2023-2024学年陕西省商洛市高一年级下册期末考试数学试题+答案解析

2023-2024学年陕西省商洛市高一下学期期末考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量才=（一2,m+1）,了=（1,3），且可7/7，则机=（）

A.-5B.5C.-7D.7

2.已知复数Z满足Z—'=三,则2=（）

A.1+2zB.1-2zC.—1+2〃D.-l-2z

3.已知单位向量为，了满足口+2了|=2,则才与了夹角的余弦值为（）

A.-B.--C.--D

884z

4.记△ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=，^c，sinA=V^sin。，贝Ucos3=()

A/621

AB.C.-D.-

-V633

5.已知向量胃==（-1,2）,7=（1,1）,则了在正上的投影向量的坐标为（）

A5

-(I!)CD.Gl)

6.在正方体中，E为。Oi的中点，则异面直线/£与所成角的余弦值为（）

vl5「通v'lO

ADR.------C.----nD.----

-f535

7.记ZVIB。的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若bsinA+通acos3=°,b2=3ac，则二=()

8.在正三棱柱AB。—4B1G中，AAV=AB,M是的中点，N是棱BiG上的动点，则直线与平

面3。。1所所成角的正切值的最大值为（）

7

A-1B-V

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

z

9.已知复数z=1+，,乞为z的共轨复数，若z（）=-,下列结论正确的是（）

Z

A.zo在复平面内对应的点位于x轴上B.zo的实部为o

C.Zo的虚部为一1D"zo|=1

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10.Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类,2023年z国天然气进口11997吨，其中液化天

然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示:

2023年Z国天然气进口来源2023年Z国气态天然气来源

下列结论正确的是（）

A.2023年Z国从8国进口的液化天然气比从/国进口的多

B.2023年Z国没有从N国进口液化天然气

C.2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从。国进口的多

D.2023年Z国从8国进口的液化天然气一定比从。国进口的多

11.在△ARC中，。是2C的中点，BC=4,AD=VT1＞下列结论正确的是（）

A.若40=77,则=B.△ABC面积的最大值为2\/五

C-.Cl=7口.若3=20，则43=3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.有一组样本数据为1,3,5,7,则它的方差为.

13.已知0,6均为实数，（2+1）（1+成）=〃（b+初，则就=.

14.已知某圆台的母线长为3,下底面的半径为1,若球。与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球。的

表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A。/），5（2,3）,C（5,2）,点尸满足彳声=》瓦疗+〃前.

（1）当入=1,4=—1时，求点P的坐标；

⑵若万^睨，求）的值.

16.（本小题12分）

已知加eR，复数n=（m2-6一2）+（m2+3m+2）工

（1）若Z为纯虚数，求］，+3—2£；

O

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(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求整数机的值.

17.(本小题12分)

在△ABC中，己知。为48的中点，4。=2通，CD=2,AADC=60°.

(1)求△48。的面积；

(2)求8c的长.

18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—48。。中，底面N5CD为正方形，平面/8C。，AB=PA=4,£为8C的中

点，尸为尸。的中点.

(1)证明：EF〃平面P4B.

⑵求点C到平面尸的距离.

19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，POJ_底面48cD,E是PC的中点，点尸在棱8尸上,且EFLBP，四边

(2)求三棱锥F-BDE的体积；

(3)求二面角F-DE-B的余弦值.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】根据向量共线的坐标运算可得答案.

【详解】因方〃了，所以m+1=—2x3,解得m=一7.

故选：C.

2.【答案】A

2

【解析】【分析】由题意可得2=：;~;+i,再根据复数的四则运算计算即可.

1—2

2

【详解】因为2—。=^一

1—2

所以z=+i=+i=1+21.

1-i%(1-，zW)(l+i)

故选：A.

3.【答案】C

【解析】【分析】运用数量积的定义，运算律，模长公式求解即可.

【详解】•+20=2,两边平方得到才2%彳了2+4苒■.了=4,即1+4+4cos用不=4,

解得cosa,b=—7.

4

故选：C.

4.【答案】B

【解析】【分析】由sinA=^sin。，根据正弦定理可得a=gc，结合余弦定理计算即可.

【详解】sinA=\/3sinC»由正弦定理得a=\/5c.

a2+c2—川3c2+c2—2C2V6

又b=\/2c>根据余弦定理,得cosB=

2ac2\/3CxV^c6

故选：B.

5.【答案】D

【解析】【分析】由投影向量的计算公式计算即可.

【详解】由投影向量的公式可得了在才方向上的投影向量为:

心c°sa，b，同=k"=J(T，2)=

故选：D

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6.【答案】B

【解析】【解析】

【分析】取CG的中点尸，连接设正方体4BC。—4场。山1棱长为。,则/。iBF为异面直

线/£与3。1所成角或其补角，利用余弦定理求解.

