函数的奇偶性（5大压轴考法）解析版-2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题13函数的奇偶性

目录

解题知识必备......................................

压轴题型讲练........................................................3

题型一、由奇偶性求参数.......................................................3

题型二、由奇偶性求函数解析式................................................7

题型三、根据奇偶性解不等式..................................................8

题型四、奇偶性与对称性综合应用............................................11

题型五、奇偶性与单调性综合应用............................................13

压轴能力测评(21题)..............................................17

X解题知识必备2

一、函数的奇偶性

1、奇函数：如果对于函数/(X)的定义域内任意一个%，都有/(-五)=-/(X),那么函数”X)是奇函数,

图象关于原点对称.

2、偶函数：如果对于函数/(%)的定义域内任意一个了,都有/(—力=/(耳，那么函数是偶函数,

图象关于y轴对称.偶函数/(x)的性质：/(—%)=/(%)=可避免讨论.

3、奇函数、偶函数图象对称性的推广

y=/(x)在定义域内恒满足y=/(x)的图象的对称轴(中心)

f(a+x)=f(a-x)直线x=a

/(%)=/(«-%)直线冗=3

2

f(a+x)=f(b-x)直线x*

2

f(a+x)+f(a-x)=O点(a,0)

/(a+x)+/S-%)=0点号,0)

,a+bc、

f(a+x)+f(b-x)=c点H(，)

22

二、判断奇偶性的常用方法

1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数

的定义域是关于原点对称的，再判断了(-X)与±/(x)之一是否相等.

注：判断了(-X)与/(力的关系时，也可以使用如下结论：

(1)如果/(T)—/(x)=O或1V=1(Y(X)HO),则函数/(X)为偶函数；

f(—1)

(2)如果/(一元)+/(£)=0或号而■=-l(/(x)wO),则函数/(%)为奇函数.

2、图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称.

3、性质法：设/(%),g(x)的定义域分别是D2,在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：

/(%)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)加⑴)

偶偶偶偶偶

偶奇不确定奇偶

奇偶不确定奇偶

奇奇奇偶奇

三、函数奇偶性的应用

函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注

意函数奇偶性定义的正用和逆用.

1、由函数的奇偶性求参数

若函数解析式中含参数，则根据/(-%)=-/(%)或/(f)=〃x),利用待定系数法求参数；若定义域含

参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为。求参数.

2、由函数的奇偶性求函数值

由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用/(—X)=—“X)或/(-%)=/(x)求

解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值.

3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤

(1)在哪个区间上求解析是，了就设在哪个区间上；

(2)把一1对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得/(-X)；

(3)利用函数的奇偶性把了(―九)改写成—/(龙)，从而求出了(%).

四、函数奇偶性与单调性的综合应用

1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

2、区间［a,加和［-b,-a］关于原点对称

(1)若/(%)为奇函数，且在［a,b］上有最大值M,则f(x)在［-b,-a］上最小值—M；

(2)若/(x)为偶函数，且在［a,切上有最大值则/XE)在［-4-用上最大值加.

3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一

个单调区间内，然后利用单调性比较.

注：由/(石)>/(々)或/(石)</(%)及函数的单调性列出不等式(组)时，要注意定义域对参数的影响.

“压轴题型讲练”

【题型一由奇偶性求参数】

一、单选题

1.(23-24高一上•湖北•期中)已知函数〃尤)=丁+%+机是定义在区间［一2-九,2同上的奇函数，则相+"=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根据奇函数得到-2-〃+2"=0,f(O)=m=O,解得答案，再验证即可.

【详解】函数/(力=三+》+m是定义在区间［-2-〃,2句上的奇函数，

贝！］一2—〃+2〃=0,解得"=2,定义域为［-4,4］,〃0)=机=0,则m=0,

f(x)=x3+x,定义域为［-4,4］,/(-X)=-J?-X=-/(X),函数为奇函数，满足，

故〃z+〃=2.

