的长.

【详解】由条件知臣.益=0，ABBD^O,CD^CA+AB+BD，

TV---►---►TT

又二面角的平面角为H，则=

所以西2=同?+|西而『+2行.方+2万而+2瓦.而

=62+42+82+2x6x8cos^7t-|^|=68,所以|。0=2M.

故答案为：2后

13、如图，四棱锥尸-48CD的底面是边长为1的正方形，点£是棱尸。上一点，PE=3ED,若丽=4左且

满足8F〃平面/CE,则2=

p

【答案】-

3

14汝口图所示，在四棱锥尸-45CD中，底面48CQ是菱形，且上4,平面45C。，PA=AD=AC,

点尸为尸C的中点，则二面角C-8F-。的正切值为.

解析：如图所示，设ZC与8。交于点。，连接0E以。为原点，OB,OC,砺的方向分别为x,

y,z轴，建立空间直角坐标系.设尸/=4D=/C=l,则AD=6,所以0(0,0,0),B—,0,0,

、27

心,o,£j,c(o,1,o),所以反［。；。］,前=［0;,0丽=也,0,」.显然反为平面

I22)

n-BC=-—x+—y=0,

2

BDF的一个法向量.设平面BCF的一个法向量为〃=(x,y,z),则＜令x=l,可

^1八

nFB=——x——z=0.

22

得〃=(1,G,G),所以cos〈〃,0e〉=少空=叵,sm(n,OC)=^-,所以tan〈〃,玩〉=迪，故二

\n\\OC\773

面角的正切值为*.

3

7T

15.在四棱锥尸—MCD中，尸/，面MCD,四边形MCD为直角梯形，ZABC=ZBAD=-,PA=AD=4,

AB=BC=2,则平面尸43与平面PCD夹角的余弦值为,异面直线PB与CD的距离为.

【分析】第一空，建系利用空间向量求解即可；第二空，尸8与C£)的距离即为CD到平面尸8W的距离，即点C到

面尸2M的距离，用等体积求解即可.

【详解】第一空，

"PAl^ABCD,AB,/Du面/BCD,

PA±AB,PAVAD.

71

^■,■ZBAD=-,.-.BALAD,

2

•••PA,AB,4。两两垂直.

・••以/为原点，48所在直线为x轴，40所在直线为y轴，4P所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

则4（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,Z＞（0,4,0）,尸（0,0,4）,

ULU__»_____1,

尸4=（0,0,-4）,尸8=（2,0,-4）,PC=（2,2,-4）,PD=（0,4,-4）,

设〃=（XQi，zJ,加分别为平面P4B与平面尸CD的法向量，则

n-PA=0—42]=0

令必=1,取〃=（0,1,0）,

n-PB=02再-4Z]=0

m-PC=02X+2y-4Z=0

222，令Z2=l,取加=（1,1,1）,

m•PD=04y2-4Z2=0

则cos

设平面P4B与平面PCD的夹角为仇

则cos0=—

3

二平面P/3与平面PCD夹角的余弦值为更

3

第二空,

如图，取ND中点连接砚f,PM,

■：BC//MD,BC=MD,

••・四边形BCDM为平行四边形,

CD//BM,

■■8Mu面PBM,CD（X面PBM,

；.CD〃面PBM,

・••PB与CD的距离为CD到面PBM的距离,

即点C到面的距离.

设点C到面尸2M的距离为

SVBCM=5*2X2=2,SVPBM=］*26x3A/2=6,

由Vp-BCM=^C-PBM，

得;X2x4=；x6〃，

4

解得力=§,

4

・•・异面直线尸5与C。的距离为I.

故答案为：&，g.

33

16.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍薨”的五面体（如图），其中四边形

4BCD为矩形，EFHAB,若AB=3EF,△4£>£和△BCF都是正三角形，且/。=2£7"则异面直线

AE与CF所成角的大小为.

解析：方法一（建系法）如图，以矩形48co的中心。为坐标原点，CB,灰的方向分别为x,y轴的

4D=2,幺［1,—|刀］,£1(),一g,挺:

正方向建立空间直角坐标系Oxyz.^AB=3,则斯=1

cf-l,|,0LFJO,1,V2L所以次=(-1,1,后)，CF=(1,-1,V2),所以

AE-CF=-lxl+lx（-l）+V2xV2=0,所以冠，而，所以异面直线ZE与CF所成的角为3.

方法二：如图，在平面ABFE中，过点/作FG//AE交48于点G,连接CG,则ZCFG或其补角为异

面直线4E与CF所成的角.设斯=1,则/B=3,/£>=BC=2.因为EE//4B,4E//EG,所以四边形

ZEEG为平行四边形，所以FG=/£=/£>=2,AG=1,BG=2.又ABLBC,所以

CG=^BG2+BC2=2V2,又CF=BC=2,所以CG?=/G?+C尸？，所以/CFG=二，即异面直线ZE

2

与Cb所成的角为全

四、解答题

17.如图，在平行六面体N5CZ）-4耳G。中，以顶点”为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60。.记万=晨

AD=b，AAX=c.

（2）求国与式夹角的余弦值.

17.(1)V2

⑵洛

6

【分析】（1）表达出-a+c+b,平方后，结合数量积运算法则计算出西2=2,求出国的长为正；

（2）计算出卜百，BDcAC=l,从而利用向量的夹角余弦公式求出答案.

【详解】（1）由题意知:,=W=卜卜1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,

rrrrrr1

a-b=b-c=c-a=lxlxcos60°=—,

2

又•・,BD]=BA+AAX+AXDX=-a+c+b,

----»2

・••BD]—(b+c—a\—b+c+a+26-c-26-47—2c-t7=l+l+l—1=2,

.■.\BD\=4I,即国的长为近,

（2）,••衣=君+石=£+3，

2-2一2

AC=(Q+B)=a+2a-b+b=l+2x」+l=3,

2

=a-b+a-c-a+片=

BD、AC=b+c-a\^a+b]

-kBD]•AC1V6

•cos<BD,,AC>=।Hi~r——j=—产=—

-1畋J"V2XV36，

即西与衣夹角的余弦值为四.

6

18.如图，在直三棱柱/2C-42cl中，底面48。是边长为2的正三角形，力4=3,点。在线段42上且

4D=2DB,点E是线段BG上的动点.

⑴当点E在什么位置时，直线。£〃平面/CG4?请说明理由；

（2）当直线Z）E〃平面/CG4时，求平面。仍与平面ESC夹角的余弦值.

18.⑴点£是线段4G上靠近点片的三等分点时，直线DE〃平面/CG4,理由见解析.

⑵返

44

【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明；

（2）利用空间向量的坐标运算，求平明与平面夹角的余弦值.

【详解】（1）当点E是线段4G上靠近点片的三等分点时，直线Z）E〃平面NCG4,理由如下,

过点D作DF//AA,交4月于点F,过点尸作FE〃4G交4G于点E,连接。E.

因为斯//4G，Mz平面ZCG4,所以瓦7/平面/CG4.

因为ED///4,/*■平面/CG4,所以即〃平面/CQ4,

又EFCFD=F,EF,FDu平面EFD,

则平面EFDH平面NCG4,因为。EU平面EFD，所以DEII平面ACCXAX.

所以当点E是线段上靠近点名的三等分点时，直线Z）E〃平面NCG4.

以2c的中点。为原点建立如图所示空间直角坐标系,

uun£，；，+ULT=

ED=og-3,

7

设平面DEB的一个法向量为»=(a,6,c),

^-a+—b—2