取CC1的中点尸，连接BfDiF,设正方体小3。山1棱长为a,

因为48=EF,AB//EF,所以四边形ABFE为平行四边形,

所以BF〃AE,则N01BF为异面直线AE与所成角或其补角,

由BDi=A/3(Z,D]F=BF=

3a2+%—%

DiB2+BF2-DiF2\/15

所以cosNDjBF

2DiB•BF~5~

故选：B

7.【答案】B

【解析】【分析】先根据正弦定理化边为角，根据同角三角函数的基本关系得B葺，再利用余弦定理得

O

(Q+C)2=4QC,即可得解.

【详解】根据题意，由正弦定理可得：sinBsinA+v^sin4cos5=0,

4e(0,7r),所以sin4#0,sinB+\/3cosB=0,

,27r

化间得tanB=—A/3>>/BG(0,7r)B•—,

3

由余弦定理，b2=a2+(?—2accosBa2+(?+ac=3QC，

即（a+c）2=4ac，所以高=需考

故选：B

8.【答案】D

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【解析】【分析】根据题意，先画出图象，作MGrB。，然后由面面的垂直的性质可得MG,平面3。6场,

进而可知/MNG为直线与平面BCG场所成的角，当/MNG取得最大值时，tan/MNG=念取

得最大值，NG取得最小值，从而可得直线与平面所成角的正切值的最大值.

【详解】如图，作MGrBC，垂足为G,连接NG.

在正三棱柱ABC-AiBiCi中,平面ABC±平面BCCB,

因为平面ABCn平面3。。1场=30,MGu平面NBC,MGIBC^

所以MG1平面BCCB.

故NMNG为直线儿W与平面RCGB1所成的角.

当NMNG取得最大值时，tan〃NG=会取得最大值，NG取得最小值.

不妨设44i=AB=a,则AfG=A/3cosB=L-}@=@a，NG的最小值为a,

224

MGV3

于是

tan/AfNG~NG~T1

故选：D.

9.【答案】BCD

【解析】【分析】由题意可得妄=1-晨即可根据复数的除法求出zo,结合复数的几何意义以及相关概念

一一判断各选项，即得答案.

1—7(1一初(1一，)

【详解】因为Z=l+c,故5=j,所以z°=不

(1+0(1-0

则Z0在复平面内对应的点（0,-1）位于y轴上，Z0的实部与虚部分别为0和—1」的|=1,

/错误，B,C,。正确.

故选：BCD

10.【答案】ABC

【解析】【分析】由饼状统计图的实际含义逐一验算各个选项即可求解.

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【详解】对于3,2023年Z国从/国进口天然气2480吨，全部为气态天然气,

所以2023年Z国没有从/国进口液化天然气，2正确.

对于/,2023年Z国从3国进口天然气2435吨，其中气态天然气1630吨，液化天然气805吨,

所以2023年Z国从2国进口的液化天然气比从/国进口的多，/正确.

对于C,假设2023年Z国气态天然气其余部分全部来自C国，共4865-2480-1630-340=415吨,

则Z国从C国进口液化天然气2416-415=2001吨，仍然大于从。国进口的天然气的总量,

所以2023年Z国从。国进口的液化天然气一定比从。国进口的多，C正确.

对于D,2023年Z国从8国进口液化天然气2435-1630=805吨，

2023年Z国从。国进口的天然气总量为1666吨，若全部为液化天然气，

则2023年Z国从2国进口的液化天然气比从。国进口的少，D错误.

故选：ABC.

11.【答案】BCD

【解析】【分析】根据勾股定理可判定A；根据三角形面积公式可判定台；根据向量运算可判定。；结合正余

弦定理可判定D.

7T__________

【详解】在△/CD中，4。2+。02=4。2,所以c=AB=14c2+BC2=例,/错误.

当时，4D最大,所以△ABC面积的最大值为=2，五，8正确.

RA-cl=if）+D1）-（质+司）=（前+9）•（—箴+D1）=92_标2=7,C正确

在△/BC中，由正弦定理可得上与=/与，得40=243cosC

sm2GsmG

2227

54力士钿b舛cAC+CD-AD4AB2cos2。一70n2c

在△4CD中，由余弓证理可得c"=CD=8Wos。’即侬*

在△4B。中，由余弦定理可得cos2c=4一2彳巴1"=H=2cos2。—1,即

2AB-BD4：AB

7

AB2-7=8ABCOS2C-4AB>所以-7=8AB-~——-4AB,整理得AB?+2AB-15=0.

—OAJD

解得AB=3（43=—5舍去）,D正确.

12.【答案】5

【解析】【分析】首先计算出这组数据的平均数，结合方差公式即可得解.