故选：C

2.(23-24高一上•江苏无锡•期中)我们知道，函数，=/(元)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条

件是函数y=〃尤)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=的图象关于点P(a,6)成中心对称图

形的充要条件是函数>=/(尤+。)-6为奇函数.根据此想法，我们可以求函数/。)=丁+3/图象的对称中心

为()

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(0,0)D.(-3,0)

【答案】A

【分析】令g(x)=/(x+a)-%=(x+a)3+3(x+a)2-M化简后，利用奇函数的定义求得。,人的值，即得答案.

【详解】•^-g(.x)=f(x+a)-b=(x+a)1+3(x+a)2-b=x3+3ax2+3a2x+a3+3x2+6ax+3a2-b

=丁+(3。+3)无〜+(3a-+6a)x+a，+3a--b

/、f3a+3=0fa=—1

由gX为奇函数，得g(r)=-g(X),贝！I3&2〃八，解得%°，

'a+3a—5=0\b=2

所以函数/(x)=尤3+3/图象的对称中心为(T,2).

故选：A

3.（23-24高一上.山东德州•期中）若函数/⑴=贮±丝二四士竺是定义在（一2a+2,0）U（0M）上的偶函

X

数，贝（）

795

A.-------B.3C.—D.51

2432

【答案】B

【分析】根据定义域关于原点对称求得。，根据偶函数定义求得6,可得A》）的解析式，进而得AD.

【详解】由题意，定义域（-2a+2,0）UQ。）关于原点对称，则-2°+2=-。，解得”=2,

则=2/+X+2-26,又f（x）是偶函数，

X

则f（一元）=/（尤），即2（-.7+2-2匕=2/+=+2-22解得匕=1,

—XX

贝！1/（无）=^1£=2尤2+1,尤e（-2,0）口（0,2）,

X

则/（l）=2xl2+l=3.

故选：B.

4.（23-24高一上•浙江宁波・期末）若函数〃x）=的一厂为偶函数,则实数a的取值范围是（）

x—\x—a\

A.a<-3B.a>3C.-3<a<3D.aW-3或

【答案】A

【分析】根据/（%）为偶函数，得丁=%-|%-。1在［-3,引（或其子集）上为偶函数，求得。的取值范围.

【详解】••・函数/（无）=的一.为偶函数,>=7^二3的定义域为［-3,3］,且为偶函数，

x—\x—a\

y=%-1%-a|在［-3,3］（或其子集）上为偶函数，

.,.X-々20恒成立，

.・.々《%,（-3<%<3）：恒成立，

CL«—3.

故选：A.

5.（24-25高一上•全国•随堂练习）已知函数7口）=卜:龙广八为奇函数，则。+6等于（）

ax+bx,x>Q

A.-1B.1C.0D.2

【答案】c

【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出a，b值即可.

【详解】依题意，当x>0时，-x<0,贝！|/（无）=-/（-x）=—［（一了）2+（-x）］=—/+x,

而当尤>0时，f{x}=ax1+bx,因此依2+法=-%2+无，贝!ja=-l,6=l,/(劝二一尤,+了，

当x<0时，-x>0,贝(J/(x)=-/(—x)=-[-(-x)2+(—尤)]=x?+尤，

又"0)=0=-〃0),于是VxeR,/(%)=-/(-%),

所以。=-1,6=1,所以4+Z?=0.

故选：C

二、填空题

6.(2024高一•全国・专题练习)已知函数〃了)=依2+卜+。+11为偶函数，则。=.

【答案】-1

【分析】由f(-x)=f(x)进行求解.

【详解】因为函数/(尤)=以2+卜+。+［为偶函数，所以f(—x)=f(x),

即6ZX2+|—X+67+1|=(VC+1%+67+1|,

即1-X+67+1|=|X+6Z+1|,

两边平方，化简可得g+i)x=o.

要使上式恒成立，则4+1=0,即4=一式

故答案为：-1

7.(23-24高一上•上海黄浦•期中)已知函数y=/(%)的表达式为〃x)=,且在［-l,c］上为奇函数，

-A-~1UJLI-J.

则/(c)的值为.

【答案】1/0.5

【分析】根据题意，由奇函数的性质求出c的值，结合函数/■(;<)=2"：。求出a,b的值，可得函数解

析式，计算可得答案.

【详解】根据题意，函数〃尤)=在［-1,4上为奇函数,

」-："

人"ICAXA

所以有T+c=0nc=l,

即〃尤)=-J：'7在［T1］上为奇函数，

iZzA十,L

所以/(0)=a=。，即〃=0,

x

故/(%)=

x2+bx+19

—x-x

则〃T)==-“无),

x2—+1x2+bx+1

所以f—陵+1=%2+陵+1=6=0,

所以〃“）=£?贝k（。）="1）=；.

故答案为：—

7?丫之+1

8.（23-24高一上•江苏南京•期中）己知函数了（2=竺上是奇函数，不等式组【上）＜2有的解集为&㈤'

x+a

4「x.x8,

且为，元2y两足%＞。，—+—?=77，贝_____，b=_____.

•^2D

【答案】03-75/-V5+3

【分析】根据奇函数定义求出。；根据1"（司＜26的解集为（占,花），且且4，%满足%＞0,-+-=4

"2'1"

求出6即可.

【详解】〃尤）=幺»的定义域为{x|x¥-a},又函数〃x）是奇函数，所以定义域关于（0,0）对称，

x+a

从而-a=0,即a=0.当a=0时，/(x)="+1,于(-司+1=/(x).故々=0；

X-x

不等式组，

/(x)=^±l=te+-,看等价于"〃x）＜26.

XX

因为其解集为（西，々），是开区间，所以函数八%）在（&%）不单调，所以匕＞0；

又石＞0,所以％2＞。，因此4，%是力—=2^^的两个正根，即Zzx?—2^/^%+1=0,

x

A=12-4Z?>0

所以%+%2=—1—〉°，解得0<b<3,

b

%.冗2=：>0

122

石尤j+(玉+%2J-2玉/

x2_8所以五+三=—评一b_128

又因为不+不二屏一丁一了一2一3

人］人［LZ

尤2尤1玉/玉入2

b

即〃_66+4=0,解得6=3-6或6=3+石(舍).

故答案为：0；3-A/5.

【点睛】关键点睛：本题主要考察片法+^型函数的图象问题，根据2后的解集为开区间（占,9）

确定函数/（无）在（%,9）不单调，从而确定“4，尤2是次+：=2』的两个正根”是解题的关键.

【题型二由奇偶性求函数解析式】

一、填空题

1.(23-24高一上•北京昌平•期中)设〃尤)是定义在(-«),—)上的奇函数，且无>0时，"%)=/-3元，则

/(-2)=—；当尤40时，/(%)=.

【答案】2—-3x

【分析】根据函数的奇偶性求出/(-2)以及当xW0时的解析式即可.

【详解】是定义在(F+«)上的奇函数，贝！jy(-x)=-〃x),

贝！|/(-2)=-〃2)7+6=2,

令尤<0,贝!|-x>0,

故f(-x)=(--v)2+3x=x2+3x=-/(x),

故当无<0时，/(尤)=—*—3x,X/(0)=0,故x=0时也成立，

所以当xWO时，/(X)=-X2-3^.

故答案为：2；-f—3%•

2.(23-24高一上•陕西西安•阶段练习)已知函数〃力对一切实数工都满足〃x)+〃-%)=0,且当x<0时，

/(X)=2X2-X+1,则〃X)=.

—2——x—1,x>0

【答案】0，%=0

2x2-x+l,x<0

【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式.

【详解】函数/(%)对一切实数X都满足了(同+/(r)=0,

所以“0)=0,

设％>0,贝！1T<0,/(-x)=2x2+x+l,

又因为〃x)+/(f)=0,即/(X)=-/(-%),

所以/(x)=-2兀2—X—1

—212—x—1,%>0

所以/(x)=0/=0.

2x2-x+l,x<0

—2x2—x—1,x>0

故答案为：<0,x=0.

2x2-x+l,x<0

3.(23-24高一上.山东潍坊.期中)已知〃尤)，g(x)是分别定义在R上的奇函数和偶函数，且

/(x)-g(x)=x3+x2+l,则/⑴+g(2)=.