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【详解】这组数据的平均数为1+3+5+7=4,这组数据的方差为

；•11—4产+(3-4)2+(5—4)2+(7-4叶=；x20=5.

故答案为：5.

13.【答案】21

【解析】【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.

【详解】根据(2+?)(1+ai)=i(b+，)可得到2+2ai+i-a=-1+bi,

故2—a=-l,2a+l—b,求得a=3,b=7,

所以ab=21.

故答案为：21

14.【答案】87r

【解析】【分析】把空间问题降维，转化在轴截面中进行研究，需要理解轴截面的概念，利用等面积法及

勾股定理建立等式求解.

【详解】解：如图，

在轴截面梯形NBC。中，AD=BC=3<AB=2BF=2,

设球。的半径为八

EF=2OE=2OM=2r.

S梯形4BCD=+AB).EF=^CD-OE+2X2OM+^AB-OF,

解得：CD=4>

因为BC2=(2r)2+(CE-BFf,

所以产=2，

所以球O的表面积为4仃2=8TF'

故答案为：87r.

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15.【答案】⑴

因为点4(1,1),5(2,3),0(5,2),所以加=(1,2),前=(4,1).

又因为点P满足加=入混+〃/，所以方=。+4〃,2X+〃),

当A=l,〃=—1时，舒=(—3,1)，又披=^1+/，

所以点尸的坐标为(一2,2)；

⑵

由点3(2,3),<7(5,2),可得用=(3,—1)，

因为舒=(入+4〃,2入+4)，且技上百方，

所以4户-B(y=3(A+4〃)一(2A+〃)=4+11〃=0,

所以△=—11.

【解析】(1)由坐标运算得出点P的坐标;

(2)由向量垂直的坐标表示得出q的值.

16.【答案】⑴

由于复数Z—(m2-m-2)+(m2+3m+2)，为纯虚数,

m2—m—2=0

所以解得m=2,此时z—12z,

m2+3m+2*0

+3-2i=|-1—2i\=Vl+4=V5

o

⑵

若z在复平面内对应点位于第二象限,

m2—m—2<0

则解得一1<m<2,

m2+3m+2>0

故整数冽的值有“L

【解析】(1)由z为纯虚数，求出冽值，从而得到复数z,求解：力+3-2/模长即可;

O

(2)z在复平面内对应的点位于第二象限，求出加的取值范围，进而得到整数%的值即可.

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17.【答案】⑴

根据题意可知S&ABC=S&ADC+S/\DBC,

又因为。为A8的中点，可得S&4DC=S/uiBC,

AC=2V3>CD=2,NAD。=60。，

根据余弦定理AC2=AD2+DC2-24。•DC-cosNAD。，

2

代入已知条件得（2通了=AD2+2-2x2x^AD,

得到4。=4,故4B=8所以可得是直角三角形，

所以S/^ADC—2V可得S&4BC=4\/3

故答案为：4\/3

⑵

由第一问可知N4=30°,AB=8

根据余弦定理可知口。2=402+AB2_24。•AB.cos/4,

代入得302=（273）2+82-2x8x2\/3x，

所以可得BC=2，7，

故答案为：

【解析】⑴Sz\4BC=&W?c+SaDBC，又因已知。为48的中点，可得=S/^DBC,根据余弦定理

可求出长，继而求出Sz^wc面积，所以即可求出△43。的面积；

（2）根据余弦定理可求出BC的长.

18.【答案】⑴

取/P中点M,连接

由尸为PD的中点，则?川=）。,尸”〃40,

而£为8C的中点，所以FM=BE,FM〃BE,

所以四边形3£引0为平行四边形，则BM//EF,

又BMU平面P/8,平面P48,所以石尸〃平面尸N3；

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因为ADC平面/BCD,平面/BCD,

所以MF〃平面ABCD,则尸到平面ABCD的距离等于M到平面ABCD的距离,

为=2,所以VF-CDE=，S&CDEX2=：X：X4X2X2=，,

又DE=必+22=2y5,EF=BM=2®DF=jpD=|y42+42=2历

所以SADEF=；FD-yDE2—；x2\/2x3A/2=6>

且VF—CDE—Vc-DEF=o'

o

8

o84

则点。到平面。环的距离为一―=-=

b^DEF63

-3-

【解析】（1）取/尸中点M，连接MF,BM,由四边形3EFN为平行四边形，则/〃EF,所以EF〃平

面尸AB；

⑵根据等体积法VF-CDE=Vc-DEF,可求点C到平面DEF的距离.

19.【答案】⑴

证明：因为PCLL底面48。，5。U底面/BCD,所以PDLBC.

因为四边形48co为正方形，所以。crec

因为ponoc=o,所以BC,平面P。。.

因为OEC平面尸。，所以BCL