【答案】-4

【分析】按题意求函数表达式即可

【详解】f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-x3+x2+l

和已知条件相加得-2g(尤)=2优+1)

故g(x)=-(x2+l)，/(x)=x3

故/⑴+g⑵=1-5=T

故答案为：-4

【题型三根据奇偶性解不等式】

一、单选题

1.(23-24高一下.河北张家口・开学考试)已知是定义在R上的偶函数，且在区间[0,内)单调递减，则

不等式/(xT)>〃2x+l)的解集为()

A.(-co,—2)u(0,+co)B.(-2,0)C.(0,2)D.0)U(2,+℃)

【答案】A

【分析】利用偶函数的性质和函数的单调性即可求解.

【详解】因为是定义在R上的偶函数，

所以川

又因为是在区间[0,—)单调递减，

所以上一1|<|2x+l|,即(x-lj<(2x+l)z,于是有3炉+6尤>0,解得x<-2或无>0,

故不等式〃2x+l)的解集为(-8,-2)u(O,y).

故选:A.

2.(23-24高一上•浙江杭州•期中)若函数/⑺是定义在R上的偶函数，在区间(-8,0]上是减函数，且"0=0,

则不等式幺220的解集为()

x

A.[-1,0)B.(-oo,-l]u[l,+oo)

C.D.[-l,0)U[l,+8)

【答案】D

【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得.

【详解】函数是R上的偶函数，在(-口⑼上是减函数，则“力在[。,+8)上是增函数，/(-1)=/(1)=0,

不等式上HNO化为:x<0Jx>0

解得-lWx<0或"1,

X

所以不等式—＞0的解集为[-1,0）u[1,+8）.

X

故选：D

3.（23-24高一上•北京•期中）定义在R上的奇函数/（X）满足，当0＜x＜2时，/（x）＜0,当x＞2时，f（x）＞0.

不等式犷（力＞0的解集为（）

A.（2,+8）B.（-2,0）u（2,+oo）

C.（―oo,—2）U（2,+8）D.（一2,0）u（0,2）

【答案】C

【分析】由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x）,根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质

解不等式可得所求解集.

【详解】由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x）,

当一2＜尤＜0时，贝（JO＜-x＜2,〃一了）=一/（视。=/（%））。，

当x＜-2时,则-x＞2,〃一无）=一〃尤）＞0n/（x）＜0,

[x＞0[x＜0

由双尤）＞。=仇＞0叫小）＜0,

根据分析可得V（x）＞0解集为（-8,-2）u（2,+8）.

故选：C

4.（23-24高一下.云南楚雄.期末）已知函数〃%）=侬|,的图象经过点（3,27）,则关于x的不等式

16/（力+/（%-15）＞0的解集为（）

A.（-oo,3）B.（3,+co）C.（3,5）D.（5,+oo）

【答案】B

【分析】代入点坐标求得加的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将16〃到+/（了-15）＞0恒等变换为

/（4x）＞-/（x-15）=/（15-x）,最后利用函数单调性即可求解.

3X2,X>0

【详解】由题意知『（3）=27,解得祖=3,所以/（x）=3xW，即〃x）=

-3X2,X<0

易得〃尤）在R上单调递增.因为〃-尤）=-3乂-尤|=-3%国=-〃力，所以〃尤）为奇函数.

又16/(x)"(4%),故16/(x)+/(x-15)>0等价于/(4x)>-/(x-15)=/(15-x),

贝!J4x>15—%,解得x>3.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.

解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数/'(X)解析式将16/(力化成f(4x),其二，利用奇偶

性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.

5.(23-24高一上•江苏盐城•期中)设函数/(尤)=为定义在R上的奇函数，且当彳<°时，

g(x)=x2-x-4,若/(g(a))W2,则实数。的取值范围是()

A.—1]^[0,2^/2—1JB.[-1]

C.(-8,-2]D.|^—1—2A/2,2A/2—1J

【答案】C

【分析】根据函数g(x)的奇偶性以及当x<0时的解析式，求出g(x)的解析式，解不等式/'(x)W2,可得x

的取值范围，进而结合/'(g(a))<2,再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案.

【详解】由题意知g(x)为定义在R上的奇函数，则g(0)=0,

当尤<0时，g(x)=x2-x-4,

当尤>0时，g(%)=-g(-x)=-x2-x+4,

一x?—x+4,x>0

故g(x)=<0,x=0,

,、fx"+x<2f—%2W2

又/x42,得或，

[%<0[x20

解得一2Kx<0或犬20,贝！|xw[—2,+oo)；

所以g(“)e[-2,+与时，/(g(«))<2,

当avO时，/一〃一4之一2,解得。之2或4<一1,贝!!"<一1,

当a=0时，g(0)=0,满足g(a)£[-2,+8)；

当。〉0时，-a2-a+4>-2,解得一3<a<2,贝!

综上，a的取值范围为(0

故选：C

【点睛】易错点点睛：本题考查了函数奇偶性以及分段函数的性质问题，涉及到解不等式以及复合函数问

题，易错点首先是利用奇偶性求g(%)的解析式，其次是求出了(X)W2的x的范围后，要分类讨论a的范围，

再求解相应不等式，这里也很容易出错.

【题型四奇偶性与对称性综合应用】

一、单选题

1.(22-23高一下•云南保山•阶段练习)若函数y=/(x+l)是偶函数，则函数y=/(x)的图象对称轴是()

A.x=—B.x=lC.x=--D.x=—l

22

【答案】B

【分析】根据函数的平移即可求解原函数的对称轴.

【详解】Qy=/(x+i)是偶函数，，y=/(x+i)的图象关于丫轴对称，

又Qy=/(x+1)的图象是y=/(x)的图象向左平移一个单位长度得到，

y=f(x)的对称轴为％=1,

故选:B.

2

2.(22-23高二下•安徽黄山•期末)己知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且/(2-尤)+/(x)=：,则/(2023)=

()

A.—B.—C.0D.1

33

【答案】B

【分析】根据题设易得了⑴=g,并判断了(x)的周期，利用周期性、偶函数性质求目标函数值.

【详解】由题意/(无)关于(11)对称，即/⑴=；,且f(-x)=f(尤)，

222

所以〃2-x)+/(-尤)=§,BP/(2+x)+/(%)=-,X/(2-x)+/(x)=-,

所以/(2+x)-/(2-x)=0,即/(2+x)=/(2-x)=/(x-2),

所以/(尤)=/(尤+4),故/⑴的周期为4,

贝［|7(2023)=f(506x4-l)=/(-1)=/(1)=1.

故选：B

3.(23-24高一上.湖南长沙.期末)在R上定义的函数是偶函数，且="2-尤)，若“X)在区间［1,2］

上是减函数，则/(x)().

A.在区间［0,1］上是增函数,在区间［3,4］上是增函数

B.在区间［0』上是增函数，在区间［3,4］上是减函数

C.在区间［。,1］上是减函数，在区间［3,4］上是增函数

D.在区间［0』上是减函数，在区间［3,4］上是减函数

【答案】B

【分析】根据函数关于丁轴和x=i轴对称，利用已知区间的单调性求解.

【详解】因为/("=〃2-力，所以函数/(尤)关于x=l成轴对称，

所以区间［0,1］与区间［1,2］,区间［-2,-1］与［3,4］关于x=1对称，

由函数/(x)在区间［1,2］上是减函数，可知函数在。1］上是增函数，

又函数”元)是偶函数，所以函数f(x)在［-2,T上是增函数，

所以函数在［3,4］上是减函数，

故选：B

4.(22-23高三上•江苏盐城•阶段练习)已知函数y=/(x+D是定义在R上的偶函数，且/(x+3)+/(l-x)=2,

则()

A./(1)=0B./(2)=0C."3)=1D./(4)=1

【答案】D

【分析】函数＞=/(尤+1)是定义在R上的偶函数，可知〃尤)对称轴为x=l,又/(》+3)+/(1-幻=2可推

出周期为4,根据函数的对称性和周期性即可判断正误.

【详解】解：因为函数y=/(x+D是定义在R上的偶函数，

所以“X)关于x=l对称，则〃l-x)=/(无+1),

又/(x+3)+/(1)=2,

所以/(x+3)+/(x+l)=2,即/'(x+2)=_/(x)+2,/(x+4)=_/(x+2)+2=/(x),

函数的周期为4,

取x=0,贝！)八2)+/(0)=2/(2)=20〃2)=〃0)=1,

所以〃4)=/(0)=1,则D选项正确，B、C选项错误;

由已知条件不能确定/(1)的值，A选项错误；

故选：D.

5.(23-24高一上•江西景德镇•期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，设函数8(幻=(*+,)-+/(■的最大

%2+16

值为最小值为如则+()

A.2B.4C.8D.16

【答案】A

【分析】由题意可得/7(x)=的最大，最小值分别为M-1，，〃-1，由奇函数的性质可得

M-l+m-l=0,变形可得答案.

【详解】.y(+(x+4『+Cx2+]6+8f8x+〃x)门,

‘八,%2+16X2+16X2+16

令〃(x)=g(x)_]=8x/(：),因为是奇函数，所以〃_x)=-〃x),

x+16

,〃(_尤)=心：止x)=Jx+f[x)=_〃")，所以函数网力是奇函数，

x+16x+16

所以函数/z(x)的最大值为"-1,最小值为相-1,由奇函数得性质可得，M-l+m-l=O,

解得M+zn=2.

故选:A.

6.(23-24高三下•陕西安康.阶段练习)已知定义域为R的函数F(尤)满足：/(x-1)为偶函数，

/(x)+/(2-x)=0,且"-2)=1,则“2024)+“2025)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出了⑴以及“0),结合

函数周期，即可求得答案.

【详解】由题意知定为域为R的函数/")满足：/(x-l)为偶函数，

即/(x-l)=/(-x-l),BP/(x)=/(-2-x),结合〃x)+〃2T)=。,

M/(-2-x)+/(2-%)=0,Bp/(-2+x)+/(2+x)=0,

故/⑺+/(x+4)=0,即〃x+4)=-〃x),

则/a+8)=—〃x+4)=/(x),故8为函数〃x)的一个周期，

由于/'(x+4)=-/(x),/(-2)=1,故令尤=—2,贝！|/(2)=—/(一2)=—1,

结合/(耳+/(2-工)=0,令x=2,得〃2)+〃0)=0,「"(0)=1,

对于/(x)+/(2—尤)=0,令x=l,则"1)=0,

故“2024)+f(2025)=/(253x8)+/(253x8+1)=/(0)+/(I)=1,

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，

进而结合赋值法求值，即可求解答案.

【题型五奇偶性与单调性综合应用】

一、单选题

1.(23-24高一上•山东潍坊•期末)已知〃元)是定义在R上的奇函数，若对于任意的士,％©(-泡。]，当x产马

时，都有〃占）一〃％）>0成立,则不等式（x-l）/（x）>0的解集为（）

x1—x2

A.（0,1）B.（1,+co）C.（~°0,-1）U（1，+00）D.（—℃,0）o（1,+oo）

【答案】D

【分析】根据题意分析出〃x）的单调性，且得到x>0时，/（%）>0,x<0时，〃x）<0的结论，然后分

类讨论解不等式即可.

【详解】对于任意的占，9e（—,0］,当王wx,时，都有"为）一"斗）>0成立,

%—x2

所以“尤）在无e（-*0］严格增，又〃x）是定义在R上的奇函数，

所以“X）在R上严格增，且"0）=0,所以x>0时，/（%）>0,无<0时，/（x）<0,

工-1>0jx-l<0

(尤_l)/(x)>0of(x)>01/(x)<0即

所以xe(-8,0)U(L+8)，

故选：D.

2.（23-24高一下•广东深圳•阶段练习）已知函数y=〃尤）的图象关于y轴对称，且对于y=〃x）（xeR）,

当为，X2C（-s,0］时，区）<0恒成立,若/（26）</（2/+1）对任意的》6口恒成立，则实数。的

X1工2

取值范围是（）

A.（-oo,V2）B.（-0,0）C.［0,72）D.（72,+CO）

【答案】B

【分析】根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式求解.

【详解】由题意，函数〃x）为偶函数，且在（y⑼上单调递减，所以在［0,+<»）单调递增，

又"2班）<f（2x2+1）恒成立，所以|2«x|<|2尤2+”恒成立.

^|2<XC|<|2X2+1|=|2办|<2_?+1=_2/一1<2办<2—+1恒成立.

由—2x2—1<lax即2x2+2ax+\>0恒成立，得A=（2a）——4x2xl<0=>q2<2；

由2ax<2x2+1即2Y-2ov+l>0恒成立，得A=(—2。)？—4x2xl<0=>«2<2.

综上可得/<2,即一〈夜.

故选：B

3.（23-24高一上.广西贺州•期末）若定义在（-叫0）U（0,+«>）上的奇函数〃x）,对任意%>々>0,都有

工^<上?，且"2）=4,则不等式〃x）<2x的解集为（）

A.(-2,O)u(O,2)B.(-2,0)U(2收)

C.(-00,-2)u(2,+00)D.(2,+00)

【答案】B

【分析】

根据题意，设g(x)=/也，xwO,分析g(x)的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案.

X

【详解】

根据题意，设g(x)=/^,尤HO,

X

于3是定义在(-8,0)D(0,+8)上的奇函数，即/(-%)=-/(%),

故g(-x)=/5=g(x),函数g(x)为偶函数，

-X

由题意当国>天2>。时，有g(&)<g(X2),函数g。)在(0,+8)上为减函数，

又由g(x)为偶函数，则g(x)在(-8,0)上为增函数，

又由"2)=4,则g(2)=号=2,同时g(-2)=2,

,,、，g(x)=d^<g⑵=2g(x)=W>g(-2)=2

/(x)<2xoJX或<

x>0x<0

必有—2<x<0或x>2,即尤的取值范围为(~2,0)U(2,+8).

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情况解不等

式.

4.(23-24高一上・北京海淀•阶段练习)已知奇函数/(无)是定义在R上的减函数，且/(2)=-1,若

g(%)=/(%-1),则下列结论一定成立的是()

A.g(l)=TB.g(2)=J

C.g(-%+l)+g(x+l)<0D.g(-x)+g(x)>0

【答案】D

【分析】利用奇函数性质计算判断A；由单调性得T<〃D<0,分析判断B；根据给定条件，结合奇函数

性质、单调性计算判断CD.

【详解】由/(桐是R上的奇函数,得"0)=0,又g(x)=/(D,因此g⑴=〃0)=0,A错误；

由Ax)是R上的减函数，得/⑵V/⑴</(0),即因此一l<g(2)<0,不一定有g(2)=-g,

B错误；

由g(x)=/(无一1),/(元)是R上的奇函数，得g(-x+l)+g(x+l)=/(-x)+/(x)=O,C错误;

由g（x）"（x-I）,/（X）是R上的奇函数，得g（-x）+g（x）=/（-x-1）+/（尤-1）=-1）-/（X+1）,

又了（X）是R上的减函数，贝！（尤—l）＞y（x+l）,即/（x-l）-/（x+l）＞0,因此g（-x）+gQ）＞0,D正确.

故选：D

5.（23-24高一下•湖北咸宁•期末）定义在R上的函数满足〃x+2）为偶函数，且在（2,+向上单

调递增，若尤目1,3],不等式〃6）＜〃x-2）恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.QjjB.（1,5）C.卜jD.（-1,0）

【答案】A

【分析】求出〃尤）的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将〃方）J（x-2）转化为ax,x-2的关系，

得到|依-2|＜以-2-2|,再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出a.

【详解】定义在R上的函数“X）满足〃x+2）为偶函数，所以“X）关于x=2对称，

在（2,+动上单调递增，则〃x）在（-。,2）上单调递减，

所以/（X）越靠近对称轴x=2函数值越小，

由/（依）＜/（%-2）得麻-2|＜|x-2-2|,

由于xw[l,3],所以％—4＜0,4—1＞。，故九一4〈办一2〈4一%,

可得1一2＜。＜9一1,即xe[i,3]时1一2＜。＜9_1恒成立，

可得,

\X^max\x7min

由于y=l-2在山1,3]时单调递增，卜二]=：,此时x=3,

y="l在xe[l,3]时单调递减，f--l]=1,此时x=3,

x\x/min

则实数。的取值范围为1，lj

故选：A

6.（2022高一上.全国.专题练习）若定义在R上的奇函数满足〃2-x）=〃x）,在区间（0,1）上，有

（玉-龙2）[“%）-/（工2）]＞。，则下列说法正确的是（）

A.函数〃x）的图象关于点（1,0）成中心对称

B.函数/'（X）的图象关于直线x=2成轴对称

C.在区间（2,3）上，〃尤）为减函数

【答案】C

【分析】根据题意分析“X)的奇偶性、对称性、单调性与周期性，逐一分析各选项即可得解.

【详解】对于AB,因为解力是奇函数,且/(2-1=/(力,

所以“4-%)=a2_(》-2)]=〃彳-2)=-/(2_力=-〃对，

则〃4-x)+〃x)=0,故关于点(2,0)成中心对称，

又/'(2-尤)=/(x),则f(x)关于x=l成轴对称，故AB错误；

对于C,因为在区间(0,1)上，有(为-%)"(占)-〃々)]>0，

所以/'(x)在(0,1)内单调递增又了(“关于x=1成轴对称，(2,0)中心对称，

则F(x)在(2,3)内单调递减，故C正确；

对于D,因为〃x)=〃2-x)=—/(x—2),则f(x+2)=—f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可知/(x)的周期为4,

则/卜鼻=/([<4|/故D错误.

故选：C.

”压轴能力测评.

一、单选题

1.(23-24高一上•浙江嘉兴•期末)设函数/(力=/-3/,则下列函数是奇函数的是()

A.f(x+l)+2B.f(x—1)+2

C./(x-l)-2D./(x+l)-2

【答案】A

【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.

【详解】因为“天卜%3/%2,

对于A选项，/(X+1)+2=(X+1)3-3(X+1)2+2=X3+3X2+3X+1-3X2-6X-3+2=X3-3X,

令4(%)=3-3%，该函数的定义域为R,

^(-%)=(-%)3-3(-%)=-x3+3x=-/；(%),则/(x+l)+2为奇函数，A满足要求;

对于B选项,/（x—l）+2=（无一1丫—3（x—1）~+2=—3尤2+3x—1—3x?+6x—3+2

=x，—6x~+9尤—2,

令人（无）=尤3-6r+9%—2,该函数的定义域为R,贝!|上（O）=—2/0,

所以，函数/'（x-l）+2不是奇函数，B不满足条件；

对于C选项,/（x—l）—2=（尤一1）3_3（尤一1）2_2=—3*2+3x—1—3x2+6x—3—2

=xi—6%2+9x—6，

令力（x）=x3_6d+9x—6,该函数的定义域为R,则力（0）=-6/0,

所以，函数/'（x-1）-2不是奇函数，C不满足条件；

对于D选项,/（》+1）—2=（尤+1）3—3（%+1）2—2=尤3+3/+3尤+1—3.一6工一3-2=尤3—3元一4,

令力（x）=^-3x-4,该函数的定义域为R,则力⑼=TwO,

所以，函数/'（x+1）-2不是奇函数，D不满足要求.

故选:A.

2.（23-24高一上.河南•期中）已知函数〃到=厂+：-3是奇函数,且在区间在九一1,〃力上的最大值为2,则

m-（）

A.2或一1B.-1C.3D.3或-1

【答案】D

【分析】通过〃T）=-〃力可得。的值，判断出的单调性，列出关于机的方程解出即可.

【详解】由题可知/（一尤）=—，（》），即’2一二I+办-3,

-XX

3

贝！|2依=0,a=0,所以/（%）=%——.

因为“X）在区间恤—L向上单调递增，所以“加）=〃?-±=2,

m

解得根=3或-1.

故选：D.

3.（2024•陕西西安三模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足“x）+/（2-力=2,则

/（1）+/（2）+...+/（20）=（）

A.0B.105C.210D.225

【答案】C

【分析】根据题意，由奇函数的性质以及/（力+/（2-司=2,分析可得了（*+2）-〃尤）=2,求出"0）=0,

/。）=1,即可求解.

【详解】因为“X)是奇函数，所以〃x)+〃r)=O.由/(x